MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE

MATE1207
1.
Primer parcial - Tema A
MATE-1207
No hay créditos parciales. Las tres partes de este punto no están relacionadas entre sı́.
(a) (4 points) Llene los lı́mites de la integral cuyo valor corresponde al volumen del sólido
del dibujo.
z
z + x2 = 1
y
x+y =1
x
Figura 1: Problema 5 (a)
V =
Z
Z
Z
dzdydx
En los ı́tems (b) y (c) llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según
sea el caso.
Z 1 Z √y
Z 1 Z x2
f (x, y) dydx =
(b) (3 points)
f (x, y) dxdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
0
(c) (3 points) El mı́nimo global de f (x, y) = x2 − 2y + y 2 se alcanza en (0, 1). . . . . .
Problema 1 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 1 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 2 de 10
Solution:
(a)
V =
Z 1 Z 1−x Z
0
0
1 − x2
0
dzdydx
(b) F
(c) V
Pautas de corrección:
No hay créditos parciales.
1. Todos los lı́mites bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Respuesta correcta es F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Respuesta correcta es V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Código:
2. (10 points)
Tema A
Pág. 3 de 10
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Calcule el centro de masa (x, y, z) del sólido,
z 2 ≥ x2 + y 2 ,
0 ≤ z ≤ 1.
con distribución de masa δ(x, y, z) = 1. Ver fórmulas al pié de página.1
x=
y=
z=
Resp.
1
RRR
S
Centro de masa (x, y, z): x = RRR
S
xδ(x, y, z) dV
δ(x, y, z) dV
RRR
S
y = RRR
S
yδ(x, y, z) dV
δ(x, y, z) dV
RRR
S
z = RRR
zδ(x, y, z) dV
δ(x, y, z) dV
S
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 2 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 4 de 10
Solution: Por simetrı́a x = y = 0.
Planteamiento:
R 2π R 1 R 1
Desarrollo de las integrales:
zr dzdrdθ
z = R0 2π R0 1 Rr 1
r dzdrdθ
0
0 r
1
8 =3
z=
1
4
2π
6
2π
x=0
y=0
Resp.
z=
3
4
Pautas de corrección:
Dos alternativas:
• Usa simetrı́as.
1. x = y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Planteamiento para z con todos los lı́mites correctos en cualquier tipo de
coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Desarrollo correcto de las dos integrales triples en cualquier tipo de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Por cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
5. Por cada error de álgebra o cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
• No usa simetrı́as y resuelve las (cuatro) integrales
1. Por cada planteamiento (son tres) con todos los lı́mites correctos en cualquier
tipo de coordenadas (las dos integrales numerador y denominador) . . . . . . . .
2+2+2=6
2. Por cada desarrollo correcto de una integral triple (son cuatro) en cualquier
tipo de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 1 + 1 + 1 = 4
3. Por cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
4. Por cada error de álgebra o cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Código:
3.
Tema A
Pág. 5 de 10
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Considere la transformación T dada por,
T : R2 −→ R2

u+v

x
=


2
(u, v) 7→ (x, y)


y = u − v
2
y la región R en el plano xy encerrada por el paralelogramo con vértices en A = (0, 0),
B = (1, −1), C = (2, 0), y D = (1, 1). Ver Gráfico de R en el plano xy (derecha).
(a) (4 points) Dibuje la región S en el plano uv (izquierda), de tal manera que R = T (S).
y
v
3
3
′
2 B
C′
2
T
1
-3
-2
′
0A
-1
0
-1
D
1
1
D′
2
3
u
-3
-2
0A
-1
0
-1
-2
-2
-3
-3
Gráfico de S
1
C
2
B
Gráfico de R
(b) (2 points) Calcule el valor absoluto del Jacobiano de la transformación T , es decir
calcule
∂(x, y) |J| = ∂(u, v) Resp.
|J| =
(c) (4 points) Evalúe la integral doble
ZZ
(x − y) (x + y) dA
R
usando el teorema de cambio de variables.
Resp.
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
3
x
Prob. 3 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 6 de 10
Solution:
(a) La matriz AT asociada a la

1
 2
AT =  1
2
transformación T y la matriz inversa B = (AT )−1 son:

1
1
1

−1
2 ,
B = (AT ) =
1
1 −1
−
2
La transformación inversa es:
T −1 : R2 −→ R2
(
u=x+y
(x, y) 7→ (u, v)
v =x−y
Por lo tanto,
T −1 (0, 0) = (0, 0);
T −1 (1, −1) = (0, 2);
T −1 (2, 0) = (2, 2);
T −1 (1, 1) = (2, 0)
(b)
(c)
=
Z
2
0
1 1 1
J = AT ⇒ |J| = − − =
4 4
2
Z
2
0
Z 2
2
1
1
uv
dvdu =
u du = 2
2
2
0
Pautas de corrección:
1. Por cada vértice (son cuatro) bien hallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 1 + 1 + 1 = 4
2. Cálculo del valor absoluto del Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Planteamiento de la integral en las variables uv usando el Teorema de cambio de
variables correctamente (no importa si no lo enuncia) con todos sus limites (son
cuatro) correctos. Debe ser acorde con su dibujo obtenido en (a), aunque esté
incorrecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Cálculo de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
5. Por cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
6. Por cada error de álgebra o cálculo o de lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Código:
4.
Tema A
Pág. 7 de 10
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Considere la función,
f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2y + 1
(a) (4 points) Halle el valor máximo y el valor mı́nimo, si existen, de f (x, y) en todo su
dominio.
Resp.
Valor máximo es:
Valor mı́nimo es:
y se obtiene en:
y se obtiene en:
(b) (4 points) Halle el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f (x, y) sujeta a la
restricción x2 + y 2 = 4.
Resp.
Valor máximo es:
Valor mı́nimo es:
y se obtiene en:
y se obtiene en:
(c) (2 points) Halle el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f (x, y) en el conjunto
D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4
Resp.
Valor máximo es:
Valor mı́nimo es:
y se obtiene en:
y se obtiene en:
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 4 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 8 de 10
Solution:
(a)


fx = 4x





fy = 2y − 2
fxx = 4



fxy = 0



f = 2
yy
4 0
⇒ ∆ = 0 2
=8
El único punto crı́tico es (0, 1) y aquı́ la función tiene un mı́nimo global con valor
cero, f (0, 1) = 0. No tiene máximos globales (en todo su dominio de definición).
(b) Usamos multiplicadores de Lagrange,

1

λ = , x = 0, y = 2




2


4x = 2λx

2y − 2 = 2λy ⇒ λ = 3 , x = 0, y = −2


 2

2

x + y2 = 4


√

λ = 2, x = ± 3, y = −1
√
• Valor máximo es 10 y se obtiene en (± 3, −1).
• Valor mı́nimo es 1 y se obtiene en (0, 2).


f (0, 2) = 1
f (0, −2) = 9

√

f (± 3, −1) = 10
(c) Por los análisis hechos en (a) y (b) tenemos:
√
• Valor máximo es 10 y se obtiene en (± 3, −1).
• Valor mı́nimo es 0 y se obtiene en (0, 1).
Pautas de corrección:
1. En (a) encuentra el punto crı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. En (a) sabe cómo decidir cuándo es máximo y mı́nimo y en este caso decide,
aunque su punto crı́tico sea incorrecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. En (b) planeta el método de multiplicadores de Lagrange o cualquier otro método
conducente a la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4. En (b) obtiene el valor máximo y el punto donde lo obtiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
5. En (b) obtiene el valor mı́nimo y el punto donde lo obtiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6. En (c) aplica el análisis obtenido en (a) y (b) y decide correctamente . . . . . . . . . 2
7. Por cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
8. Por cada error de álgebra o cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Código:
5. (10 points)
Tema A
Pág. 9 de 10
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Determine las dimensiones x, y, z de una caja sin tapa de volumen 4000cm3 que minimice
el uso de cartón.
z
x
y
x=
y=
z=
Resp.
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 5 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 10 de 10
Solution: Multiplicadores de Lagrange.
(
f (x, y, z) = xy + 2xz + 2yz (Función objetivo a optimizar)
g(x, y, z) = xyz − 4000 = 0 (restricción)

y + 2z = λyz (1)


(


∇f = λ∇g
x + 2z = λxz (2)
⇒

g=0
2x + 2y = λxy (3)



xyz = 4000 (4)
• x, y, z deben ser diferentes de cero, pues en caso contrario no satisfacen la restricción (4).
• Si λ = 0 → y = −x, y luego sumando (1) con (2) tenemos z = 0 lo cual no puede
ser. Por lo tanto λ 6= 0.
• Si y = −2z, ó x = −2z, ó x = −y implicarı́a que λ = 0, ó x = 0, ó y = 0, ó z = 0,
lo cual no puede ser. Por lo tanto y 6= −2z, y x 6= −2z, y x 6= −y.
Dividiendo (1) entre (2) término a término y simplificando tenemos x = y. Luego
resolviendo el sistema obtenido encontramos la solución.
El sistema se reduce a

x = 20




y = 20
⇒ z = 10




λ = 1
5
Pautas de corrección:
1. Escribe la función f correctamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Planteamiento ((1)...(4)) aunque tenga la función f incorrecta . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Solución del sistema acorde al planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Por cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
5. Por cada error de álgebra o cálculo o lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2