Segundo Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema A)

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Segundo Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema A)
AD
OR
1
Instrucciones:
Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba
con bolı́grafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede
hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,
cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea
recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.
Points
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Total:
50
Score
Chequee su sección en la tabla−→
Nombre:
Firma:
1
BO
Código:
Sección
Profesor
01
José Ricardo Arteaga
06
Marco Boggi
11
Ramiro De la Vega
16
Bernardo Uribe
21
Mikhail Malakhaltsev
26
Mauricio Velasco
RR
Question
Mi sección
Bogotá, Abril 21, 2012
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Código:
Pág. 2 de 11
No hay créditos parciales. Las tres partes de este punto no están relacionadas entre sı́.
AD
OR
(a) (4 points) Llene los lı́mites de la integral cuyo valor corresponde al volumen del sólido
del dibujo.
z
z + x2 = 1
y
x+y =1
x
RR
Figura 1: Problema 5 (a)
V =
Z
Z
Z
dzdydx
En los ı́tems (b) y (c) llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según
sea el caso.
Z 1 Z √y
Z 1 Z x2
f (x, y) dxdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x, y) dydx =
(b) (3 points)
0
0
0
0
BO
1.
Tema A-pub
(c) (3 points) El mı́nimo global de f (x, y) = x2 − 2y + y 2 se alcanza en (0, 1). . . . . .
Problema 1 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A-pub
BO
RR
AD
OR
Prob. 1 cont.. . .
Pág. 3 de 11
Código:
2. (10 points)
Tema A-pub
Pág. 4 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Calcule el centro de masa (x, y, z) del sólido,
0 ≤ z ≤ 1.
AD
OR
z 2 ≥ x2 + y 2 ,
con distribución de masa δ(x, y, z) = 1. Ver fórmulas al pié de página.2
x=
z=
2
BO
RR
Resp.
y=
RRR
S
Centro de masa (x, y, z): x = RRR
S
xδ(x, y, z) dV
δ(x, y, z) dV
RRR
S
y = RRR
S
yδ(x, y, z) dV
δ(x, y, z) dV
RRR
S
z = RRR
zδ(x, y, z) dV
δ(x, y, z) dV
S
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A-pub
BO
RR
AD
OR
Prob. 2 cont.. . .
Pág. 5 de 11
Código:
Pág. 6 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Considere la transformación T dada por,
AD
OR
T : R2 −→ R2

u+v


x = 2
(u, v) 7→ (x, y)


y = u − v
2
y la región R en el plano xy encerrada por el paralelogramo con vértices en A = (0, 0),
B = (1, −1), C = (2, 0), y D = (1, 1). Ver Gráfico de R en el plano xy (derecha).
(a) (4 points) Dibuje la región S en el plano uv (izquierda), de tal manera que R = T (S).
y
v
3
3
2
2
T
1
-3
-2
-1
0
D
1
0
-1
1
2
3
u
-3
-2
0A
-1
0
-1
1
C
2
B
-2
RR
-2
-3
Gráfico de S
-3
Gráfico de R
(b) (2 points) Calcule el valor absoluto del Jacobiano de la transformación T , es decir
calcule
∂(x, y) |J| = ∂(u, v) Resp.
BO
3.
Tema A-pub
|J| =
(c) (4 points) Evalúe la integral doble
ZZ
(x − y) (x + y) dA
R
usando el teorema de cambio de variables.
Resp.
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
3
x
Código:
Tema A-pub
BO
RR
AD
OR
Prob. 3 cont.. . .
Pág. 7 de 11
Código:
Pág. 8 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Considere la función,
f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2y + 1
RR
AD
OR
(a) (4 points) Halle el valor máximo y el valor mı́nimo, si existen, de f (x, y) en todo su
dominio.
BO
4.
Tema A-pub
Resp.
Valor máximo es:
Valor mı́nimo es:
y se obtiene en:
y se obtiene en:
(b) (4 points) Halle el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f (x, y) sujeta a la
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 4 cont.. . .
Código:
Tema A-pub
Pág. 9 de 11
Resp.
AD
OR
restricción x2 + y 2 = 4.
Valor máximo es:
Valor mı́nimo es:
y se obtiene en:
y se obtiene en:
BO
RR
(c) (2 points) Halle el valor máximo y el valor mı́nimo de la función f (x, y) en el conjunto
D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4
Resp.
Valor máximo es:
Valor mı́nimo es:
y se obtiene en:
y se obtiene en:
Código:
5. (10 points)
Tema A-pub
Pág. 10 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
AD
OR
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Determine las dimensiones x, y, z de una caja sin tapa de volumen 4000cm3 que minimice
el uso de cartón.
z
x
BO
RR
y
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A-pub
BO
RR
AD
OR
Prob. 5 cont.. . .
Resp.
x=
y=
z=
Pág. 11 de 11