Tema A - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
AD
OR
Examen Final MATE1207/08
Cálculo Vectorial (Tema A) 1
Instrucciones:
Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba
con bolı́grafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede
hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,
cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea
recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.
Points
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Total:
50
Score
Chequee su sección en la tabla−→
Nombre:
Firma:
BO
Código:
Sección
Profesor
01
José Ricardo Arteaga
06
Marco Boggi
11
Ramiro De la Vega
16
Bernardo Uribe
21
Mikhail Malakhaltsev
RR
Question
26
Mauricio Velasco
HON
Jean Carlos Cortissoz
Mi sección
Bogotá, Mayo 22, 2012
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Código:
Tema A
Pág. 2 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
BO
RR
AD
OR
1. (10 points) Encontrar los puntos de la curva Γ dada por la ecuación 2x2 − y 2 − 4 = 0 que
están más cerca del punto (0, 4).
Ayuda: Usar el método de multiplicadores de Lagrange y optimizar la distancia al cuadrado.
Problema 1 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
BO
RR
AD
OR
Prob. 1 cont.. . .
Pág. 3 de 11
Código:
Tema A
Pág. 4 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Z
C
2
2
AD
OR
2. (10 points) Hallar
(xy 2 + 5y)dx + (4x + x2 y)dy,
BO
RR
donde C es la curva x + y = 4 orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
BO
RR
AD
OR
Prob. 2 cont.. . .
Pág. 5 de 11
Código:
Tema A
Pág. 6 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
AD
OR
3. (10 points) Hallar el flujo hacia afuera del campo vectorial
F~ = (x + sin(x + y + z))~i + (y − sin(x + y + z)) ~j + z + z 2 ~k
BO
RR
a través la superficie dada por la ecuación x2 + y 2 + z 2 = 16.
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
BO
RR
AD
OR
Prob. 3 cont.. . .
Pág. 7 de 11
Código:
Tema A
Pág. 8 de 11
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
4. (10 points) Hallar la integral
AD
OR
ZZ
~
∇ × F~ · dS,
S
BO
RR
donde F~ = −y~i + x~j + ~k y S es la unión de las cinco caras superiores del cubo unitario
{(x, y, z) ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]}, es decir la cara que está en el plano z = 0 no es parte de
S. La orientación de S es hacia “afuera”.
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
BO
RR
AD
OR
Prob. 4 cont.. . .
Pág. 9 de 11
Código:
Tema A
Pág. 10 de 11
No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas.
0
0
AD
OR
5. Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso.
Z 1Z 1
Z 1 Z x3
2
2
cos(x2 + y 2 ) dx dy. . . . . . . . . . . . .
cos(x + y ) dy dx =
(a) (2 points)
0
y 1/3
(b) (2 points) En un punto de silla de una función f (x, y) todas las derivadas
direccionales son iguales a cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z 2π Z 1 √
(c) (2 points) El resultado de la evaluación de la integral: 2
1 − r2 rdrdθ
0
0
es igual al volumen de una esfera de radio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) (2 points) La curvatura de una curva cerrada plana es constante y igual a 4 si
y solo si la curva es una circunferencia del radio 1/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(e) (2 points) Para f (x, y, z) = x2 + y 2 + 2z 2 el vector gradiente ∇f (1, 1, 1) es
BO
RR
perpendicular a la superficie f (x, y, z) = 4 en el punto (1, 1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
BO
RR
AD
OR
Prob. 5 cont.. . .
Pág. 11 de 11