TEOREMA DE FERMAT Sea f : A ⊂ R ⇒ R una función
Anuncio
TEOREMA DE FERMAT Sea f : A ⊂ R ⇒ R una función. Supongamos que la función f alcanza su máximo (mı́nimo) en un punto α ∈ Å donde es derivable. Entonces f 0 (α) = 0. Demostración (α) Sea f 0 (α) = lim f (x)−f . Supongamos que f alcanza su máximo en α. x−α x→α (α) a) Si f 0 (α) > 0, existe un entorno de α, [α − δ, α + δ] donde f (x)−f > 0 (1) x−α (por las propiedades de los lı́mites acerca del signo en un entorno del lı́mite). En estas condiciones, si tomo un x tal que α < x ≤ α + δ, se verifica que x − α > 0. Ası́ para que se verifique la expresión (1) ha de ser f (x) − f (α) > 0. Entonces f (x) > f (α). Ası́ que f (α) no puede ser un máximo. (α) < 0 (2) b) Si f 0 (α) < 0, existe un entorno de α, [α − δ, α + δ] donde f (x)−f x−α (por las propiedades de los lı́mites acerca del signo en un entorno del lı́mite). En estas condiciones, si tomo un x tal que α − δ ≤ x < α, se verifica que x − α < 0. Ası́, para que se verifique la expresión (2) ha de ser f (x) − f (α) < 0. Entonces f (x) > f (α). Ası́ que f (α) no puede ser un máximo. De a) y b) se concluye que tiene que ser f 0 (α) = 0 La demostración para el mı́nimo se realiza de forma análoga. 1
