TEOREMA DE FERMAT Sea f : A ⊂ R ⇒ R una función

TEOREMA DE FERMAT
Sea f : A ⊂ R ⇒ R una función. Supongamos que la función f alcanza su máximo
(mı́nimo) en un punto α ∈ Å donde es derivable. Entonces f 0 (α) = 0.
Demostración
(α)
Sea f 0 (α) = lim f (x)−f
. Supongamos que f alcanza su máximo en α.
x−α
x→α
(α)
a) Si f 0 (α) > 0, existe un entorno de α, [α − δ, α + δ] donde f (x)−f
> 0 (1)
x−α
(por las propiedades de los lı́mites acerca del signo en un entorno del lı́mite).
En estas condiciones, si tomo un x tal que α < x ≤ α + δ, se verifica que x − α > 0.
Ası́ para que se verifique la expresión (1) ha de ser f (x) − f (α) > 0.
Entonces f (x) > f (α). Ası́ que f (α) no puede ser un máximo.
(α)
< 0 (2)
b) Si f 0 (α) < 0, existe un entorno de α, [α − δ, α + δ] donde f (x)−f
x−α
(por las propiedades de los lı́mites acerca del signo en un entorno del lı́mite).
En estas condiciones, si tomo un x tal que α − δ ≤ x < α, se verifica que x − α < 0.
Ası́, para que se verifique la expresión (2) ha de ser f (x) − f (α) < 0.
Entonces f (x) > f (α). Ası́ que f (α) no puede ser un máximo.
De a) y b) se concluye que tiene que ser f 0 (α) = 0
La demostración para el mı́nimo se realiza de forma análoga.
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