= ∫ = ∫ ∫

Hallar la derivada de la siguiente función
∫
x3
a
sen3t dt
Solución.
Sea H ( x ) =
∫
x3
a
sen3t dt
H ( x ) es la composición de dos funciones, a saber, de la función F ( x ) = ∫ sen3t dt con la
x
a
función c ( x ) = x . Pues,
3
 g )( x ) F=
( F=
( g ( x ))
∫
g( x)
a
=
sen3t dt
∫
x3
a
=
sen3t dt H ( x )
3
Puesto que f ( t ) = sen t es una función continua en todo ℝ, por el Primer Teorema Fundamental
del Cálculo, la función F ( x ) =
∫
x
a
sen3t dt es derivable y F ′ ( x ) = f ( x ) .
3
Por otro lado, la función c ( x ) = x es también derivable para todo número x .
Entonces, por la Regla de la Cadena, tenemos
3
=
H ′ ( x ) F ′ ( g (=
x )) g ′ ( x ) f ( g (=
x ) ) g ′ ( x ) f=
( x3 ) 3x2 sen=
( x3 ) 3x2 3x2 sen3 ( x3 )
3
 x sen3t dt ′ = 3 x 2 sen3 x 3 .
( )

 ∫a

Por tanto, 