∫ ∫ ∫ ∫

Hallar la derivada de la siguiente función
 x
 sen3t
 1

∫3
∫

dt 

sen3t dt
Solución.
Sea
 x
 sen3t
 1

∫
H ( x) = ∫
3

dt 

sen3t dt .
La función H ( x) es la composición de dos funciones, a saber, la función F ( x ) =
la función c( x) =
∫
x
1
∫
x
3
sen3t dt con
sen3t dt , como se muestra a continuación:
(
)
c ( x ) F 
 c ) ( x ) F=
( F=

x
∫1
sen
t dt 
=

3
x
∫ sen tdt =
3
t dt H ( x )
∫ 1 sen
3
3
3
Por otro lado, la función f ( t ) = sen t es continua en todo ℝ, entonces por el Teorema
Fundamental del Cálculo, tanto la función F ( x ) como la función c ( x ) son derivables, y
3
=
F ′ ( x ) sen
=
( x ) c′ ( x ) .
Entonces por la Regla de la Cadena, tenemos
′ ( c ( x ) ) c′ ( x ) F ′
=
( F  c )′ ( x ) F=
Por tanto, H ′ ( x ) = sen3
t dt ) sen x
( ∫ sen=
x
3
3
1
( ∫ sen t dt ) sen x .
x
1
3
3
sen3
t dt ) sen x
( ∫ sen=
x
1
3
3
H ′( x)