ejercicios de recuperacion de calculo 30 para

GUÍA DE ESTUDIO DE
CÁLCULO 30
Y
MATEMÁTICAS III
Fernando Mejías y Armando Montilla
Trujillo, 2014
GUÍA
1
ESPACIOS EUCLÍDEOS
PROBLEMAS
1
Sean a D .1; 3/ y b D . 1; 4/ en R2 . Graficar los vectores:
(1) a C b.
(2) a C 2b.
(3) a C 3b.
(4) a
2b.
(5) a C 12 b.
(6) 2a C 3b.
(7) 2a
3b.
2
Resolver el Ejercicio 1 con a D .1; 1; 1/ y b D .1; 0; 2/ en R3 .
3
Sean A D .1; 2/ y B D . 1; 1/. Graficar los vectores de la forma ACtB
donde:
(1) t 2 .0; 1/, es decir 0 < t < 1.
(2) t 2 Œ0; 1.
(3) t 2 Œ1; 2.
(4) t 2 Œ0; C1/.
(5) t 2 R.
4
Resolver el Ejercicio 3 con A D .1; 1; 1/ y B D .1; 0; 2/ en R3 .
5
Sean A D .1; 2; 0/ y B D .0; 1; 1/. Graficar los vectores de la forma
sA C tB donde:
(1) s; t 2 .0; 1/, es decir 0 < s; t < 1.
(2) s; t 2 Œ0; 1.
(3) s 2 .0; 1/ y t 2 Œ0; 1.
(4) s 2 .0; 1/ y t 2 Œ1; 2.
(5) s 2 .0; 1/ y t 2 R.
6
Sean a D .1; 4; 8/ y b D . 3; 2; 0/. Hallar un vector x 2 R3 tal que
a C 3x D b x.
2
F. Mejías y A Montilla
Guía 1. Espacios Euclídeos
3
7
Sean A D .2; 6; 1/, B D .1; 2; 4/ y C D .1; 3; 1/. Hallar un vector D
tal que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.
8
Sean p D .2; 3; 4/, q D .4; 6; 8/ y r D .1; 1; 1/. Hallar escalares a, b y c,
tales que ap C bq C cr D k:
9
Sean p D .2; 3; 4/, q D .4; 6; 8/ y r D .1; 1; 1/. Hallar escalares a, b y c,
tales que ap C bq C cr D .7; 10; 13/:
10
Sean A D .1; 1; 1; 0/, B D .0; 1; 1; 1/ y C D .1; 1; 0; 0/ vectores de R4 y
D D xA C yB C ´C donde x; y; ´ son escalares.
(1) Determinar las componentes de D.
(2) Si D D 0, demostrar que x D y D ´ D 0.
(3) Hallar x, y, ´ tales que D D .1; 5; 3; 4/.
(4) Demostrar que ninguna elección de x, y, ´ hace D D .1; 2; 3; 4/.
11
Interpretar geométricamente la ley asociativa de la suma de vectores.
12
Interpretar geométricamente la leyes distributivas .˛ C ˇ/a D ˛a C ˇa
y ˛.a C b/ D ˛a C ˛b.
13
Si un cuadrilátero OABC de R2 es un paralelogramo que tiene a A
A/ D 12 B.
y C como vértices opuestos, demostrar que A C 21 .C
¿Qué propiedad relativa a los paralegramos puede deducirse de esta
igualdad?
14
Emplendo métodos vectoriales hallar una formula para calcular las
coordenadas del punto medio entre los puntos P D .x0 ; y0 ; ´0/ y Q D
.x1 ; y1 ; ´1 /.
ˇ
ˇ
ˇa b ˇ
ˇ
ˇ está definido por:
Si a; b; c; d 2 R, el determinante ˇ
c dˇ
ˇ
ˇ
ˇa b ˇ
ˇ
ˇ
ˇc d ˇ D ad bc:
15
Dados los vectores a D .a1 ; : : : ; an /; b D .b1 ; : : : ; bn/ 2 R3 , definimos
el producto vectorial (o producto cruz) ab por la siguiente igualdad:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇa3 a1 ˇ
ˇa1 a2 ˇ
ˇa2 a3 ˇ
ˇ
ˇ kI
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
jCˇ
abD ˇ
iCˇ
b3 b1 ˇ
b1 b2 ˇ
b2 b3 ˇ
que formalmente se representa así:
ˇ
ˇ
ˇ i j kˇ
ˇ
ˇ
a b D ˇˇa1 a2 a3 ˇˇ :
ˇ b1 b2 b3 ˇ
Verificar las siguientes identidades:
F. Mejías y A Montilla
4
Guía 1. Espacios Euclídeos
(1) a a D 0.
(2) a b D
b a.
(3) a .b C c/ D a b C a c.
(4) ˛.a b/ D .˛a/ b.
(5) a .a b/ D 0.
(6) b .a b/ D 0.
16
Dados a D i C 2k, b D 2i C j k y c D i C 2j C 2k. Calcular cada
uno de los siguientes vectores en función de i; j; k:
(1) a b.
(2) b c.
(3) c a.
(4) a .b c/.
(5) a .b a/.
(6) .a b/.a c/.
17
En cada uno de los siguientes casos hallar un vector de longitud 1 que
sea ortogonal a los vectores a y b.
(1) a D i C j C k, b D 2i C 3j
(2) a D 2i
(3) a D i
18
3j C 4k, b D
2j C 3k, b D
k.
i C 5j C 7k.
3i C 2j
k.
Una recta L de R2 contiene los dos puntos P D . 3; 1/ y Q D .1; 1/.
Determinar cuáles de los siguientes puntos están en L.
(1) .0; 0/.
(2) .0; 1/.
(3) .1; 2/.
(4) .2; 1/.
(5) . 2; 1/.
(6) . 1; 0/.
19
Resolver el ejercicio anterior con P D .2; 1/ y Q D . 4; 2/.
20
Una recta L de R3 contiene el punto P D . 3; 1; 1/ y es paralela
al vector A D .1; 2; 3/. Determinar cuáles de los siguientes puntos
están en L.
(1) .0; 0; 0/.
(2) .0; 1; 4/.
(3) . 2; 1; 4/.
(4) . 4; 3; 2/.
F. Mejías y A Montilla
5
Guía 1. Espacios Euclídeos
(5) . 2; 9; 16/.
(6) . 1; 1; 1/.
21
En cada uno de los siguientes casos determinar si los puntos P , Q y R
son colineales.
(1) P D .2; 1; 1/, Q D .4; 1; 1/, R D .3; 1; 1/.
(2) P D .2; 2; 3/, Q D . 2; 3; 1/, R D . 6; 4; 1/.
(3) P D .2; 1; 1/, Q D . 2; 3; 1/, R D .5; 1; 1/.
22
Una recta pasa por el punto P D .1; 1; 1/ y es paralela al vector
A D .1; 2; 3/. Otra recta pasa por el punto Q D .2; 1; 0/ y es paralela al vector B D .3; 8; 13/. Demostrar que las dos rectas se cortan y
determinar el punto de intersección.
23
Sea M D fP C sA C tBg donde P D .1; 2; 3/, A D .3; 2; 1/ y B D
.1; 0; 4/. Determinar cuáles de los siguientes puntos están en M .
(1) .1; 2; 0/.
(2) .1; 2; 1/.
(3) .6; 4; 6/.
(4) .6; 6; 6/.
(5) .6; 6; 5/.
(6) . 1; 1; 1/.
24
Los puntos P D .1; 1; 1/, Q D .3; 3; 2/ y R D .3; 1; 2/. Determinan un plano M . Decir cuáles de los siguientes puntos están en
M.
(1) .1; 2; 12 /.
(2) .4; 0;
1
2 /.
(3) . 3; 1; 3/.
(4) .3; 1; 3/.
(5) .0; 0; 0/.
(6) . 1; 1; 1/.
25
Un plano M tiene las ecuaciones paramétricas
x D1Cs
2t;
y D 2 C s C 4t;
´ D 2s C t:
Determinar cuáles de los siguientes puntos están en M .
(1) .1; 2; 0/.
(2) .4; 0; 1/.
(3) .2; 3; 3/.
(4) .3; 1; 3/.
F. Mejías y A Montilla
6
Guía 1. Espacios Euclídeos
(5) .0; 0; 0/.
(6) . 1; 1; 1/.
26
Para el plano M del problema anterior hallar vectores P , A y B, tales
que M D fP C sA C tBg.
27
Hallar la ecuación cartesiana de la forma ax C by C c´ D d para cada
uno de los planos siguientes.
(1) Plano que pasa por .2; 3; 1/ y está generado por los vectores
.3; 2; 1/ y . 1; 2; 3/.
(2) Plano que pasa por .2; 3; 1/, . 2; 1; 3/ y .4; 3; 1/.
(3) Plano que pasa por .2; 3; 1/ y es paralelo al plano que pasa por el
origen y está generado por los vectores .2; 0; 2/ y .1; 1; 1/.
28
Dada la recta L que pasa por .1; 2; 3/ y es paralela al vector .1; 1; 1/, y
dado el punto .2; 3; 5/ que no está en L. Hallar la ecuación cartesiana
del plano M que pasa por .2; 3; 5/ y contiene todos los puntos de L.
29
Dados a 2 Rn y r > 0, la bola abierta de centro a y radio r está definida
por la siguiente igualdad:
B.aI r/ D fx 2 Rn W kx
ak < rg:
Demostrar que un conjunto U Rn es abierto si y sólo si para cada
a 2 U existe un r > 0 tal que B.aI r/ U .
30
En cada uno de los siguientes casos, sea S el conjunto de todos los
puntos .x; y/ del plano que satisfacen las desigualdades dadas. Hacer
un gráfico mostrando el conjunto S y explicar, geométricamente, si S
es abierto o no.
(1) x 2 C y 2 < 1.
(2) 3x 2 C 2y 2 < 6.
(3) 1 x 2 y 3 < y < 4.
(4) 1 < x < 2 y y > 0.
(5) xy < 0.
(6) jxj < 1 y y < 0.
(7) xy < 1.
(8) x y.
(9) x > y.
(10) y > x 2 y jxj < 2.
31
En cada uno de los siguientes casos, sea S el conjunto de todos los
puntos .x; y; ´/ del espacio que satisfacen las desigualdades dadas.
Hacer un gráfico mostrando el conjunto S y explicar, geométricamente, si S es abierto o no.
F. Mejías y A Montilla
7
Guía 1. Espacios Euclídeos
(1) x 2 C y 2 C ´2 < 1.
(2) jxj < 1, jyj < 1 y j´j < 1.
(3) jxj 1, jyj < 1 y j´j < 1.
(4) x 2 C y 2 C ´2 < 1 y ´ > 0.
(5) x 2 C y 2 C ´2 > 1.
(6) 1 < x 2 C y 2 C ´2 < 4.
32
Se dice que una función T W Rn ! Rm es una transformación lineal lineal si para todos x; y 2 Rn y para todo ˛ 2 R, se cumplen las
igualdades siguientes
T .x C y/ D T .x/ C T .y/
(propiedad aditiva)
y
T .˛x/ D ˛T .x/
(propiedad homogénea).
Demostrar que cada una de las siguientes funciones es una transformación lineal.
(1) T W R2 ! R2 , T .x; y/ D .y; x/.
(2) T W R2 ! R2 , T .x; y/ D .2x
(3) T W R2 ! R3 , T .x; y/ D .x
3
2
(4) T W R ! R , T .x; y; ´/ D .x
3y; x C y/.
3y; x C y; x
(5) T W R2 ! R2 , T .x; y/ D .x; 0/.
y/.
y C ´; x C y/.
(6) T W R3 ! R2 , T .x; y; ´/ D .x; y; 0/.
33
Una matriz de orden m n es un arreglo A de m filas formadas por
vectores a1 D .a11 ; a12 ; : : : ; a1n /, . . . , am D .am1 ; am2 ; : : : ; amn/ en
forma de columnas así:
˙a
:::
:::
::
:
a1n
a2n
::
:
am1 am2 : : :
amn
11
AD
a21
::
:
a12
a22
::
:
:
Las componentes de los vectores se llaman entradas (o términos de la
matriz. Dos matrices de orden m n se pueden sumar, término a
término, y se pueden multiplicar por escalares multiplicando por el
mismo escalar cada término. En cada caso se produce de nuevo una
matriz de orden m n. Verificar que se cumplen las siguientes identidades para A, B y C matrices cualesquiera de orden m n y ˛; ˇ 2 R.
(1) A C .B C C / D .A C B/ C C .
(2) A C . 1/A D O, siendo O la matriz cuyos términos son todos 0.
(3) A C O D O C A D A.
(4) A C B D B C A.
F. Mejías y A Montilla
8
Guía 1. Espacios Euclídeos
(5) 1A D A.
(6) .˛ˇ/A D ˛.ˇA/.
(7) ˛.A C B/ D ˛A C ˛B.
(8) .˛ C ˇ/A D ˛A C ˇA.
34
Dadas dos matrices A y B de órdenes m n y n p, se define la matriz
producto A B, de orden m p, de tal forma que la entrada ij es el
producto escalar de i -ésima fila de A con la j -ésima columna de B.
En los siguientes problemas las matrices A, B y C son de los órdenes
adecuados para las operaciones indicadas.
(1) Demostrar que ˛.A B/ D .˛A/ B D A .˛B/, ˛ 2 R.
(2) Demostrar que A .B C / D .A B/ C .
(3) Demostrar que en general no es cierto que A B D B A.
35
Si T W Rn ! Rm es una transformación lineal y e1 ,. . . ,en son los vectores coordenados unitarios Rn , y si E1 ,. . . ,Em son los vectores coordenados unitarios Rm , entonces tenemos
T .e1 / D a11 E1 C a21 E2 C C am1 Em;
T .e2 / D a12 E1 C a22 E2 C C am2 Em;
::
:
T .e2 / D a1n E1 C a2n E2 C C amn Em:
La matriz asociada a T , .T / es la matriz de orden m n:
˙a
:::
:::
::
:
a1n
a2n
::
:
am1 am2 : : :
amn
11
.T / D
a21
::
:
a12
a22
::
:
:
Si T W Rn ! Rm, S W Rn ! Rm y S W Rm ! Rp y ˛ 2 R se tiene:
.T C S / D .T / C .S /;
.˛T /
D ˛.T /; y
.S B T / D .S / .T /:
Hacer combinaciones con las transformaciones lineales del Problema
32 para verificar que se cumplen estas fórmulas.
GUÍA
2
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
PROBLEMAS
1
En cada uno de los siguientes casos determinar el valor del campo
escalar f en los puntos indicados.
(1) f .x; y/ D xy C
x
, en . 21 ; 3/ y .1; 1/.
y
x2 y2
, en . x; y/, . x1 ; y1 /.
2xy
(3) f .x; y/ D 1 C x y, en los puntos de la parábola y D x 2 .
(2) f .x; y/ D
x 4 C 2x 2 y 2 C y 2
, en los puntos de la circunferencia
1 x2 y2
x 2 C y 2 D R2 , R ¤ ˙1.
(4) f .x; y/ D
2
Hallar el dominio de los siguientes campos escalares f W R2 ! R.
Ilustrar gráficamente.
p
(1) f .x; y/ D 1 x 2 y 2 .
(2) f .x; y/ D 1 C sen x.
(3) f .x; y/ D log.x C y/.
(4) f .x; y/ D x C arcsen y.
p
p
(5) f .x; y/ D 1 x 2 C 1
y
(6) f .x; y/ D arcsen .
x
p
(7) f .x; y/ D y sen x.
3
y2.
(8) f .x; y/ D log.x 2 C y/.
1
(9) f .x; y/ D 2
.
x C y2
p
(10)f .x; y/ D sen.x 2 C y 2 /.
Hallar el dominio de los siguientes campos escalares f W R3 ! R.
Ilustrar gráficamente.
1
.
xCy C´
p
p
p
(2) f .x; y; ´/ D x C y C ´.
(1) f .x; y; ´/ D
9
F. Mejías y A Montilla
10
Guía 2. Funciones de Varias Variables
4
(3) f .x; y; ´/ D log.xy´/.
x
(4) f .x; y; ´/ D .
y
p
(5) f .x; y; ´/ D 1 x 2 y 2
´2 .
Construir algunas curvas de nivel para las siguientes funciones.
(1) f .x; y/ D x C y.
(2) f .x; y/ D x 2 C y 2 .
(3) f .x; y/ D x 2 y 2 .
y
(4) f .x; y/ D 2 .
x
p
(5) f .x; y/ D xy.
5
Construir algunas superficies de nivel para las siguientes funciones.
(1) f .x; y; ´/ D x C y C ´.
(2) f .x; y; ´/ D x 2 C y 2 C ´2 .
(3) f .x; y; ´/ D x 2 C y 2 ´2 .
6
Calcular los siguientes límites (no demostrar su existencia).
(1)
(2)
7
lim
.x 2 C y 2 / sen
.x;y/!.0;0/
1
.
xy
sen xy
.
x
.x;y/!.0;2/
lim
Comprobar que si
f .x; y/ D
entonces
x 2y 2
x 2 y 2 C .x
y/2
;
siempre que x 2 y 2 C .x
y/2 ¤ 0;
lim Œ lim f .x; y/ D lim Œ lim f .x; y/I
x!0 y!0
pero sin embargo
lim
.x;y/!.0;0/
y!0 x!0
f .x; y/ no existe (examinar el compor-
tamiento de f sobre la recta y D x).
8
En los siguientes casos, hallar dos caminos que pase por el origen y
permitan demostrar que los límites indicados no existen.
x
.
.x;y/!.0;0/ x C y
x2 y2
(2)
lim
.
.x;y/!.0;0/ x 2 C y 2
(1)
9
lim
Sea
f .x; y/ D
sen.x 2 C y 2 /
;
x2 C y2
siempre que .x; y/2 ¤ .0; 0/:
¿Cómo debe definirse f .0; 0/ para que f sea continua?
GUÍA
3
DERIVADAS
PROBLEMAS
1
En cada uno de los siguientes casos calcular las derivadas parciales de
primer orden del campo escalar dado (no preocuparse por el dominio
de la función ni por el de las derivadas).
(1) f .x; y/ D sen.xy/.
(2) f .x; y/ D log.sen.x sen y//.
(3) f .x; y/ D x 2 C y 2 sen.xy/.
p
(4) f .x; y/ D x 2 C y 2 .
x
(5) f .x; y/ D p
.
x2 C y2
(6) f .x; y/ D arcsen.xy/.
xCy
(7) f .x; y/ D
.
x y
(8) f .x; y/ D Œsen.xy/cos 3 .
(9) f .x; y/ D e sen.xy/.
(10)f .x; y/ D sen.x sen y/.
(11)f .x; y; ´/ D x y .
(12)f .x; y; ´/ D sen.x sen.y sen ´//.
´
(13)f .x; y; ´/ D x y .
(14)f .x; y; ´/ D x yC´ .
(15)f .x/ D a x, f W Rn ! R, a 2 Rn fijo.
2
En cada uno de los siguientes casos calcular las derivadas parciales de
segundo orden y verificar la igualdad D1 .D2 f / D D2 .D1 f /.
(1) f .x; y/ D x 4 C y 4
4x 2 y 2 .
(2) f .x; y/ D log.x 2 C y 2 /.
1
(3) f .x; y/ D cos x 2 .
y
3
Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones (donde g W
R ! R es una función continua).
11
F. Mejías y A Montilla
12
Guía 3. Derivadas
(1) f .x; y/ D
(2) f .x; y/ D
(3) f .x; y/ D
4
5
6
R xCy
Raa
Rxy
g.t / dt .
g.t / dt .
g.t / dt .
Rxxy
(4) f .x; y/ D x g.t / dt .
p
@ 1
Hallar
, donde r D x 2 C y 2 C ´2 .
@x r
Calcular
ˇ
ˇ @x
ˇ
ˇ @r
ˇ
ˇ @y
ˇ
ˇ
@r
siendo x D r cos e y D r sen .
Demostrar que si ´ D log.x 2 C xy C y 2 /, entonces
x
7
@´
@´
Cy
D 2:
@x
@y
Demostrar que si w D xy C xe y=x , entonces
x
8
ˇ
@x ˇˇ
@ ˇˇ ;
@y ˇˇ
ˇ
@
@w
@w
Cy
D xy C w:
@x
@y
Demostrar que si ! D .x
y/.y
´/.´
x/, entonces
@!
@!
@!
C
C
D 0:
@x
@y
@´
9
Demostrar que si D x C
x
y
y
, entonces
´
@
@ @
C
C
D 1:
@x
@y
@´
10
Sea v.r; t / D t n e r
siguiente ecuación:
2=.4t/
. Hallar un valor de n tal que v satisfaga la
@v
1 @
D 2
@t
r @r
r
2 @v
@r
:
11
Sean a 2 Rn un vector fijo y f W Rn ! R el campo escalar dado por
f .x/ D a x. Hallar f 0 .xI y/ para todos x; y 2 Rn .
12
Sean a 2 Rn un vector fijo y f W Rn ! R el campo escalar dado por
f .x/ D kxk4 .
(1) Hallar f 0.xI y/ para todos x; y 2 Rn .
(2) Tomar n D 2 y hallar todos los puntos .˛; ˇ/ para los cuales
f 0 .i C 3jI ˛i C ˇj/ D 6.
F. Mejías y A Montilla
13
Guía 3. Derivadas
(3) Tomar n D 3 y hallar todos los puntos .˛; ˇ; / para los cuales
f 0 .i C 2j C 3kI ˛i C ˇj C k/ D 0.
13
Calcular las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares
en los puntos y las direcciones que se indican.
(1) f .x; y; ´/ D x 2 C 2y 2 C 3´2 en .1; 1; 0/ en la dirección i j C 2k.
(2) f .x; y; ´/ D .x=y/´ en .1; 1; 1/ en la dirección 2i C j
k.
14
Hallar la derivada direccional de la función f .x; y/ D2 xy 2y 2 en
el punto P .1; 2/, en la dirección que forma con el semieje positivo de
las x un ángulo de 60ı .
15
Hallar la derivada direccional de la función f .x; y/ D log.x 2 C y 2 / en
el punto P .1; 1/, en la dirección de la diagonal del primer cuadrante.
16
Hallar la derivada direccional de la función f .x; y; ´/ D x 2 3y´ C 5
en el punto P .1; 2; 1/, en la dirección que forma ángulos iguales con
todos los ejes coordenados (en el primer octante).
17
Hallar la derivada direccional de la función f .x; y; ´/ D xy C y´ C
´x en el punto P .2; 1; 3/, en la dirección que va desde éste al punto
Q.5; 5; 15/.
18
Las ecuaciones u D f .x; y/, x D x.t /, y D y.t / definen a u como una
función de t : u D F .t /. Según la regla de la cadena tenemos
@f 0
@f 0
x .t / C
y .t /
@x
@y
@f dy
@f dx
D
C
;
@x dt
@y dt
F 0 .t / D
donde @f =@x y @f =@y son calculadas en .x.t /; y.t //. Utilizar esta fórmula para calcular F 0 .t / y F 00 .t / en cada uno de los siguientes casos.
(1) f .x; y/ D x 2 C y 2 , x.t / D t , y.t / D t 2 .
(2) f .x; y/ D e xy cos.xy 2 /, x.t / D cos t , y.t / D sen t .
2
2
(3) f .x; y/ D logŒ.1 C e x /=.1 C e y /, x.t / D e t , y.t / D e t .
19
La sustitución u D .x y/=2, v D .x C y/=2 cambia a f .u; v/ por
F .x; y/. Aplicar la forma adecuada de la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales @F=@x y @F=@x en función de @f =@u y
@f =@v.
20
Las ecuaciones u D f .x; y/, x D x.s; t /, y D y.s; t / definen a u como
una función de s y t : u D F .s; t /. Según la regla de la cadena tenemos
@F
@f @x
@f @y
D
C
@s
@x @s
@y @s
y
@F
@f @x
@f @y
D
C
:
@t
@x @t
@y @t
Expresar estas fórmulas en los siguientes casos particulares.
F. Mejías y A Montilla
14
Guía 3. Derivadas
(1) f .x; y/ D xye y , x.s; t / D s C t , y.s; t / D st .
(2) f .x; y/ D arctg.xy/, x.s; t / D st , y.s; t / D s=t .
(3) f .x; y/ D sen.x C 2y/, x.s; t / D .s
t /=2, y.s; t / D .s C t /=2.
21
La introducción de coordenadas polares cambia f .x; y/ en '.r; /,
donde x D r cos e y D r sen . Expresar lar derivadas parciales
@'=@r, @'=@ , @2 '=@r 2 , @2 '=@ 2 y @2 '=@r@ 2 en términos las derivadas parciales de f .
22
Las ecuaciones u D f .x; y; ´/, x D x.r; s; t /, y D y.r; s; t / y ´ D
´.r; s; t / definen a u como una función de r, s y t : u D F .r; s; t /.
Según la regla de la cadena tenemos
@F
@f @x
@f @y
@f @´
D
C
C
;
@r
@x @r
@y @r
@´ @r
@f @x
@f @y
@f @´
@F
D
C
C
;
@s
@x @s
@y @s
@´ @s
@F
@f @X
@f @Y
@f @Z
D
C
C
:
@t
@x @t
@y @t
@´ @t
Aplicar estas fórmulas para hallar @F=@r, @f =@s y @f =@t en los siguientes casos particulares.
(1) f .x; y; ´/ D xye ´ , x.r; s; t / D r C s C t , y.r; s; t / D r
x.r; s; t / D 2r C s t .
2s C 3t ,
(2) f .x; y; ´/ D sen.x C y ´/, x.r; s; t / D r 2 C s 2 C t 2 , y.r; s; t / D
r 2 s 2 C t 2 , ´.r; s; t / D r 2 C s 2 t 2 .
23
En cada uno de los siguientes casos calcular la derivada direccional de
f en los puntos y direcciones indicados.
(1) f .x; y; ´/ D 3x 5y C 3´ en .2; 2; 1/ en la dirección normal
exterior a a la esfera x 2 C y 2 C ´2 D 9.
(2) f .x; y; ´/ D x 2 y 2 / en un punto cualquiera de la superficie
x 2 C y 2 C ´2 D 4 en la dirección de la normal exterior en dicho
punto.
(3) f .x; y; ´/ D x 2 C y 2 ´2 en .3; 4; 5/ a lo largo de la curva de
intersección entre las superficies 2x 2 C2y 2 ´2 D 25 y x 2 Cy 2 D
´2 .
24
Las ecuaciones e u cos v D x y e u sen v D y definen u y v como funciones x e y, sean éstas u D U.x; y/ y v D V .x; y/. Hallar fórmulas
explícitas para U.x; y/ y V .x; y/, válidas para x > 0 y demostrar que
los vectores gradientes rU.x; y/ y rV .x; y/ son perpendiculares en
cada punto .x; y/.
F. Mejías y A Montilla
25
15
Guía 3. Derivadas
Las ecuaciones u D f .x; y; ´/, x D x.s; t /, y D y.s; t / y ´ D ´.s; t / definen a u como una función de s y t : u D F .s; t /. Hacer una conjetura
acerca de las fórmulas que permiten calcular las derivadas parciales
@F=@s, @f =@t en términos de las derivadas parciales de f , x, y y ´.
Aplicar estas fórmulas para hallar @f =@s y @f =@t en los siguientes casos particulares.
(1) f .x; y; ´/ D xye ´ , x.s; t / D s 2 C t 2 , y.s; t / D s 2
2st .
(2) f .x; y; ´/ D sen.x C y
´.s; t / D st .
26
t 2 , ´.s; t / D
´/, x.s; t / D s C t , y.s; t / D s
t,
Las ecuaciones u D f .x; y/, x D x.r; s; t / e y D y.r; s; t / definen a u
como una función de r, s y t : u D F .r; s; t /. Conjeturar las fórmulas
que permiten calcular las derivadas parciales @F=@r, @F=@s, @F=@t en
términos de las derivadas parciales de f , x e y. Aplicar estas fórmulas
para hallar @F=@r, @F=@s y @F=@t en los siguientes casos particulares.
(1) f .x; y/ D cos.xy/, x.r; s; t / D s C t , y.r; s; t / D t .
(2) f .x; y/ D sen.x Cy/, x.r; s; t / D r Cs Ct , y.r; s; t / D r 2 Cs 2 Ct 2 .
(3) f .x; y/ D log.xy/, x.r; s; t / D rs=t , y.r; s; t / D rt =s.
27
Demostrar que si u D ˆ.x 2 C y 2 C ´2 /, donde x D R cos ' cos ,
yx D R cos ' sen y ´ D R sen ', entonces:
@u
D0
@'
28
@u
D 0:
@
Demostrar que la función w D xy C x'
x
29
y
y x
, satisface la ecuación
@w
@w
Cy
D xy C w:
@x
@y
Demostrar que la función ! D f .u; v/, donde u D x C at y v D y C bt
satisface la ecuación
@!
@!
@!
Da
Cb
:
@t
@x
@y
30
En cada uno de los siguientes casos calcular la derivada direccional de
f en los puntos y direcciones indicados.
(1) f .x; y; ´/ D 3x 5y C 3´ en .2; 2; 1/ en la dirección normal
exterior a a la esfera x 2 C y 2 C ´2 D 9.
(2) f .x; y; ´/ D x 2 y 2 / en un punto cualquiera de la superficie
x 2 C y 2 C ´2 D 4 en la dirección de la normal exterior en dicho
punto.
F. Mejías y A Montilla
16
Guía 3. Derivadas
(3) f .x; y; ´/ D x 2 C y 2 ´2 en .3; 4; 5/ a lo largo de la curva de
intersección entre las superficies 2x 2 C2y 2 ´2 D 25 y x 2 Cy 2 D
´2 .
31
Demostrar que si f .x; y; ´/ D xi C yj C ´k, entonces la matriz jacobiana f 0 .x; y; ´/ es la matriz identidad de orden 3.
32
Sean f W R2 ! R2 y g W R3 ! R2 dos campos vectoriales definidos del
siguiente modo:
f .x; y/ D e 2xCy i C sen.x C 2y/j;
g.u; v; w/ D .u C 2v 2 C 3w 3 /i C .2v
u2 /j:
(1) Calcular cada una de las matrices jacobianas f 0 .x; y/, g0 .u; v; w/.
(2) Calcular la función compuesta h.u; v; w/ D f Œg.u; v; w/.
(3) Calcular la matriz jacobiana h0 .1; 1; 1/.
33
Sean f W R3 ! R2 y g W R3 ! R3 dos campos vectoriales definidos del
siguiente modo:
f .x; y; ´/ D .x 2 C y C ´/i C .2x C y C ´2 /j;
g.u; v; w/ D uv 2 w 2 i C w 2 sen vj C u2 e v k:
(1) Calcular cada una de las matrices jacobianas f 0 .x; y; ´/, g0 .u; v; w/.
(2) Calcular la función compuesta h.u; v; w/ D f Œg.u; v; w/.
(3) Calcular la matriz jacobiana h0 .u; 0; w/.
GUÍA
4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROBLEMAS
1
En cada uno de los siguientes casos hallar las ecuaciones del plano
tangente y de la recta normal a la superficie indicada en el punto
dado.
(1) El paraboloide de revolución ´ D x 2 C y 2 en .1; 2; 5/.
y 2 ´2
x2
C
D 0 en .4; 3; 4/.
16
9
8
(3) La esfera x 2 C y 2 C ´2 D 2R´, .R cos ˛; R sen ˛; R/.
(2) El cono
2
¿En qué puntos del elipsoide b 2 c 2 x 2 C a2 c 2 y 2 C a2 b 2 ´2 D a2 b 2 c 2 la
recta normal forma ángulos iguales con los ejes coordenados?
3
Demosgtrar que la ecuación del plano tangente a la superficie ax 2 C
by 2 C c´2 D k en el punto P .x0 ; y0 ; ´0 / tiene la forma ax0 x C by0 y C
c´0 ´ D k.
4
Un lado de un rectángulo de x D 30 m, aumenta con una velocidad
de 5 m/seg, el otro lado de y D 20 m, disminuye con una velocidad
de 4 m/seg. ¿Con qué velocidad variarán el perímetro y el área del
rectángulo?
5
Las ecuaciones del movimiento de un punto material en el espacio
son x D t , y D t 2 y ´ D t 3 . ¿Con qué velocidad aumenta la distancia
desde este punto al origen cuando t D 3?
6
Dos barcos que salieron desde el mismo punto P viajan uno hacia el
norte y el otro hacia el noreste. Las velocidades de dichos barcos son
25 Km/h y 45 Km/h, respectivamente. ¿Con qué velocidad aumenta
la distancia entre las dos naves t D 3?
7
En cada uno de los siguientes casos identificar clasificar los puntos
estacionarios de las funciones indicadas.
(1) f .x; y/ D x 2 C .y
1/2 .
(2) f .x; y/ D x 2
.y
(4) f .x; y/ D .x
y C 1/2 .
(3) f .x; y/ D 1 C x 2
1/2 .
y 2.
17
F. Mejías y A Montilla
18
Guía 4. Aplicaciones de la Derivada
(5) f .x; y/ D 2x 2
(6) f .x; y/ D x 3
xy C y 2
3xy 2 C y 3 .
(7) f .x; y/ D x 2 y 3 .6
3
(8) f .x; y/ D x C y
3
x
2x C y.
y/.
3xy.
(9) f .x; y/ D sen x sen y.
(10) f .x; y/ D .x 2 C y 2 /e
.x 2Cy 2 /
.
8
Hallar los valores extremos de ´ D xy con la condición x C y D 1.
9
Hallar las distancias máxima y mínima desde el origen a la curva 5x 2 C
6xy C 5y 2 D 8.
10
Hallar los valores extremos de ´ D cos2 x C cos2 y con la condición
x y D =4.
11
Hallar los valores extremos del campo escalar f .x; y; ´/ D x
en la esfera x 2 C y 2 C ´2 D 1.
12
Hallar los puntos de la superficie ´2
13
Hallar la mínima distancia desde el punto .1; 0/ a la parábola y 2 D 4x.
14
Entre todos los paralelepípedos rectangulares de volumen V dado,
hallar aquél cuya superficie total sea la menor.
15
Entre todos los paralelepípedos rectangulares de área A dada, hallar
aquél cuyo volumen sea el mayor.
16
¿Qué dimensiones deberá tener un baño abiero de base rectangular,
de volumen dado V , para que su superficie sea la menor posible?
17
Entre todos los triángulos de perímetro P , hallar aquél que tiene
mayor área.
2y C 2´
xy D 1 más próximos al origen.
GUÍA
5
INTEGRALES MÚLTIPLES
PROBLEMAS
1
En los ejercicios siguientes, calcular la integral doble indicada por
integración sucesiva.
“
(1)
xy.x C y/ dxdy, Q D Œ0; 1 Œ0; 1.
Q
(2)
“
.x 2 C 2x 3 y C y 2 / dxdy, Q D Œ0; 1 Œ0; 1.
(3)
“
p
. yCx
(4)
“
sen2 x sen2 y dxdy, Q D Œ0;  Œ0; .
(5)
“
sen.x C y/ dxdy, Q D Œ0; =2 Œ0; =2.
(6)
“
j sen.x C y/j dxdy, Q D Œ0; =2 Œ0; =2.
(7)
“
.x C y/ dxdy, Q D Œ0; 2 Œ0; 2, donde .t / representa el
Q
3xy 2 / dxdy, Q D Œ0; 1 Œ0; 2.
Q
Q
Q
Q
Q
mayor entero t .
“
(8)
y 3 e tx=y dxdy, Q D Œ0; t  Œ0; t , t > 0.
Q
2
En cada uno de los siguientes ejercicios está definida una función f
sobre un rectángulo Q. Representar el conjunto de ordenadas correspondiente y calcular su volumen por doble integración.
(1) Q D Œ0; 1 Œ0; 1 y
(
f .x; y/ D
1
0
x
y
19
si x C y 1,
en los otros puntos de Q.
F. Mejías y A Montilla
Guía 5. Integrales Múltiples
20
(2) Q D Œ0; 1 Œ0; 1 y
f .x; y/ D
(
xCy
0
si x 2 y 2x 2 ,
en los otros puntos de Q.
(3) Q D Œ 1; 1 Œ 1; 1 y
(
x2 C y2
f .x; y/ D
0
3
si x 2 C y 2 1,
en los otros puntos de Q.
En los ejercicios siguientes, dibujar la región de integración S y calcular la integrale doble indicada.
“
(1)
x sen.x C y/ dxdy, siendo S el triángulo de vértices .0; 0/,
S
.; 0/ y .; /.
“
(2)
.1 C x/ cos y dxdy, siendo S el trapezoide de vértices .0; 0/,
S
.1; 0/, .1; 2/ y .0; 1/.
“
(3)
.e xCy dxdy, siendo S D f.x; y/ W jxj C jyj 1g.
S
(4)
“
x 2 y 2 dxdy, siendo S la región del primer cuadrante situada
S
entre las hipérbolas xy D 1 y xy D 2 y las líneas rectas y D x e
y D 4x.
“
(5)
x 2 y 2 dxdy, siendo S la región limitada entre por y D sen x
S
y el intervalo Œ0; .
4
En los ejercicios siguientes, suponer que la integral doble de una función positiva dada f sobre una región S se reduce a la integral iterada
que se presenta. En cada caso ilustrar la región S e invertir el orden
de integración.
Z 1 Z y
(1)
f .x; y/ dx dy.
0
(2)
Z
Z
y2
Z
4
2
Z
Z
0
(3)
1
(4)
0
2 Z 2y
p
x
2
6
f .x; y/ dx dy.
f .x; y/ dy dx.
2 x
f .x; y/ dy dx.
.x 2 4/=4
F. Mejías y A Montilla
21
Guía 5. Integrales Múltiples
(5)
Z
e
Z
1
1
(6)
(7)
0
(8)
4
Z
0
(9)
Z
log x
"Z
x2
Z
"Z
2
5
=2
=2
#
dx.
#
f .x; y/ dx dy.
x3
0
Z
(10)
f .x; y/ dy
0
1
Z
"Z
sen x
f .x; y/ dy dx.
#
sen.x=2/
.y 4/=2
p
Z
f .x; y/ dx dy.
4 y
a
r dr d .
a sen "Z
3 cos 2
2
r sen dr
0
#
d .
En cada uno de los siguientes casos, un sólido está limitado por encima
por la gráfica de la función ´ D f .x; y/ y por debajo por una S del
plano xy. Ilustrar la región S y colocar los límites de integración para
la integral doble que determina el volumen V del sólido:
“
V D
f:
S
(1) S D f.x; y/ W jxj 1; jy 2jg. .
(2) S D f.x; y/ W x 2 C y 2 16g.
(3) S D f.x; y/ W x C y 1; x 0; y 0g.
(4) S D f.x; y/ W x 2 C y 2 a2 g.
(5) S D f.x; y/ W x 2 C y 2 2yg.
(6) S D f.x; y/ W y x; x 2
2
1; y 1g.
2
(7) S D f.x; y/ W a x C y b 2 ; 0 < a < bg.
(8) S D f.x; y/ W 9x 2 C 4y 2 36; x 0; y 0g.
6
Una pirámide está limitada por los planos coordenados y el plano
x C 2y C 3´ D 4. Representar el sólido y calcular su volumen por
doble integración.
7
Al calcular por doble integración el volumen V situado debajo del
parabolide ´ D x 2 C y 2 y limitado inferiormente por cierta región
S del plano xy se ha llegado a la suma de las siguientes integrales
iteradas:
Z 1 Z y
Z 2 Z 2 y
2
2
2
2
V D
x C y dx dy C
x C y dx dy:
0
0
1
0
Dibujar la región S y expresar el volumen V como una integral iterada
en la el orden de integración esté invertido. Calcular el volumen V .
F. Mejías y A Montilla
22
Guía 5. Integrales Múltiples
8
Al calcular por doble integración el volumen V situado debajo de la
gráfica de una función ´ D f .x; y/ y limitado inferiormente por cierta
región S del plano xy se ha llegado a la suma de las siguientes integrales iteradas:
"Z p
#
Z
b2 y 2
a sen ˛
V D
f .x; y/ dx
p
dy
a2 y 2
0
C
Z
b sen ˛
a sen ˛
"Z p 2
b
#
y2
f .x; y/ dx dy;
y cot ˛
siendo 0 < a < by 0 < ˛ < =2. Dibujar la región S y expresar el
volumen V como una integral iterada en la el orden de integración
esté invertido.
9
Al calcular por doble integración el volumen V situado debajo de la
gráfica de una función ´ D f .x; y/ y limitado inferiormente por cierta
región S del plano xy se ha llegado a la suma de las siguientes integrales iteradas:
#
Z "Z 2
Z Z
2
V D
x
1
8
8
f .x; y/ dy
dx C
x
f .x; y/ dy dx:
2
x
Dibujar la región S y expresar el volumen V como una integral iterada
en la el orden de integración esté invertido.
10
En los ejercicios siguientes, suponer que la integral doble de una función positiva dada f sobre una región S se reduce a la integral iterada
que se presenta. En cada caso ilustrar la región S e invertir el orden
de integración.
Z 1 Z y
(1)
f .x; y/ dx dy.
0
(2)
Z
(3)
Z
0
1
(4)
(5)
0
2 Z 2y
y2
2
4 Z
p
x
Z
2
Z
e
Z
1
6
1
(6)
(7)
Z
0
f .x; y/ dx dy.
Z
f .x; y/ dy dx.
2 x
f .x; y/ dy dx.
.x 2 4/=4
"Z
log x
"Z
x2
f .x; y/ dy
0
1
dx.
#
f .x; y/ dx dy.
x3
Z
#
sen x
f .x; y/ dy dx.
sen.x=2/
F. Mejías y A Montilla
(8)
(9)
"Z
Z
4
Z
2
0
0
Z
(10)
11
23
Guía 5. Integrales Múltiples
#
.y 4/=2
p
f .x; y/ dx dy.
4 y
a
Z
r dr d .
a sen =2
=2
"Z
3 cos 2
2
r sen dr
0
#
d .
En cada uno de los siguientes
casos dibujar la región S y expresar la
’
integral doble V D
f como una integral iterada en coordenadas
S
polares.
(1) S D f.x; y/ W x 2 C y 2 a2 g. .
(2) S D f.x; y/ W x 2 C y 2 2xg.
(3) S D f.x; y/ W a2 x 2 C y 2 b 2 ; 0 < a < bg.
(4) S D f.x; y/ W 0 x 1; 0 y 1
xg.
(5) S D f.x; y/ W x 2 y 1; 1 x 1g.
(6) S D f.x; y/ W 9x 2 C 4y 2 36; x 0; y 0g.
12
En los ejercicios siguientes transformar la integral iterada dada a una
o más integrales en coordenadas polares y calcular su valor (a representa una constante positiva).
#
"Z p
Z
2
2ax x
2a
(1)
0
1
(2)
Z
0
(3)
Z
a Z x
0
1 Z x
.x 2 C y 2 / dy
dx.
q
2
2
x C y dy dx.
2
2
1=2
.x C y /
dy dx.
#
Z a " Z pa 2 y 2
2
2
(4)
.x C y / dx dy.
0
x2
0
(5)
Z
0
1 Z 1
f .x; y/ dy dx.
#
Z 2 "Z p3x
f .x; y/ dy dx.
(6)
0
0
x
0
(7)
Z 1 "Z
0
(8)
Z
0
13
1
"Z
p
1 x2
#
f .x; y/ dy dx.
1 x
0
x2
f .x; y/ dy
#
dx.
En los ejercicios siguientes, dibujar la región S y calcular la integral
triple indicada.
F. Mejías y A Montilla
24
Guía 5. Integrales Múltiples
(1)
•
xy 2 ´3 dxdyd´, siendo S el sólido limitado por la superficie
S
´ D xy y los planos y D x, x D 1, y ´ D 0.
•
(2)
.1 C x C y C ´/ 3 dxdyd´, siendo S el sólido limitado por
S
los tres planos coordenados y el plano x C y C ´ D 1.
•
(3)
xy´ dxdyd´, siendo S la porción de la esfera x 2 Cy 2 C´2 S
1 ubicada en el primer octante.
14
En los ejercicios siguientes, dibujar la región de integración. Expresar la integral triple como una o más integrales iteradas en las que la
primera integración se efectúa con respecto a y.
Z 1 Z 1 x Z xCy
(1)
f .x; y; ´/ d´ dy dx.
0
(2)
(3)
0
Z
1
Z
1
1
0
15
"Z
"Z
0
p
1 x2
p
1
0
1 x2
"Z
0
"Z
p
x 2 Cy 2
#
1
f .x; y; ´/ d´ dy
x2 y2
#
f .x; y; ´/ d´ dy
#
#
dx.
dx.
Calcular las integrales triples de los ejercicios siguientes, pasando a
coordenadas cilíndricas.
•
(1)
.x 2 C y 2 / dxdyd´, siendo S el sólido limitado por la superS
ficie x 2 C y 2 D 2´ y el plano ´ D 2.
•
(2)
dxdyd´, siendo S el sólido limitado por los tres planos coS
ordenados, el plano x C y D 1 y la superficie ´ D x 2 C y 2 .
16
Calcular las integrales triples de los ejercicios siguientes, pasando a
coordenadas esféricas.
•
(1)
dxdyd´, siendo S la esfera de radio a y centro en el origen.
S
(2)
•
dxdyd´, siendo S el sólido limitado por dos esféricas con-
S
céntricas de radios a y b (a < b) y centro en el origen.
GUÍA
6
INTEGRALES DE LÍNEA
PROBLEMAS
1
En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular la integral de línea
del campo vectorial f sobre la curva indicada.
(1) f .x; y/ D .x 2 2xy/i C .y 2 2xy/j, a lo largo de la parábola
y D x 2 desde . 1; 1/ hasta .1; 1/.
(2) f .x; y/ D .2a y/i C xj, a lo largo del camino ˛.t / D a.t
sen t /i C a.1 cos t /j, t 2 Œ0; 2.
(3) f .x; y; ´/ D .y 2 ´2 /i C 2y´j
ˇ.t / D t i C t 2 j C t 3 k, t 2 Œ0; 1.
x 2 k, a lo largo del camino
(4) f .x; y/ D .x 2 C y 2 /i C .x 2 y 2 /j, a lo largo de la curva y D
1 j1 xj desde .0; 0/ hasta .2; 0/.
(5) f .x; y/ D .xCy/iC.x y/j, alrededor de la elipse b 2 x 2 Ca2 y 2 D
a2 b 2 en sentido antihorario.
(6) f .x; y; ´/ D 2xyi C .x 2 C ´/j C yk, a lo largo un segmento
rectilíneo desde .1; 0; 2/ hasta .3; 2; 1/.
(7) f .x; y; ´/ D xiCyjC.x´ y/k, a lo largo un segmento rectilíneo
desde el origen hasta .1; 2; 4/.
(8) f .x; y; ´/ D xi C yj C .x´
t 2 i C 2t j C 4t 3 k, t 2 Œ0; 1.
2
y/k, a lo largo del camino ˛.t / D
Calcular las siguientes integrales de línea.
Z
(1)
.x 2 2xy/ dx C .y 2 2xy/ dy.
C
Z
.x C y/ dx .x y/ dy
(2)
, donde C es la circunferencia x 2 C
2 C y2
x
C
y 2 D r 2 , recorrida en sentido antihorario.
Z
.dx C dy
(3)
, donde C es la frontera del cuadrado de vértices
C jxj C jyj
.1; 0/, .0; 1/, . 1; 0/ y .0; 1/, recorrido en sentido contrario a
las agujas del reloj.
Z
(4)
y dx C´ dy Cx d´, donde C es la intersección entre las superC
ficies x C y D 2 y x 2 C y 2 C ´2 D 2.x C y/. La curva es recorrida
25
F. Mejías y A Montilla
Guía 6. Integrales de Línea
26
de tal modo que mirando desde el origen el sentido es el de las
agujas del reloj.
Z
(5)
y dx C ´ dy C x d´, donde C es la intersección entre las suC
perficies ´ D xy y x 2 C y 2 D 1, recorrida de tal modo que vista
desde encima del plano xy tiene sentido contrario a las agujas
del reloj.
3
En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular el trabajo mecánico
realizado por el campo de fuerzas f al mover una partícula sobre la
trayectoria indicada.
(1) f .x; y; ´/ D xiCyjC.x´ y/k, a lo largo un segmento rectilíneo
desde el origen hasta .1; 2; 4/.
(2) f .x; y/ D .x 2 2xy/iC2xyj, a lo largo del contorno del cuadrado
formado por los ejes coordenados y las rectas x D a e y D a,
a > 0, en sentido antihorario.
(3) f .x; y; ´/ D 2y´i C x´j C x.y C 1/k, a lo largo de la frontera del
triángulo de vértices .0; 0; 0/, .1; 1; 1/ y . 1; 1; 1/, en este orden.
(4) f .x; y; ´/ D y 2 iC´2 jCx 2 k, a lo largo de la curva de intersección
de las esfera x 2 C y 2 C ´2 D 4 y el cilindro x C y 2 D 2x, siendo
´ 0. El camino es recorrido de modo que, observado el plano
xy desde el eje ´ positivo el sentido sea el de las agujas del reloj.
4
Si f W R2 ! R2 es un campo vectorial dado por:
f .x; y/ D P .x; y/i C Q.x; y/j;
donde las derivadas parciales @P =@y y @Q=@x son continuas en un
conjunto abierto S y f es el gradiente de una función potencial ',
entonces en cada punto de S tenemos:
@P
@Q
D
:
@y
@x
Utilizando este hecho demostrar que ninguno de los campos vectorialesR siguientes es un gradiente, luego hallar una curva cerrada C tal
que C f ¤ 0.
(1) f .x; y/ D yi
xj.
(2) f .x; y/ D yi C x.y
5
1/j.
Si f W R3 ! R3 es un campo vectorial dado por:
f .x; y; ´/ D P .x; y; ´/i C Q.x; y; ´/j C R.x; y; ´/k;
donde todas las derivadas parciales
@P @P @Q @Q @R @R
;
;
;
;
;
;
@x @y @x @y @x @y
F. Mejías y A Montilla
27
Guía 6. Integrales de Línea
son continuas en un conjunto abierto S y f es el gradiente de una
función potencial ', entonces en cada punto de S tenemos:
@P
@Q
D
;
@y
@x
@P
@R
D
;
@´
@x
@Q
@R
D
:
@´
@y
Utilizando este hecho demostrar que ninguno de los campos vectoriales Rsiguientes es un gradiente, luego hallar una curva cerrada C tal
que C f ¤ 0.
(1) f .x; y; ´/ D yi C xj C xk.
(2) f .x; y; ´/ D xyi C .x 2 C 1/j C ´2 k.
6
Un campo de fuerzas f W R2 ! R2 es central o radial si puede expresarse de la forma f .x; y/ D .r/r, donde r D xi C yj, r D krk y
W R ! R es continua. Demostrar que un campo de fuerzas de este
tipo es conservativo.
7
En cada uno de los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial f es el gradiente o no de un campo escalar; si la respuesta es
afirmativa, hallar la correspondiente función potencial '.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
8
f .x; y/ D xi C yj.
f .x; y/ D 3x 2 yi C x 3 j.
f .x; y/ D .2xe y C y/i C .x 2 e y C x 2y/j.
f .x; y; ´/ D xi C yj C ´k.
f .x; y; ´/ D .x C ´/i .y C ´/j C .x y/k.
En cada uno de los siguientes casos se presenta una curva C , la cual es
recorrida en sentido antihorario. Utilizar el teorema de Green para
calcular
I
y 2 dx C x dy:
C
(1) C es la frontera del cuadrado de vértices .0; 0/, .3; 0/, .3; 3/ y
.0; 3/.
(2) C es la frontera del cuadrado de vértices .˙1; ˙1/.
(3) C es la frontera del cuadrado de vértices .˙2; ˙2/.
(4) C es la circunferencia de radio 2 y centro en el origen.
(5) C es está dada por ˛.t / D 2 cos3 t i C 2se n3 t j, t 2 Œ0; 2.
9
Calcular la integral de línea
I
C
2
P dx C Q dy;
2
siendo P .x; y/ D xe y , Q.x; y/ D x 2 ye y C 1=.x 2 C y 2 / y C es
la frontera del cuadrado determinado por las desigualdades jxj a,
jyj a, a > 0, el cual es recorrido en sentido contrario al de las agujas
del reloj.