π π π3 7π π4 π πg π 4π π π π 3π π6 π π 2π π )π7 π2 π π α α α α α )α

TRIGONOMETRÍA
1. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 135º, 

3
y 210º. Marca, utilizando distintos colores, el
seno y el coseno de cada uno de ellos.
2. Calcula: cos

2
, sen0º , sen

3
, cos 210º , tg , cos ec120º , sen3 , tg 0º , cot g 315º , sec 240º , tg
7
,
3
 
cos 30º  , tg150º , sen4 , cos 5 , sec 90º , tg 240º , sen   , cot g , sen90º , tg 270º , cos ec180º ,
 4

4
2
, sen210º , cos ec
, cot g  120º  , tg  60º  , cos  ,
cos , tg  180º  , tg  2  , tg  135º  , sen
4
3
3
7
3
5
 
 
 
, cos    , tg    , tg
, cot g120º , sec135º , sen6 , sen   , sen 270º  , cos
,
cos
6
2
4
 3
 2
 3
4
2
11
 
, sen
, tg
, sen225º ,
cos 135º  , cos ec   , sen315º , sec 30º  , sen390º , cos
3
3
6
 4
7

 2 
, cos ec90º , sec , cos 0º , sen 135º  , cos 
cos 390º  , tg
 , cos ec 30º  , tg 45º ,
6
4
 3 
11
2
 
 5 
, tg
, sen 7  , cos 270º ,
cot g    , cot g 0º , cot g 30º , sec 
 , cot g 90º , sen150º , cos
6
3
 4
 4 
3
4



, cos  , cot g120º , tg 2 , cos ec
, sen , cos ec , tg 300º , sen315º , tg , sen 135º 
tg
2
3
6
3
2
3. Sabiendo que sen  0.8 y que 90º    180º , calcula las demás razones trigonométricas del ángulo  .
4. Calcula seno y coseno de un ángulo del tercer cuadrante sabiendo que su tangente es 3 .
5. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen20º  0.432 , cos 20º  0.939 y tg 20º  0.364 , calcula sen160º ,
cos 200º , tg  20º  , tg 70º .
6. Calcula, sin usar la calculadora, las razones trigonométricas de los ángulos de 120º, 240º, 270º, 1890º, 1110º,
330º, 585º, 3780º,

4
, -45º, 3720º,
, 1740º, -840º,
3
4
7. Calcula el valor de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de todos los ángulos de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 5 y 7 metros.
8. Sabiendo que 0º    90º y que sen 
3
, calcula cos  y tg .
5
9. ¿Es posible que exista un ángulo  que verifique simultáneamente sen 
10. Sabiendo que sen17º  0.29 , calcula sen73º , tg 73º .
11. Si  está en el tercer cuadrante y sen  
tg     , tg     .
3
2
y cos   ?
5
5
1
calcula sen    , sen    , cos     , cos180    ,
2
12. Calcula el valor de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de todos los ángulos de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 9 y 7 metros.
13. Resuelve un triángulo rectángulo sabiendo que tiene un ángulo de 25º y que uno de sus catetos mide 4.3
metros.
14. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo en el que la longitud de la
hipotenusa es el triple que la de uno de sus catetos.
15. Halla el área de un triángulo isósceles en el que el lado igual mide 5 metros y el ángulo desigual 26º.
16. Halla el perímetro y el área de hexágono regular de lado 8 cm.
17. Un grupo de bomberos intenta llegar con una escalera de 5 metros de longitud a una ventana de un edificio
situada a 4 metros del suelo, de donde sale una densa nube de humo. ¿A qué distancia de la pared del edificio
habrán de colocar el pie de la escalera para poder entrar por la ventana?
18. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.
19. Una escalera de 12 metros de largo está apoyada en la pared con un ángulo de 60º respecto al suelo. Calcula la
altura de la pared donde apoya la escalera y la separación de ésta a la pared.
20. Observamos el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 72º sobre la horizontal. Si nos alejamos 350
metros, lo vemos bajo un ángulo de 31º. ¿A qué altura se encuentra la torre?
21. Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, éste forma con el suelo un
ángulo de 60°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable?
22. Una escalera de bomberos de 10 metros de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre
una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de
30º. Calcula:
a) la anchura de la calle
b) la altura de la escalera sobre la fachada de 30º
c) la altura de la escalera sobre la fachada de 45º
23. Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el
ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35°; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo,
obteniendo en este caso un ángulo de 25°. Calcula la altura del árbol y la anchura de río.
24. Un tronco de 6.2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55º. ¿A qué altura de la pared
se encuentra apoyado? Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
25. En un terreno horizontal se divisa una torre desde un punto A bajo un ángulo de 30º. Si nos aproximamos 20 m.
se llega a un punto B, desde el que observamos la torre bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre.
26. La base de un triángulo isósceles mide 64 cm., y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40º. Calcula
el perímetro y el área del triángulo.
27. Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al
extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°; nos alejamos 45 dm y volvemos a
medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.
28. El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del
árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura.
29. El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68°. La granja A está a 230 m de ese punto en
uno de los caminos, y la granja B, a 435 m. en el otro camino. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A
de la granja B?
30. Se quiere conocer la anchura de un río. Desde un punto B de la orilla donde está el topógrafo se mide el ángulo
formado por esta orilla y el pie de un árbol A de la otra orilla. Dicho ángulo es de 60º. A continuación se mide el
mismo ángulo desde un punto C alejado 5 metros del punto B y es de 45º.
31. Dos personas que están separadas 6 km observan un avión que vuela de uno de ellos hacia el otro. Uno de ellos
lo observa bajo un ángulo de 30º y el otro bajo un ángulo de 15º. Calcula la altura a la que vuela el avión.
32. Desde un punto determinado del mar, el capitán de un barco observa un faro con una inclinación de 15º. Tras
recorrer 2 km en dirección hacia el faro la inclinación de la luz del faro es de 30º. Calcula la altura del faro y la
distancia a la que se encuentra de él.
33. Acaban de colocar una antena de 7 m en lo alto de un edificio. El extremo superior de la antena se ve bajo un
ángulo de 85º mientras que la base se ve bajo un ángulo de 80º. Calcula la altura del edificio y la distancia que te
separa de él.
34. Casimiro observa desde la ventana de su casa un accidente con un ángulo de 60º. Como es muy curioso y desde
allí no lo ve muy bien decide subir a la azotea del edificio que se encuentra 10 m más arriba. Desde allí, con unos
prismáticos, se empapa de todo mirando con un ángulo de 40º. Calcula la altura del edificio.
35. Una montaña de 650 metros de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se ve la cima C de la montaña con un
ángulo de elevación de 30º y desde B con 45º. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos?
36. Desde un punto al ras del suelo, los ángulos de elevación que presentan la base y la punta de un mástil de 6
metros de altura, colocado sobre un acantilado, son 60º y 30º. Estima la altura del acantilado.
37. En un instante determinado, dos observadores, separados una distancia de 500 metros, ven un águila que vuela
en el mismo plano vertical que ellos, bajo ángulos de 45º y 60º. ¿A qué altura vuela el águila?
38. Desde un punto P del suelo vemos una bandera en
lo más alto de una torre. Los ángulos A y B de la
figura miden 27º y 31º respectivamente. Si el
mástil de la bandera mide 3 m, calcula la altura del
edificio.
39. Un club náutico dispone de una rampa para efectuar saltos de esquí acuático. Esta rampa tiene una longitud de
8 metros y su punto más elevado se encuentra a 2 metros sobre el nivel del agua. Si se pretende que los
esquiadores salgan desde un punto situado a 2.5 metros de altura, ¿cuántos metros hay que alargar la rampa sin
variar el ángulo de inclinación?
40. Halla el perímetro y el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 9 cm de radio.
41. Calcula el área de un triángulo rectángulo en el cuál un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4 dm.
42. Simplifica
cos 2 
1  sen
1  cos    1  cos  
b)
sen
1  sen  1  sen
c)
1  cos   1  cos 

1  cos    1  cos  
d)
sen
a)
43. Demuestra
a) sec   1  sen 2  cos 


1
 cos   tg 2  cos 
cos 
sen  cot g cos   tg
f)

sec
cos ec
3
cos   cos 
g)
sen  sen 3
sen 3  sen
h)
 tg
cos   cos 3 
e)
sec 
 sen
tg  cot g
tg  sen
sec 
g)

3
1  cos 
sen 
tg  cot g
sec 2 
h)

tg  cot g tg 2  1
f)
1
 sen 2  cos 2   cos 4 
2
sec 
2
c) cot g 2  cos 2   cot g  cos  
sen  cos 
1
d)
 1
sen
tg
sen
cos 
e)

1
cos ec sec 
1
1
i)

 sec 2 
1  sen 1  sen
2sen
1 
 1
j) tg  cot g 
 cos   sen   


 sec  cos ec 
1  cot g 2
b)
44. Calcula x e y en la siguiente figura: