ejercicios de trigonometría

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
1.-Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos:
a) α∈I cuadrante; tg α=3/4.
b) α∈ IV cuadrante; cos α=4/5.
c) α∈ I cuadrante; sen α=1/5.
d) α∈ II cuadrante; cos α=-12/13.
e) α∈ III cuadrante; tg α=1/2.
f) α∈ IV cuadrante; cotg α=-4.
g) α∈ III cuadrante: cosec α=-5/4.
h) α∈ I cuadrante; tg α=3.
i) α∈ II cuadrante; tg α=-3.
j) α∈ III cuadrante; cosec α=-2.
k) α∈ IV cuadrante; sen α=-4/5.
l) α∈ IV cuadrante; sec α=4.
2.-Calcula las razones trigonométricas de α en los siguientes casos:
a) α∈ I cuadrante; sen (π-α)=1/4.
b) α∈ II cuadrante; tg (π+α)=-2.
c) α∈ III cuadrante; sec (2π-α)=-3.
d) α∈ II cuadrante; tg(π/2-α)=-3/4.
e) α∈ IV cuadrante; cos(π-α)=-2/3.
f) α∈ IV cuadrante; cosec(2π-α)= 2 2 .
3.-Expresar las siguientes razones trigonométricas en función del primer cuadrante:
a) sen(-120º)
b) cotg(-150º)
c) sen 2700º
d) sec(-25º)
e) cos (-30º)
f) cosec(4440º)
g) tg(-225º)
h) cotg 4590º
4.-Si tg α=3/4, y α está en el primer cuadrante, halla las siguientes razones trigonométricas:
a) tg(90º-α) b) sen(270º-α)
c) cotg(90º+α)
d) cos(270º+α)
e) tg(180º-α) f) sec(-α)
g) tg(180º+α)
h) cosec(720º+α)
5.-Averigua sin utilizar tablas el seno, coseno y la tangente de los siguientes ángulos:
120º, 330º, 855º, -225º, -1860º, 480º
6.-Dibuja en un papel cuadriculado los siguientes ángulos:
a) α∈ I cuadrante; sen α=1/3.
b) α∈ II cuadrante; cotg α=-1/2.
c) α∈ III cuadrante; sec α=-3.
d) α∈ IV cuadrante; cos α=4/5.
e) α∈ I cuadrante; sec α= 2 .
f) α∈ I cuadrante; tg α= 2 .
7.-Comprueba la identidad tg α + cotg α = sec α · cosec α.
8.-Comprueba la identidad sec2α + cosec2α = sec2α · cosec2α.
9.-Simplifica las siguientes expresiones:
a) sen3α + sen α · cos2α.
b) cos3α + cos2 α sen α + cos α · sen2 α+ sen3α.
10.-Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes identidades:
a) (sen α + cos α)2 = 1 + 2 · tg α · cos2α b) sen2α - cos2α = (senα - cosα)2
senα ⋅ cos α
tgα
tgα + tgβ
=
c)
= tgα ⋅ tgβ
d)
2
2
2
cotgα + cotgβ
cos α - sen α 1- tg α
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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
11.-Comprueba si son verdad las siguientes identidades:
2
2
a) cotg α - cos 2 α = cotg α ⋅ cos 2 α b) sen α ⋅ cos α ⋅ tgα ⋅ cotg α ⋅ sec α ⋅ cosec α = 1
1 + tg α
tgα
1 - senα
cos α
c)
d)
=
=
2
cotgα
cos α
1 + senα
cos α
12.-Simplifica las siguientes expresiones:
2
2
cosec α
1
α + cos2 α
cos α
a) senα ⋅
b) sec 2
c)
d)
2
2
tgα
1 - senα
1+ cotg α
sec α - cos α
2
sec α
sec α
f)
g) (sen α + cos α )2 + (sen α - cos α )2
2
cosec α ⋅ tgα
1+ tg α
13.-Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:
1
a) (sen α − cos α )2 = 1 − 2 ⋅ tgα ⋅ cos 2 α
b) sen2 α =
2
1 + cotg α
e)
cotg α
2
c) cos α =
2
1 + cotg α
2
d)
cos α + tgα
= cotgα + sec α
cos α ⋅ tgα
1 + tgα
sec α
14.-En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa es igual a 7 cm. ¿Cuánto miden los
catetos?
e) tg2 α - sen2 α = tg2 α ⋅ sen2 α
f) senα + cos α =
15.-Un triángulo rectángulo tiene un ángulo B=37º45'28". Calcula el ángulo C.
16.-En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a=15 cm y el ángulo B=20º.
Halla los restantes elementos. Calcula el área.
17.-En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado b=102'4 m y el ángulo B=55º.
Resuelve el triángulo.
18.-La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=25 m y el cateto b=20 m. Resuelve el
triángulo, con el área.
19.-Los catetos de un triángulo miden b=8 cm y c=24 cm. Halla los restantes elementos del
triángulo.
20.-Resuelve el triángulo rectángulo ABC, siendo Â=90º, conocidos:
a) a=32 m, b=25 m.
b) B=32º42', b=12 m.
c) a=5 m, C=23º25'32".
3π
d) a=5m, B=
rad.
e) C=55º, b=13 cm.
f) a=5m, c=3 m.
10
3
g) B=42º32'45", a=13 m. h) C= π rad, c=1 m.
i) B=32º59', a=15 m.
8
j) a=4 m, b=3 m (dar ángulos en radianes)
k) B=1’2 rad, b=2 m.
21.-Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm.
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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
22.-Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24'6 m tiene como arco
correspondiente uno de 70º.
23.-La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Halla el área.
24.-Una moneda de 25 ptas mide 2'5 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las
tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm del centro.
25.-El ángulo de elevación de la veleta de una torre es de 45º15', a una distancia de 72 m. de
la torre. Si el observador se encuentra a 1'10 metros sobre el suelo, calcula la altura de la
torre.
26.-Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen
dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ángulos de elevación 30º y 45º,
respectivamente. La distancia AB=30 metros . Halla la altura de la torre. (Las observaciones
se realizan desde la izquierda de la torre).
27.-Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo ángulos de
45º y 60º. la distancia entre sus casas es de 126 m y la antena está situada entre sus casas.
Halla la altura de la torre.
28.-Dos amigos han creído ver un OVNI, desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de
elevación 30º y 75º, respectivamente, ¿Sabrías hallar la altura a la que se encuentra el
OVNI? (El OVNI se encuentra entre los dos puntos).
29.-Dos personas situadas en dos puntos A y B separados entre sí por una distancia de 4 km
ven un avión bajo ángulos de 46º y 52º, respectivamente. Calcular la altura a la que se
encuentra el avión. (El avión está situado entre ambos observadores).
30.-Un observador situado en la orilla de un río, ve la copa de un árbol situado en la orilla
opuesta bajo un ángulo de 60º. Si se aleja 20 m de la orilla lo ve bajo un ángulo de 30º.
Calcular la altura del árbol y el ancho del río.
31.-Un globo está unido al suelo por un hilo de 100 metros que forma con la horizontal del
terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura del globo.
32.-Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el
ángulo que forman las ramas del compás.
33.-Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su
copa bajo un ángulo de 30º y si nos acercamos 10 metros, bajo un ángulo de 60º.
34.-Desde la orilla de un río, observamos la copa de un arbol situado en la otra orilla bajo un
ángulo de 60º. Si nos alejamos 15 m de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcula
la altura del árbol y la anchura del río.
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35.-La sombra que proyecta una torre cuando los rayos del sol tienen una inclinación de
23º25' es de 12'5 metros. Calcula la altura de la torre, y después la sombra cuando la
inclinación de los rayos es de 35º21'.
36.-Desde una nave espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 20º9'48". Siendo el radio de la
Tierra 6.366 km, halla la distancia de la nave a la superficie terrestre.
37.-Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42º. ¿Bajo qué ángulo
se verá colocándose a distancia doble?¿Bajo qué ángulo a distancia triple?
38.-Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si
se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre
la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿A qué altura se llega
con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?
39.-Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 m.
40.-Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de
elevación es de 45º. Camina 50 m hacia el sur y observa que el ángulo es de 30º. Halla la
altura de la antena.
41.- Una antena de 1’5 m. de altura se ha colocado en la terraza de una casa. Desde un
punto de la calle medimos los ángulos de elevación de la base y de su extremo superior, que
son 46º y 50º, respectivamente. ¿Qué altura tiene la casa?
42.- Halla el lado c del triángulo ABC, sabiendo que b= 10 cm, B=30º y C=36º.
43.- Halla el ángulo B del triángulo ABC, sabiendo que a=9 cm, b=6 cm y A=62º.
44.- Halla el lado a del triángulo ABC, si b=10 cm, c=12 cm y A=26º.
45.- Halla el ángulo B del triángulo ABC, si a=6 cm, b=3 cm y c=7 cm.
46.- Ana, Luis y Pedro van a escalar a una montaña de la que desconocen la altura. A la
salida del pueblo han medido el ángulo de elevación que mide 30º. Han avanzado 100 m
hacia la base de la montaña y han vuelto a medir el ángulo de elevación siendo ahora 45º.
Calcula la altura de la montaña.
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47.- Resuelve el triángulo ABC, con los datos que se indican:
a) a=6 m., B=45º, C=105º
b) a=8 cm, b=12 cm, C=58º 32’ 58’’
c) a=4 m, b=1 m, B=30º (0 sol.)
d) a=8 mm, c=4 mm, C=42º 56’ (No tiene)
e) a=3 km, b=8’3 km, B=60º 4’ 12’’(1s.) f) a=5’8 m, b=6’23 m, A=22º 51’ (2 sol.)
g) A=42 dm, b=32 dm y B=40º 5'
h) a=15 m, b=22 m y c=17 m
i) A=40º, B=30º y a=10 cm
j) A=50º, B=70º y b=230 cm
k) b=10 cm, c=7 cm y A=60º
l) a=15 cm, b=18 cm y C=98º
ll) a=46 cm, b=52 cm, c=36 cm
m) a=6 cm, b=9 cm y c=12 cm
n) a=175 cm, b= 142 cm y B=41º (2 sol.) ñ) a=8 cm, b=12 cm y B=150º (2 sol.)
o) a=4 m, b= 3m y c=6 m
p) a=6m, b=4 m y A=150º (1 sol.)
q) a=72 m, b =57 m y C=75º47'
r) c=3'78m, A=105º y B=38º47'
Calcula el área de alguno de ellos.
48.- Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Rosa se aleja hasta una
caseta distante 100 metros del punto A, desde la que dirige visuales a los puntos A y B que
forman un ángulo de 30º y desde A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 120º. ¿Qué
distancia hay entre A y B? HACE FALTA EL DIBUJO.
49.- Dos montañeros que han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos querrían
saber qué distancia hay entre dichos picos. Para ello han medido desde la base del pico A
los ángulos α1=30º y α2=85º, después han caminado hasta la base del pico B y han medido
los ángulos β1=40º y β2=93º. La distancia que hay entre dichas bases es 600 m. ¿Podrías
calcular la distancia entre los dos picos? HACE FALTA EL DIBUJO.
50.- Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de
6 km, la BC es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?
51.- Sea AB una altura de pie accesible, situado en terreno horizontal. Desde el punto E
situado a 23'41 m de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo, se dirige una
visual a B, que forma un ángulo de 4º12' con la horizontal. ¿Cuánto mide la altura AB?
52.- Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles
C y D, separados por la longitud 73'2 m. Suponiendo que los ángulos ACD=80º12';
BCD=43º31'; BDC=32º y ADC=23º14', determina la distancia AB.
53.- Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del
extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º.
Aproximándose 25'9 m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la
altura del árbol.
54.- Desde la torreta de un faro que está a 50 metros sobre el nivel del agua, se ve un barco
bajando el teodolito 40º. ¿A qué distancia del faro está el barco?
55.- La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles mide 12 cm y el ángulo desigual
del triángulo es de 38º. Hallar los otros dos ángulos, el perímetro y el área de dicho triángulo.
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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
56.- Un avión vuela en línea horizontal hacia el Este. Desde un punto situado al Sur del avión,
se ve éste bajo un ángulo de 45º. Cuando el avión ha volado 1.000 metros, desde ese mismo
punto se le ve con un ángulo de elevación de 30º. ¿Cuál es la altura del vuelo?
57.- Pedro quiere subir hasta el borde de una tapia, para ello ha cogido una escalera, pero no
le sirve pues tiene la misma altura que la tapia. Como es muy ingenioso ha cogido un cajón
de 20 cm de alto y lo ha colocado a 1 m de distancia del pie de la tapia. Si al poner sobre el
cajón la escalera ésta llega al borde de la tapia, ¿qué altura tiene la tapia?
58.- Las visuales a lo alto de una torre desde dos puntos A y B del plano horizontal,
separados 300 m entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 50º y 45º,
respectivamente. Calcula la distancia desde lo alto de la torre a los dos puntos.
59.- Las visuales a la cima de un montículo desde dos puntos A y B del plano horizontal,
separados 300 m. entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 73º y 77º,
respectivamente. Si el ángulo de elevación de la visual desde B es de 59º, calcula la altura
del montículo.
60.- Calcula las siguientes razones trigonométricas:
a) sen 75º
b) cos 75º
c) cotg 15º
f) cosec 120º g) sec 135º h) cos 165º
d) sen 15º
e) tg 105º
i) cosec 300º j) cotg 330º
61.- Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, descomponiéndolos en
sumas o diferencias de ángulos, cuyas razones trigonométricas conozcas
a) 105º
b) 150º
c) 120º
d) 135º
e) 285º
f) 240º
g) 165º
h) 210º
62.- Si tg a=3/4, halla tg(a+30º) y tg(45º-a)
63.- Calcula cos (α-β) si sen α=4/5, sen β=12/13 y ambos ángulos están en el segundo
cuadrante.
64.- Calcula sen (α-β) si sen α=-1/5, cos β=2/3 y ambos son ángulos del cuarto cuadrante.
65.- Calcula el sen 3x en función del sen x.
66.- Utilizando las fórmulas del ángulo doble, calcula:
a) sen 120º b) cos 240º c) cosec 60º d) sec 480º
67.- Calcula las razones trigonométricas de 22º 30'.
68.- Halla las razones trigonométricas de 15º.
69.- Sabiendo que sen 25º ≅ 0'4226, calcula el seno del ángulo de 50º.
70.- Sabiendo que sen 10º ≅0'173, calcula las razones trigonométricas del ángulo de 20º.
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71.- Si cos α = 0'2, calcula el seno y el coseno del ángulo (π/2-2α), con α un ángulo del cuarto
cuadrante.
72.- Sabiendo que tg a = 2, calcula el valor de sen 4a, con a un ángulo del primer cuadrante.
73.- Calcula tg (π/8).
74.- Si cotg 2a = 4/3, halla cos 2a, con a un ángulo del primer cuadrante.
75.- Sea el ángulo α situado en el segundo cuadrante y tal que tg α = -3/4, halla las razones
trigonométricas del ángulo α/2.
76.- Calcula las siguientes razones trigonométricas por reducción al primer cuadrante:
a) tg 765ºb) tg 120º
c) cotg225º d) sec660º e) cos (-1650º)
77.- Calcula cos (x + y + z).
7
, con α un ángulo del segundo cuadrante, calcula cos(180º-α).
7
79.- Si tg(180º+α)= − 5 , con α un ángulo del cuarto cuadrante, calcula senα.
78.- Si senα =
80.- Si cosec(360º-α)=-1/4, con α un ángulo del segundo cuadrante, calcula sec(180º-α).
81.- Si sec(-α)=-5, con α un ángulo del tercer cuadrante, calcula sen(180º+α).
82.- Si tg(90º-α)=-3 con α un ángulo del segundo cuadrante, calcula cosec(360º-α)
83.- Sabiendo que sen x = 0'6, halla el valor de tg 2x, si 0 < x < π/2.
84.- Si sen 20º ≅ 0'34, calcula sen 65º - cos 25º.
85.- Transforma en suma cos 2α ⋅ cos α.
86.- Calcula sen 75º⋅ cos 15º.
87.- Transforma en producto las siguientes expresiones:
a) sen 75º + sen 15º
b) sen 75º - sen 15º c) cos 75º + cos 15º d) cos 75º - cos 15º
e) tg 75º + tg 15º
f) tg 75º - tg 15º
g) sen 20º + sen 40º h) cos 46º + cos 44º
h) cos 36º - cos 14º
i) sen 52º - cos 8º
j) sen 48º - sen 12º k) sen 26º + cos 64º
88.- Transforma en suma las siguientes expresiones:
a) sen 22º ⋅ sen 28º b) sen 34º⋅ cos 26º c) cos 54º⋅ cos 36º
d) sen 3a ⋅ sen 5a e) cos 4a⋅ sen 2a
f) cos 6a⋅ cos 2a
89.- Transforma en suma la expresión: cos a ⋅ cos 2a ⋅ cos 3a.
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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
90.- Calcula, transformando primero en productos, los valores de:
sen75” + sen45”
sen60” - sen30”
.
y
sen75” - sen45”
sen60” + sen30”
91.- Consigue transformar en producto la expresión 1 + cos x.
92.- Transforma en suma de funciones sen x ⋅ sen 3x.
93.- Transforma en suma de funciones cos 2x ⋅ cos 6x.
94.- Simplifica
sen 2x
.
1 + cos 2x
95.- Simplifica
cos x + cos y
.
sen (x + y) · sen (x - y)
96.- Simplifica
sen 4a + sen 2a
.
cos 4a + cos 2a
97.- Comprueba la identidad sen2 x - sen 2 y = sen (x + y) ⋅ sen (x - y).
98.- Si a, b y c son los tres ángulos de un triángulo, demuestra la siguiente igualdad:
tg a + tg b + tg c = tg a ⋅ tg b ⋅ tg c
99.- Demuestra que si a + b + c = π/2, entonces se verifica:
tg a ⋅ tg b + tg b ⋅ tg c + tg c ⋅ tg a = 1
100.- Demuestra que cualesquiera que sean los ángulos a, b y c se verifica:
sen a ⋅ sen (b-c) + sen b ⋅ sen (c-a) + sen c ⋅sen (a-b) = 0
101.- Demuestra que para todo ángulo tg (π/4 + α) - tg (π/4 - α) = 2 ⋅ tg 2α.
102.- Demuestra la igualdad
2
2 · sen α
α
= cos α - sen .
tg 2α
cos α
103.- Simplifica la expresión
cotg a + tg a
- sec 2a .
cotg a - tg a
104.- Demuestra la igualdad cos4x - sen4x - 2 cos2x + 1 = 0, cualquiera que sea el valor de x.
105.- Comprueba la identidad
sen 5a + sen a
= 1 + 2 cos 2a .
sen 3a - sen a
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106.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
1
1
a) sen x =
b) tg x = 3
c ) cos x = −
2
2
2
1
e) tg x = −1
f ) cos x =
g) sen 2x =
2
2
2
3
i) sec 4 x = 2
j) cos ec 9 x =
k ) sen(x − 30º ) =
2
3
3
2
2
h) cos 3 x = −
2
d) sen x = −
l) tg(x + 12º ) = −1
107.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
1
− 3
π⎞ 1
⎛
a) cos3x =
b) sen 2x =
c) cos ⎜ x + ⎟ =
2
2
4⎠ 2
⎝
e) sen x = sen 2x
f ) cos x = sen 2x g) sen x + sen3x = 0
i) tg3x = 1
j) tg x = 2 sen2 x
ll) cos3x + cos x = cos 2x m) tg x·tg2x = 1
3
2
h) cos 2x = 1 + sen x
d) cos x·cot g x =
k) cos5x + cos3x = 0 l) 4 tg x·cos2 x = 3
n) tg 2x = 3·tg x
ñ) tg x + cos 2x = 1
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