Integrales - Unican.es

MATEMATICAS
2º Bachillerato
Proyecto
MaTEX
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
Integrales
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Fco Javier González Ortiz
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Artı́culo
c 2004 [email protected]
18 de junio de 2004
Versin 1.00
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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MATEMATICAS
2º Bachillerato
1. Primitiva de una función
1.1. Notación de la integral indefinida
1.2. Propiedades de integración
• Homogeneidad • Aditividad • Regla de la potencia
2. Integrales Básicas
• Ejercicios para practicar
3. Métodos de Integración
3.1. Integrales Racionales
• Denominador de grado 1 • Denominador de grado 2 con raı́ces
3.2. Cambio de variable
• Ejercicios de cambios de variable
3.3. Integración por Partes
3.4. Integrales trigonométricas
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Tabla de Contenido
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 1: Primitiva de una función
3
r=A+lu
1. Primitiva de una función
A
F (x) = f (x)
para todo x ∈ (a, b)
(1)
Hallar primitivas es el proceso inverso de hallar derivadas.
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Definición 1.1 Sea f una función definida en el intervalo (a, b). Llamamos
primitiva, integral indefinida o antiderivada de f a una función F en el intervalo (a, b) que cumple
0
MATEMATICAS
2º Bachillerato
La expresión antiderivada es muy intuitiva pero para el uso habitual
del concepto se usa más frecuentemente primitiva o integral indefinida.
Ejemplo 1.1. Comprobar que F (x) = x3 es una primitiva de f (x) = 3x2
Solución: Comprobamos si F 0 (x) = f (x). En efecto
F (x) = x3 =⇒ F 0 (x) = 3x2 = f (x)
3
3
Ejemplo 1.2. Comprobar que F (x) = x + 1 y G(x) = x + 5 son primitivas
de f (x) = 3x2 .
Solución: Comprobamos que F 0 (x) = G0 (x) = f (x). En efecto
F (x) = x3 + 1 =⇒ F 0 (x) = 3 x2 = f (x)
G(x) = x3 + 5 =⇒ G0 (x) = 3 x2 = f (x)
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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4
Ejemplo 1.3. Comprobar que F (x) = x4 , G(x) = x4 + 5 y H(x) = x4 − 3
son primitivas de f (x) = 4x3 .
Solución: Comprobamos que F 0 (x) = G0 (x) = H 0 (x) = f (x). En efecto
F (x) = x4
=⇒ F 0 (x) = 4x3 = f (x)
4
G(x) = x + 5 =⇒ G0 (x) = 4x3 = f (x)
H(x) = x4 − 3 =⇒ H 0 (x) = 4x3 = f (x)
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Sección 1: Primitiva de una función
Estos ejemplos nos muestran que una función puede tener más de una primitiva. En realidad tiene infinitas. Nos preguntamos ¿qué relación hay entre
ellas?. La respuesta nos la da el siguiente teorema
Teorema 1.1. Sean F (x) y G(x) dos primitivas de la función f (x) entonces
existe una constante C con
F (x) = G(x) + C
(2)
Solución: Definimos la función H(x) = F (x) − G(x). Se tiene que
H 0 (x) = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0
como H 0 (x) = 0, la función H(x) es una constante C. Luego
F (x) − G(x) = C
y por tanto
F (x) = G(x) + C
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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5
1.1. Notación de la integral indefinida
La notación utilizada para referirnos a la primitiva o integral indefinida
de una función f se debe a Leibniz. Siendo f una función de x, escribimos la
primitiva de f como
Z
f (x)dx
y representa la función cuya derivada es f (x). Fijarse en los detalles
f (x) es el integrando
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Sección 1: Primitiva de una función
el sı́mbolo dx es la diferencial de x, y
x es la variable de integración.
Puesto
que una primitiva F de f en la variable x se va a expresar F (x) =
Z
f (x)dx, se tiene
Z
d
0
f (x)dx = f (x)
F (x) = f (x) =⇒
dx
Z
Test. La derivada de la función F (x) = (1 + x2 )dx es
(a) 1 + x2
(b) 0
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 1: Primitiva de una función
6
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
1.2. Propiedades de integración
A
• Homogeneidad
d
Z
Z
cf (x)dx = c
f (x)dx
(3)
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Teorema 1.2. (Homogeneidad) Para una función f (x) y una constante c ∈ R
se tiene,
B
s=B+mv
Solución: Derivando la ecuación (3). Se tiene que
Z
d
cf (x)dx =
cf (x)
dx Z
Z
d
d
c f (x)dx = c
f (x)dx = cf (x)
dx
dx
• Aditividad
Teorema 1.3. (Aditividad) Para las funciones f (x) y g(x) se tiene,
Z
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
f (x)dx +
g(x)dx
(4)
Solución: Es inmediata de la derivada de la suma de dos funciones, que es la
suma de las derivadas.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 1: Primitiva de una función
7
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
• Regla de la potencia
A
Solución: Es inmediata, pues,
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Teorema 1.4. (Regla de la potencia) Sea a ∈ R cualquier número real distinto de −1,
Z
xa+1
xa dx =
(5)
a 6= −1
a+1
d xa+1
= xa
dx a + 1
Ejercicio
1. Calcular las integrales.
Z
Z
2
a)
x dx
b)
7x4 dx
Ejercicio
2. Calcular las integrales.
Z
Z √
4
−5/2
a)
x
dx
b)
6 x5 dx
Ejercicio 3. Calcular las integrales.
Z
Z
1 − x3
2 + x2
√ dx
a)
dx
b)
x2
x
Z
x−2 dx
Z
(3x−5 + 8x10 )dx
Z
x − x3/2
√
dx
5
x
c)
c)
c)
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Integrales Básicas
8
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
2. Integrales Básicas
A
A partir de las derivadas de las funciones elementales es fácil determinar
las primitivas inmediatas de la siguiente tabla:
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
sen x dx
Z
2
(1 + tan x) dx
Z
Z
Z
x
Z
tan x + C
x
e dx
e +C
1
dx
x
ln x + C
√
1
dx
1 − x2
Z
Z
Z
arc sen x + C
sen x + C
sec2 x dx
tan x + C
ax dx
1 x
a +C
ln a
1
dx
1 + x2
√
−1
dx
1 − x2
MaTEX
Integrales
Z
Integrales Básicas
Z
− cos x + C
cos x dx
arctan x + C
arc cos x + C
Es relativamente fácil aprenderse las primitivas básicas si se sabe derivar con
cierta fluidez.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Integrales Básicas
9
r=A+lu
• Ejercicios para practicar
Z c)
3
3
+
x x+1
A
d
Z
b)
3x
(e
+ 2 ) dx
Z dx
Ejercicio 5. Calcular las integrales.
Z
1
1
a) (
+ √ )dx
x+5 2 x
Z
c)
e2x+5 + 53x−1 dx
Ejercicio 6. Calcular las integrales.
Z 3
2
a)
− sec (3x) dx
1 + x2
Z
b)
e2x+1 − 5 sen(3x) dx
Z
c)
25x+1 − 3 cos(8x) dx
d)
B
s=B+mv
x
cos 2x +
3
2x + 5
CIENCIAS
dx
MaTEX
Integrales
Ejercicio
4. Calcular las integrales.
Z
a) (sen x + ex ) dx
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Z 1
b)
+ sen 2x dx
2x + 5
Z 2
d)
+ 3 cos(2x) dx
1−x
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
10
3. Métodos de Integración
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
3.1. Integrales Racionales
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Denominamos integral racional a las integrales de las funciones racionales
del tipo
Z
N (x)
dx
D(x)
donde el numerador N (x) y el denominador D(x) son polinomios.
Para el nivel de este curso solo consideramos los casos en que el denominador sea un polinomio de grado 1 o bien un polinomio de grado 2. Los casos
inmediatos son:
Z
1
dx = ln(x) + C
x
Z
1
dx = arctan x + C
1 + x2
todos los demás casos se reducen en la práctica a estos, es decir la primitiva
será con pequeñas variantes una suma de logaritmos y arcotangente.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
11
r=A+lu
• Denominador de grado 1
A
x2
x+1
x2
1
=x−1+
x+1
x+1
Z
Z
dx =
(x − 1) dx +
=
1
dx
x+1
1 2
x − x + ln(x + 1) + C
2
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Si el numerador N (x) es un número todas la primitivas corresponden a
un logaritmo. En efecto:
Z
Z
1
1
1
2
dx =
dx = ln(2x + 1) + C
2x + 1
2
2x + 1
2
Z
Z
7
3
7
7
dx =
dx = ln(3x + 5) + C
3x + 5
3
3x + 5
3
El caso general es sencillo
Z
c
c
dx = ln(a x + b) + C
ax + b
a
Si el numerador es de grado igual o mayor que el denominador, se divide:
Z
x2
Ejemplo 3.1. Hallar
dx
x+1
Solución: Como Gra(x2 ) ≥ Gra(x + 1) se divide:
Z
MATEMATICAS
2º Bachillerato
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
12
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
• Denominador de grado 2 con raı́ces
A
En este caso se utiliza la descomposición en fracciones simples.
Z
2
Ejemplo 3.2. Hallar
dx
x2 − 1
Solución:
Se descompone en factores el denominador,
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
y el integrando en fracciones simples, es decir
A
B
2
A(x + 1) + B(x − 1)
2
=
+
=⇒ 2
=
x2 − 1
x−1 x+1
x −1
x2 − 1
Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad
2 = A(x + 1) + B(x − 1)
Se dan valores a x. Las raı́ces de los factores facilitan el cálculo
Para x = 1 =⇒ 2 = 2A =⇒ A = 1
Para x = −1
Z =⇒ 2 = −2B =⇒
Z B = −1
Z
2
1
−1
dx =
dx +
dx
x2 − 1
x−1
x+1
=
ln(x − 1) − ln(x + 1) + C
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
Z
Ejemplo 3.3. Hallar
13
8x
dx
−4
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
x2
d
Solución:
Se descompone en factores el denominador,
B
s=B+mv
CIENCIAS
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
MaTEX
y el integrando en fracciones simples, es decir
Integrales
8x
A
B
8x
A(x + 2) + B(x − 2)
=
+
=⇒ 2
=
x2 − 4
x−2 x+2
x −4
x2 − 4
Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad
8x = A(x + 2) + B(x − 2)
Se dan valores a x. Las raı́ces de los factores facilitan el cálculo
Para x = 2 =⇒ 16 = 4A =⇒ A = 4
Para x =Z−2 =⇒ −16 = −4B
Z =⇒ B = 4 Z
4
4
8x
dx =
dx +
dx
2
x −4
x−2
x+2
=
4 ln(x − 2) + 4 ln(x + 2) + C
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Ejercicio 7. Calcular las integrales.
Z 2
x +1
a)
dx
x+2
Z 3
x +x+2
b)
dx
x+3
Z 2
x + 5x + 1
c)
dx
x+1
Ejercicio
8. Calcular las integrales.
Z
3
a)
dx
1 + x2
Z
2x + 1
b)
dx
1 + x2
Z
3x − 5
c)
dx
1 + x2
Z
x−7
d)
dx
1 + x2
Z
8x − 21
Ejercicio 9. Hallar
dx
x2 − 5x + 6
Z
3x − 1
Ejercicio 10. Hallar
dx
x2 − x
14
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Sección 3: Métodos de Integración
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
15
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
3.2. Cambio de variable
A
(2x + 3)3 dx
Efectuamos el cambio de variable
t
=
2x + 3
y derivamos 1 dt = 2 dx
La técnica consiste en sustituir la variable x por la variable t y la dx por la
dt. Ya que
1
dt = 2 dx =⇒ dx = dt
2
la integral buscada queda
Z
Z
Z
1
3
3 1
t3 dt
(2x + 3) dx =
t dt =
2
2
11 4
1
=
t = t4 + C
24
8
1
=
(2x + 3)4 + C
8
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Consiste en sustituir una parte del integrando por otra variable para lograr
que la nueva integral sea más sencilla.
Consideremos la integral
Z
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
16
Ejemplo 3.4. Calcular por cambio de variable
Z
√
3x − 1 dx
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
3x − 1 = t2
2
t dt
3
La técnica consiste en sustituir la variable x en función de la variable t y la
dx por la dt.
Z √
Z
√
2
3x − 1 dx =
t2 t dt
3
Z
2
=
t2 dt
3
21 3
2
=
t = t3 + C
33
9
2 √
=
( 3x − 1)3 + C
9
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Solución:
Con una raı́z cuadrada es frecuente igualar el radicando a t2 . Ası́ pues,
3 dx = 2 t dt =⇒ dx =
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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17
Z
Ejemplo 3.5. Calcular por cambio de variable
ex
1
dx
+ e−x
r=A+lu
A
Solución: Efectuamos el cambio de variable ex = t
Ya que
1
ex dx = dt =⇒ dx = dt
t
la integral buscada queda
Z
Z
Z
1
1
1
1
dt =
dt
dx =
ex + e−x
t + t−1 t
t2 + 1
=
MATEMATICAS
2º Bachillerato
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Sección 3: Métodos de Integración
arctan t + C = arctan ex + C
Z
Ejemplo 3.6. Calcular por cambio de variable
x
e
dx
1 + e2x
Solución: Efectuamos el cambio de variable ex = t
1
ex dx = dt =⇒ dx = dt
t
la integral buscada queda
Z
Z
Z
ex
t 1
1
dx
=
dt
=
dt
2x
2
1+e
1+t t
1 + t2
=
arctan t + C = arctan ex + C
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
18
r=A+lu
• Ejercicios de cambios de variable
A
Z
√
x x + 2 dx
Z
1
√ dx
(1 + x) x
Ejercicio 12. Calcular
Ejercicio 13. Calcular
Z
Ejercicio 14. Calcular
cos2
Z
Ejercicio 15. Calcular
√
1
√ dx
x+ 3x
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Z
Ejercicio 11. Calcular por cambio de variable
MATEMATICAS
2º Bachillerato
1
√
dx
x 1 + tan x
1
√
dx
x 1 − ln x
e3x − ex
dx
1 + e2x
Z
√
Ejercicio 17. Calcular ex 1 − ex dx
Z
Ejercicio 16. Calcular
Z
Ejercicio 18. Calcular
sen(ln x)
dx
x
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
19
r=A+lu
3.3. Integración por Partes
A
v du
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Sean dos funciones en x, u(x) y v(x) si designamos
1
1
u(x) dv =
v(x)
du =
dx
dx
Por la derivada de un producto se tiene
d
(u v) = v du + u dv
dx
ahora, integrando la expresión anterior
Z
Z
Z
d
(u v) = v du + u dv
dx
Z
d
como
(u v) = u v y despejando uno de los sumandos de la expresión
dx
anterior se obtiene
Z
Z
u dv = u v −
MATEMATICAS
2º Bachillerato
(6)
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
20
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.7. Calcular por partes
Z
x sen x dx
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
Solución:
Z
dv = sen x dx
v = − cos x
x sen x dx = −x cos x +
MaTEX
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
Integrales
u=x
du = dx
Z
Ejemplo 3.8. Calcular por partes
Z
ln x dx
Solución:
Z
u = ln x
1
du = dx
x
dv = dx
v=x
Z
ln x dx = x ln x −
1
dx
x
= x ln x − ln x + C
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
21
Ejemplo 3.9. Calcular por partes
Z
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
x ex dx
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
Solución:
Z
dv = ex dx
v = ex
x ex dx = x ex −
x
MaTEX
ex dx
x
= xe − e + C
Integrales
u=x
du = dx
Z
Ejemplo 3.10. Calcular por partes
Z
4x3 ln x dx
Solución:
Z
u = ln x
1
du = dx
x
3
dv = 4x dx
v = x4
4x3 ln x dx = x4 ln x −
Z
x4
1
dx
x
1
= x4 ln x − x4 + C
4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
22
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.11. Calcular por partes
Z
x2 ex dx
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
Solución:
u = x2
dv = ex dx
du = 2 x dx
v = ex
x2 ex dx = x2 ex − 2
Z
MaTEX
x ex dx
| {z }
I1
Integrales
Z
Ahora calculamos de nuevo por partes la integral, I1
x
I1
= x ex −
Z
u=x
dv = e dx
du = dx
v = ex
= x ex − ex
Sustituyendo se obtiene:
Z
x2 ex dx = x2 ex − 2(x ex − ex ) + C
ex dx
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
23
3.4. Integrales trigonométricas
Son aquellas cuyo integrando es una expresión trigonométrica. Aquı́ solo
consideramos el caso más sencillo, que es cuando se tiene un producto de
potencias de senos y cosenos, es decir las del tipo
Z
senm x cosn x dx
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
a) Si m es impar, m = 2 k + 1 se desglosa como
Z
Z
sen2k+1 x cosn x dx = sen2k x sen x cosn x dx
Z
= (1 − cos2 x)k sen x cosn x dx
b) Si n es impar, n = 2 k + 1 se desglosa como
Z
Z
cos2k+1 x senm x dx = cos2k x cos x senm x dx
Z
= (1 − sen2 x)k cos x senm x dx
c) Si m y n son pares se utilizan las expresiones del ángulo doble
1 + cos 2x
1 − cos 2x
sen2 x =
cos2 x =
2
2
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
Z
Ejemplo 3.12. Calcular
24
r=A+lu
sen3 x cos x dx.
A
d
Solución: Como la derivada del sen x es cos x la integral es inmediata
Z
1
sen3 x cos x dx = sen4 x + C
4
B
s=B+mv
CIENCIAS
Z
2
MaTEX
cos x sen x dx.
Integrales
Ejemplo 3.13. Calcular
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Solución: Como la derivada del cos x es − sen x la integral es inmediata
Z
1
cos2 x sen x dx = − cos3 x + C
3
Z
Ejemplo 3.14. Calcular
sen3 x dx.
Solución: Como el exponente es impar se separa de la siguiente forma
Z
Z
Z
3
2
sen x dx = sen x sen x dx = (1 − cos2 x) sen x dx
Z
Z
1
= sen x dx − cos2 x sen x dx = − cos x + cos3 x + C
3
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
Ejemplo 3.15. Calcular
25
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
cos3 x dx.
A
d
Solución: Como el exponente es impar se separa de la siguiente forma
Z
Z
Z
cos3 x dx = cos2 x cos x dx = (1 − sen2 x) cos x dx
Z
Z
1
= cos x dx − sen2 x cos x dx = sen x − sen3 x + C
3
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Z
Z
Ejemplo 3.16. Calcular
cos3 x sen2 x dx.
Solución: Como el exponente es
Z
Z
3
2
cos x sen x dx =
Z
=
Z
=
=
impar se separa de la siguiente forma
cos2 x cos x sen2 x dx
(1 − sen2 x) cos x sen2 x dx
Z
2
cos x sen x dx − sen4 x cos x dx
1
1
sen3 x − sen5 x + C
3
5
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
Ejemplo 3.17. Calcular
26
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
cos2 x dx.
A
d
Solución: Como el exponente es par se utiliza el ángulo doble
Z
Z
1 + cos 2x
dx
cos2 x dx =
2
Z
Z
1
1
1
1
=
dx +
cos 2x dx = x + sen 2x + C
2
2
2
4
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Z
Z
Ejemplo 3.18. Calcular
cos2 x sen2 x dx.
Solución: Como los exponentes son pares se utiliza el ángulo doble
Z
Z
1 + cos 2x 1 − cos 2x
2
2
cos x sen x dx =
dx
2
2
Z
1
=
(1 − cos2 2x) dx
4
Z Z
1
1 + cos 4x
1
=
1−
dx =
(1 − cos 4x) dx
4
2
8
1
sen 4x
=
x−
+C
8
4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Métodos de Integración
Z
Ejercicio 19. Calcular
27
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
cos4 x dx.
A
d
Z
Ejercicio 20. Calcular
sen3 x cos2 x dx.
B
s=B+mv
CIENCIAS
Ejercicio 21. Calcular
ln(x2 + 1) dx
MaTEX
Z
Ejercicio 22. Calcular
Integrales
Z
arc sen x dx
Ejercicio 23. Dada
la función f (x) = ex sen(bx) donde b 6= 0 es una conZ
stante, calcular f (x) dx.
Z
Ejercicio 24. Calcular
cos(ln x) dx.
Z
Ejercicio 25. Calcular la integral Cn =
x2 cos(nx) dx donde n es un
número natural.
Z
|1 − x| dx
Ejercicio 26. Calcular
Z
Ejercicio 27. Calcular
(3 − |x|) dx
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
28
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios
A
Ejercicio
1.
Z
1
a)
x2 dx = x3 + C
3
b)
Z
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
=
c)
Z
x4 dx
(prop. homog.)
7 5
x +C
5
(regla pot.)
7
MaTEX
Integrales
7x4 dx =
Z
MATEMATICAS
2º Bachillerato
x−2 dx = −x−1 + C
Ejercicio 1
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
29
r=A+lu
Ejercicio
2.
Z
2
a)
x−5/2 dx = − x−3/2 + C
3
Z √
4
b)
6 x5 dx = 24x1/4 + C
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
−5
(3x
Z
10
+ 8x )dx =
=
−5
Z
10
3x dx + 8x dx
Z
Z
−5
3 x dx + 8 x10 dx
3
8
= − x−4 + x11
4
11
Integrales
MaTEX
c)
Z
MATEMATICAS
2º Bachillerato
C(prop. aditi.)
C(prop. homog.)
C(regla pot.)
Ejercicio 2
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
r=A+lu
A
d
1 − x3
dx =
x2
Z
x−2 dx −
Z
xdx
C(dividiendo)
C(regla pot.)
b)
2 + x2
√ dx =
x
=
B
s=B+mv
CIENCIAS
1
= −x−1 − x2 + C
2
Z
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Z
2x−1/2 dx +
Z
x3/2 dx
2
4x1/2 + x5/2 + C
5
MaTEX
Integrales
Ejercicio 3.
a)
Z
30
C(dividiendo)
C(regla pot.)
c)
Z
x − x3/2
√
dx =
5
x
=
Z
x4/5 dx −
Z
x13/10 dx
5 9/5 10 23/10
x − x
+C
9
23
C(dividiendo)
C(regla pot.)
Ejercicio 3
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
31
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4.
a)
A
(sen x + ex ) dx =
Z
Z
sen x dx +
d
ex dx
CIENCIAS
= − cos x + ex + C
b)
Z
(e3x + 2x ) dx =
=
Z
e3x dx +
Z
B
s=B+mv
2x dx
MaTEX
Integrales
Z
1 x
1 3x
e −
2 +C
3
ln 2
c)
Z 3
3
+
x x+1
Z
dx =
=
Z
1
3
dx + 3
dx
x
x+1
3 ln x + 3 ln(x + 1) + C
3
d)
Z cos 2x +
3
2x + 5
Z
dx =
=
Z
cos 2x dx + 3
3
dx
2x + 5
1
3
sen x + ln(2x + 5) + C
2
2
Ejercicio 4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
32
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5.
a)
A
(
1
1
+ √ )dx =
x+5 2 x
=
Z
1
1
√ dx
dx +
x+5
2 x
√
ln(x + 5) + x + C
b)
Z d
Z
Z
Z
1
1
+ sen 2x dx =
dx + sen 2xdx
2x + 5
2x + 5
1
1
=
ln(2x + 5) − cos 2x + C
2
2
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Z
c)
Z
e2x+5 + 53x−1 dx =
=
Z
e2x+5 dx +
Z
53x−1 dx
1 2x+5
1
e
−
53x−1 + C
2
3 ln 5
d)
Z Z
Z
2
2
+ 3 cos(2x) dx =
dx + 3 cos(2x)dx
1−x
1−x
3
= −2 ln(1 − x) + sen(2x) + C
2
Ejercicio 5
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
r=A+lu
A
d
3
2
−
sec
dx =
(3x)
1 + x2
Z
Z
1
3
dx
−
sec2 (3x)dx
1 + x2
1
= 3 arctan x − tan(3x) + C
3
b)
Z
MATEMATICAS
2º Bachillerato
e2x+1 − 5 sen(3x) dx =
=
Z
e2x+1 dx − 5
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Ejercicio 6.
a)
Z 33
Z
sen(3x)dx
1 2x+1 5
e
+ cos(3x) + C
2
3
c)
Z
25x+1 − 3 cos(8x) dx =
=
Z
25x+1 dx − 3
Z
cos(8x)dx
1
3
25x+1 − sen(8x) + C
5 ln 2
8
Ejercicio 6
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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34
Ejercicio 7.
a) Como el grado del numerador es ≥ que el denominador se divide:
Z 2
Z
Z
x +1
5
dx =
dx
(x − 2) dx +
x+2
x+2
= 1/2 x2 − 2 x + 5 ln(x + 2) + C
b) Como el grado del numerador es ≥ que el denominador se divide:
Z 3
Z
Z
x +x+2
28
dx =
(x2 − 3x + 10) dx −
dx
x+3
x+3
= 1/3 x3 − 3/2 x2 + 10 x − 28 ln(x + 3) + C
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Soluciones a los Ejercicios
c) Como el grado del numerador es ≥ que el denominador se divide:
Z
Z
Z 2
3
x + 5x + 1
dx =
(x + 4)dx −
x+1
x+1
= 1/2 x2 + 4 x − 3 ln(x + 1) + C
Ejercicio 7
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
Z
3
1
dx = 3 arctan x + C
1 + x2
b) Se separa en dos sumandos:
Z
Z
Z
2x
1
2x + 1
dx =
dx +
dx
1 + x2
1 + x2
1 + x2
= ln(1 + x2 ) + arctan x + C
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Ejercicio 8.
a) Es del tipo arcotangente:
Z
3
dx =
1 + x2
35
c) Se separa en dos sumandos:
Z
Z
Z
3x − 5
3x
1
dx
=
dx
−
5
dx
2
2
1+x
1+x
1 + x2
= 3/2 ln(1 + x2 ) − 5 arctan x + C
d ) Se separa en dos sumandos:
Z
Z
Z
x−7
x
1
dx
=
dx
−
7
dx
1 + x2
1 + x2
1 + x2
= 1/2 ln(1 + x2 ) − 7 arctan x + C
Ejercicio 8
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
36
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 9.
Como
A
d
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
se descompone en fracciones simples:
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
A
B
8x − 21
A(x − 3) + B(x − 2)
8x − 21
=
+
=⇒ 2
=
x2 − 5x + 6
x−2 x−3
x − 5x + 6
x2 − 5x + 6
Se tiene que cumplir la identidad 8x − 21 = A(x − 3) + B(x − 2)
Para x = 2 =⇒ −5 = −A =⇒ A = 5
Para xZ= 3 =⇒ 3 = B =⇒ B = Z3
Z
8x − 21
1
1
dx
=
5
dx
+
3
dx
x2 − 5x + 6
x−2
x−3
=
5 ln(x − 2) + 3 ln(x − 3) + C
Ejercicio 9
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
37
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 10.
Como
A
d
x2 − x = x(x − 1)
se descompone en fracciones simples:
B
s=B+mv
CIENCIAS
A
B
3x − 1
A(x − 1) + B(x)
3x − 1
= +
=⇒ 2
=
x2 − x
x
x−1
x −x
x2 − x
Se tiene que cumplir la identidad 3x − 1 = A(x − 1) + B(x)
Para x = 0 =⇒ 1 = −A =⇒ A = −1
Integrales
MaTEX
Para x = 1Z=⇒ 2 = B =⇒ B = Z2
Z
3x − 1
1
2
dx
=
−
dx
+
dx
x2 − x
x
x−1
= − ln(x) + 2 ln(x − 1) + C
Ejercicio 10
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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38
Ejercicio 11. Efectuamos el cambio de variable
Z
x = t6 =⇒ dx = 6 t5 dt
Z
1
1
√
√
√
√
dx
=
6 t5 dt
3
x+ 3x
t 6 + t6
Z
Z
t5
t3
dt
= 6
dt
=
6
t3 + t 2
t+1
Z 1
dt
= 6
t2 − t + 1 −
t+1
1 3 1 2
= 6
t − t + t − ln(t + 1) + C
3
2
√
√
√
√
6
6
= 2 x3 − 3 x2 + 6 6 x − 6 ln( 6 x + 1) + C
Ejercicio 11
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Soluciones a los Ejercicios
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
39
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 12. Efectuamos el cambio de variable
A
x + 2 = t2 =⇒ dx = 2 t dt
d
B
s=B+mv
la integral buscada queda
Z
Z
√
(t2 − 2) t 2 t dt
x x + 2 dx =
Z
Z
= 2 t4 dt − 4 t2 dt
=
MaTEX
Integrales
=
CIENCIAS
2 5 4 3
t − t +C
5
3
4 √
2 √
( x + 2)5 − ( x + 2)3 + C
5
3
Ejercicio 12
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
40
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 13. Efectuamos el cambio de variable
A
x = t2 =⇒ dx = 2 t dt
d
B
s=B+mv
la integral buscada queda
Z
Z
1
1
√ dx =
2 t dt
(1 + t2 ) t
(1 + x) x
Z
1
= 2
dt
1 + t2
MaTEX
Integrales
=
CIENCIAS
√
2 arctan t + C = 2 arctan x + C
Ejercicio 13
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
41
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 14. Efectuamos el cambio de variable
A
1 + tan x = t2 =⇒ sec2 x dx = 2 t dt =⇒ dx = cos2 x 2 t dt
la integral buscada queda
Z
Z
1
1
√
dx
=
cos2 x 2 t dt
2
cos2 x t
cos x 1 + tan x
Z
= 2 dt
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
=
d
B
s=B+mv
√
2 t + C = 2 1 + tan x + C
Ejercicio 14
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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42
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 15. Efectuamos el cambio de variable
1
1 − ln x = t2 =⇒ − dx = 2 t dt =⇒ dx = − 2 x t dt
x
la integral buscada queda
Z
Z
1
1
√
2 x t dt
dx = −
x
t
x 1 − ln x
Z
= −2 dt
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Soluciones a los Ejercicios
√
= −2 t + C = 2 1 − ln x + C
Ejercicio 15
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
43
r=A+lu
Ejercicio 16. Efectuamos el cambio de variable
A
1
dt
t
d
B
s=B+mv
la integral buscada queda
Z 3x
Z 3
e − ex
t −t 1
dt
dx
=
2x
1+e
1 + t2 t
Z 2
t −1
=
dt
/ (dividiendo)
1 + t2
Z
2
=
(1 −
) dt
1 + t2
= t − 2 arctan t + C
= ex − 2 arctan ex + C
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
ex = t =⇒ ex dx = dt =⇒ dx =
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Ejercicio 16
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
44
r=A+lu
Ejercicio 17. Efectuamos el cambio de variable
A
2t
dt
ex
d
B
s=B+mv
la integral buscada queda
Z
Z
√
2t
x
x
e 1 − e dx = − (1 − t2 ) t
dt
1 − t2
Z
= − 2 t2 dt
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
1 − ex = t2 =⇒ −ex dx = 2 t dt =⇒ dx = −
MATEMATICAS
2º Bachillerato
2
= − t3
3
2 √
= − ( 1 − ex )3 + C
3
Ejercicio 17
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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45
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 18. Efectuamos el cambio de variable
1
ln x = t =⇒ dx = dt =⇒ dx = x dt
x
la integral buscada queda
Z
Z
sen(t)
sen(ln x)
dx =
x dt
x
x
Z
=
sen t dt
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Soluciones a los Ejercicios
= − cos t
= − cos(ln x) + C
Ejercicio 18
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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46
Ejercicio 19. Como el exponente es par se utiliza el ángulo doble
2
Z
Z
Z 1 + cos 2x
cos4 x dx = (cos2 x)2 =
dx
2
Z
1
1 + 2 cos 2x + cos2 2x dx
=
4
Z 1
1 + cos 4x
=
1 + 2 cos 2x +
dx
4
2
Z
1
=
(3 + 4 cos 2x + cos 4x) dx
8
1
1
=
3x + 2 sen 2x + sen 4x + C
8
4
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Soluciones a los Ejercicios
Ejercicio 19
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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47
Ejercicio 20. Como el exponente es impar se separa de la siguiente forma
Z
Z
3
2
sen x cos x dx = sen2 x sen x cos2 x dx
Z
= (1 − cos2 x) sen x cos2 x dx
Z
Z
2
= sen x cos x dx − cos4 x sen x dx
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
Soluciones a los Ejercicios
1
1
= − cos3 x + cos5 x + C
3
5
Ejercicio 20
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
48
Ejercicio 21. Sea I =
u = ln(x2 + 1)
2x
dx
du = 2
x +1
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
ln(x2 + 1) dx
dv = dx
I
A
= x ln(x2 + 1) − 2
v=x
x2
dx
x2 + 1
|
{z
}
Z
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
I1
Ahora calculamos la integral racional , I1
Z Z
1
x2
dx
=
1
−
dx = x − arctan x
I1 =
x2 + 1
x2 + 1
MaTEX
Integrales
Z
Ahora sustituyendo I1 en I:
I = x ln(x2 + 1) − 2(x − arctan x) + C
Ejercicio 21
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
49
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Z
Ejercicio 22. Sea I =
r=A+lu
arc sen x dx
A
Z
dv = dx
I
= x arc sen x −
v=x
x
√
dx
1 − x2
|
{z
}
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
I1
MaTEX
Ahora calculamos la integral, I1
Z
p
x
√
I1 =
dx = − 1 − x2
1 − x2
sustituyendo I1 en I:
p
I = x arc sen x + 1 − x2 + C
Integrales
u = arc sen x
1
dx
du = √
1 − x2
Ejercicio 22
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
50
Ejercicio 23. Siendo I =
u = sen bx
du = b cos bx dx
r=A+lu
ex sen(bx)
x
dv = e dx
v = ex
I
A
x
= e sen bx − b
Z
ex cos bx dx
|
{z
}
I1
dv = ex dx
v = ex
I1
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Ahora calculamos la segunda integral
u = cos bx
du = −b sen bx dx
MATEMATICAS
2º Bachillerato
= ex cos bx + b
Z
Integrales
Z
ex sen bx dx
Sustituyendo se obtiene:
I = ex sen bx − b (ex cos bx + b I)
(1 + b2 )I = ex sen bx − b ex cos bx =⇒
Z
ex sen bx − b ex cos bx
ex sen bx dx =
1 + b2
Ejercicio 23
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
51
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Z
Ejercicio 24. Siendo I =
r=A+lu
cos(ln x) dx
A
Z
u = cos(ln x)
1
du = − sen(ln x) dx
x
dv = dx
I
= x cos(ln x) +
v=x
d
sen(ln x) dx
|
{z
}
I1
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Ahora calculamos la segunda integral
u = sen(ln x)
1
du = cos(ln x) dx
x
dv = dx
I1
= x sen(ln x) −
v=x
|
Integrales
Z
cos(ln x) dx
{z
}
I
Sustituyendo se obtiene:
I = x cos(ln x) + (x sen(ln x) − I)
I=
x cos(ln x) + x sen(ln x)
+C
2
Ejercicio 24
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
52
Z
Ejercicio 25. Siendo Cn =
2
u=x
du = 2 x dx
dv = cos(nx) dx
1
v = sen(nx)
n
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
x2 cos(nx) dx
Cn
1
2
=x
sen(nx) −
n
n
2
A
Z
d
x sen(nx) dx
{z
}
|
Sn
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Ahora calculamos la segunda integral
Z
du = dx
dv = sen(nx) dx
1
v = − cos(nx)
n
Sn
=
x
1
cos(nx) +
cos(nx) dx
n
n
x
1
− cos(nx) + 2 sen(nx)
n
n
Integrales
u=x
=−
Sustituyendo se obtiene:
2 x
1
1
Cn = x2 sen(nx) − (− cos(nx) + 2 sen(nx))
n
n n
n
1 2
2x
2
Cn = x sen(nx) + 2 cos(nx) − 3 sen nx + C
n
n
n
Ejercicio 25
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
53
r=A+lu
Ejercicio 26. Siendo
A
1−x x≤1
x−1 1≤x
hallaremos la primitiva para cada rama de f La integral buscada queda
 Z
1

Z
 (1 − x) dx = x − x2 + C1
2
Z
f (x) dx =
1 2

 (x − 1) dx = x − x + C2
2
Ejercicio 26
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
f (x) = |1 − x| =
MATEMATICAS
2º Bachillerato
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
54
r=A+lu
Ejercicio 27. Siendo
A
3+x x≤0
3−x 0≤x
hallaremos la primitiva para cada rama de f La integral buscada queda
 Z
1

Z
 (3 + x) dx = 3 x + x2 + C1
2
Z
f (x) dx =
1 2

 (3 − x) dx = 3 x − x + C2
2
Ejercicio 27
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Integrales
f (x) = 3 − |x| =
MATEMATICAS
2º Bachillerato
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Tests
55
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Tests
A
Solución al Test: En efecto
d
Z
2
B
s=B+mv
2
(1 + x )dx = (1 + x )
CIENCIAS
Final del Test
MaTEX
Integrales
d
F (x) =
dx
0
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
Índice alfabético
integral indefinida, 3
integrales básicas, 8
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
método, 10
para las racionales, 10
para trigonométricas, 23
por cambio de variable, 15
por partes, 19
Integrales
MaTEX
primitiva, 3
notación, 5
propiedad
aditiva, 6
homogénea, 6
regla
de la potencia, 7
56
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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