tema 4 - IES La Nía

MATEMÁTICAS I
COMPLEJOS
TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS
1 NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
1.1 DEFINICIONES
Sabemos que la resolución de algunas ecuaciones de 2º grado conduce a una raíz cuadrada de un nº
negativo. Dicha raíz no tiene sentido en el conjunto de los números reales. Por ejemplo;
x2  4  0 → x    4
x 2  8x  25  0 → x  4   9
En principio se creyó que era imposible darle un sentido a los símbolos  4 y
empezó a operar con estas expresiones como si fueran reales, del siguiente modo:
x    4  2  1
x  4   9  4  3  1 y se seguía manejando
 9 , pero se
 1 como un no real.
Definitivamente, se hizo necesario ampliar el conjunto de los números reales, definiendo un nº
imaginario cuyo cuadrado fuera igual a -1.
Se llama unidad imaginaria al nº
 1 , y se define como un no que multiplicado por sí mismo da -1.
Se representa con la letra i.
i  1
En general, si a y b son dos números reales, al no a+bi se le llama número complejo, siendo a su
parte real y b su parte imaginaria. La forma a+bi del nº complejo se denomina forma binómica:
 si b=0, el no complejo es un no real.
 si a=0, el no complejo queda en la forma bi, y se dice que es un no imaginario puro.
El conjunto de los números complejos se representa con la letra C, y
es una ampliación del conjunto de los números reales R .
C = { a+bi / a,b  R }
Ejemplos: Son números complejos los siguientes: 2+3i, l+5i,
1 3
 i,
2 4
4i (imaginario puro), -3(nº real)
Ejercicios:
1º) Resuelve las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números complejos:
a) x 2  6 x  13  0
d) 4 x 2  4 x  5  0
b) x 2  x  1  0
e) x 4  1  0
c) x 2  4 x  7  0
f) x 3  2 x 2  4 x  8  0
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1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA. AFIJOS
Un no real “a” puede representarse por un punto A situado en una recta XX', llamada precisamente
recta real.
Haciendo girar el segmento OA, que representa al no a,
alrededor del punto O 180°, se obtiene el segmento OA', que
representa al nº -a. Luego, la multiplicación de un nº por -1 se
puede interpretar geométricamente como una rotación de 180º.
Puesto que  1   1  1, esto sugiere que la multiplicación por i   1 puede interpretarse como
la mitad de la anterior, es decir, una rotación de 90º.
Así, se ha convenido, que los números imaginarios vienen representados en una recta perpendicular
al eje XX'.
Un no complejo cualquiera a+bi se representa gráficamente por un punto P del plano, de coordenadas
(a,b). Dicho punto se conoce con el nombre de afijo del nº complejo.
Afijo del número complejo a+bi
Así pues, representaremos los números complejos en un sistema de coordenadas cartesianas, en el
cual el eje de abscisas se llama eje real, y el eje de ordenadas eje imaginario.
2 MODULO Y ARGUMENTO DE UN Nº COMPLEJO. FORMA POLAR
Si representamos en un sistema de coordenadas el no complejo escrito en la forma a+bi , el punto

P, y por tanto el no complejo a+bi, queda también definido por la longitud, r, del vector OP , y por el
ángulo .

La longitud r se llama módulo, y el ángulo  que forma OP con el eje OX se
llama argumento del nº complejo.
Por tanto, el nº complejo puede expresarse en la forma: r, llamada forma polar
del no complejo.
r  a 2  b 2 
o
Tenemos las relaciones:
b  que nos permitirán pasar de la forma binómica del n
tg 
a 
complejo a la forma polar.
El módulo es siempre positivo y el valor de  queda restringido a la primera circunferencia; el
cuadrante de dicho ángulo dependerá de los signos de a y b.
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b

 b  r  sen 
r
Recíprocamente, si tenemos un nº complejo en forma polar r:

a
cos    a  r  cos  
r

sen 
Luego: a+bi = r.cos  + i.r.sen  = r.(cos + i sen) que se llama forma trigonométrica, y
permite pasar de polar a binómica
Ejercicios:
2º) Expresa en forma polar los siguientes números complejos:
a. 1  i
b. 4  4 3i
3 i
c.
d. 2
e.
f.
g.
h.
3º) Expresa en forma binómica:
a. 330º
b. 6 225º
c. 190 º
e. 31110º
f. 3  6
2
2i
 2i
5  5 3i
g. 5 5 4
d. 2 450º
3 NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, OPUESTOS Y CONJUGADOS
3.1 NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES

Si vienen dados en forma binómica y son iguales, deben tener iguales, respectivamente,
sus partes reales y sus partes imaginarias.
z1=a+bi, z2=c+di: Si z1=z2 → a=c y b=d

Si vienen dados en forma polar, deben tener el mismo módulo, y, los argumentos, deben
ser iguales o diferir en un no entero de vueltas de circunferencia.
z1  r , z 2  r ' : Si z1  z 2  r  r ' y     2k
3.2 NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS:
 En forma binómica: z = a+bi → z = abi, es el opuesto del complejo z.
los complejos opuestos están representados por
puntos simétricos respecto del origen de
coordenadas.
 En forma polar: sus módulos deben ser iguales y
sus argumentos difieren en π radianes.
Geométricamente, calcular el opuesto de un n°
complejo equivale a sumarle a su argumento
180º:
z  r   z  r 180º
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3.3 NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS;
 En forma binómica: z  r  z  a  bi , es el conjugado
del nº complejo z.
Difieren en el signo de sus componentes imaginarias y están
representados por puntos simétricos respecto al eje X.
 En forma polar: sus módulos deben ser iguales y sus
argumentos suman 2π radianes, o lo que es lo mismo, son
ángulos opuestos:
z  r  z  r360º    r
Nota: Si una ecuación de 2° grado con coeficientes reales, tiene raíces complejas, éstas son
conjugadas.
Ejercicios
4º) Calcula los opuestos y los conjugados de:
a) 2 5 4
b) 4120º
c)  2  2 i
5º) Considera el nº complejo z = 2+3i. Se pide;
a) Su opuesto
b) Su conjugado
c) El conjugado de su opuesto
d) El opuesto de su conjugado Justifica gráficamente la relación que existe entre estos dos
últimos.
6º) Obtén la solución de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
a) x2+4 = 0
b) 3x2 + 27 = 0
c) x2 + 6x + 10 = 0
4 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
4.1 SUMA
La suma de números complejos debe realizarse siempre en forma binómica. Se define de la
siguiente manera: z1  a  bi y z 2  c  di  z1  z 2  (a  c)  (b  d )i
Es decir, se suman por separado las partes real e imaginaria: (3  2i)  (6  7i)  9  5i
Si los números están expresados en forma polar, primero deberán pasarse a binómica, se sumarán y
se volverán a pasar a polar.
4.2 PRODUCTO
 En binómica: Dos números complejos se multiplican aplicando la propiedad distributiva:
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2= ac+adi+bcibd = (acbd)+(ad+bc)i
 En forma polar: Para ver cómo se multiplican dos complejos en forma polar vamos a usar la forma
trigonométrica:
Si z1  r y z 2  r ' :
r  r '  (r.r ' )  :
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z1  z 2  r  r '  r (cos  isen)  r ' (cos  isen) 
= r  r ' (cos cos  i cos sen  isen cos  sensen) =
 r  r ' (cos cos  sensen)  i(sen cos  cos sen)  r  r ' (cos(  )  isen(  )) 
 (r.r ' ) 
El producto de dos números complejos en forma polar es otro no complejo que tiene por módulo
el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos.
Ejercicios:
7º) Multiplica los siguientes números complejos:
a) (2  3i)(1  4i) 
b) (1  i)(1  i) 
c) 330º  2150º 
d) (1  3 i)  5 4 
e) (2  3i)  (1  5i)(6  3i)  (2  2i) 
f) 8( 3  3 i)  5 2 (2  2i) 
8º) Considera el triángulo cuyos vértices son los afijos de los números complejos z1  3  3i ,
z 2  z1 , z 3  6 . ¿Qué le ocurre al triángulo si multiplicamos los tres números complejos por i?
¿Por quién deberíamos multiplicar para hacer girar el triángulo 30º?
9º) Escribe una ecuación de 2º grado con coeficientes reales, de modo que una solución sea
3 300 º
4.3 COCIENTE
 En binómica: Para dividir números complejos hay que hacer desaparecer el no i del divisor;
para ello se suelen usar las mismas técnicas que en la racionalización de denominadores con raíces
cuadradas.
En general, el proceso que se sigue es multiplicar numerador y denominador por el conjugado
del denominador. Si el divisor es imaginario puro, basta con multiplicar por i.
a  bi (a  bi)(c  di) ac  adi  bci  bd ac  bd bc  ad


 2

i
c  di (c  di)(c  di)
c 2  d 2i 2
c  d 2 c2  d 2
a  bi (a  bi)  i ai  b b a


  i
di
di  i
d
d d
 En polar: Vamos a usar también la expresión trigonométrica:
Si z1  r y z 2  r ' :
r  r 
 
r '  r '   
z1 r (cos   isen) r (cos   isen)(cos  isen)



z 2 r ' (cos  isen) r ' (cos  isen)(cos  isen)
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

r (cos cos  i cos sen  isen cos  sensen)

r ' (cos2   sen2)
r(cos cos  sensen)  i( sen cos  cos sen)  r 
r
  .cos(  )  isen(  )=  
r'
 r '   
 r' 
El cociente de dos complejos en forma polar es otro nº complejo de módulo el cociente de los
módulos, y de argumento la diferencia de los argumentos.
Ejercicio:
10º) Calcula
3  2i
a)

5i
1  3i
b)
 3i(1  i) 
2  6i
2i(1  i)

1 i
(3  3i)(4  2i)
 (3  4i) 
2  2i
c)
d)
4.4 POTENCIACIÓN
 En binómica: Se hace desarrollando la potencia del binomio (a+bi)n multiplicando por sí mismo.
Para ello vamos a estudiar cómo son las potencias del no i:
i1  i
i5  i4  i  i
i 2  1
i 6  i 5  i  i  i  i 2  1
i 3  i 2  i  i
….
i4  i2 i2  1
Los valores de las potencias de i se repiten después de i4, luego las potencias de i tienen sólo 4
valores posibles; 1, 1, i, i.
Para calcular potencias de i muy elevadas dividimos el exponente n entre 4, n = 4c+R
i n  i 4c R  i 4c  i R  (i 4 ) c  i R  1  i R  i R , siendo R=0,l,2,3
Así pues, dividiremos el exponente de i entre 4, y, la potencia pedida, es la misma que la que tiene
por exponente el resto de esa división. Como evidentemente R sólo tomará los valores 0,1,2,3, el valor
de la potencia siempre será: l, l, i,i.
 En polar: La potencia n-ésima del complejo se obtendrá como una generalización del producto:
(r ) n  r  r  ...  r  (r n ) n . Este resultado se llama fórmula de Moívre.
Para elevar un no complejo en forma polar a una potencia, se eleva el módulo a esa potencia y el
argumento se multiplica por ella.
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Ejercicios:
11º) Calcula las siguientes potencias:
1) (5i) 2 
2) (3  i) 2 
3) (2  6 ) 6 
4) (2  2 3 i) 2 
5) i 27 
146
6) i 
23

7) i
18
8) i 
8
 1
3 
9) 

i  
2
2


4
10) (1  i) 
11)
12º) Calcula un número complejo z, sabiendo que su parte imaginaria es
3  i es un número real.

2 i 2

5

3 , y que su producto por
13º) Halla dos complejos conjugados tales que el triángulo que tiene como vértices sus afijos y el
origen de coordenadas, sea equilátero y su área valga 2 3u 2 .
ai
y determina a para que el módulo del cociente sea 2 .
2i
15º) Halla dos números complejos tales que su suma sea l+2i, el cociente de ambos sea un nº real, y
la parte real del 1° sea 2.
14º) Calcula el cociente
4.5 RADICACIÓN
No es conveniente, ni sencillo hacerlo en forma binómica, mientras que en forma polar es muy fácil:
Si z  R es el no del cual queremos calcular la raíz n-ésima:
n
n
n
R  r → R  (r )  (r ) n.
r  n R 

→
  2k 
 →

n      2k
n 
R  rn
Dándole a k los valores: 0 ,1, 2. . . . , ( n-1) se obtienen n argumentos distintos entre sí, y ya no hay
más raíces nuevas. Luego, un número complejo tiene n raíces n-ésimas distintas, todas del mismo
módulo (la raíz n-ésima del módulo), y por argumento (β+2kπ)/n .
Se pueden representar geométricamente los n valores de la raíz n-ésima de un nº complejo, y ver
que son los vértices del polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio la raíz nésima de R.
EJERCICIOS:
16º) Calcula las siguientes raíces y representa sus afijos:
3
i,
3
 243 , , ,  4 ,
3
8,,
4
 64 , , ,
1
3

i es solución de la ecuación: x 3  1  0
2
2
18º) Si (1-i) es una raíz cúbica de un nº complejo z, calcula el complejo z y sus restantes raíces cúbicas
17º) Comprueba que
19º) Resuelve las siguientes ecuaciones: x 5  32  0 , x 6  2 x 3  2  0 , x 6  7 x 3  8  0 , x 4  1  0
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