cálculo ii - Departamento de Matemáticas

CÁLCULO II
(FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES)
Grado en Ingeniería Eléctrica
Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática
Grado en Ingeniería Mecánica
Curso 2010-11
Sebastián La jara López
Aurora Sanchis Puig
Universidad de Castilla-La Mancha
Departamento de Matemáticas
Escuela de Ingenieros Industriales, Albacete
http://matematicas.uclm.es/slajara/
2
Índice general
1. Cálculo diferencial en varias variables
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
5
Funciones de varias variables reales . . . . .
Derivadas direccionales. Derivadas parciales
Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . .
Extremos de las funciones de varias variables
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . .
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2. Integrales múltiples
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
51
Integrales dobles . . . . . . . .
Teorema de Fubini . . . . . . .
Integrales triples . . . . . . . .
Teorema del cambio de variable
Aplicaciones de la integral . . .
Ejercicios del tema . . . . . . .
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3. Integrales de línea de y supercie
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
5
16
21
33
45
Curvas parametrizadas . . . . . . . .
Integrales de línea . . . . . . . . . . .
Integración de campos conservativos .
Integrales de supercie . . . . . . . .
Ejercicios del tema . . . . . . . . . .
4. Geometría diferencial de curvas
51
56
60
64
73
78
83
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83
88
94
103
105
111
4.1. El parámetro arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Curvatura y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3
4
Bibliografía
ÍNDICE GENERAL
120
Tema 1
Cálculo diferencial en varias variables
1.1. Funciones de varias variables reales
Este tema constituye una introducción al cálculo diferencial de las funciones de
varias variables reales, es decir, funciones del tipo f : A −→ Rm , donde A es un
subconjunto del espacio Rn . Nuestro propósito es extender a estas funciones las
nociones de límite, continuidad y derivabilidad, que estudiábamos en Primer Curso
para las funciones de una variable, y describir algunas de las aplicaciones de los
resultados que vayamos obteniendo.
1.1.1. El espacio euclídeo n-dimensional
El símbolo Rn designa al conjunto de todas la n-tuplas de números reales, es
decir,
Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R} .
Este conjunto tiene estructura natural de espacio vectorial sobre el cuerpo de los
números reales. La suma de dos elementos de Rn y el producto de un escalar por un
elemento de Rn se denen por medio de las fórmulas
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
y
α(x1 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ).
5
6
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
En Rn se dispone, además, de un producto escalar. El producto escalar de dos
vectores x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn es, por denición, el número
x·y =
n
X
x i yi .
i=1
Este producto tiene las siguientes propiedades:
(1) Para cualesquiera x, y ∈ Rn , x · y = y · x.
(2) Para todo α ∈ R y todo x ∈ Rn , α(x · y) = (αx) · y = x · (αy).
(3) Para cualesquiera x, y, z ∈ Rn , x · (y + z) = x · y + x · z .
(4) Para cada x ∈ Rn , x · x ≥ 0, y x · x = 0 si y sólo si x = 0.
Como consecuencia de estas propiedades se obtiene la siguiente desigualdad importante.
Proposición 1.1.1 (Cauchy-Schwarz). Si x, y ∈ Rn entonces
|x · y| ≤
√
x·x·
√
y · y.
La igualdad se da si, y sólo si, x e y son colineales.
Demostración. Supongamos en primer lugar que x e y son colineales. Sea λ ∈ R tal
que y = λx. Entonces,
|x · y| = |λ| · |x · x| =
√
x·x·
√
λx · λx =
√
x·x·
√
y · y.
Supongamos ahora que x e y no son colineales. Entonces, para cada α ∈ R se tiene
x + λy 6= 0, y por la propiedad (4) se sigue que
0 < (x + λy) · (x + λy) = x · x + λ2 (y · y) + 2λ(x · y).
En particular, la ecuación (en λ)
(y · y)λ2 + 2(x · y)λ + x · x = 0
no tiene solución real, y por tanto,
4(x · y)2 − 4(y · y)(x · x) < 0
de donde se deduce la desigualdad deseada.
1.1.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
7
A continuación denimos el concepto de norma de un vector, que desempeña el
papel del valor absoluto de los números reales.
Denición 1.1.2. Se llama norma del vector x ∈ Rn al número
kxk =
√
x · x.
Obsérvese que la desigualdad de Cauchy-Schwarz adopta ahora la forma
|x · y| ≤ kxk · kyk.
La norma verica las siguientes propiedades:
(1) Para todo x ∈ Rn , kxk ≥ 0, y kxk = 0 si, y sólo si, x = 0.
(2) Para cada x ∈ Rn y cada α ∈ R se tiene kαxk = |α| · kxk.
(3) Para cualesquiera x, y ∈ Rn se tiene kx + yk ≤ kxk + kyk.
Las dos primeras propiedades son triviales. La tercera recibe el nombre de desigualdad triangular. Para comprobarla escribimos
kx + yk2 = (x + y) · (x + y) = x · x + y · y + 2(x · y) = kxk2 + kyk2 + 2(x · y).
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene
2(x · y) ≤ 2|x · y| ≤ 2kxk · kyk.
Consecuentemente,
kx + yk2 ≤ kxk2 + kyk2 + 2kxk · kyk = (kxk + kyk)2 ,
y por tanto,
kx + yk ≤ kxk + kyk.
El concepto de norma permite introducir una distancia entre puntos del espacio
R , que extiende de forma natural la distancia en el plano o el espacio.
n
Denición 1.1.3. Dados x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn se dene la distancia entre x e y como
d(x, y) = kx − yk =
p
(x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 .
8
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Esta distancia satisface las siguientes propiedades, que se obtienen como consecuencia inmediata de las propiedades de la norma.
(1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn , y d(x, y) = 0 si, y sólo si, x = y.
(2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ Rn .
(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ Rn .
La noción de distancia facilita el estudio de propiedades topológicas en Rn , que
desempeñarán un papel importante en temas sucesivos. Todas estas propiedades
involucran de un modo u otro el siguiente concepto.
Denición 1.1.4. Sean x0 un punto de Rn y r > 0. Se llama bola abierta de centro
x0 y radio r al conjunto
B(x0 , r) = {x ∈ Rn : d(x, x0 ) < r} .
El conjunto
B(x0 , r) = {x ∈ Rn : d(x, x0 ) ≤ r}
se denomina bola cerrada de centro x0 y radio r.
Estas nociones nos permiten clasicar los puntos de Rn según su posición respecto
a un conjunto de este espacio.
Denición 1.1.5. Sea A un subconjunto de Rn y sea x0 ∈ Rn . Se dice que:
(1) x0 es un punto interior al conjunto A si existe una bola abierta centrada en
x0 contenida en A.
(2) x0 es un punto adherente al conjunto A si toda bola centrada en x0 contiene
un punto de A.
(3) x0 es un punto frontera de A si toda bola centrada en x0 contiene un punto de
A y otro de su conjunto complementario Rn \ A.
Nótese que un punto interior de un conjunto A siempre pertenece a dicho conjunto. No sólo eso, muchos de sus vecinos (los elementos de una bola centrada en ese
punto) también están en A. De la misma forma, un elemento del conjunto A siempre
es un punto adherente de dicho conjunto. El recíproco no es cierto, pero si x0 es un
1.1.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
9
punto adherente de A, entonces siempre se puede aproximar tanto como se quiera
por elementos de A. Finalmente, un elemento de Rn será un punto de frontera de
un conjunto A si puede aproximarse tanto como se quiera por puntos de A y por
puntos exteriores a A. De ahí el nombre.
Dado un subconjunto A ⊂ Rn , utilizaremos los símbolos Int(A), A y fr(A) para
designar, respectivamente, a los conjuntos formados por los puntos interiores, puntos
adherentes y puntos de frontera de A.
Denición 1.1.6. Se dice que el conjunto A es abierto si todo x0 ∈ A es un punto
interior de A. Se dice que A es cerrado si todos sus puntos adherentes pertenecen a
él.
Reiteremos que para todo conjunto A se tienen las inclusiones
Int(A) ⊆ A ⊆ A.
El hecho de que A sea abierto (resp. cerrado) signica que Int(A) = A (resp. A = A).
Ejemplo.
Las bolas abiertas (resp. cerradas) en Rn son conjuntos abiertos (resp. cerrados).
Justifíquese esta armación al menos en los casos en que n = 2 y n = 3.
1.1.2. Funciones entre espacios euclídeos. Generalidades
En este apartado presentamos algunas generalidades acerca de las funciones de
varias variables reales.
El dominio de una tal función es el conjunto de los puntos en los que está denida.
Este conjunto será representado por dom(f ). Así, por ejemplo, la expresión
f (x, y) =
x2
x
+ y2
tiene sentido para todo punto del plano distinto del (0, 0). Por eso, salvo que restrinjamos explícitamente su dominio, tendremos que
dom(f ) = (x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0) .
Sea f una función denida en un conjunto A de Rn , con valores en Rm . Se llama
rango (o imagen) de f al conjunto f (A) := {f (a) : a ∈ A}. Así por ejemplo, para la
función considerada previamente se tiene f (A) = R \ {0} (razónese esto).
10
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Se denomina gráco de f al conjunto {(a, f (a)) : a ∈ A}. Tiene especial interés
el caso en que m = 2 y n = 1: el gráco de f es entonces una supercie en R3 . Así
por ejemplo, el gráco de la función f : R2 −→ R denida por
f (x, y) =
p
x2 + y 2
es el cono con vértice en el origen de coordenadas y tiene por generatriz cualquier
recta que forme un ángulo de amplitud π4 con el plano z = 0. La expresión
f (x, y) =
p
R2 − (x2 + y 2 )
dene una función en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ R2 }, cuya gráca es la
porción de esfera de radio R con centro en el punto (0, 0, 0) que queda por encima
del plano z = 0.
Otra noción interesante, que desempeña un papel importante en la representación
de conjuntos en el plano o el espacio, es el concepto de curva o supercie de nivel. Si
f es una función real denida en un subconjunto abierto A de Rn y c es un número
real entonces el conjunto de nivel c de la función f es, por denición, el conjunto
S = {x ∈ A : f (x) = c} .
Cuando n = 2 (respectivamente n = 3) este conjunto suele ser una curva plana
(respectivamente una supercie en el espacio tridimensional) y recibe el nombre de
curva (respectivamente supercie ) de nivel c de la función f .
Así por ejemplo, el conjunto de nivel c (siendo c una constante positiva) de la
función de dos variables denida por medio de la expresión
f (x, y) = x2 + y 2
√
es la circunferencia de radio c centrada en el punto (0, 0). ¾Qué ocurre si c = 0?
¾Y si c < 0?
De la misma forma, los conjuntos de nivel (positivo) de la función
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
son esferas centradas en el origen de coordenadas.
El estudio de las funciones vectoriales de varias variables reales se reduce en
muchos casos al de funciones escalares (es decir, funciones cuya imagen es un subconjunto de R). Una función genérica f : A ⊆ Rn −→ Rm asocia a cada a ∈ A
1.1.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
11
un vector del espacio Rm . Designando por f1 (a), . . . , fm (a) a las coordenadas de
este vector, obtenemos m funciones f1 , . . . , fm : A −→ R, que reciben el nombre
de funciones componentes de f . Así por ejemplo, las componentes de la función
f : R3 −→ R2 denida por la expresión
f (x, y, z) = xy, x2 + y 2 − z 3
son las funciones f1 (x, y, z) = xy y f2 (x, y, z) = x2 + y 2 − z 3 .
Los conceptos de función acotada y extremo para una función de varias variables
son los que cabe esperar. La función f : A ⊆ Rm −→ Rn es acotada (en A) si es
acotado el conjunto imagen f (A), es decir, si existe una constante K > 0 tal que
kf (x)k ≤ K , para todo x ∈ A.
En el caso en que m = 1 se dice que f presenta un máximo absoluto (resp.
mínimo absoluto ) en un punto a ∈ A si f (a) ≥ f (x) (resp. f (a) ≤ f (x)) para todo
x ∈ A. No puede denirse, en este contexto, el concepto de función monótona, ya
que en Rm no existe un orden como en R.
1.1.3. Límites y continuidad
La noción de límite para las funciones de varias variables es completamente
análoga a la de las funciones de una sola variable.
Denición 1.1.7. Sea f una función denida en un subconjunto A de Rn , con
valores en Rm , y sea a un punto de acumulación del conjunto A. Se dice que f
tiende hacia el punto ` ∈ Rm , cuando x tiende hacia a, si para cada > 0 existe un
δ > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < kx − ak < δ se tiene kf (x) − `k < . En este
caso se escribe
lı́m f (x) = `.
x→a
Obsérvese que con el símbolo k · k hemos designado simultáneamente la norma
de Rn y la de Rm aunque éstas representan, obviamente, cosas distintas cuando
n 6= m.
Intuitivamente, el hecho de que lı́m f (x) = ` signica que el punto f (x) puede
x→a
aproximarse a ` tanto como se quiera, con tal de tomar x sucientemente cerca de
a. Por otra parte, el punto a no puede aproximarse por elementos del dominio de f
cuando a es un punto aislado con respecto a dicho conjunto. Por esta razón hemos
exigido que a sea un punto de acumulación de A en la denición anterior. Notemos,
12
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
nalmente, que en no se exige que la función f esté denida en el punto a para la
existencia de límite en dicho punto.
Ejemplo.
Sea f : R2 −→ R la función que asocia a cada vector de R2 su primera componente, es decir,
f (x, y) = x.
Demostremos que para cualquier (x0 , y0 ) ∈ R2 se tiene
lı́m
(x,y) →(x0 ,y0 )
f (x, y) = x0 .
Fijado > 0 hemos de encontrar un δ > 0 tal que
si k(x, y) − (x0 , y0 )k < δ entonces |x − x0 | < .
(1.1)
Como (y − y0 )2 ≥ 0 tenemos que
|x − x0 | ≤
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = k(x, y) − (x0 , y0 )k
cualesquiera que sean los números x, y ∈ R, y la armación (1.1) se satisface tomando
δ = .
Las propiedades usuales de los límites en una variable, tales como la unicidad,
la estabilidad frente a las operaciones aritméticas, o las propiedades de orden y de
la función encajada (en el caso de funciones escalares) conservan su validez en este
contexto. Así por ejemplo, para la función de tres variables dada por
f (x, y, z) =
x
x+y+z
se tiene
lı́m
(x,y,z) →(x0 ,y0 ,z0 )
f (x, y, z) =
x0
x0 + y0 + z0
cualquiera que se el vector (x0 , y0 , z0 ) tal que x0 + y0 + z0 6= 0.
No vamos a probar estas propiedades, pues las demostraciones son adaptaciones
fáciles de las que hicimos en Cálculo para las funciones reales de una variable.
El siguiente resultado reduce el estudio del límite de una función vectorial de
varias variables al de sus funciones componentes. Por esta razón restringiremos nuestra atención a las funciones escalares.
1.1.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
13
Proposición 1.1.8. Sea f una función denida en un subconjunto A de Rn , con valores en Rm . Sea a un punto de acumulación del conjunto A y sea ` = (`1 , . . . , `m ) ∈
Rm . El límite lı́m f (x) existe y vale ` si, y sólo si, para cada i ∈ {1, . . . , n} existe y
x→a
vale `i el límite lı́m fi (x).
x→a
A continuación denimos los límites según subconjuntos del dominio, que pueden
verse como generalizaciones de los límites laterales para las funciones de una variable.
Denición 1.1.9. Sea f una función denida en un subconjunto A de Rn , con
valores en Rm , sea B un subconjunto de A, y sea a un punto de acumulación del
conjunto B . Se dice que f tiende hacia el vector ` ∈ Rm , cuando x tiende hacia a
según el subconjunto B , si para cada > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ B
con 0 < kx − ak < δ se tiene kf (x) − `k < . En este caso se escribe
lı́m f (x) = `.
x→a
x∈B
Para funciones de una variable, la existencia del límite en un punto equivale a que
existan y sean iguales los límites laterales en dicho punto. Puede demostrarse una
formulación análoga a este resultado en el caso de las funciones de varias variables,
pero es algo técnica y ni siquiera la vamos a mencionar. Resulta útil, no obstante,
la siguiente relación entre el límite ordinario y el límite según un subconjunto.
Proposición 1.1.10. Sea f una función denida en un subconjunto A de Rn , con
valores en Rm , sea B un subconjunto de A, y sea a un punto de acumulación del
conjunto B .Si existe el límite lı́mx → a f (x) entonces también existe el límite de f con
respecto a B en el punto a, y
lı́m f (x) = lı́m f (x).
x→a
x∈B
x→a
Esta proposición se utiliza habitualmente para probar la no existencia de un
límite: el contrarrecíproco nos dice que si encontramos dos subconjuntos B1 , B2 ⊆ A
(de los cuales a es un punto de acumulación) y tales que
f (x),
lı́m f (x) 6= xlı́m
→a
x→a
x∈B1
x∈B2
entonces no existe el límite de f en el punto a.
14
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Ejemplos: (i) Sea f la función real de dos variables denida por la expresión
f (x, y) =


x2

0,
xy
,
+ y2
(x, y) 6= (0, 0);
(x, y) = (0, 0).
Demostraremos que no existe el límite
lı́m
(x,y) →(0,0)
f (x, y).
Para ello calcularemos el límite de f según la recta Bm de ecuación y = mx y
comprobaremos que dicho límite depende de m. Para todo (x, y) ∈ Bm tal que
(x, y) 6= (0, 0) se tiene
f (x, y) =
x2
xy
x · (mx)
m
= 2
=
.
2
2
2
+y
x +m x
1 + m2
Así pues,
lı́m f (x, y) =
x→a
x∈Bm
m
.
1 + m2
Dando a m los valores 0 y 1, por ejemplo, vemos que son distintos los límites de
f según las rectas y = 0 e y = x, de donde se inere que no existe el límite de f
cuando (x, y) →(0, 0).
(ii) Sea f : R2 −→ R la función denida por
 2

x ,
y
f (x, y) =

 0,
y 6= 0;
y = 0.
Probaremos que no existe
lı́m
(x,y) →(0,0)
f (x, y)
viendo que el límite según la recta y = x y la parábola y = x2 son distintos.
Para cada x 6= 0 se tiene
x2
= x,
x
de modo que el límite de f en el punto (0, 0) según la recta y = x existe y es igual
f (x, x) =
a 0.
Estudiemos ahora el límite según la parábola y = x2 . Para cada x 6= 0 tenemos
que
x2
f (x, x ) = 2 = 1.
x
2
1.1.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
15
Por tanto, el límite de f según este subconjunto es igual a 1.
Habiendo obtenido valores distintos del límite para subconjuntos distintos de R2
puede concluirse que no existe el límite propuesto.
La Proposición 1.1.10 se utiliza a veces para conjeturar el posible valor de un
límite. El siguiente ejemplo ilustra cómo puede hacerse esto.
Ejemplo. Sea f la función denida por

xy

,
p
x2 + y 2
f (x, y) =

 0,
y 6= 0;
y = 0.
Puesto que para todo x 6= 0 es f (x, x) = √x2 se sigue que existe y vale 0 el límite
de f cuando (x, y) →(0, 0) según la recta y = x. Así pues, caso de existir, el límite
lı́m(x,y) →(0,0) f (x, y) debe ser necesariamente igual a 0.
Comprobemos que éste es, efectivamente, el caso. Como para cada (x, y) 6= (0, 0)
se tienen las desigualdades |x| ≤ k(x, y)k y |y| ≤ k(x, y)k resulta
|x| · |y|
k(x, y)k · k(x, y)k
= k(x, y)k.
|f (x, y) − 0| = |f (x, y)| = p
≤
2
2
k(x, y)k
x +y
Y utilizando la propiedad de la función encajada inferimos que f (x, y) → 0 cuando
(x, y) →(0, 0).
Pasemos ya al estudio de la continuidad de las funciones de varias variables.
Denición 1.1.11. Sea f una función denida en un subconjunto A de Rn , con
valores en Rm . Se dice que f es continua en un punto a ∈ A si para cada > 0
existe un δ > 0 de modo que si x ∈ A y kx − ak < δ entonces kf (x) − f (a)k < .
Diremos que f es continua en A si lo es en cada uno de los puntos de dicho
conjunto.
Notemos que si a es un punto de acumulación de A entonces f es continua en a
si, y sólo si existe y vale f (a) el límite lı́m f (x). Como consecuencia de este hecho
x→a
se sigue que una función con valores en el espacio Rn es continua en un punto si, y
sólo si, lo son sus funciones componentes.
Por otra parte, a partir de las propiedades de los límites podemos deducir
propiedades locales de la continuidad para las funciones de varias variables análogas
a las existentes para las de una sola variable. En particular, la continuidad es estable
16
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
frente a las operaciones aritméticas. El resultado de estabilidad frente a la composición de funciones se extiende también de forma natural: si g es una función denida
en un conjunto A ⊆ Rn y f es una función denida en un subconjunto B ⊆ f (A),
entonces la función compuesta f ◦ g es continua en un punto a ∈ A si g es continua
en a y f es continua en g(a).
De vez en cuando utilizaremos la propiedad de conservación del signo para funciones continuas: si f es una función real, denida en un subconjunto A ⊆ Rn , y a
es un punto de A donde f es continua y tal que f (a) 6= 0, entonces existe un r > 0
de modo que
signo f (x) = signo f (a), para todo x ∈ B(a, r) ∩ A.
Con respecto a la continuidad global, enunciamos sin demostración el siguiente
teorema de Weierstrass, que será útil en el futuro.
Teorema 1.1.12 (Weierstrass). Sea D un subconjunto cerrado y acotado de Rn .
Si f : D −→ R es una función continua en D entonces f es acotada y tiene un
máximo y un mínimo absolutos.
1.2. Derivadas direccionales. Derivadas parciales
Hemos visto que, al menos desde un punto de vista formal, no hay muchas
diferencias entre las funciones de una o varias variables respecto a las propiedades
de los límites y la continuidad. No sucede lo mismo con la derivabilidad. El primer
problema aparece en la denición misma de derivada. Recordemos que una función
real f denida en un intervalo abierto I ⊂ R es derivable en un punto a ∈ I si existe
y es nito el límite
lı́m
t→0
f (a + t) − f (a)
.
t
Esta denición no puede extenderse a funciones de más de una variable, al no estar
denida la división de vectores.
1.2.1. Derivada según un vector
La siguiente noción constituye una primera generalización del concepto de derivada para las funciones de varias variables reales.
1.2.
DERIVADAS DIRECCIONALES. DERIVADAS PARCIALES
17
Denición 1.2.1. Sea f una función real denida en un subconjunto abierto A de
Rn y sea v un vector no nulo de Rn . Se dice que f es derivable en un punto a ∈ A
con respecto a v si existe
f (a + tv) − f (a)
.
t→0
t
lı́m
Este límite se representa habitualmente con el símbolo Dv f (a).
Si f es derivable en todo punto de A con respecto al vector v , la función que
asigna a cada a ∈ A el número Dv f (a) recibe el nombre de derivada primera de f
con respecto al vector v , y se designa por Dv f .
Nota
El hecho de que A sea un subconjunto abierto de Rm permite que tenga sentido
la expresión
f (a + tv) − f (a)
,
t
al menos cuando el número t se mueve en cierto intervalo centrado en 0. Ésta es
la razón por la que hemos exigido que A sea un conjunto abierto en la denición
anterior.
Ejemplo.
Sea f la función denida en R2 denida por medio de la expresión
 2

x ,
y
f (x, y) =

 0,
y 6= 0;
y = 0.
Ya hemos comprobado que f no es continua en (0, 0). Veamos ahora que f admite
derivada en este punto con respecto a cualquier vector v = (v1 , v2 ) ∈ R2 . Para cada
t 6= 0 se tiene
f ((0, 0) + t(v1 , v2 )) − f (0, 0)
f (tv1 , tv2 )
=
.
t
t
Si v2 = 0, entonces
f (tv1 , tv2 ) = f (tv1 , 0) = 0,
de suerte que
f ((0, 0) + t(v1 , v2 )) − f (0, 0)
= 0,
t
18
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
y por tanto,
f ((0, 0) + t(v1 , v2 )) − f (0, 0)
= 0.
t→0
t
Dv f (0, 0) = lı́m
Si v2 6= 0, entonces
f (tv1 , tv2 ) =
tv12
,
v2
luego
f ((0, 0) + t(v1 , v2 )) − f (0, 0)
v2
= 1.
t
v2
Consecuentemente,
f ((0, 0) + t(v1 , v2 )) − f (0, 0)
v2
= 1.
t→0
t
v2
Dv f (0, 0) = lı́m
1.2.2. Derivadas de funciones vectoriales
La noción de derivada respecto a un vector se extiende sin problemas a funciones
vectoriales de varias variables: una función f denida en un abierto A de Rn , con
valores en Rm , es derivable en un punto a ∈ A con respecto al vector v ∈ Rn si existe
el límite
f (a + tv) − f (a)
.
t→0
t
Dv f (a) = lı́m
De acuerdo con las propiedades de los límites para funciones vectoriales se sigue que
la función f es derivable en el punto a con respecto al vector v si, y sólo si, lo es
cada una de las componentes de f , f1 , . . . , fm , y en tal caso
Dv f (a) = (Dv f1 (a), . . . , Dv fm (a)).
Así pues, el estudio de las derivadas de funciones vectoriales se reduce al de las
funciones escalares.
La derivación direccional posee propiedades análogas a las de la derivación de
funciones de una sola variable. Se verican, en particular, las reglas aritméticas
usuales de derivación. No vamos a entrar en estas cuestiones. La única diferencia
relevante con respecto a las funciones de una variable está en la derivación de funciones compuestas, que estudiaremos más adelante.
1.2.
DERIVADAS DIRECCIONALES. DERIVADAS PARCIALES
19
1.2.3. Derivadas parciales
Sea f una función (escalar o vectorial) denida en un conjunto abierto A del
espacio Rn . Sea v = ei , es decir, el vector cuyas componentes son todas nulas salvo
la i-ésima, que es igual a 1. La derivada Dv f (a) recibe el nombre o derivada parcial
∂f
con respecto a la variable xi . Lo designaremos por ∂x
(a), o por Di f (a).
i
Cuando f es derivable con respecto a la variable xi en cada punto a ∈ A, la
∂f
función Dei f : a 7→ ∂x
(a) se llama derivada parcial primera con respecto a la
i
∂f
variable xi y se denota normalmente con los símbolos ∂x
o Di f .
i
Veamos un método práctico para el cálculo de las derivadas parciales. Para simplicar la notación supondremos que f es una función denida en R2 . Fijemos un
punto a = (x0 , y0 ) ∈ R2 , y designemos por ϕ a la función de una variable denida
por la expresión
ϕ(x) = f (x, y0 ).
Para cada t ∈ R, t 6= 0, se tiene
ϕ(x0 + t) − ϕ(x0 )
f (x0 + t, y0 ) − f (x0 , y0 )
f (a + te1 ) − f (a)
=
=
,
t
t
t
de modo que ϕ es derivable en t0 si, y sólo si, existe
ϕ0 (t0 ) =
, y en ese caso
∂f
(a)
∂x
∂f
(x0 , y0 ).
∂x
Asimismo, el estudio de la derivada ∂f
(x0 , y0 ) se reduce al de la derivada de la
∂y
función de una sola variable ψ(t) = f (x0 , t).
Así pues, la derivada parcial de f respecto a la variable x (respectivamente y )
en el punto (x0 , y0 ) puede obtenerse aplicando las reglas usuales de derivación para
funciones de una variable real a la función f tratando a la variable y (respectivamente
x) como si fuese constante. Este resultado se extiende de forma obvia a las funciones
de tres o más variables.
Ejemplo. Las derivadas parciales de la función
f (x, y, z) = x3 + y 2 − 5xz
20
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
en un punto genérico (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 son
∂f
(x0 , y0 , z0 ) = 3x20 − 5z0 ,
∂x
∂f
(x0 , y0 , z0 ) = 2y0 ,
∂y
∂f
(x0 , y0 , z0 ) = −5x0 .
∂z
1.2.4. Derivadas de orden superior
Sea f una función (escalar o vectorial) denida en un subconjunto abierto A de
Rn . Supongamos la derivada de f respecto de la variable xi existe en todo punto
del conjunto A. Sea a ∈ A y sea j ∈ {1, . . . , n}. Si la función Di f admite derivada
respecto de xj en el punto a entonces se dice que f es dos veces derivable en a
respecto de las variables xi y xj (en este orden). La derivada de la función Di f en
el punto a se denomina derivada segunda de f en el punto a con respecto a las
2f
2
variables xi y xj , y se designa normalmente con el símbolo Di,j
f o ∂x∂i ∂x
. Así pues,
j
2
Di,j
f = Dj (Di f )(a).
Si j = i, entonces se emplea la notación Di2 f o ∂∂xf2 .
i
Si la función f admite derivada segunda con respecto a xi y xj en cada punto
2
a ∈ A cabe denir una nueva función, la que asigna a cada a ∈ A el vector Di,j
f (a).
2
Esta función, denotada por Di,j f , recibe el nombre de derivada segunda de f respecto
a las variables xi y xj . Procediendo de forma análoga se denen las derivadas de f
de orden superior a dos.
Se dice que la función f es de clase C p (A) (p ≥ 1) si existen y son continuas en
el conjunto A todas sus derivadas parciales de orden p.
2
Teorema 1.2.2. Sea f una función denida en un subconjunto abierto de Rn , y
2
2
sean i, j ∈ {1, . . . , n}. Si las funciones Di,j
f y Dj,i
f son continuas en un punto
a ∈ A, entonces
2
2
Di,j
f (a) = Dj,i
f (a).
La demostración de este resultado, haciendo uso de las herramientas de las que
disponemos, es algo técnica y preferimos omitirla. Más adelante veremos cómo puede
demostrarse de forma fácil y elegante aplicando un resultado sobre integrales múltiples.
1.3.
DIFERENCIABILIDAD
21
1.3. Diferenciabilidad
Las derivadas direccionales no constituyen la generalización genuina del concepto
de derivada para las funciones de una variable, pues tal y como hemos visto, no
implican siquiera continuidad. En esta sección estudiamos una extensión más fuerte
de dicho concepto.
1.3.1. Diferenciabilidad de funciones escalares
Si f es una función real denida en un intervalo abierto I de números reales,
entonces la derivabilidad de f en un punto a ∈ I equivale a la existencia de un
número real D tal que
f (a + t) − f (a) − Dt
= 0.
t→0
t
lı́m
Caso de existir este límite, el número D no es otra cosa que la derivada de f en a.
Reemplazando el número D por un vector de Rn obtenemos el siguiente concepto.
Denición 1.3.1. Sea A un subconjunto abierto del espacio Rn y sea f una función
real denida en A. Se dice que f es diferenciable en un punto a ∈ A si existe un
vector D ∈ Rn tal que
lı́m
h→0
f (a + h) − f (a) − D · h
= 0,
khk
o equivalentemente, si
f (x) − f (a) − D(x − a)
= 0.
x→a
kx − ak
lı́m
Enseguida veremos que, el vector D, cuando existe es único. Este vector se denomina gradiente de f en el punto a, y se representa normalmente con el símbolo
∇f (a).
El siguiente resultado muestra que toda función diferenciable es continua.
Proposición 1.3.2. Si f es diferenciable en a entonces es continua en dicho punto.
Demostración. Para cada x ∈ A se tiene
f (x) − f (a) = kx − ak ·
f (x) − f (a) − ∇f (a) · (x − a)
+ ∇(f )(a) · (x − a).
kx − ak
22
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Puesto que f es diferenciable en a se tiene
f (x) − f (a) − ∇f (a) · (x − a)
= 0.
x→a
kx − ak
lı́m
Por otra parte,
lı́m ∇f (a) · (x − a) = 0.
x→a
Por tanto,
lı́m (f (x) − f (a)) = 0.
x→a
El siguiente teorema relaciona la diferenciabilidad con la existencia de derivadas
direccionales.
Teorema 1.3.3. Si f es diferenciable en el punto a entonces f es derivable en a
con respecto a cualquier vector no nulo v ∈ Rn , y
Dv f (a) = ∇f (a) · v.
Demostración. Para simplicar vamos a suponer que A = Rn . Por hipótesis se tiene
lı́m
h→0
f (a + h) − f (a) − ∇f (a) · h
= 0.
khk
En virtud de la Proposición 1.1.10 se sigue que si B es un subconjunto de Rn del
cual 0 es un punto de acumulación, entonces
f (a + h) − f (a) − ∇f (a) · h
= 0.
h→0
khk
lı́m
h∈B
Sea v un vector no nulo de Rn , y sea
B = {tv : t ∈ R}.
Entonces
f (a + tv) − f (a) − ∇f (a) · (tv)
= 0,
t→0
ktvk
lı́m
y consecuentemente,
f (a + tv) − f (a) − ∇f (a) · (tv)
= 0.
t→0
t
lı́m
(1.2)
1.3.
23
DIFERENCIABILIDAD
Por otra parte, para cada número t 6= 0 es
f (a + tv) − f (a)
(f (a + tv) − f (a) − ∇f (a) · (tv)) + ∇f (a) · (tv)
=
t
t
f (a + tv) − f (a) − ∇f (a) · (tv)
+ ∇f (a) · v,
=
t
de donde utilizando (1.2) se inere que
f (a + tv) − f (a)
= ∇f (a) · v
t→0
t
lı́m
como queríamos demostrar.
Como consecuencia de este teorema se obtiene el resultado que anunciábamos
más arriba sobre la unicidad del vector gradiente.
Corolario 1.3.4. Si f es diferenciable en a, entonces
n
X
∂f
∇f (a) =
(a)ei .
∂xi
i=1
En particular, para cualquier vector no nulo v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn se tiene
Dv f (a) =
n
X
i=1
vi
∂f
(a).
∂xi
Demostración. Por el teorema anterior, para cada i = 1, . . . , n se tiene
∂f
(a) = Dv f (a) = ∇f (a) · ei .
∂xi
Por otra parte, como el conjunto {e1 , . . . , en } es una base ortonormal del espacio Rn
se sigue que
∇f (a) =
n
X
(∇f (a) · ei )ei .
i=1
Por tanto,
n
X
∂f
∂f
∂f
∇f (a) =
(a)ei =
(a), . . . ,
(a) .
∂xi
∂x1
∂xn
i=1
Sea ahora v = (v1 , . . . , vn ) un vector no nulo de Rn . Entonces, gracias al teorema
precedente, y a la expresión que hemos obtenido para el gradiente resulta
Dv f (a) = ∇f (a) · v =
n
X
∂f
∂f
∂f
(a), . . . ,
(a) · (v1 , . . . , vn ) =
vi
(a).
∂x1
∂xn
∂xi
i=1
24
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
En ejemplos anteriores hemos visto que la función
 2

x ,
y
f (x, y) =

 0,
y 6= 0;
y=0
no es continua en (0, 0) y admite en este punto derivada respecto de cualquier vector.
Este hecho pone de maniesto que en general, la existencia de derivadas direccionales
no implica diferenciabilidad. Sin embargo, no todo se pierde.
Teorema 1.3.5 (Criterio de diferencibilidad). Si f admite derivadas parciales
en A, y son continuas en a, entonces f es diferenciable en dicho punto.
Demostración. La demostración es algo técnica, debido esencialmente a la notación
empleada. Para simplicar las cosas supondremos que n = 2. Podemos asumir
asimismo que A = R2 . Sea h = (h1 , h2 ) un vector no nulo de R2 . Trataremos de
estimar la diferencia
∆(h) = f (a + h) − f (a) − ∇f (a) · h.
(1.3)
Sean los puntos
c0 = (a1 + h1 , a2 + h2 ) = a + h, c1 = (a1 , a2 + h2 ) , c2 = (a1 , a2 ) = a.
Entonces,
f (a + h) − f (a) = [f (c0 ) − f (c1 )] + [f (c2 ) − f (c1 )] .
(1.4)
Sea ϕ la función de una variable denida por la expresión
ϕ(t) = f (t, a2 + h2 ) .
Como f admite derivada con respecto a x se sigue que ϕ es derivable, y que
ϕ0 (t) = D1 f (t, a2 + h2 ) .
Aplicando el Teorema del valor medio de Lagrange deducimos la existencia de un
número θ1 ∈ (0, 1) tal que
ϕ(a1 + h1 ) − ϕ(a1 ) = h1 ϕ0 (a1 + θh1 ).
Ahora bien, ϕ(a1 ) = f (c1 ) y ϕ(a1 + h1 ) = f (c0 ), luego
f (c1 ) − f (c0 ) = h1 · D1 f (a1 + θ1 h1 , a2 + h2 ) .
(1.5)
1.3.
25
DIFERENCIABILIDAD
Utilizando un argumento análogo se comprueba que existe un número número θ2 ∈
(0, 1) tal que
f (c2 ) − f (c1 ) = h2 · D2 f (a1 , a2 + θ2 h2 ) .
(1.6)
Sean ahora los puntos
c01 (h) = (a1 + θ1 h1 , a2 + h2 )
y
c02 (h) = (a1 , a2 + θ2 h2 ),
Gracias a las igualdades (1.3), (1.4), (1.5) y (1.6), y a las desigualdades |h1 | ≤ khk
y kh2 k ≤ khk se sigue que
|∆(h)|
≤ |D1 f (c01 (h)) − D1 f (a)| + |D2 f (c02 (h)) − D2 f (a)| .
khk
Para terminar falta ver que la expresión del segundo miembro tiende a 0 cuando h
tiende a 0. Como θ1 ∈ (0, 1) tenemos que kc0i (h) − ak ≤ khk. Por tanto,
lı́m c01 (h) = a = c01 (0).
h→0
Puesto que la función D1 f es continua en el punto a se sigue que
lı́m [D1 f (c01 (h)) − D1 f (a)] = 0.
h→0
Análogamente,
lı́m [D2 f (c01 (h)) = D2 f (a)] = 0.
h→0
1.3.2. Diferenciabilidad de las funciones vectoriales
La noción de diferenciabilidad se extiende a las funciones con valores vectoriales. En lugar de dar la denición usual de este concepto optamos por la siguiente
formulación equivalente (más asequible).
Denición 1.3.6. Sea f una función denida en un abierto A de Rn , con valores
en Rm . Se dice que f es diferenciable en un punto a ∈ A si lo es cada una de las
funciones componentes f1 , . . . , fm .
Como consecuencia del Teorema 1.3.3 y el Corolario 1.3.4 se obtiene la siguiente
caracterización de este concepto.
26
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Teorema 1.3.7. Sea A un subconjunto abierto del espacio Rn y sea f una función
denida en A, con valores en Rm . Entonces f es diferenciable en un punto a ∈ A
si, y sólo si, existe una matriz Jf(a) ∈ Mm,n tal que
f (a + h) − f (a) − Jf(a) · h
= 0.
h→0
khk
lı́m
En tal caso, f admite derivada en el punto a con respecto a cualquier vector no nulo
v ∈ Rn , y
Dv f (a)t = Jf(a) · v.
En particular, la matriz Jf(a) es única, y viene dada por la fórmula

D1 f1 (a)
D2 f1 (a) . . .

 D1 f2 (x) D2 f2 (a) . . .
Jf(a) = 
..
..

.
.

D1 fm (a) D2 fm (a) . . .
Dn f1 (a)


Dn f2 (a) 
.
..

.

Dn fm (a)
La matriz Jf(a) recibe el nombre de matriz jacobiana de f en el punto a.
Ejemplo
Sea f : R2 \ {(0, 0)} −→ R2 la función denida por la expresión
f (x, y) =
y
x
, 2
2
2
x + y x + y2
Las derivadas parciales de la primera componente son
∂f1
y 2 − x2
(x, y) = 2
∂x
(x + y 2 )2
y
∂f1
−2xy
(x, y) = 2
.
∂y
(x + y 2 )2
Para la función f2 tenemos
∂f2
−2xy
(x, y) = 2
∂x
(x + y 2 )2
y
∂f2
x2 − y 2
(x, y) = 2
.
∂y
(x + y 2 )2
.
1.3.
27
DIFERENCIABILIDAD
Estas funciones están denidas y son continuas en R2 \ {(0, 0)}. Por tanto, f es
diferenciable en todo punto de su dominio. La matriz jacobiana de f en un punto
genérico (x, y) es

Jf(x, y) = 
y 2 −x2
(x2 +y 2 )2
−2xy
(x2 +y 2 )2
−2xy
(x2 +y 2 )2
x2 −y 2
(x2 +y 2 )2

.
Calculemos ahora la derivada direccional de f en el punto (1, 0) con respecto al
vector v = (1, 1). La matriz jacobiana en (1, 0) es
Jf(1, 0) =
−1 0
0
!
.
1
En virtud del Teorema 1.3.7 se sigue que
Dv f (1, 0)t = Jf(1, 0) · (1, 1)t =
−1 0
0
!
1
·
1
!
1
=
−1
!
1
y por tanto,
Dv f (1, 0) = (−1, 1).
1.3.3. Regla de la cadena
El concepto de matriz jacobiana permite extender de forma sencilla la Regla de
la cadena para la derivación de funciones vectoriales compuestas.
Teorema 1.3.8. Sean A un subconjunto abierto de Rn y B un subconjunto abierto
de Rm . Sean f una función denida en A, con valores en B , y g una función denida
en B , con valores en Rp . Si f es diferenciable en un punto a ∈ A, y g es diferenciable
en f (a), entonces la función g ◦ f es diferenciable en a. Además,
J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a)) · Jf (a).
En la demostración de este teorema utilizaremos el siguiente resultado auxiliar.
Lema 1.3.9. Si M es una matriz de tamaño m × n, entonces existe una constante
C ≥ 0 tal que
kM · hk ≤ Ckhk, para cada h ∈ Rn .
28
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Demostración. Consideremos la función f : Rn −→ Rm denida por la expresión
f (h) = M · h.
Claramente, f es una función continua y el conjunto S = {h ∈ Rn : khk = 1} es
cerrado y acotado. En virtud del Teorema de Weierstrass se sigue que f es acotada,
de modo que existe una constante C > 0 tal que
M · h ≤ C, para todo h ∈ Rn , h 6= 0.
khk En particular,
h h ≤ Ckhk.
kM · hk = khk · M ·
= khk · M ·
khk khk Obviamente, esta desigualdad es también cierta para h = 0.
Demostración del Teorema 1.3.8. Sea ϕ = g ◦ f . Claramente, la diferenciabilidad de
f en el punto a implica la existencia de una función Ef : Rn −→ Rm tal que
lı́m Ef (y) = 0,
(1.7)
f (a + y) − f (a) = Jf (a)y + kykEf (y), para todo y ∈ Rn .
(1.8)
y→0
y
Análogamente, por la diferenciabilidad de g en el punto f (a) existe una función
Eg : Rm −→ Rp tal que
lı́m Eg (z) = 0,
(1.9)
z→0
y
g(f (a) + z) − g(a) = Jg(f (a))z + kzkEg (z), para todo z ∈ Rm .
Sea h ∈ Rn , h 6= 0, y sea
v = v(h) = f (a + h) − f (a).
Combinando las igualdades (1.8) y (1.10) se obtiene
ϕ(a + h) − ϕ(a) = g(f (a + h)) − g(f (a)) = g(f (a) + v) − g(f (a))
= Jg(f (a))v + kvkEg (v)
= Jg(f (a)) [Jf (a)h + khkEf (h)] + kvkEg (v)
= [Jg(f (a)) · Jf (a)] h + Jg(f (a))khkEf (h) + kvkEg (v)
kvk
= [Jg(f (a)) · Jf (a)] h + khk Jg(f (a)) +
Eg (v) .
khk
(1.10)
1.3.
29
DIFERENCIABILIDAD
Falta probar que
lı́m
h→0
kvk
Jg(f (a))Ef (h) +
Eg (v) = 0.
khk
Gracias a (1.7) resulta
lı́m (Jg(a) · Ef (h)) = 0.
h→0
La función f es continua en a (al ser diferenciable en dicho punto). Por tanto, la
función v(h) = f (a + h) − f (a) es continua en 0. Como lı́m Eg (v) = 0, Eg puede
v→0
extenderse a una función continua en 0 deniendo Eg (0) = 0. Por tanto,
lı́m Eg (v(h)) = 0.
h→0
Para terminar es suciente demostrar que el cociente
junto de la forma {h : 0 < khk < δ}. Claramente,
kv(h)k
khk
es acotado en una con-
v(h)
f (a + h) − f (a) − Jf (a)
h
=
+ Jf (a) ·
.
khk
khk
khk
Gracias
al lema
precedente se sigue la existencia de una constante C > 0 tal que
h Jf (a) · khk ≤ C para todo h 6= 0. Por tanto,
kv(h)k f (a + h) − f (a) − Jf (a) + C, para todo h 6= 0.
≤
khk
khk
(1.11)
Como f es diferenciable en a tenemos que
f (a + h) − f (a) − Jf (a)
= 0,
h→0
khk
lı́m
así que existe números δ, D > 0 tales que
f (a + h) − f (a) − Jf (a) ≤ D, si 0 < khk < δ.
khk
Utilizando ahora (1.11) se sigue que
kv(h)k
≤ C + D, si 0 < khk < δ,
khk
como queríamos demostrar.
(1.12)
30
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Ejemplo
Sean f y g las funciones denidas por las expresiones
f (x, y) = (x2 + 1, y 2 )
y
g(u, v) = (u + v, u, v 2 ).
Calculemos las derivadas parciales de la composición h = g ◦ f en el punto (1, 1).
Tanto f como g son diferenciables en sus dominios. Las matrices jacobianas de
estas funciones son
!
Jf(x, y) =
2x
0
0
2y
1
1
y



Jg(u, v) =  1

0 .
0 2v
Notemos que, cuando (u, v) = (1, 1) entonces (x, y) = f (1, 1) = (2, 1), de suerte que

2 2



Jh(1, 1) = Jg(2, 1) · Jf(1, 1) =  2 0 
0 4
Las derivadas parciales de la función g ◦ f en el punto (1, 1) son los vectores
)
∂(g◦f )
(1, 1) = (2, 2, 0) y ∂(g◦f
(1, 1) = (2, 0, 4).
∂x
∂y
Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente resultado.
Corolario 1.3.10. Sea f una función real denida en un abierto A de Rn , y sea
r una función denida en un intervalo abierto I de R, con valores en A. Si r es
derivable en un punto t ∈ I , y f es diferenciable en el punto r(t), entonces la función
f ◦ r es derivable en t, y
0
0
(f ◦ r) (t) = ∇f (r(t)) · r (t) =
n
X
i=1
ri0 (t) ·
∂f
(r(t)).
∂xi
Demostración. Sean r1 , . . . , rn las componentes de r. Como la derivabilidad de funciones de una variable real es equivalente a su diferenciabilidad se sigue que la función
1.3.
31
DIFERENCIABILIDAD
r es diferenciable en t, y su matriz jacobiana en este punto es


r10 (t)

 0
 r2 (t) 
0

Jr(t) = 
 ..  = r (t).
 . 
rn0 (t)
Por otra parte, es claro que
Jf (r(t)) =
∂f
∂f
(r(t)), . . . ,
(r(t)) .
∂x1
∂xn
Utilizando el Teorema 1.3.8 se sigue que la función f ◦ r es derivable en t, y que
(f ◦ r)0 (t) = J(f ◦ r)(t) = Jf (r(t)) · r0 (t) = ∇f (r(t)) · r0 (t).
Variedad tangente a un conjunto de nivel
La regla de la cadena proporciona una interpretación geométrica interesante del
vector ∇f , que resulta útil para la determinación de los planos tangentes a las
supercies de nivel en el espacio y las curvas de nivel en el plano.
Teorema 1.3.11. Sea f una función real diferenciable en el conjunto abierto A de
R3 (respectivamente R2 ), sea S el conjunto de nivel c de f , y sea a un punto de S .
Si r : (−δ, δ) −→ R3 (respectivamente r : (−δ, δ) −→ R2 ) es una función derivable
tal que r(t) ∈ S para todo t y r(0) = a, entonces
∇f (a) · r0 (0) = 0.
Demostración. Puesto que r(t) ∈ S se tiene
f (r(t)) = c, para todo t ∈ (−δ, δ).
Por tanto,
∇f (r(t)) · r0 (t) = 0.
En particular, para t = 0 resulta
∇f (a) · r0 (0) = ∇f (r(0)) · r0 (0) = 0.
32
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Este teorema (en el caso en que S ⊂ R3 ) viene a decir que si C es una curva
cualquiera contenida en la supercie S que pasa por el punto a, entonces el vector
tangente a C en el punto a es perpendicular a ∇f (a). Por tanto, si ∇f (a) 6= 0, dicho
vector puede interpretarse geométricamente como un vector perpendicular al plano
tangente a S en el punto a. La misma interpretación subsiste cuando se reemplazan
supercies por curvas de nivel.
Ejemplo
Hallemos
la ecuación del plano tangente a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 en el punto
a = √13 , √13 , √13 . Claramente, la esfera es la supercie de nivel 1 de la función
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
El gradiente de f en un punto genérico (x, y, z) es
∇f (x, y, z) = (2x, 2y, 2z).
En particular,
2
∇f (a) = √ (1, 1, 1).
3
Como este vector es múltiplo de (1, 1, 1), el plano tangente que vamos buscando es
el plano que pasa por el punto a y es perpendicular al vector (1, 1, 1). Su ecuación
implícita es, por tanto,
3
x+y+z = √ .
3
El Teorema del incremento nito
Pondremos n a esta sección con el siguiente teorema del incremento nito para
las funciones de varias variables, que se obtiene como aplicación del resultado correspondiente para las funciones de una variable y la regla de la cadena.
Teorema 1.3.12. Sea f una función diferenciable en un subconjunto abierto A de
Rn , y sea a ∈ A. Si h es un punto de Rn tal que el segmento determinado por a y
a + h está contenido en A entonces existe un número θ ∈ (0, 1) tal que
f (a + h) − f (a) = ∇f (a + θh) · h.
1.4.
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
33
Demostración. Sea r : [0, 1] −→ Rn la función denida por la expresión
r(t) = a + th.
Puesto que el segmento determinado por a y a + h está contenido en A tenemos que
r(t) ∈ A para todo t ∈ [0, 1], de modo que podemos considerar la función
ϕ(t) = f (r(t)).
Claramente, r es derivable, siendo r0 (t) = h. Como f es diferenciable en A, en virtud
del Corolario 1.3.10 tenemos que ϕ es derivable en todo punto t ∈ [0, 1], y
ϕ0 (t) = ∇f (r(t)) · r0 (t) = ∇f (r(t)) · h.
Aplicando el Teorema del valor medio para las funciones de una variable deducimos
la existencia de un número θ ∈ (0, 1) tal que
ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (θ)(1 − 0) = ϕ0 (θ) = ∇f (r(θ)) · r0 (θ) = ∇f (a + θh) · h.
Ahora bien, por la denición de ϕ tenemos que ϕ(0) = f (a) y ϕ(1) = f (a + h). Por
tanto,
f (a + h) − f (a) = ∇f (a + θh) · h.
1.4. Extremos de las funciones de varias variables
En esta última sección vemos cómo pueden aplicarse algunos resultados estudiados previamente a la determinación de extremos de las funciones de varias variables
reales.
1.4.1. Extremos libres
Sea f una función real denida en un conjunto abierto A de Rn , y sea a ∈ A. Se
dice que f presenta en a un:
1. Máximo relativo si existe una bola B(a, r) ⊂ A tal que
f (x) ≤ f (a), para todo x ∈ B(a, r).
34
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
2. Mínimo relativo si existe una bola B(a, r) ⊂ A tal que
f (x) ≥ f (a), para todo x ∈ B(a, r).
Si alguna de las desigualdades anteriores es estricta (salvo para x = a) se dice que
el máximo o mínimo relativo es estricto.
Notemos que un máximo (respectivamente mínimo) absoluto es un máximo (respectivamente mínimo) relativo de la función f .
El teorema siguiente proporciona una condición necesaria para la existencia de
extremo relativo en un punto cuando la función f es diferenciable en dicho punto,
análoga a la que estudiamos en cálculo para las funciones reales de una variable.
Teorema 1.4.1. Sea f una función denida en un conjunto abierto A de Rn , con
valores en R y sea a ∈ A. Si f es diferenciable en el punto a y presenta un extremo
relativo en dicho punto, entonces
∇f (a) = 0.
Demostración. Sea h un vector no nulo de Rn . Como el conjunto A es abierto existe
un δ > 0 tal que a + th ∈ A para todo t ∈ (−δ, δ). Sea ϕ la función denida en
(−δ, δ) por medio de la expresión
ϕ(t) = f (a + th).
La función g(t) = a + th es derivable en todo punto t ∈ (−δ, δ), siendo g 0 (t) = h.
Además, ϕ = f ◦ g . Puesto que f es diferenciable, en virtud de la regla de la cadena
se tiene que ϕ es derivable en todo t ∈ (−δ, δ), y
ϕ0 (t) = ∇f (g(t)) · h = ∇f (a + th) · h.
En particular,
ϕ0 (0) = ∇f (a) · h.
(1.13)
Supongamos que f presenta un mínimo relativo en el punto a. Como ϕ(0) = f (a)
es claro que ϕ tiene un mínimo relativo en t = 0. En particular,
ϕ0 (0) = 0,
y haciendo uso de (1.13) se sigue que
∇f (a) · h = 0.
Esta igualdad es cierta para todo h ∈ Rn . Haciendo h = ∇f (a) se tiene, en particular, k∇f (a)k2 = ∇f (a) · ∇f (a) = 0, es decir, ∇f (a) = 0.
1.4.
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
35
El teorema anterior admite una interpretación geométrica clara cuando f es una
función de dos variables: el plano tangente a la supercie de ecuación z = f (x, y) en
un punto de extremo local es paralelo al plano z = 0.
Un punto en el que f es diferenciable y el gradiente se anula suele llamarse punto
crítico o estacionario.
El siguiente ejemplo pone de maniesto que un punto crítico no es necesariamente
extremo.
Ejemplo.
La función real f : R2 −→ R denida por la expresión
f (x, y, z) = x3 + y 2
es diferenciable en todo punto de R2 ¾por qué?. De acuerdo con el teorema precedente, los candidatos extremo de f son los puntos (x, y) ∈ R2 tales que ∂f
(x, y) = 0
∂x
∂f
y ∂y (x, y) = 0, es decir, los que satisfacen simultáneamente las ecuaciones
(
3x2 = 0
2y
=0
La única solución de este sistema es el punto (0, 0).
Veamos que f no presenta extremo relativo alguno en este punto. Obviamente,
f (0, 0) = 0. Para todo punto de la forma (0, y) con y 6= 0 se tiene f (0, y) = y 2 > 0,
de suerte que f no tiene máximo relativo en (0, 0). Por otra parte, si x < 0 entonces
f (x, 0) = x3 < 0 y (0, 0) no es, por tanto, un punto de mínimo relativo de f .
Estudiemos ahora una condición suciente para la existencia de extremo local
en un punto. Si f es una función de una variable real y a es un punto interior de
su dominio tal que f 0 (a) = 0 entonces f presenta en a un máximo (respectivamente
mínimo) local si f 00 (a) < 0 (respectivamente f 00 (a) > 0). El papel de la segunda
derivada lo va a desempeñar, en el caso de las funciones de varias variables, la
matriz que denimos a continuación.
Denición 1.4.2. Sea A un conjunto abierto de Rn y sean f una función real de
clase C 2 (A) y a un elemento de A. La matriz

2
2
D1,1
f (x) D1,2
f (x) . . .
 2
2
 D2,1 f (x) D2,2
f (x) . . .

..
..

.
.

2
2
Dk,1 f (x) Dk,2 f (x) . . .
2
D1,k
f (x)


2
D2,k
f (x) 

..

.

2
Dk,k f (x)
36
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
recibe el nombre de hessiana de f en el punto a. Se representa normalmente con el
símbolo Hf(a).
Notemos que, gracias al Teorema 1.2.2, la hessiana de una matriz de clase C 2 (A)
es una matriz simétrica en todo punto a ∈ A.
La siguiente noción extiende a las matrices simétricas el concepto de signo.
Denición 1.4.3. Sea M una matriz simétrica de números reales de tamaño n. Se
dice que M es:
1. Denida positiva si para cada vector no nulo h ∈ Rn se tiene
hT M h > 0.
2. Denida negativa si para cada vector no nulo h ∈ Rn se tiene
hT M h < 0.
El siguiente resultado, debido a Sylvester, proporciona una caracterización de las
matrices simétricas denidas.
Teorema 1.4.4. Sea M = (ai,j ) una una matriz simétrica de números reales de
tamaño n. Sea, para cada k ∈ {1, . . . , n},

a1,1 a1,2 . . .

 a2,1 a2,2 . . .
∆k = det 
..
 ..
.
 .
ak,1 ak,2 . . .
a1,k


a2,k 
.. 
.
. 
ak,k
Entonces:
1. M es denida positiva si, y sólo si, los números ∆1 , . . . , ∆n son todos positivos.
2. M es denida negativa si, y sólo si, los números ∆1 , . . . , ∆n forman una
sucesión de números con signos alternativamente positivos y negativos, siendo
∆1 < 0, es decir,
∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . .
La condición suciente de extremo, anunciada más arriba, viene dada por el
siguiente teorema.
1.4.
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
37
Teorema 1.4.5. Sea f una función real denida en un conjunto abierto A de Rn ,
que admite derivadas parciales segundas continuas en A, y sea a ∈ A. Supongamos
que ∇f (a) = 0. Entonces:
(i) Si la matriz Hf(a) es denida positiva, la función f presenta en a un mínimo
relativo estricto.
(ii) Si la matriz Hf(a) es denida negativa, la función f presenta en a un máximo
relativo estricto.
En la demostración de este teorema utilizaremos dos resultados auxiliares. El
primero es una consecuencia casi inmediata de la propiedad de conservación del
signo para funciones continuas. El segundo tiene interés independiente. Se trata de
una versión de la fórmula de Taylor de orden 2 para las funciones reales de varias
variables reales.
Lema 1.4.6. Sea f una función real denida en un conjunto abierto A de Rn , que
admite derivadas parciales segundas continuas en A, y sea a ∈ A. Si la matriz Hf(a)
es denida positiva (resp. denida negativa) entonces existe un número δ > 0 tal
que para todo x ∈ Rn con kx − ak < δ , la matriz Hf(x) es denida positiva (resp.
denida negativa).
Demostración. Sea, para cada k ∈ {1, . . . , n}, la función ∆k : A −→ R por medio de
la igualdad

2
2
D1,1
f (x) D1,2
f (x) . . .
2
D1,k
f (x)
 2
2
2
 D2,1 f (x) D2,2
f (x) . . . D2,k
f (x)

∆k (x) = det 
..
..
..
.
.
.

2
2
2
f (x)
Dk,1
f (x) Dk,2
f (x) . . . Dk,k



.


Claramente, ∆k puede expresarse como una suma de productos de derivadas parciales segundas de f . Como éstas son continuas en A se sigue que también ∆k es
continua en A.
Supongamos por ejemplo que la matriz Hf(a) es denida positiva. Entonces,
gracias al Teorema 1.4.4 los números ∆1 (a), ∆2 (a), . . . , ∆n (a) son todos positivos.
Como las funciones ∆1 , . . . , ∆n son continuas en el punto a, en virtud de la propiedad
de conservación del signo podemos encontrar un número δ > 0 tal que si x ∈
B(a; δ) entonces los números ∆1 (x), . . . , ∆n (x) son todos positivos. Y echando mano
38
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
nuevamente del Teorema 1.4.4 se sigue que la matriz Hf(x) es denida positiva para
cada x ∈ B(a; δ).
Teorema 1.4.7 (Fórmula de Taylor de orden 2). Sea f una función denida en
un conjunto abierto A de Rn y sea a ∈ A. Supongamos que existen y son continuas
en A las derivadas parciales segundas de f . Entonces, para cualquier h ∈ Rn existe
un número θ ∈ (0, 1) tal que
1
f (a + h) = f (a) + ∇f (a) · h + hT · Hf(a + θh) · h.
2
Demostración. Podemos asumir que A = Rn . Sea ϕ la función denida para t ∈ R
por medio de la expresión
ϕ(t) = f (a + th).
Como f admite derivadas parciales de orden 2 en el conjunto A se sigue que ϕ es dos
veces derivable. Por tanto, aplicando el Teorema de Taylor a la función ϕ resulta
ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ0 (0) +
ϕ00 (θ)
para cierto θ ∈ (0, 1).
2
(1.14)
Hallemos las expresiones para los números implicados en el segundo miembro de
esta igualdad. Claramente,
(1.15)
ϕ(0) = f (a).
La derivada primera de ϕ es
0
ϕ (t) = ∇f (a + th) · h =
n
X
hi ·
i=1
∂f
(a + th).
∂xi
(1.16)
En particular,
ϕ0 (0) = ∇f (a) · h.
Sea ahora, para cada i = 1, . . . , n, la función
ϕi (t) =
∂f
(a + th).
∂xi
Utilizando el mismo argumento que antes se sigue que
ϕ0i (t) =
n
X
∂2f
(a + th)hj .
∂x
∂x
i
j
j=1
(1.17)
1.4.
39
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
El segundo miembro de esta expresión no es otra cosa que el producto de la la
i-ésima de la matriz hessiana Hf(a + th) por el vector h. Sustituyendo en (1.16) y
teniendo en cuenta la regla del producto de matrices resulta
ϕ00 (t) = hT · Hf(a + th) · h.
Consecuentemente,
ϕ00 (θ) = hT · Hf(a + θh) · h.
(1.18)
Llevando las igualdades (1.15), (1.17) y (1.18) a (1.14) resulta la conclusión deseada.
Demostración del Teorema 1.4.5. Probaremos la armación (i), la otra se deduce de
forma análoga. Gracias al Lema 1.4.6 existe un número δ > 0 tal que
hT Hf(x)h para todo x ∈ B(a; δ) y todo h ∈ Rn , h 6= 0.
(1.19)
Fijemos h ∈ Rn , con khk < δ . Puesto que ∇f (a) = 0, en virtud del Teorema 1.4.7
existe un número θ ∈ (0, 1) tal que
1
f (a + h) = f (a) + hT Hf(a + θh)h.
2
(1.20)
Como khk < δ y θ ∈ (0, 1) tenemos que a + θh ∈ B(a; δ), de modo que, por (1.19),
hT Hf(a + θh)h > 0.
Combinando esta desigualdad con (1.20) resulta
f (a + h) − f (a) > 0.
Como esta desigualdad es cierta para todo h ∈ B(0, δ) se inere que f presenta un
mínimo relativo (estricto) en el punto a.
Ejemplo.
Determinemos los extremos relativos de la función f : R3 −→ R denida por
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 4 + xy − x + y − 4z.
Las derivadas parciales primeras de f son ∂f
(x, y, z) = 2x + y − z , ∂f
(x, y, z) =
∂x
∂y
∂f
3
2y + x + 1 y ∂z (x, y, z) = 4z − 4. Estas funciones son obviamente continuas, de
40
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
modo que f es de clase C 1 (f está incluso en la clase C ∞ ) y es, por tanto, diferenciable
en R3 . Si f presenta un extremo relativo en (x, y, z) entonces ∇f (x, y, z) = 0, es
decir,


 2x + y − 1 = 0
2y + x + 1 = 0


4z 3 − 4
=0
Resolviendo obtenemos x = 1, y = −1, z = 1. Así pues, el único punto candidato
a ser extremo de f es el (1, −1, 1). Para comprobar si es efectivamente un extremo
2
hallamos la matriz hessiana de f . Las derivadas parciales segundas son ∂∂xf2 (x, y, z) =
2
2
∂2f
∂2f
2, ∂x∂y
(x, y, z) = 1, ∂x∂z
(x, y, z) = 0, ∂∂yf2 (x, y, z) = 2 y ∂∂zf2 (x, y, z) = 12z 2 . Así pues,
la matriz hessiana en un punto genérico (x, y, z) es

2 1
0


Hf (x, y, z) =  1 2
0

.
0 0 12z 2
Para nuestro punto candidato resulta

2 1
0


Hf (1, −1, 1) =  1 2

0 .
0 0 12
Veamos si esta matriz es denida. Claramente,
∆1 = 2, ∆2 = 3, ∆3 = 36
Al ser positivos los números ∆1 , ∆2 , ∆3 la matriz Hf (1, −1, 1) es denida positiva,
y f presenta, por tanto, un mínimo relativo (estricto) en (1, −1, −1). No es difícil
ver que este mínimo es, además, absoluto.
El valor de f en este punto es
f (1, −1, −1) = 4.
Nota
Si ∇f (a) = 0 pero la matriz hessiana Hf (a) no es denida no puede decirse nada,
a priori, acerca de la existencia de extremo en el punto a, y es necesario dilucidar
esta cuestión directamente, tal y como se hizo en un ejemplo anterior.
1.4.
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
41
1.4.2. Extremos condicionados
Muchos de los problemas de optimización que aparecen en la práctica consisten
en hallar los máximos o mínimos de una función sobre un subconjunto de su dominio
(generalmente no abierto) determinado por alguna restricción. Así por ejemplo, el
problema de hallar tres números no negativos x, y, z tales que x2 + y 2 + z 2 = 1 y de
modo que el producto xyz sea máximo consiste en maximizar la función
f (x, y, z) = xyz
no en R3 , sino sobre el conjunto
{(x, y, z) ∈ R3 : x, y, z ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0},
que como sabemos no es abierto. Un punto genérico de este conjunto satisface la
p
igualdad z = 1 − (x2 + y 2 ). Por eso lo natural en este caso es sustituir en la
p
expresión de f la variable z por 1 − (x2 + y 2 ). De esta forma, el problema se
reduce al de maximizar la función de dos variables
ϕ(x, y) = xy
p
1 − (x2 + y 2 )
en el conjunto {(x, y) : x, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1}. Una consideración elemental permite
deducir que, si (x, y) es un punto de máximo para ϕ, entonces x2 + y 2 6= 1, de modo
que nuestro problema consiste en maximizar ϕ sobre el abierto {(x, y) : x2 +y 2 < 1}.
Así pues, expresando una de las variables en función de las otras, el problema
se transforma en otro equivalente, que consiste en optimizar una función sobre un
conjunto (generalmente abierto). Sin embargo, no siempre es posible despejar una
variable en función de las otras. Y a veces, como ocurre en el ejemplo anterior, el
proceso resulta bastante engorroso. La solución general de estos problemas puede
obtenerse normalmente utilizando el método que describimos a continuación.
Método de los multiplicadores de Lagrange. En abstracto, el problema de la
determinación de extremos condicionados puede plantearse como sigue. Sean f y g
funciones reales denidas en un abierto A de Rn , y sea
S = {x ∈ Rn : g(x) = 0} .
Se trata de encontrar los puntos a ∈ S tales que
f (a) = máx {f (x) : x ∈ S}
42
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
o
f (a) = mı́n {f (x) : x ∈ S} .
En este caso se dice que a es un punto de máximo (resp. mínimo) de f condicionado
por la restricción o ligadura g(x) = 0.
El siguiente teorema proporciona una condición necesaria para la existencia de
estos extremos.
Teorema 1.4.8. Sean f y g funciones reales diferenciables en un abierto A de Rn ,
y sea
S = {x ∈ Rn : g(x) = 0} .
Supongamos que f presenta un extremo condicionado en un punto a ∈ S . Entonces
existe un λ ∈ R tal que
∇f (a) − λ∇g(a) = 0.
Idea de la demostración. Con las herramientas de que disponemos no podemos dar
una prueba completa de este teorema. Pero es útil ver la idea geométrica subyacente.
Para simplicar las cosas vamos a suponer que n = 3, de modo que el conjunto S
es una supercie de nivel de la función g .
Supongamos por ejemplo que f alcanza un máximo en el punto a. Sea r :
(−δ, δ) −→ R3 una función derivable cualquiera tal que r(t) ∈ S para todo t ∈
(−δ, δ), y r(0) = a. Entonces la función de una variable
ϕ(t) = f (r(t))
alcanza un máximo en el punto t = 0. Por tanto,
0 = ϕ0 (0) = ∇f (r(0)) · r0 (0) = ∇f (a) · r0 (0).
Esto signica que el vector ∇f (a) es perpendicular a r0 (0). Como esto es cierto
para toda función r con valores en S tenemos que ∇f (a) es perpendicular al plano
tangente a S en el punto a. Por otra parte, gracias Teorema 1.4.1, el vector ∇g(a) es
también perpendicular a dicho plano. Así pues, ∇f (a) y ∇g(a) están en la dirección
de una misma recta (la recta que pasa por el punto a y es perpendicular al plano
tangente a S en dicho punto). Esto implica que dichos vectores son colineales, es
decir, que existe λ ∈ R tal que ∇f (a) = λ∇g(a).
Así pues, la solución de un problema de extremos condicionados puede obtenerse
siguiendo los siguientes pasos:
1.4.
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
43
1. Se calcula el gradiente de la función
L(x) = f (x) − λg(x),
donde λ se trata como una constante.
2. Se buscan los puntos x = (x1 , . . . , xn ) ∈ A y los escalares λ ∈ R que satisfacen
la igualdad
∇L(x) = 0,
junto con la condición de ligadura
g(x) = 0.
En la práctica, esto se reduce a resolver el sistema de n + 1 ecuaciones:

∂f
∂g


(x) − λ
(x) = 0;


∂x1
∂x1




 ...

∂f
∂g


(x)
−
λ
(x) = 0;


∂xn
 ∂xn



g(x1 , . . . , xn )
= 0.
Los puntos x que satisfacen el sistema son los posibles valores extremos condicionados de f . Para ver si éstos son realmente extremos (y dictaminar, en su caso, si se
trata de máximos o mínimos), lo más práctico suele ser estudiar el comportamiento
de la función f en cada uno de los puntos obtenidos. El número λ que recibe el
nombre de multiplicador de Lagrange, y la función L función lagrangiana asociada
a f y g.
Ejemplo
Resolvamos el problema planteado al principio del apartado, utilizando el método
de los multiplicadores de Lagrange. Con la notación que hemos utilizado, el problema
consiste en encontrar los extremos de la función
f (x, y, z) = xyz,
sometidos a la ligadura g(x, y, z) = 0, siendo
g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1.
44
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
La función lagrangiana correspondiente es
L(x, y, z) = ϕ(x, y, z) − λg(x, y, z) = xyz − λ(x2 + y 2 + z 2 − 1).
Claramente,
∇L(x, y, z) = (yz − λx, xz − λy, xy − λz) .
Por tanto, el sistema de ecuaciones resultante al aplicar el método de Lagrange es


yz − 2λx




 xz − 2λy
= 0;
= 0;

xy − 2λz
= 0;



 2

x + y 2 + z 2 = 1.
La naturaleza del problema implica que ninguno de los números x, y, z puede ser 0
(si suponemos por ejemplo que x = 0, entonces se obtiene que o bien y = 0 y z = 1,
o bien y = 1 y z = 0. Por tanto, f (x, y, z) = 0, y el punto en cuestión no puede
ser un extremo para f ). Así pues, x, y, z 6= 0. Despejando λ en las tres primeras
ecuaciones e igualando resulta la igualdad
xy
xz
yz
=
=
,
x
z
y
de donde se obtiene que
x = y = z = 2λ.
Llevando estas igualdades a la cuarta ecuación tenemos que
Así pues,
3λ2
4
= 1, es decir, λ =
√2
3
.
1
x=y=z= √ .
3
Naturalmente, la terna (x, y, z) encontrada maximiza la función f . En efecto, como
el conjunto
C = {(x, y, z) : x, y, z ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 = 1}
es cerrado y acotado, en virtud del Teorema de Weierstrass f alcanza un máximo
y un mínimo absoluto sobre este conjunto. El mínimo se alcanza en los puntos
(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) (que son las ternas que resultan del sistema anterior y
hemos desechado por la naturaleza del problema). El máximo se alcanzará, por
tanto, en el punto crítico restante, x = y = z = √13 .
1.5.
EJERCICIOS DEL TEMA
45
1.5. Ejercicios del tema
1. Representar los siguientes conjuntos, y hallar los correspondientes conjuntos
de puntos interiores, puntos adherentes y puntos frontera:
a ) {(x, y) ∈ R2 : xy > 0} .
b ) {(x, y) ∈ R2 : y = x2 , x 6= 0} .
c ) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 } .
d ) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 , y ≤ 1} .
e ) {(x, y) ∈ R2 : 1 ≥ x2 + x > y} .
f ) {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y 2 /4 ≤ 1} .
g ) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 /4 = 1} ∪ {(0, 0)}.
h ) {(x, y, z) ∈ R3 : 2 < x2 + y 2 + z 2 < 3} .
i ) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 /4 + y 2 /9 + z 2 ≥ 1} .
Determinar cuáles de estos conjuntos son abiertos o cerrados.
2. Hallar los dominios de las funciones de dos variables denidas por las siguientes
expresiones:
√
x + y cos(x + y)
1
log y
;
;
;
.
2
2
2
2
x−y
x −y
log(x + y ) log(x2 + y 2 )
3. Hallar el dominio de la función denida por medio de la expresión
f (x, y, z) = log log(x2 + y 2 + z 2 ).
4. Identicar y representar las curvas de nivel 1, 2 y 3 de las siguientes funciones
de dos variables:
a ) f (x, y) = x + y.
b ) f (x, y) =
x2
9
+
y2
.
4
c ) f (x, y) =
x2
9
−
y2
.
4
d ) f (x, y) = xy .
e ) f (x, y) = log(x2 + y 2 ).
46
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
5. Identicar y representar las supercies de nivel 1, 2 y 3 de las siguientes funciones de tres variables:
a ) f (x, y, z) = x + y + z .
b ) f (x, y, z) =
x2
9
+
y2
4
c ) f (x, y) =
+
y2
4
− z2.
x2
9
+ z2.
d ) f (x, y) = log(x2 + y 2 + z 2 ).
6. ¾Cuáles son las supercies de nivel de la función de tres variables denida por
la expresión f (x, y, z) = x2 + y 2 ?
7. El módulo de la fuerza de atracción entre dos partículas eléctricamente cargadas viene dada por una expresión del tipo
F (x, y, z) =
k
,
x2 + y 2 + z 2
donde k es una constante que depende de las cargas de ambas partículas.
Describir las supercies de nivel de F .
8. Sea f una función real denida en R. Demostrar que existen una función
ϕ : R2 −→ R y un número k de modo que la gráca de f es la curva de nivel
k de ϕ. Generalizar este resultado a las grácas de las funciones reales de dos
variables.
9. Comprobar si existe o no el límite
x+y
(x,y) →(0,0) x − y
lı́m
y hallar su valor en caso armativo.
10. Comprobar si existe o no el límite
x − y2
(x,y) →(0,0) x + y 2
lı́m
y hallar su valor en caso armativo.
11. Comprobar si existe o no el límite
x2 + y
p
(x,y) →(0,0)
x2 + y 2
lı́m
y hallar su valor en caso armativo.
1.5.
47
EJERCICIOS DEL TEMA
12. Estudiar si existe o no el límite
x4 + y 4
lı́m
(x,y) →(0,0) x2 + y 2
y hallar su valor en caso armativo.
13. Estudiar la continuidad de la función f : R2 −→ R denida por medio de la
expresión

1

 (x2 + y 2 ) sen p
,
x2 + y 2
f (x, y) =

 0,
(x, y) 6= (0, 0);
(x, y) = (0, 0).
14. Estudiar la continuidad de la función f : R2 −→ R2 denida por medio de la
expresión
2
xy
f (x, y) =
,x + y
si (x, y) 6= (0, 0);
2
2
x +y
f (0, 0) = (0, 0).
15. Sea f la función de dos variables denida por medio de la expresión
f (x, y) =



xy 2
,
x2 + y 2

 0,
(x, y) 6= (0, 0);
(x, y) = (0, 0).
Calcular la derivada de f en (0, 0) con respecto a un vector cualquiera v =
(v1 , v2 ) ∈ R2 de norma 1. Deducir, en particular, el valor de las derivadas
parciales
∂f
∂f
(0, 0) y
(0, 0).
∂x
∂y
16. Hallar las derivadas parciales hasta el orden 2 de las siguientes funciones:
f1 (x, y) = x cos x cos y;
f3 (x, y) = xy + y x ;
p
f2 (x, y) = log 1 + xy;
Z x2 +y2
2
f4 (x, y) =
e−t dt.
0
17. Sea f la función de tres variables denida por la igualdad
1
f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )− 2 .
Demostrar que para todo (x, y, z) 6= (0, 0, 0) se satisface la igualdad
∂2f
∂2f
∂2f
(x,
y,
z)
+
(x,
y,
z)
+
(x, y, z) = 0.
∂x2
∂y 2
∂z 2
48
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
18. Se considera la función de dos variables
f (x, y) = cos
p
x2 + y 2 .
a ) Demostrar que f es diferenciable en R2 , y calcular el gradiente de f en
un punto arbitrario (x, y).
b ) Calcular la derivada de f en el punto a = (1, 0) con respecto al vector
v = (1, −1).
19. Se considera la función de tres variables
f (x, y, z) = exy sen(xyz).
Calcular la derivada de f en el punto (0, 1, 1) según el vector v = (1, −2, 2).
20. Estudiar la diferenciabilidad y la continuidad en el punto (0, 0) de la función
considerada en el Ejercicio 1.
21. Demostrar que las siguientes funciones son diferenciables en sus dominios y
hallar la matriz jacobiana en un punto genérico de los mismos:
f1 (x, y) = (ex , sen xy);
f2 (x, y) = (x + y, x − y, xy)
f3 (x, y, z) = (x − y, y + z);
f4 (x, y, z) = (x + z, y − 5z, x − y).
22. Sea f : R −→ R una función derivable, con derivada continua, y sea z la función
denida por la igualdad
z(x, y) = f
x+y
x−y
.
Demostrar que z satisface la ecuación en derivadas parciales
x
∂z
∂z
+y
= 0.
∂x
∂y
23. Sea f la función real de tres variables denida por la expresión
f (x, y, z) = log(1 + x2 + y 2 + z 2 ).
a ) Demostrar que f es diferenciable en todo punto de R3 .
b ) Calcular (f ◦ r)0 (0), donde r : R −→ R3 es una función derivable tal que
r(0) = (1, −1, 0) y r0 (0) = (0, 1, 0).
1.5.
49
EJERCICIOS DEL TEMA
24. Hallar la ecuación del plano tangente a la supercie de ecuación
z = x2 + y 3
en el punto (3, 1, 10).
25. Hallar la ecuación del plano tangente al cono ecuación
z=
p
x2 + y 2
√
en el punto (1, 2, 5).
26. Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
x2 + y 2 − z 2 = 1
en el punto (1, 1, 1).
27. Sea f : R2 −→ R la función denida por la expresión

2
2

 xy(x − y ) ,
x2 + y 2
f (x, y) =

 0,
(x, y) 6= (0, 0);
(x, y) = (0, 0).
a ) Demostrar que f es continua en (0, 0).
b ) Hallar las expresiones de las derivadas parciales primeras de f en un
punto arbitrario (x, y).
c ) Demostrar que f es diferenciable en (0, 0).
d ) Comprobar que
∂2f
∂2f
(0, 0) = −1 y
(0, 0) = 1.
∂x∂y
∂y∂x
¾Contradice este hecho el Teorema de Schwarz (Teorema 1.2.2)?
a ) Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:
1) f (x, y) = y 3 + (x + y)2 + 6(x − y).
2) g(x, y) = x2 + x2 y + y 2 .
50
TEMA 1.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
b ) Se consideran los puntos del plano A(a, 0), B(0, b) y C(c, 0). Determinar
el punto P del plano de modo que la suma
kP Ak2 + kP Bk2 + kP Ck2
sea mínima.
c ) Método de los mínimos cuadrados. Sean (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) puntos del
plano. Hallar los números a y b de modo que la suma
n
X
(yi − (axi + bi ))2
i=1
sea mínima.
d ) Entre todos los paralelepípedos rectos cuyas aristas suman 6, hallar el
que tiene volumen máximo.
e ) Una caja sin tapa superior debe tener un volumen de 16 metros cúbicos.
Hallar las dimensiones de la caja que hacen que el área lateral sea mínima.
f ) Sea f una función real diferenciable en un abierto A ⊂ Rn , y sea a ∈ A.
Hallar, entre todos los vectores v ∈ Rn de norma 1, los que hacen que la
derivada Dv f (a) sea máxima (respectivamente mínima).
g ) Se consideran el plano de ecuación
Π ≡ Ax + By + Cz + D = 0
y un punto P0 = (x0 , y0 , z0 ).
1) Hallar el punto P del plano cuya distancia al punto P0 es mínima.
2) Demostrar que el segmento P0 P es ortogonal al plano Π.
3) Probar que
Ax0 + By0 + Cz0 + D
.
d(P0 , Π) = √
A2 + B 2 + C 2 + D 2
h ) Hallar el punto del paraboloide de ecuación z = x2 + y 2 cuya distancia al
punto (1, 1, 0) es mínima.
i ) Entre todos los triángulos de perímetro p, hallar el que tiene área máxima.
Indicación: El área de un triángulo de lados x, y, z es
A=
p
s(s − x)(s − y)(s − z),
siendo s = (x + y + z)/2. (Herón de Alejandría).
Tema 2
Integrales múltiples
En este tema extendemos la noción de integral para las funciones de una variable real a las funciones de varias variables reales, y estudiamos algunas de sus
aplicaciones.
2.1. Integrales dobles
Empezamos deniendo la integral para funciones de dos variables. En primer
lugar lo hacemos para funciones denidas sobre un rectángulo (es decir, el producto
cartesiano de dos intervalos de números reales). Más tarde consideramos la integral
de funciones de dos variables denidas sobre subconjuntos más generales de R2 .
2.1.1. Integral doble sobre un rectángulo
Sea R el rectángulo [a, b] × [c, d], y sea f : R −→ R una función acotada. La idea
básica para denir la integral de f consiste en considerar subdivisiones del rectángulo
R en rectángulos más pequeños R1 , . . . , Rp , y elegir puntos c1 ∈ R1 , . . . , cp ∈ Rp .
Para cada una de estas subdivisiones (y cada elección de puntos ci ∈ Ri ) podemos
formar la suma
p
X
f (ci ) area(Ri )
i=1
Si estas sumas se aproximan a un número dado I , cuando las áreas de los rectángulos
de las subdivisiones tienden a 0, entonces diremos que f es integrable, y a este
número le llamaremos la integral de f .
51
52
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
Formalizar convenientemente esta idea no es fácil. Y la denición que vamos a
dar es sólo una aproximación al concepto de integral, aunque suciente para nuestros propósitos. En lugar de considerar subdivisiones arbitrarias del rectángulo R
construiremos, para cada número natural n, una subdivisión de R en n2 rectángulos
de igual área. Así, para cada n podremos formar una suma del tipo
2
Sn =
n
X
f (cn,i ) area(Rn,i )
i=1
con cn,i ∈ Rn,i . Cuando la sucesión {Sn }n sea convergente, su límite será la integral
de f .
Empezamos... Para cada n ∈ N consideramos las particiones de los intervalos
[a, b] y [c, d] formadas por nodos equiespaciados. Es decir, las constituidas por los
números
xn,k = a +
k(b − a)
n
y
yn,k = c +
k(d − c)
, k = 0, 1, 2 . . . , n
n
El conjunto de puntos
Pn = {(xn,i , yn,j ) : i, j = 1, 2 . . . , n}
determina una subdivisión de R en n2 rectángulos más pequeños, cada uno con área
igual a (b − a)(d − c)/n2 . A este conjunto de puntos (o al conjunto de rectángulos
por él determinado) se le llama habitualmente partición regular del rectángulo R.
Para cada par de números i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, denotamos por Rijn al rectángulo
n
cuyo vértice superior derecho es el punto (xn,i , yn,j ). Elijamos un punto cni,j ∈ Ri,j
,y
n
sea Cn = {ci,j : i, j = 1, 2, . . . , n}. El número
S(f, Cn ) =
n
X
n
f (cij ) area(Ri,j
)
i,j=1
es, por denición, la suma de Riemann de f asociada a la partición Pn y el conjunto
de puntos Cn . Observa que este número depende del punto cni,j que se escoja en cada
n
uno de los rectángulos Ri,j
.
Estamos ya en condiciones de dar el concepto de integral.
Denición 2.1.1. Se dice que f es integrable si existe un número I tal que,
cualquiera que sea el conjunto de puntos intermedios Cn que elijamos para cada
n ∈ N se tiene
lı́m S(f, Cn ) = I
n
2.1.
53
INTEGRALES DOBLES
Este número, cuando existe es único. Se le llama integral de f , o integral doble de
f , y se representa habitualmente con el símbolo
ZZ
f (x, y)dxdy
R
Tras denir el concepto de integral es natural plantearse la cuestión de si existen
o no funciones integrables (en los términos que hemos descrito), y cuáles son sus
principales propiedades. En el caso de las funciones de una variable conocemos algunas condiciones sucientes de integrabilidad. Sabemos, por ejemplo, que si f es una
función continua en un intervalo [a, b], entonces f es integrable en dicho intervalo.
La misma conclusión subsiste, incluso, cuando es nito el conjunto de puntos de
discontinuidad de la función f .
Para las funciones de dos variables reales se tiene el siguiente resultado análogo.
Teorema 2.1.2. Sea f una función real denida en un rectángulo R ⊆ R2 . Si f
es continua, salvo quizá en un subconjunto nito de puntos de R, entonces f es
integrable en dicho rectángulo.
Este resultado puede mejorarse, en el sentido de que son integrables las funciones
denidas en el rectángulo R cuyo conjunto de puntos de discontinuidad es despreciable en relación al conjunto R. Para entender el signicado exacto del término
conjunto despreciable es necesario un nivel de abstracción muy superior al que pretendemos en este curso de introducción al cálculo en varias variables, y preferimos
omitirlo. Hablando de forma imprecisa, podemos decir que un subconjunto C ⊂ R
es despreciable si su medida (área) es igual a 0. Así por ejemplo, las grácas de las
funciones de una variable contenidas en el rectángulo R son conjuntos despreciables.
En particular, por lo que acabamos de decir se sigue que si f es una función denida
en R y el conjunto de sus puntos de discontinuidad es la gráca de una función
de una variable (o una unión nita de grácas de tales funciones), entonces f es
integrable en R.
54
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
2.1.2. Integrales dobles sobre conjuntos no rectangulares
Sea f una función real denida sobre un conjunto cerrado y acotado (y con
interior no vacío1 ) Ω ⊂ R2 . Se trata de dar signicado a la expresión
ZZ
f (x, y)dxdy
Ω
Para ello extenderemos la función f a un rectángulo en R2 .
Como el conjunto Ω es acotado existen dos intervalos de números reales [a, b] y
[c, d] de forma que Ω ⊆ [a, b] × [c, d]. La función F : [a, b] × [c, d] −→ R dada por la
expresión
(
f (x, y) si (x, y) ∈ Ω
F (x, y) =
0 si (x, y) 6∈ Ω
es, claramente, una extensión de f . Este hecho permite dar la siguiente denición.
Denición 2.1.3. Sea f una función de dos variables denida sobre el conjunto
cerrado y acotado Ω. Se dice que f es integrable si la función asociada F es integrable
en el rectángulo [a, b]×[c, d]. La integral de f en Ω se dene por medio de la igualdad
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
Ω
F (x, y)dxdy
[a,b]×[c,d]
No es difícil demostrar que la integrabilidad de f y el valor de su integral (cuando
existe) no dependen del rectángulo que contiene a Ω. En otras palabras, la denición
anterior es consistente.
2.1.3. Interpretación geométrica de la integral doble
Supongamos que f es una función continua denida en un rectángulo R ⊂ R2 ,
y que f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R.
Sabemos que la gráca de f es una supercie en R3 . Sea M el sólido limitado
por la gráca de f , el plano xy y cuatro los planos perpendiculares a éste trazados
RR
sobre los lados del rectángulo R. Veamos que la integral R f (x, y)dxdy puede
interpretarse como el volumen de este sólido.
1 Los
conjuntos cerrados, acotados y con interior no vacío del plano o el espacio suelen llamarse
dominios.
2.1.
55
INTEGRALES DOBLES
Si P = {R1 , . . . , Rp } es una partición regular cualquiera del rectángulo R, y para
cada i = 1, . . . , p elegimos un punto ci ∈ Ri , entonces la suma de Riemann
p
X
f (ci ) area(Ri )
i=1
se aproxima, por un lado, al valor de la integral R f (x, y)dxdy , y por otro, a lo que
intuitivamente entendemos por volumen de M . Y es claro que ambas aproximaciones
serán tanto mejores cuando mayor sea el número de rectángulos de la partición. En
el límite se tiene
ZZ
RR
f (x, y)dxdy = volumen(M )
R
De forma análoga puede demostrarse que si Ω es un dominio en R2 y f es continua
en Ω entonces el volumen del cuerpo M limitado por la supercie z = f (x, y), el
plano xy y las rectas perpendiculares a esta plano trazadas sobre la frontera de Ω
entonces
ZZ
f (x, y)dxdy
volumen(M ) =
Ω
Éstas y otras aplicaciones de la integral serán vistas con más detalle en la última
sección del tema.
2.1.4. Propiedades de la integral doble
Todas las propiedades de la integral de las funciones de una variable conservan
su validez en el contexto de las integrales dobles. Utilizando la denición de integral
como límite de sumas de Riemann pueden demostrarse fácilmente los siguientes
resultados:
(1) Linealidad. Si f y g son funciones integrables en un conjunto Ω y α ∈ R,
entonces la función f + αg es integrable en Ω. Además,
ZZ
ZZ
ZZ
(f (x, y) + α · g(x, y)) dxdy =
Ω
f (x, y)dxdy + α ·
Ω
g(x, y)dxdy
Ω
(2) Monotonía. Si f y g son funciones integrables en Ω y f (x, y) ≥ g(x, y) para
todo (x, y) ∈ Ω, entonces
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy ≥
Ω
g(x, y)dxdy
Ω
56
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
(3) Aditividad respecto del conjunto de integración. Sea f una función denida en
el conjunto cerrado y acotado Ω, y sean Ω1 , . . . , Ωm subconjuntos de Ω, con
interiores dos a dos disjuntos y tales que Ω = ∪m
i=1 Ωi . Entonces f es integrable
en Ω si, y sólo si, es integrable en cada uno de los conjuntos Ωi . En este caso
se tiene
ZZ
m ZZ
f (x, y)dxdy =
Ω
X
f (x, y)dxdy
Ωi
i=1
(4) Desigualdad triangular para integrales. Si f es una función integrable en el
conjunto Ω, entonces también lo es la función |f |, siendo además
Z Z
ZZ
≤
f
(x,
y)dxdy
|f (x, y)|dxdy
Ω
Ω
2.2. Teorema de Fubini
El cálculo de una integral doble, con la denición que hemos dado, no parece
tarea fácil, pues dicho cálculo requiere la construcción de una colección innita de
subconjuntos del dominio, y la consideración de innitas sumas de Riemann. En
esta sección presentamos un método que, en muchos casos, reduce el cálculo de una
integral doble al de dos integrales simples (conocidas como integrales iteradas de f ).
2.2.1. Cálculo de integrales dobles sobre rectángulos
Antes de exponer tal método, consideramos un ejemplo geométrico. Sea f una
función continua y positiva denida en el rectángulo R = [a, b] × [c, d], y sea M el
sólido limitado por el plano xy , los planos perpendiculares a éste trazados sobre los
lados de R y la supercie de ecuación z = f (x, y). Más arriba hemos dicho que
ZZ
volumen(M ) =
f (x, y)dxdy
(2.1)
R
El volumen de M puede determinarse también utilizando integrales simples. En
efecto, jemos un número y ∈ [c, d] y sea ϕ la función denida en el intervalo [a, b]
por la expresión
ϕy (x) = f (x, y)
Al ser f una función continua se sigue que también lo es ϕy . En particular, ϕy es
integrable en el intervalo [a, b] (recalquemos que nuestra función ϕy , y en consecuenR
R
cia la integral ab ϕy (x)dx dependen del punto y ∈ [c, d]). El número ab ϕy (x)dx es
2.2.
57
TEOREMA DE FUBINI
el área de la sección producida en el cuerpo M por el plano que pasa por el punto
(0, y, 0) y es perpendicular al eje Oy . Denotando por A(y) al área de esta sección,
tenemos que
Z
Z
b
A(y) =
b
ϕy (x)dx =
f (x, y)dx
a
a
Utilizando la fórmula para el volumen de un cuerpo con secciones de área conocida,
que estudiamos en Cálculo, se sigue que
Z
d
d
Z
volumen(M ) =
Z
A(y)dy =
c
b
f (x, y)dx dy
c
a
Combinando esta expresión y la igualdad (2.1) obtenemos
ZZ
Z
d
Z
f (x, y)dxdy =
R
b
f (x, y)dx dy
c
a
¾Qué signica esta fórmula? Pues que si integramos la función f respecto de x,
considerando la variable y como si fuese constante, y luego integramos lo obtenido
RR
con respecto a y , el número que resulta es justamente la integral doble R f (x, y)dxdy .
Lo mismo ocurre si se integra primero respecto de x y luego respecto a y . Éste es,
de hecho, el contenido del teorema que da nombre a esta sección.
Teorema 2.2.1 (Fubini). Si f es una función continua en el rectángulo R =
[a, b] × [c, d], entonces
ZZ
Z b Z
f (x, y)dxdy =
R
a
d
Z
d
Z
b
f (x, y)dy dx =
c
f (x, y)dx dy
c
a
Ejemplo. Calculemos la integral
ZZ
f (x, y)dxdy
R
siendo R = [1, 4] × [1, 3], y f (x, y) = x + y − 2.
Como la función f es continua podemos aplicar el Teorema de Fubini. En primer
lugar integramos respecto a x. Por la Regla de Barrow se tiene
4
Z
1
x2
(x + y − 2)dx =
+ yx − 2x
2
x=4
= 8 + 4y − 8 − (1/2 + y − 2) = 3y + 3/2
x=1
Integrando ahora respecto a y resulta
ZZ
Z
(x + y − 2)dxdy =
R
1
3
3(y 2 + y)
(3y + 3/2)dy =
2
y=3
= 36/2 − 6/2 = 15
y=1
Calcula la integral anterior invirtiendo el orden de las integraciones, es decir,
integrando primero respecto a y y luego respecto a x.
58
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
Nota
El teorema de Fubini conserva su validez si el conjunto de puntos de discontinuidad de la función f es despreciable en el sentido que describíamos en la primera
sección.
2.2.2. Cálculo de integrales sobre conjuntos simples
Nuestro objetivo en esta sección es aplicar el Teorema de Fubini a la determinación del valor de integrales de funciones cuyos dominios son conjuntos simples del
plano.
Un conjunto Ω ⊂ R2 se denomina y -simple si existen un intervalo [a, b] y dos
funciones continuas ϕ1 , ϕ2 : [a, b] −→ R tales que ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), ∀x ∈ [a, b], y
Ω = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)
Análogamente, se dice que el conjunto Ω es x-simple si existen un intervalo [c, d] y
funciones continuas ψ1 , ψ2 : [c, d] −→ R tales que ψ1 (y) ≤ ψ2 (y), ∀y ∈ [c, d], y
Ω = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)
Supongamos ahora que f es una función continua denida sobre la región y simple
Ω = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
Veamos cómo puede calcularse la integral
ZZ
f (x, y)dxdy
Ω
Puesto que las funciones ϕ1 y ϕ2 son continuas en el intervalo cerrado y acotado
[a, b], en virtud del Teorema de Weierstrass existen números reales m y M tales que
m ≤ ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]
(2.2)
En particular, el conjunto Ω queda contenido en el rectángulo R = [a, b] × [m, M ].
Sea F : R −→ R la función que coincide con f sobre Ω y sea anula fuera de este
conjunto. De acuerdo con la Denición 2.1.3 tenemos que
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
Ω
F (x, y)dxdy
R
2.2.
59
TEOREMA DE FUBINI
Como f es continua se sigue que la función F es continua en todo punto del conjunto
R salvo, quizá, en los puntos de las grácas de ϕ1 y ϕ2 . Podemos aplicar entonces
RR
el Teorema de Fubini a la integral R F (x, y)dxdy , obteniéndose
Z b Z
ZZ
M
F (x, y)dxdy =
(2.3)
F (x, y)dy dx
R
m
a
Ahora bien, en virtud de la desigualdad (2.2) para cada x del intervalo [a, b] se tiene
Z
M
ϕ1 (x)
Z
F (x, y)dy =
m
ϕ2 (x)
Z
F (x, y)dy +
m
Z
M
F (x, y)dy +
ϕ1 (x)
F (x, y)dy
ϕ2 (x)
y como F (x, y) = 0 cuando y ∈ [m, ϕ1 (x)] ∪ [ϕ2 (x), M ] se inere que
Z
M
Z
ϕ2 (x)
F (x, y)dy =
Z
ϕ2 (x)
F (x, y)dy =
m
f (x, y)dy
ϕ1 (x)
ϕ1 (x)
Sustituyendo en (2.3) resulta la igualdad
Z
ZZ
b
!
ϕ2 (x)
Z
f (x, y)dy dx
f (x, y)dxdy =
ϕ1 (x)
a
Ω
De forma análoga se demuestra que si f es una función continua sobre el conjunto
x-simple
Ω = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (x)}
entonces
ZZ
Z
d
Z
f (x, y)dxdy =
Ω
!
ψ2 (y)
f (x, y)dx dy
c
ψ1 (y)
Ejemplo. Calculemos la integral
ZZ
(x + y)dxdy
Ω
siendo Ω el triángulo que tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (1, 0) y (1, 1).
Claramente, Ω es la región y -simple
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
Consecuentemente,
Z
ZZ
1
Z
Z
(x + y)dy dx =
(x + y)dxdy =
Ω
x
0
0
0
1
x
1
xy + y 2 /2 0 dx = .
2
Observa que Ω puede verse también como conjunto x-simple. Calcula la integral
anterior teniendo en cuenta esta consideración.
60
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
2.3. Integrales triples
En esta sección estudiamos el concepto de integral para funciones reales de tres
variables. El procedimiento será completamente análogo al que hicimos en la primera
sección para las funciones de dos variables: en primer lugar denimos la integral
de las funciones cuyo dominio es un paralelepípedo, y luego reemplazamos estos
conjuntos por regiones más generales del espacio. En relación al cálculo de integrales
veremos que, al menos desde un punto de vista formal, no existe tampoco ninguna
diferencia con respecto al método estudiado en la sección anterior para las integrales
dobles.
2.3.1. Integral de una función sobre un paralelepípedo
Sea f una función real denida en el paralelepípedo R = [a1 , b1 ]×[a2 , b2 ]×[a3 , b3 ].
Se consideran, para cada número natural n, las particiones de los intervalos [a1 , b1 ],
[a2 , b2 ] y [a3 , b3 ] formadas por n + 1 puntos equidistantes, es decir, las colecciones
de puntos a1 = xn,0 < xn,1 < . . . < xn,n = b1 , a2 = yn,0 < yn,1 < . . . < yn,n = b2 y
a3 = zn,0 < zn,1 < . . . < zn,n = b3 , tales que, para cada i = 1, 2, . . . , n se tienen las
igualdades
xn,i − xn,i−1 =
b 1 − a1
b 2 − a2
b 3 − a3
, yn,i − yn,i−1 =
, zn,i − zn,i−1 =
n
n
n
Obviamente, el conjunto de puntos
Pn = {(xn,i , yn,j , zn,k ) : i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}}
determina una subdivisión de la caja R en n3 cajitas más pequeñas (todas con el
n
mismo volumen). Denotemos por Ri,j,k
la cajita cuyo vértice más alejado del punto
(a1 , a2 , a3 ) es el punto (xn,i , yn,j , zn,k ). El conjunto de puntos Pn (o el conjunto de
n
paralelepípedos Ri,j,k
) se conoce como partición regular del paralelepípedo R.
n
Elijamos ahora un punto cni,j,k en cada uno de los paralelepípedos Ri,j,k
, y sea
S(f, Cn ) =
n
X
n
f cni,j,k volumen Ri,j,k
i,j,k=1
Este número recibe el nombre de suma de Riemann de f asociada a la partición Pn
y el conjunto de puntos intermedios Cn = {cni,j,k }i,j,k=1,2...,n (recalquemos que esta
suma depende de la elección de puntos cni,j,k que se efectúa en los paralelepípedos de
la partición Pn ).
2.3.
61
INTEGRALES TRIPLES
Denición 2.3.1. Se dice que f es integrable si existe un número I tal que,
cualquiera que sea el conjunto de puntos intermedios Cn que elijamos para cada
n ∈ N se tiene
lı́m S(f, Cn ) = I
n
Este número, cuando existe es único. Se le llama integral de f , o integral triple de
f , y se representa habitualmente con el símbolo
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz
R
Las propiedades de la integral doble (linealidad, compatibilidad de la integral
con el orden, desigualdad triangular, etc), así como el Teorema 2.1.2, subsisten en
este nuevo contexto.
En relación al cálculo de integrales, la herramienta más ecaz es la siguiente
versión del Teorema de Fubini, que reduce el cálculo e una integral triple al de una
doble y una simple.
Teorema 2.3.2 (Fubini). Si f es una función continua en el rectángulo R =
[a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ], entonces
ZZ
ZZ
f (x, y, z)dxdydz =
R
[a2 ,b2 ]×[a3 ,b3 ]
ZZ
Z
b1
f (x, y, z)dx dydz
a1
Z b2
=
f (x, y, z)dy dxdz
[a1 ,b1 ]×[a3 ,b3 ]
ZZ
a2
Z b3
=
f (x, y, z)dz dxdy
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]
a3
Naturalmente, las integrales dobles involucradas en este teorema pueden calcularse utilizando el Teorema de Fubini para funciones de dos variables. Así pues, en
las condiciones del teorema, el cálculo de la integral triple se reduce al de tres integrales simples. Digamos, asimismo, que la tesis del enunciado subsiste cuando la
función es continua en R salvo, quizá, en un conjunto de medida despreciable con
respecto a R, como la gráca de una función de dos variables (o una unión nita de
tales grácas).
2.3.2. Integración sobre regiones más generales
Supongamos ahora que f es una función denida sobre un conjunto cerrado y
acotado cualquiera (dominio) Ω ⊂ R3 . Sea R un paralelepípedo tal que Ω ⊆ R y sea
62
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
F : R −→ R la función que coincide con f en el conjunto Ω y vale 0 en Ω \ R. Se
dice que f es integrable si la función F es integrable sobre el paralelepípedo R. La
integral de f es, por denición, el número
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz =
F (x, y, z)dxdydz
Ω
R
No es difícil ver que este número no depende de la elección del paralelepípedo continente R.
A continuación vemos cómo puede utilizarse el Teorema de Fubini para calcular
integrales de funciones continuas sobre una clase especial de regiones de R3 , las
regiones simples.
Sea Ω un subconjunto de R3 . Se dice que Ω es z -simple si existen un conjunto
simple D ⊂ R2 y dos funciones continuas ϕ1 , ϕ2 : D −→ R tales que ϕ1 (x, y) ≤
ϕ2 (x, y), ∀(x, y) ∈ D y
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)
De forma análoga se formulan las nociones de de conjunto y -simple o x-simple.
Supongamos que f es una función continua sobre el conjunto z -simple
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)
Puesto que ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas sobre el conjunto cerrado y acotado D
existen intervalos de números reales [a1 , b1 ], [a2 , b2 ] y [a3 , b3 ] tales que Ω ⊆ [a1 , b1 ] ×
[a2 , b2 ] × [a3 , b3 ]. Si F : [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] −→ R es la función que coincide con
f en Ω y se anula fuera de este conjunto entonces
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz =
F (x, y, z)dxdydz
Ω
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]×[a3 ,b3 ]
En virtud del Teorema de Fubini se sigue que
ZZZ
Z
ZZ
b3
F (x, y, z)dz dxdy
F (x, y, z)dxdydz =
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]×[a3 ,b3 ]
a3
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]
Ahora bien, por la denición de la función F se tiene que
ZZ
Z
b3
Z Z Z
b3
F (x, y, z)dz dxdy
F (x, y, z)dz dxdy =
[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ]
a3
D
a3
2.3.
63
INTEGRALES TRIPLES
Fijemos un punto (x, y) ∈ D. Como a3 ≤ ϕ1 (x, y) ≤ ϕ2 (x, y) ≤ b3 tenemos que
Z
b3
ϕ1 (x,y)
Z
F (x, y, z)dz =
a3
Z
ϕ2 (x,y)
F (x, y, z)dz +
a3
Z b3
F (x, y, z)dz
ϕ1 (x,y)
+
F (x, y, z)dz.
ϕ2 (x,y)
La primera y la tercera de estas integrales valen 0, y la segunda es igual a
f (x, y, z)dz (¾por qué?). Por tanto,
ϕ1 (x,y)
R ϕ2 (x,y)
ZZZ
ZZ
Z
!
ϕ2 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dz
Ω
D
dxdy
ϕ1 (x,y)
Así pues, el cálculo de nuestra integral se reduce al de la integral doble sobre un
conjunto simple en R2 , y una integral simple.
Obtén, como ejercicio, las fórmulas análogas para la integración sobre conjuntos
y -simples y x-simples.
Ejemplos: Calculemos la integral triple
ZZZ
zdxdydz
Ω
siendo Ω el cilindro limitado por los planos de ecuaciones z = 0 y z = 1.
La proyección del conjunto Ω sobre el plano xy es el círculo de centro (0, 0) y
radio 1, es decir, el conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}
Así pues,
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1
Utilizando la fórmula anterior se obtiene
Z Z Z
ZZZ
zdxdydz =
Ω
1
ZZ zdz dxdy =
D
0
D
z2
2
1
1
dxdy =
2
0
ZZ
Así pues, el problema se reduce a calcular la integral doble
ZZ
1dxdy
D
Claramente, D puede verse como el conjunto simple
n
o
√
√
2
2
2
(x, y) ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x
1dxdy
D
64
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
de suerte que
ZZ
Z
√
1
Z
1dxdy =
Z
√
2 1 − x2 dx
1
1dy dx =
√
− 1−x2
−1
D
!
1−x2
−1
Haciendo ahora el cambio de variable x = sen t (por ejemplo) obtenemos
1
Z
√
Z
1 − x2 dx =
π
2
Z
cos t · cos tdt =
− π2
−1
π
2
cos2 tdt
− π2
2t
Esta última integral puede calcularse utilizando la fórmula cos2 t = 1+cos
, o apli2
cando el método de integración por partes. En cualquier caso se obtiene
Z
π
2
cos2 tdt =
− π2
Por tanto,
ZZ
Z
1
1dxdy = 2
Z
1−
x2 dx
π
2
=2
cos2 tdt = π
− π2
−1
D
y
√
π
2
ZZZ
1
zdxdydz =
2
Ω
ZZ
1dxdy =
D
π
.
2
2.4. Teorema del cambio de variable
A lo largo de las lecciones anteriores has podido comprobar que el cálculo de
una integral doble o una integral triple haciendo uso del Teorema de Fubini puede
resultar excesivamente engorroso en muchos casos. En esta sección estudiamos una
nueva técnica de integración análoga al método del cambio de variable para las
integrales unidimensionales, y que resulta simplica considerablemente el cálculo de
ciertas integrales múltiples.
2.4.1. La fórmula del cambio de variable
El Teorema del cambio de variable para las integrales simples establece que si
ϕ : [c, d] −→ R es una función de clase C 1 e inyectiva y f es una función continua en
el intervalo determinado por los números a = ϕ(c) y b = ϕ(d) entonces
Z
b
Z
f (x)dx =
a
c
d
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
2.4.
65
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
Una función inyectiva en un intervalo o bien es estrictamente creciente o bien es
estrictamente decreciente.
Si nuestra función ϕ es estrictamente creciente entonces ϕ0 (t) > 0 para todo
t ∈ [c, d], y a < b. Así, la fórmula anterior puede escribirse como
b
Z
Z
f (x)dx =
a
d
f (ϕ(t))|ϕ0 (t)|dt
c
Si ϕ es estrictamente decreciente entonces ϕ0 (t) < 0 para todo t ∈ [c, d], y b < a.
Por tanto,
Z
a
Z
f (x)dx = −
b
b
Z
d
0
f (x)dx = −
Z
f (ϕ(t))ϕ (t)dt =
a
c
d
f (ϕ(t))|ϕ0 (t)|dt
c
En cualquier caso la integral de f sobre el intervalo determinado por los puntos a y
b es el número
Z
d
f (ϕ(t))|ϕ0 (t)|dt
c
En la práctica, lo que hacemos para calcular la integral de una función f (x) sobre
el intervalo determinado por a y b es expresar la variable x en función de una nueva
variable, digamos t, esto es, escribimos
x = ϕ(t)
siendo ϕ una función (inyectiva y derivable). La variable t se mueve ahora en un
nuevo intervalo determinado por dos números c y d. Si designamos por I el intervalo
determinado por a y b, y por J el intervalo determinado por c y d entonces se tiene,
obviamente, que ϕ(J) = I , es decir, J es el conjunto en el que se transforma el
intervalo I al hacer el cambio. Además, la fórmula anterior puede escribirse como
Z
Z
f (x)dx =
f (ϕ(t))|ϕ0 (t)|dt
J
I
Para las integrales dobles se tiene un resultado análogo. Antes de escribirlo formalmente veamos cuál podría ser su enunciado natural. Se trata de calcular la integral
doble
ZZ
f (x, y)dxdy
Ω
siendo f una función continua sobre un conjunto cerrado y acotado Ω ⊂ R2 . Ahora
tenemos no una variable, sino dos, x e y . Lo razonable será, entonces, introducir dos
nuevas variables, y expresar x e y como función de u y v . Escribamos, pues,
x = ϕ1 (u, v)
66
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
y
y = ϕ2 (u, v)
siendo ϕ1 y ϕ2 dos funciones reales denidas sobre un cierto conjunto Ω0 ⊂ R2 . Para
que la cosa tenga sentido es necesario, obviamente, que el punto (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v))
esté en Ω, es decir, que la función vectorial Φ : Ω0 −→ R2 denida por
Φ(u, v) = (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v))
tome sus valores en el conjunto Ω. En otras palabras, Ω0 será el conjunto en el que
se transforma Ω al hacer los cambios.
Así pues, los conjuntos Ω y Ω0 desempeñan los papeles que los intervalos I y J
tenían en el teorema del cambio de variable para la integral simple. Parece razonable,
por tanto, que el cometido que allí tenía la función ϕ lo tenga ahora la función
vectorial Φ. Si así fuese, el número ϕ0 (t) debería ser sustituido por su equivalente
para las funciones de varias variables, o sea, por la matriz jacobiana de Φ en el
punto (u, v). Nuestra intuición falla un poco en este punto. El número ϕ0 (t) debe
ser reemplazado, no por la matriz JΦ(u, v), sino por su determinante, ¾por qué no
tiene sentido cambiar ϕ0 (t) por JΦ(u, v)?
Si has entendido bien este pequeño rollo, el siguiente enunciado te parecerá completamente natural.
Teorema 2.4.1 (Fórmula del cambio de variable para integrales dobles).
Sea f una función continua denida en un dominio Ω ⊂ R2 . Sean Ω0 un conjunto de
R2 y Φ : Ω0 −→ R2 una función diferenciable e inyectiva tal que Φ(Ω0 ) = Ω. Entonces
ZZ
ZZ
f (Φ(u, v)) · | det JΦ(u, v)|dudv
f (x, y)dxdy =
Ω
Ω0
Para las integrales triples se tiene, como es de esperar, el teorema análogo.
Teorema 2.4.2 (Fórmula del cambio de variable para integrales triples).
Sea f una función continua denida en un dominio Ω ⊂ R3 . Sean Ω0 un conjunto de
R3 y Φ : Ω0 −→ R3 una función diferenciable e inyectiva tal que Φ(Ω0 ) = Ω. Entonces
ZZZ
ZZZ
f (Φ(u, v, w)) · | det JΦ(u, v, w)|dudv
f (x, y, z)dxdydz =
Ω
Ω0
2.4.
67
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
Nota
La condición
det JΦ(u, v) 6= 0, ∀(u, v) ∈ Ω0
expresada por la hipótesis del Teorema 2.4.1 puede debilitarse un poco. La misma
conclusión se obtiene si el determinante de la matriz jacobiana de Φ es distinto de
0 salvo en un conjunto de área 0. Lo mismo ocurre con la tesis del Teorema 2.4.2,
si la no anulación del determinante de la matriz jacobiana de Φ se reemplaza por la
anulación de dicho determinante en un subconjunto de Ω0 con volumen cero.
Enseguida veremos algunos cambios de variable más o menos útiles. Describamos
antes un ejemplo sencillo de aplicación del Teorema 2.4.1.
Ejemplo. Calculemos la integral
ZZ
ydxdy
Ω
siendo Ω el recinto plano limitado por la elipse de ecuación
El conjunto de integración es
Ω=
x2 y 2
(x, y) ∈ R : 2 + 2 ≤ 1
a
b
2
La función Φ : R2 −→ R2 dada por la igualdad
Φ(u, v) = (au, bv)
transforma el conjunto Ω en el círculo
Ω0 = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1
Las derivadas parciales de Φ son las funciones
∂Φ
(u, v) = (a, 0)
∂u
y
∂Φ
(u, v) = (0, b)
∂v
luego
det JΦ(u, v) = det
a 0
0 b
!
= ab
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
68
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
Por el Teorema del cambio de variable se sigue que
ZZ
ZZ
bv · abdudv = ab
ydxdy =
ZZ
2
vdudv
Ω0
Ω
Ω0
Teniendo en cuenta la expresión del círculo Ω0 como conjunto u-simple obtenemos
ZZ
Z
1
vdudv =
Ω0
−1
√
Z
!
1−v 2
√
− 1−v 2
Z
1
vdu dv = 2
√
2v 1 − v 2 dv
−1
√
1
La integral −1
2v 1 − v 2 dv es inmediata, pero ni siquiera es necesario calcular una
primitiva. Teniendo en cuenta que el integrando es una función impar (y que el
intervalo de integración es simétrico respecto al origen) se sigue que el valor de
dicha integral es 0. Así pues,
ZZ
R
ydxdy = 0
Ω
2.4.2. Coordenadas polares en R2
Sea P un punto del plano cuyas coordenadas cartesianas son los números x e
−→
y . Designemos por ρ la longitud del vector OP y por θ la amplitud del ángulo
determinado por dicho vector y la semirrecta formada por los puntos del eje Ox con
abscisa positiva. Los números ρ y θ reciben el nombre de coordenadas polares del
punto P . Las relaciones entre coordenadas polares y cartesianas de P vienen dadas
por las igualdades
(
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
(2.4)
Observa que la coordenada ρ es siempre mayor o igual que 0. Por otra parte, para
cualquier punto P del plano (que no esté situado sobre el eje x positivo) existen un
único ρ > 0 y un único ángulo θ ∈ [0, 2π] vericando las condiciones (2.4).
Por tanto, la función Φ : [0, ∞) × R −→ R2 dada por la expresión
Φ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ)
es inyectiva (cuando se restringe al conjunto (0, ∞) × [0, 2π)). El determinante de
la matriz jacobiana de esta función en un punto arbitrario (ρ, θ) es
cos θ −ρ sen θ
det JΦ(ρ, θ) = sen θ ρ cos θ
= ρ(cos2 θ + sen2 θ) = ρ
2.4.
69
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
Así pues, si f es una función continua denida en un dominio Ω ⊂ R2 y Ω0 es el
conjunto que resulta de la transformación de Ω al pasar a coordenadas polares (o
sea, tal que Φ(Ω0 ) = Ω) entonces
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (Φ(ρ, θ))|ρ|dρdθ =
f (ρ cos θ, ρ sen θ)ρdρdθ
Ω0
Ω
Ω0
Ejemplo. Calculemos la integral
ZZ
Ω
xy 3
dxdy
x2 + y 2
siendo Ω la región del primer cuadrante delimitada por las circunferencias de radios
1 y 2 centradas en el origen de coordenadas.
Haciendo un cambio a coordenadas polares el conjunto Ω se transforma en el
rectángulo [1, 2] × [0, π2 ]. Por tanto,
ZZ
Ω
xy 3
dxdy =
x2 + y 2
2
Z
Z
1
0
π
2
!
Z 2
ρ cos θρ3 sen3 θ
ρdθ dρ =
ρ2
1
Z
π
2
!
ρ3 cos θ sen3 θdθ dρ
0
La integral del centro es inmediata, teniéndose
Z
π
2
3
3
ρ cos θ sen θdθ = ρ
0
3
sen4 θ
4
π/2
=
0
ρ3
4
Sustituyendo esta igualdad en la anterior resulta
ZZ
Ω
xy 3
1
dxdy =
2
2
x +y
4
Z
2
ρ3 dρ =
1
16 − 1
15
=
16
16
2.4.3. Coordenadas cilíndricas en R3
Sea P el punto del espacio cuyas coordenadas cartesianas son los números x, y
y z , y sea P 0 la proyección de este punto sobre el plano xy , es decir, el punto (x, y).
Denotemos por ρ y θ las coordenadas cartesianas de P 0 . Los números ρ, θ y z reciben
el nombre de coordenadas cilíndricas del punto P .
Es claro que la aplicación Φ : [0, ∞) × [0, 2π] × R −→ R3 denida por
Φ(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z)
es inyectiva sobre el conjunto (0, ∞) × [0, 2π) × R. El determinante de la matriz
jacobiana de Φ es un punto dado (ρ, θ, z) es
cos θ −ρ sen θ 0 cos θ −ρ sen θ
det JΦ(ρ, θ, z) = sen θ ρ cos θ 0 = sen θ ρ cos θ
0
0
1 =ρ
70
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
Por tanto, si f es una función continua denida en un dominio Ω ⊂ R3 y Ω0 es la
representación de dicho conjunto en coordenadas cilíndricas (Φ(Ω0 ) = Ω) entonces
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z)dxdy =
f (Φ(ρ, θ, z))ρdρdθdz
Ω0
Ω
El sistema que hemos descrito no es, desde luego, el único sistema de representación
basado en coordenadas cilíndricas. Si en lugar de proyectar el punto P sobre el plano
xy lo hubiésemos hecho sobre el plano xz o el yz habríamos obtenido sistemas de
representación análogos.
Ejemplos: (1) Hallemos el valor de la integral triple
ZZZ
(x2 + y 2 + 3z 2 )dxdydz
Ω
siendo Ω el sólido limitado por el cilindro de ecuación x2 + y 2 = 1 y los planos de
ecuaciones z = 0 y z = 1.
Para ello hacemos el cambio a coordenadas cilíndricas explicado más arriba. Con
este cambio el conjunto Ω se transforma en
Ω0 = (ρ, θ, z) ∈ R3 : ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π], [0, 1], z ∈ [0, 1] = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 1]
Por tanto,
ZZZ
ZZZ
(ρ2 + 3z 2 )ρdθdρdz
f (x, y, z)dxdydz =
Ω0
Ω
Como Ω es un paralelepípedo en R3 tenemos que
0
ZZZ
2π
2
Z
Z
1
0
0
4
Z
1
(ρ + 3z )ρdθdρdz =
(ρ + 3z ρ)dz dρ dθ
0
0
0
Ω0
Z 2π Z 1
3
3 z=1
=
ρ z + ρz z=0 dρ dθ
0
0
Z 2π Z 1
3
=
(ρ + ρ)dρ dθ
2
3
ρ=1
ρ
ρ2
=
+
dθ
4
2 ρ=0
0
Z 2π 1 1
=
+
dθ
4 2
0
3π
=
2
Z
2π
2
2.4.
71
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
Así pues, la integral propuesta es igual a
3π
2
.
(2) Calculemos la integral
ZZZ
(x2 + y 2 )dxdydz
Ω
siendo Ω el sólido limitado por el cono de ecuación z = x2 + y 2 , el primer octante
y el plano de ecuación z = 1.
Hacemos nuevamente un cambio a coordenadas cilíndricas. Un pequeño dibujo
nos permite ver que nuestro recinto se transforma en el conjunto
p
Ω0 = {(ρ, θ, z) : (ρ, θ) ∈ [0, 1] × [0, π/2], ρ ≤ z ≤ 1}
Por tanto,
ZZZ
2
ZZZ
2
(x + y )dxdydz =
2
2
ZZZ
2
Ω
ρ3 dθdρdθdz
ρ (cos θ + sen θ)ρdρdθdz =
Ω0
Ω0
Puesto que Ω0 es un conjunto z -simple de R3 tenemos que
ZZZ
Z
ZZ
3
ρ θdρdθdz =
1
3
ρ dz dρdθ
Ω0
[0,1]×[0,π/2]
ZZ
(1 − ρ)ρ3 dρdθ
=
Z
[0,1]×[0,π/2]
π/2 Z 1
(ρ − ρ )dρ dθ
=
0
1
20
π
=
40
ρ
3
4
0
Z
=
π/2
dθ
0
Por tanto, el valor de la integral es π/40.
2.4.4. Coordenadas esféricas en R3
Sea P el punto del espacio cuyas coordenadas cartesianas están dadas por la terna
−→
(x, y, z). Designemos por ρ la longitud del vector OP y por ϕ el ángulo determinado
por dicho vector y el eje z positivo. Sea P 0 la proyección del punto P sobre el plano xy
−−→
y denotemos por θ el ángulo formado por el vector OP 0 con el eje de las x positivas.
72
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
Los números ρ, ϕ y θ reciben el nombre de coordenadas esféricas del punto P . Estas
coordenadas se relacionan con las cartesianas por medio de las igualdades


x = ρ sen ϕ cos θ


(2.5)
y = ρ sen ϕ sen θ



z = ρ cos ϕ
Es claro que para cada punto (x, y, z) en el espacio existe una única terna (ρ, ϕ, θ) ∈
(0, ∞) × [0, π] × [0, 2π) vericando las igualdades (2.5).
Por tanto, la expresión
Φ(ρ, ϕ, θ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ)
dene una aplicación que es inyectiva sobre el conjunto (0, ∞) × [0, π] × [0, 2π). El
determinante de la matriz jacobiana de Φ es
sen ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ −ρ sen ϕ sen θ
det JΦ(ρ, ϕ, θ) = sen ϕ sen θ ρ cos ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ
cos ϕ
−ρ sen ϕ
0
Desarrollando por la tercera la (por ejemplo), se obtiene
det JΦ(ρ, ϕ, θ) = ρ2 cos2 ϕ sen ϕ(cos2 + sen2 θ) + ρ2 sen3 ϕ(cos2 + sen2 θ)
= ρ2 sen ϕ(cos2 ϕ + sen2 ϕ)
= ρ2 sen ϕ
Como el ángulo ϕ se mueve entre 0 y π tenemos que sen ϕ ≥ 0 (la desigualdad es
además es estricta si ϕ ∈ (0, π)). En particular
| det JΦ(ρ, ϕ, θ)| = |ρ2 sen ϕ| = ρ2 sen ϕ
Si f es una función continua en un dominio Ω ⊂ R3 , y Ω0 es el conjunto que resulta
de expresar Ω en coordenadas esféricas entonces
ZZZ
ZZZ
f (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ)ρ2 sen ϕdρdϕdθ
f (x, y, z) =
Ω
Ω0
Ejemplo. Hallemos el valor de la integral
ZZZ
Ω
(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
2.5.
73
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
siendo Ω la región limitada por la esfera de centro (0, 0, 0) y radio 2.
Hacemos el cambio a coordenadas esféricas dado por las ecuaciones (2.5). El
recinto de integración Ω se transforma en el conjunto
Ω0 = [0, 2] × [0, π] × [0, 2π]
y la función integrando es ahora
x2 + y 2 + z 2 = (ρ2 sen2 ϕ cos2 θ + ρ2 sen2 ϕ sen2 θ + ρ2 cos2 ϕ)ρ sen2 ϕ = ρ3 sen2 ϕ
Como Ω0 es un paralelepípedo, por el Teorema de Fubini se tiene
ZZZ
3
2
Z
2
Z
π
Z
2π
ρ sen ϕdρdϕdθ =
Ω0
3
2
ρ sen ϕdθ dϕ dρ
Z 2 Z π
3
2
= 2π
ρ sen ϕdϕ dρ
0
0
Z 2 Z π 3
ρ (1 − cos 2ϕ)
= 2π
dϕ dρ
2
0
0
Z 2 3
πρ
= 2π
dρ
2
0
0
0
0
= 4π 2
Así pues, el valor de la integral propuesta es 16π 2 .
2.5. Aplicaciones de la integral
En esta última sección presentamos, a modo de ejemplo, algunas aplicaciones de
la integral múltiple a la Geometría y la Física.
2.5.1. Área de una región plana
Supongamos que Ω es dominio del plano. Vamos a intentar hallar una expresión
para el área de Ω en términos de integrales dobles.
Sea R = [a, b] × [c, d] un rectángulo conteniendo a Ω. Para cada n ∈ N, la partición regular Pn determina una subdivisión de R en n2 rectángulos más pequeños.
Pongamos que, entre todos estos rectángulos, encontramos pn que están contenidos
enteramente en Ω. Designemos por Ri1 , . . . , Ripn a estos rectángulos. El número
Sn =
pn
X
j=1
area Rij = area (Ri1 ) + · · · + area Ripn
74
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
constituye una aproximación por defecto a lo que entendemos intuitivamente por
área de la región Ω. Y dicha aproximación será tanto mejor cuanto mayor sea el
número n. Por otra parte, dicho número puede verse como una suma de Riemann
de la función F : [a, b] × [c, d] −→ R denida por
(
F (x, y) =
1 si (x, y) ∈ Ω
0 si (x, y) 6∈ Ω
Cuando n tiende a ∞, la sucesión {Sn }n converge, por un lado, al área de Ω, y por
RR
otro, a la integral R F (x, y)dxdy , luego
ZZ
area(Ω) =
F (x, y)dxdy
R
Ahora bien, por la denición de la función F se tiene que
ZZ
ZZ
F (x, y)dxdy =
1dxdy
R
Ω
Por tanto,
ZZ
dxdy
area(Ω) =
Ω
Área por integración simple. Supongamos que Ω es el conjunto y-simple limitado por dos funciones ϕ1 y ϕ2 continuas en un intervalo [a, b] tales que ϕ1 (x) ≤
ϕ2 (x), ∀x ∈ [a, b]. Aplicando la fórmula precedente se obtiene la conocida igualdad
b
Z
(ϕ2 (x) − ϕ1 (x)) dx
area(Ω) =
a
Área en coordenadas polares. Supongamos ahora que al efectuar un cambio a
coordenadas polares, Ω se transforma en el conjunto
Ω0 = {(ρ, θ) : θ1 ≤ θ ≤ θ2 , 0 ≤ ρ ≤ ρ(θ)}
donde θ1 y θ2 son números (jos) del intervalo [0, 2π] y ρ es una función continua
y positiva denida para θ ∈ [θ1 , θ2 ]. De acuerdo con la fórmula deducida hace un
momento, y el teorema del cambio de variable para integrales dobles se tiene
ZZ
area(Ω) =
ZZ
dxdy =
Ω
ρdρdθ
Ω0
2.5.
75
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Por otra parte, teniendo en cuenta que el conjunto Ω0 es ρ-simple se sigue que
ZZ
Z
θ2
ρdρdθ =
Ω0
!
ρ(θ)
Z
Z
θ2
ρdρ dθ =
θ1
0
θ1
Por tanto,
1
area(Ω) =
2
ρ2
2
ρ(θ)
0
1
dθ =
2
Z
θ2
ρ2 (θ)dθ
θ1
θ2
Z
ρ2 (θ)dθ
θ1
Ejemplo. La espiral de Arquímedes es el conjunto del plano descrito por una
partícula que se desplaza con velocidad constante sobre una cuerda que gira con
velocidad angular constante alrededor de un punto jo. Suponiendo que este punto
es el origen de coordenadas, y que las velocidades de la cuerda y partícula son
ambas iguales a 1 es fácil ver que si P es un punto cualquiera de la espiral, entonces
−→
la longitud ρ del vector OP coincide con el ángulo θ barrido por la cuerda, esto es,
ρ=θ
Así pues, la espiral de Arquímedes puede verse como el lugar geométrico de los
puntos del plano cuyas coordenadas polares son idénticas.
Determinemos el área de la región más pequeña limitada por la espiral y el eje
Oy . Con el paso a coordenadas polares, nuestra región se transforma en el conjunto
{(ρ, θ) : 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ ρ ≤ θ}. Por tanto,
1
area =
2
Z
π/2
θ2 dθ =
0
π3
48
2.5.2. Volumen de una región en R3
Sea Ω un dominio en R3 . Se trata de averiguar una fórmula que determine el
volumen de Ω en términos de integrales triples. Nuestro razonamiento es totalmente
análogo al que utilizamos en la sección anterior.
Sea R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] una caja que contiene al conjunto Ω. Para
cada n ∈ N, la partición regular Pn determina una subdivisión de R en n3 cajitas
más pequeñas, algunas de las cuales estarán contenidas en Ω. Si designamos por
Ri1 , . . . , Ripn a estas cajas es claro que el número
Sn =
pn
X
j=1
volumen Rij
76
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
constituye una aproximación por defecto al volumen de Ω. Este número es a su vez
una suma de Riemann de la función F : [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] −→ R denida por
(
F (x, y, z) =
1 si (x, y, z) ∈ Ω
0 si (x, y, z) 6∈ Ω
Cuando n tiende a ∞, la sucesión {Sn }n converge, por un lado, al volumen de Ω, y
RR
RRR
por otro, a la integral R F (x, y, z)dxdydz =
dxdydz , luego
Ω
ZZZ
volumen(Ω) =
dxdydz
Ω
Como caso particular de esta fórmula se sigue que si Ω es el conjunto z -simple determinado por dos funciones continuas ϕ1 y ϕ2 sobre un conjunto cerrado y acotado
D ⊆ R2 tales que ϕ1 ≤ ϕ2 entonces
ZZ
(ϕ2 (x, y) − ϕ1 (x, y)) dxdy
volumen(Ω) =
D
Ejemplo. Calculemos el volumen del sólido comprendido entre el cono z =
p
x2 + y 2
y el paraboloide z = x2 + y 2 .
Designemos por Ω al conjunto en cuestión. Con ayuda de un pequeño dibujo
observamos que
n
o
p
3
0
2
2
2
2
Ω = (x, y, z) ∈ R : (x, y) ∈ Ω , x + y ≤ z ≤ x + y
siendo Ω0 el círculo de radio 1 con centro el origen de coordenadas, es decir,
Ω0 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1
El volumen del recinto es valor de la integral
Z Z p
2
2
2
2
V =
x + y − (x + y ) dxdy
Ω0
La forma del conjunto Ω0 y la naturaleza de la función involucrada en la expresión
anterior sugiere hacer el cambio a coordenadas polares. El conjunto en el que se
transforma Ω0 al hacer este cambio de coordenadas es el rectángulo [0, 1] × [0, 2π].
Por tanto,
Z Z p
Ω0
x2
+
y2
Z
− (x + y ) dxdy =
2
2
0
2π
Z
0
1
(ρ − ρ )ρdρ dθ
2
2.5.
77
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Ahora bien,
1
Z
ρ3 ρ4
(ρ − ρ )ρdρ =
−
3
4
2
0
1
=
0
luego
Z Z p
x2
+
y2
Z
− (x + y ) dxdy =
2
2
Ω0
0
1
12
2π
dθ
π
=
12
6
El volumen del sólido limitado por el cilindro y el cono es π6 .
2.5.3. Centros de masa
Sea R la recta real. Sobre los puntos x1 , . . . , xn ∈ R se sitúan n cuyas masas
son, respectivamente los números m1 , . . . , mn . El centro de masa de este conjunto
de partículas es el punto c de la recta denido por la condición
X
mi (c − xi ) = 0
i
o equivalentemente,
P
mi xi
c = Pi
i mi
Físicamente, esta igualdad se expresa diciendo que la suma de los momentos de
las partículas es 0.
Supongamos que sobre un intervalo [a, b] de la recta se tiene una distribución de
densidad lineal continua % = %(x). Teniendo en cuenta que la masa es el producto
de la densidad lineal por longitud, haciendo un pequeño ejercicio de abstracción
deducimos que el centro de masa del hilo con extremos sobre los puntos a y b viene
dado por la igualdad
R
c=
b
x%(x)dx
a
Rb
%(x)dx
a
Lo que acabamos de decir se generaliza al reemplazar la real real por el plano R2 . Si Ω
es una región cerrada y acotada, y sobre ella hay denida una función de densidad
continua %(x, y) entonces el centro de masa de Ω es el punto cuyas coordenadas
vienen dadas por las igualdades
RR
x%(x, y)dxdy
cx = RRΩ
%(x, y)dxdy
Ω
y
RR
y%(x, y)dxdy
cy = RRΩ
%(x, y)dxdy
Ω
78
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
El número Ω %(x, y)dxdy es, naturalmente, la masa de la lámina Ω. Cuando la
densidad % es constante, el centro de masa de Ω recibe el nombre de baricentro.
Notemos que ese caso, la masa de la lámina es justamente el producto de su área
por su densidad %.
Supongamos, para terminar, que Ω es un sólido en R3 , y que la densidad de Ω
viene dada por una función continua %(x, y, z). Las coordenadas del centro de masa
de Ω vienen entonces dadas por las expresiones
RR
RRR
x%(x, y, z)dxdydz
cx = RRRΩ
%(x, y, z)dxdydz
Ω
RRR
y%(x, y, z)dxdydz
cy = RRRΩ
%(x, y, z)dxdydz
Ω
y
RRR
z%(x, y, z)dxdydz
cz = RRRΩ
%(x, y, z)dxdydz
Ω
La integral involucrada en los denominadores representa la masa de la gura Ω.
2.6. Ejercicios del tema
1. Sea R el rectángulo [0, 1] × [0, 2]. Hallar el valor de la integral
ZZ
xdxdy
R
utilizando sumas de Riemann adecuadas.
2. Calcular las siguientes integrales dobles en los rectángulos que se indican:
a)
RR
b)
RR
c)
RR
R
(x + y)xydxdy , R = [0, 1] × [0, 1].
R
x log(xy)dxdy , R = [2, 3] × [1, 2].
R
y 2 cos(xy)dxdy , R = [0, 2π] × [0, 1].
3. Calcular la integral doble
ZZ
x2 dxdy
Ω
siendo Ω la región del plano limitada por la recta y = x y la parábola y = x2 .
2.6.
79
EJERCICIOS DEL TEMA
4. Calcular la integral doble
ZZ
ex+y dxdy
Ω
siendo D = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}.
5. Calcular la integral doble
ZZ
siendo Ω = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 3,
x
3
2
e−y dxdy,
Ω
≤y≤1 .
6. Calcular la integral triple
ZZZ
Ω
z(yz − x2 − x4 )
dxdydz
1 + x2
siendo Ω el cubo de lado 1 situado en el primer octante con las aristas sobre
los tres ejes coordenados.
7. Calcular la integral triple
ZZZ
zdxdydz
Ω
siendo Ω el sólido limitado por los tres planos coordenados y el plano de
ecuación xa + yb + zc = 1, siendo a, b y c constantes positivas.
8. El teorema de Schwarz. El objetivo de este problema es mostrar cómo puede
utilizarse el Teorema de Fubini para probar que si f es una función con
derivadas parciales segundas continuas en un abierto A ⊆ R2 entonces para
cada a ∈ A se verica la igualdad
∂2f
∂2f
(a) =
(a).
∂x∂y
∂y∂x
a ) Probar que si existe algún a ∈ A tal que
∂2f
∂2f
(a) −
(a) > 0,
∂x∂y
∂y∂x
entonces existe un rectángulo R ⊂ A tal que a ∈ R y
ZZ R
∂2f
∂2f
(x, y) −
(x, y) > 0.
∂x∂y
∂y∂x
Razonar qué ocurre si
∂2f
∂2f
(a) −
(a) < 0.
∂x∂y
∂y∂x
80
TEMA 2.
INTEGRALES MÚLTIPLES
b ) Utilizar el Teorema de Fubini para comprobar que
ZZ
R
∂2f
(x, y)dxdy =
∂x∂y
ZZ
R
∂2f
dxdy.
∂y∂x
9. Calcular la integral doble
ZZ
cos(x2 + y 2 )dxdy,
Ω
siendo Ω el círculo de ecuación x2 + y 2 = 4.
10. Hallar el valor de la integral
ZZ p
x2 + y 2 dxdy,
Ω
siendo Ω el triángulo de vértices (0, 0), (a, 0) y (a, a).
11. Hallar el valor de la integral doble
ZZ s
1−
Ω
x2 y 2
+ 2 dxdy,
a2
b
siendo Ω el conjunto de los puntos (x, y) ∈ R2 tales que x ≥ 0 y
12. Calcular la integral triple
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1.
ZZZ
xyzdxdyz
Ω
siendo Ω = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
13. Calcular la integral triple
ZZZ
(x2 + y 2 )dxdydz
Ω
siendo Ω la región limitada por el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 y el plano z = 0.
14. Calcular el volumen del recinto limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 y el
p
cono z = x2 + y 2 .
15. Hallar el volumen del sólido limitado por el plano xy , el plano de ecuación
x + y + z = 6 y el cilindro x2 + y 2 = 1.
16. Determinar el volumen de la bóveda de Viviani : región del espacio limitada
por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4r2 y el cilindro x2 + (y − r)2 = r2 .
2.6.
81
EJERCICIOS DEL TEMA
17. Hallar el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c.
18. Se llama lemmniscata de Bernoulli al conjunto de los puntos del plano cuyo
producto de distancias a dos puntos jos es constante. Se trata de una curva
con forma de ocho invertido cuya ecuación polar es
ρ2 = a cos 2θ
siendo a una constante. Hallar el área encerrada por esta curva.
19. Determinar el baricentro de los siguientes recintos planos:
a ) El triángulo cuyos vértices son los puntos (a, 0), (0, b) y (c, 0).
b ) La región interior al círculo x2 + y 2 ≤ R2 que queda por encima de la
recta y = r, 0 < r < R.
c ) La región del primer cuadrante limitada por la elipse de la elipse
1.
x2
a2
2
+ yb2 =
20. Hallar el centro de masas de la región del primer cuadrante limitada por el
círculo x2 + y 2 = 1 suponiendo que la densidad en cada punto es directamente
proporcional a su distancia al origen.
21. Calcular el baricentro de las siguientes guras:
a ) El tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano de ecuación
x
+ yb + zc = 1.
a
b ) La región limitada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 y el semiplano z ≥ r,
0 < r < R.
c ) La bóveda de Viviani (véase el Ejercicio 16).
22. Integral de Gauss. El objeto de este problema es mostrar cómo puede utilizarse
la integral múltiple para determinar el valor exacto de la integral
Z
∞
2
e−x dx.
0
Para cada número r > 0, denimos la integral
Z
I(r) =
r
2
e−x dx
0
y consideramos los siguientes conjuntos del plano:
82
TEMA 2.
h
a ) El cuadrado Ω1 (r) = 0,
√
2r
2
i
h
× 0,
√
2r
2
i
INTEGRALES MÚLTIPLES
,
b ) El sector circular Ω2 (r) = {(x, y) : x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ r}, y
c ) El cuadrado Ω3 (r) = [0, r] × [0, r] .
Calcular la integral doble de la función f (x, y) = e−x
anteriores y deducir la desigualdad
√
I
Concluir que
2r
2
!2
∞
√
−x2
e
0
sobre los tres recintos
π
2
1 − e−r ≤ I(r)2 .
4
≤
Z
2 −y 2
dx =
π
.
2
Tema 3
Integrales de línea de y supercie
El objeto de este tema es el estudio de las integrales de funciones vectoriales
sobre curvas y supercies. Desde el punto de vista físico, estas integrales se corresponden, respectivamente, con los conceptos de trabajo realizado por una fuerza
para trasladar una partícula sobre una curva y ujo de una fuerza a través de una
una supercie. En esta primera parte estudiamos las integrales sobre curvas (integrales de línea). Para abordar convenientemente este asunto haremos previamente
una pequeña intromisión en la teoría de curvas.
3.1. Curvas parametrizadas
En la asignatura de Cálculo veíamos que si f es una función real de una variable
real, entonces la gráca de f es una curva en R2 . No obstante, sabemos que existen
curvas (la circunferencia, por ejemplo) que no pueden expresarse como la gráca
de una función de una variable. Las funciones vectoriales de una variable permiten
contemplar las curvas desde una óptica más general.
Para ilustrar este hecho empezamos con un ejemplo bien conocido: la recta. En
general, una recta en el plano queda completamente determinada cuando se conocen
un punto y un vector director de la misma. Si R es la recta que pasa por el punto
(x0 , y0 ) y tiene por vector director (v1 , v2 ), cualquier otro punto (x, y) de la misma
puede escribirse en la forma
(
x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
siendo t un número real. Estas expresiones reciben el nombre de ecuaciones paramétri83
84
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
cas de la recta R (cualquier punto de la misma puede expresarse en función del
parámetro t). Las funciones expresadas por estas tres igualdades son las componentes de la función r : R −→ R2 denida por la expresión
r(t) = (x0 + v1 t, y0 + v2 t)
En esta situación se dice que r es una parametrización de R.
En general, dada una curva C en el plano (resp. el espacio) se llama parametrización
de C a toda función de una variable con valores en R2 (resp. R3 ) cuya imagen es
justamente la curva C .
Tratemos de averiguar ahora unas ecuaciones paramétricas de la circunferencia
C de radio r centrada en el punto P0 (x0 , y0 ). Es claro que si t es un número real
cualquiera entonces el punto (x, y) denido por las expresiones
(
x = x0 + r cos t
y = y0 + r sen t
está en C . Por otra parte, por la denición geométrica de las funciones trigonométricas se sigue que para cualquier punto P (x, y) ∈ C existe un número real t (el ángulo
−−→
determinado por el vector P0 P y el eje Ox) vericando las dos igualdades anteriores.
Por tanto, la función vectorial
r(t) = (x0 + r cos t, y0 + r sen t)
es una parametrización de la curva C . Procediendo de forma análoga se deduce que
si C es la elipse de semiejes a y b centrada en el punto O entonces la función
r(t) = (a cos t, b sen t)
es una parametrización para C . Asimismo, la función
r(t) = (a cosh t, b senh t)
parametriza la hipérbola cuya ecuación implícita es xa2 − yb2 = 1.
Por supuesto, si f es una función de una variable denida en el intervalo I ,
su gráca también puede contemplarse de esta forma: la función vectorial r(t) =
(t, f (t)) denida para t ∈ I nos proporciona una parametrización de la gráca de f .
Las funciones vectoriales son asimismo un instrumento adecuado para el tratamiento de funciones denidas mediante coordenadas polares. Supongamos que C es una
2
2
3.1.
CURVAS PARAMETRIZADAS
85
curva plana dada por la ecuación polar ρ = ρ(θ). Como sabes, esto signica que si
expresamos los puntos de C en coordenadas polares, entonces el polo de un punto
cualquiera P (la longitud del segmento OP ) viene dado en función del argumento
de dicho punto. Utilizando el argumento como parámetro vemos que las igualdades
(
x = ρ(θ) cos θ
y = ρ(θ) sen θ
denen unas ecuaciones paramétricas para C . En particular, la función vectorial
r(θ) = (θ cos θ, θ sen θ)
parametriza la espiral de Arquímedes cuya ecuación polar es ρ = θ.
Veamos ahora algunos ejemplos de curvas en el espacio. Procediendo como hemos
hecho al principio vemos que si R es la recta que pasa por el punto (x0 , y0 , z0 ) y tiene
la dirección del vector v = (v1 , v2 , v3 ) entonces R se parametriza con la función
r(t) = (x0 + v1 t, y0 + v2 t, z0 + v3 t)
Otra curva muy notable en R3 es la hélice cilíndrica (o circular), que puede verse
como la trayectoria recorrida por una partícula que se mueve con velocidad angular
constante sobre una circunferencia C al tiempo que ésta se desplaza uniformemente
sobre la recta perpendicular al centro de C . Hallemos una parametrización para la
hélice. Para facilitar las cosas suponemos que C es la circunferencia de centro (0, 0, 0)
y radio 1 contenida en el plano xy , y que la partícula se halla situada inicialmente
sobre el punto (0, 1, 0). Si la partícula gira sobre C con velocidad angular ω = 1 en
sentido contrario al de las agujas del reloj y la circunferencia se mueve apoyada en el
Oz en el sentido de las z positivas con velocidad v = 1, pasado un tiempo t nuestra
partícula se encuentra en el punto del espacio cuyas coordenadas cartesianas son los
números x = cos t, y = sen t y z = t. Así pues, la hélice puede parametrizarse por
medio de la función
r(t) = (cos t, sen t, t)
Observa que esta hélice está contenida en el cilindro de ecuación x2 + y 2 = 1 (de ahí
el nombre). La función r(t) = (t cos t, t sen t, t) parametriza una curva contenida en
p
el cono z = x2 + y 2 . Esta curva recibe se denomina hélice cónica.
86
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
3.1.1. Recta tangente a una curva parametrizada
Sea I un intervalo abierto de números reales y sea r : I −→ Rn una función.
Sabemos que r es derivable en un punto t0 ∈ I si existe el límite
r0 (t0 ) = lı́m
t → t0
r(t) − r(t0 )
t − t0
y que en tal caso, este límite es el vector cuyas componentes son las derivadas de
las funciones componentes de r en el punto t0 , es decir,
r0 (t0 ) = (r10 (t0 ), r20 (t0 ), . . . , rn0 (t0 ))
Cuando n = 2 o n = 3, el vector r0 (t0 ) tiene una interesante interpretación
geométrica: si C es una curva parametrizada por r y r0 (t0 ) 6= 0, entonces r0 (t0 ) es
un vector tangente a la curva C en el punto r(t0 ). Cuando r0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I
se dice que la curva C es regular.
Notemos que si C es regular entonces
T (t) =
r0 (t)
kr0 (t)k
es un vector de norma 1 que está denido para todo t ∈ I . A este vector se le llama
tangente unitario. Si n = 3, el plano perpendicular a dicho vector recibe el nombre
de plano normal a la curva en el punto r(t).
La derivada vectorial puede interpretarse también desde el punto de vista físico:
el vector r0 (t) representa la velocidad instantánea de una partícula cuya posición
viene dada por la función r.
Consideremos, a modo de ejemplo, la función
r(t) = (2 cos t, 2 sen t)
denida en R. Esta función parametriza a la circunferencia de centro (0, 0) y radio
2. El vector tangente en el punto r(t) es
r0 (t) = (−2 sen t, 2 cos t)
Observa que para todo t ∈ R se tiene r0 (t) 6= 0 (¾por qué?) de modo que la circunferencia es una curva regular. El vector tangente unitario en un punto r(t) es
T (t) =
r0 (t)
(−2 sen t, 2 cos t)
=
= (− sen t, cos t)
0
kr (t)k
2
3.1.
87
CURVAS PARAMETRIZADAS
3.1.2. Longitud de un arco de curva
Uno de los objetivos de este tema es el estudio de la integración de funciones
denidas sobre curvas en el plano o el espacio. Para motivar la denición correspondiente es conveniente ver previamente un procedimiento para el cálculo de la
longitud de una curva parametrizada.
Supongamos que r una función de clase C 1 denida en un intervalo [a, b] con
valores en R2 o R3 y sea C la curva imagen de r. Vamos a ver que a longitud de C
puede calcularse por medio de la expresión
Z
b
kr0 (t)kdt
l(C) =
a
Supongamos por ejemplo que r toma sus valores en R3 (el caso en que C es una
curva plana se trata de forma completamente análoga).
Sea P = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} una partición del intervalo [a, b] y sea,
para cada i = 0, . . . , n, Pi = r(ti ). La longitud de la línea poligonal determinada por
los puntos P0 , P1 , . . . , Pn es
l(P) =
n−1
X
kr(ti+1 ) − r(ti )k
i=0
Fijemos i ∈ {0, 1, . . . , n−1}. Aplicando el Teorema del valor medio de Lagrange a
las funciones r1 , r2 , r3 en el intervalo [ti , ti+1 ] encontramos tres números ηi1 , ηi2 , ηi3 ∈
(ti , ti+1 ) tales que
rj (ti+1 ) − rj (ti ) = rj0 (ηij ) · (ti+1 − ti )
para cada j = 1, 2, 3. Por tanto,
n−1
X
p
l(P) =
r10 (ηi1 )2 + r20 (ηi2 )2 + r30 (ηi3 )2 · (ti+1 − ti )
i=0
Cuando el diámetro de la partición P disminuye la suma l(P) se aproxima por un
R
lado, a la integral ab kr0 (t)kdt, y por otro, a lo que entendemos intuitivamente por
longitud de la curva C . Por tanto,
Z
l(C) =
b
kr0 (t)kdt
a
Observa que, en términos físicos, esta igualdad expresa que el espacio recorrido
por una partícula que se desplaza sobre C es igual a la integral del módulo de la
velocidad.
88
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
Ejemplos: (1) Sea f : [a, b] −→ R una función de clase C 1 . La gráca de f es
justamente la curva imagen de la función vectorial r(t) = (t, f (t)). Su longitud es
Z
b
0
Z
kr (t)kdt =
a
b
0
k(1, f (t))kdt =
Z bp
1 + (f 0 (t))2 dt
a
a
(2) Calculemos la longitud del arco de la hélice r(t) = (cos t, sen t, t) que conecta
los puntos (1, 0, 0) y (0, 1, π/2). Como el parámetro t varía en el intervalo [0, π/2]
R
la longitud del arco viene dada por la integral 0π/2 kr0 (t)kdt. Es claro que r0 (t) =
√
√
(− sen t, cos t, 1), luego kr0 (t)k = sen2 t + cos2 t + 1 = 2, y por tanto
Z
π
2
l=
0
√
√
2dt =
2π
2
3.2. Integrales de línea
Nuestro cometido ahora es el estudio de la integración de campos vectoriales
sobre curvas. En general, se llama campo (o campo vectorial) sobre un conjunto
Ω ⊆ R2 a toda función F : Ω −→ R2 . Los campos en R3 se denen de forma análoga.
La noción de integral de campo está motivada por el concepto físico de trabajo
realizado por una fuerza. Recordemos este concepto.
Supongamos que sobre una partícula situada en el espacio actúa una fuerza F ,
y que dicha partícula se desplaza a lo largo de una curva C cuando la fuerza actúa
sobre ella. Si C es un segmento de recta parametrizado por una función función
vectorial r : [a, b] −→ R3 y F es constante entonces el trabajo realizado por F para
desplazar la partícula es el producto escalar W = F · (r(b) − r(a)).
Supongamos que C no es una línea recta o que la fuerza F no es constante.
Entonces, si P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} es una partición cualquiera
del intervalo [a, b], los puntos P0 = r(t0 ), P1 = r(t1 ), · · · , Pn = r(tn ) determinan
una poligonal inscrita en C . Los segmentos P0 P1 , . . . , Pn−1 Pn aproximan los correspondientes arcos de la curva, y si el diámetro de P es pequeño entonces podemos
considerar que el vector fuerza es constante e igual a F (r(ti )) sobre el segmento
que conecta los puntos Pi y Pi+1 , de modo que el trabajo realizado por F para
trasladar nuestra partícula del punto Pi al Pi+1 (i = 0, 1, . . . , n − 1) es (prácticamente) Wi = F (r(ti )) · (r(ti+1 ) − r(ti )).
Por otra parte, tal y como vimos cuando deducíamos la fórmula para la longitud
de arco de una curva, el vector r(ti+1 ) − r(ti ) constituye aproximación al vector tanP
gente (ti+1 − ti ) · r0 (ti ). El número n−1
i=0 F (r(ti )) · (r(ti+1 ) − r(ti )) nos da, por tanto,
3.2.
89
INTEGRALES DE LÍNEA
una estimación del trabajo total realizado por la fuerza. Ahora bien, este número es
precisamente una suma de Riemann de la función escalar F (r(t)) · r0 (t) correspondiR
ente a la partición P , y por tanto, una aproximación a la integral ab F (r(t)) · r0 (t)dt.
Sabemos que dicha aproximación será tanto mejor cuando menor sea el diámetro
de P . Siguiendo nuestros razonamientos heurísticos podemos deducir que el trabajo
realizado por F para trasladar la partícula a lo largo de la curva C es
Z
b
F (r(t)) · r0 (t)dt
W =
a
Sustituyendo ahora la fuerza por una función vectorial cualquiera obtenemos la
noción de integral curvilínea.
Denición 3.2.1. Sea r una función de clase C 1 en denida en [a, b] con valores
en R2 (resp. R3 ), cuya imagen está contenida en un conjunto Ω de R2 (resp. R3 ),
y sea F : Ω −→ R2 (resp. F : Ω −→ R3 ) una función continua. La integral curvilínea
de F a lo largo de r es el número
Z
b
F (r(t)) · r0 (t)dt
a
La integral curvilínea de la función F a lo largo de r suele denotarse con los
símbolos
I
I
F ds o
F1 dx + F2 dy + F3 dz
r
r
En la segunda expresión, F1 , F2 y F3 representan, naturalmente, las funciones componentes del campo F .
Ejemplo: Sea r(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π] y sea F : R2 −→ R2 la función dada
por la expresión F (x, y) = (y, x). Entonces
I
Z
Z
(sen t, cos t) · (− sen t, cos t)dt =
F ds =
r
2π
0
2π
cos 2tdt = 0
0
3.2.1. Independencia respecto de la parametrización
En la sección anterior hemos denido la noción de integral de una función vectorial sobre una curva. No obstante, dicha denición maniesta (a priori) una dependencia del valor de la integral con respecto de la parametrización que tengamos
para la curva en cuestión.
90
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
Ahora bien, sabemos que una curva en el plano o el espacio no admite necesariamente una única parametrización. La circunferencia de centro (0, 0) y radio 1, sin
ir más lejos, puede parametrizarse por medio de la función vectorial
r1 (t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π]
Pero las funciones
r2 (t) = (cos 2t, sen 2t), t ∈ [0, π]
y
r3 (t) = (sen t, cos t), t ∈ [0, 2π]
constituyen también parametrizaciones para esta curva. Supongamos que tenemos
un campo de fuerzas F : R2 −→ R2 y nos proponemos calcular el trabajo realizado
por F para dar una vuelta a un partícula situada inicialmente en el punto (1, 0) a lo
largo de la circunferencia. En la sección anterior hemos dicho que si r : [a, b] −→ R2
es una parametrización de la circunferencia entonces el trabajo viene dado por la
integral
I
Z
b
F (t) · r0 (t)dt
F ds =
r
a
Pero claro, ahora tenemos tres parametrizaciones, y la pregunta natural en esta
H
situación es: la integral r F ds, ¾es independiente de la función r que parametriza a
la circunferencia?
El sentido común nos dice que que el trabajo depende ½sólo! de la curva (el arco
de circunferencia, en este caso) y en último extremo del sentido de recorrido de la
misma (la partícula puede viajar en el sentido de las agujas del reloj o el contrario).
Tratemos ahora de dar sentido matemático a estas divagaciones. Para ello es
necesario denir de forma precisa el concepto de reparametrización de una curva. Si
C es una curva en el plano o el espacio, y r1 una parametrización para C denida
en el intervalo I , entonces se llama reparametrización de r1 a cualquier función del
tipo r1 ◦ h, siendo h : J −→ I una función biyectiva y derivable (J es un intervalo
de R). Observa que r2 parametriza también la curva C .
Así por ejemplo, en el caso de la circunferencia anterior, la función denida
en R por la expresión h(t) = 2t permite pasar de la parametrización r1 a la
parametrización r2 . Y la función h(t) = π2 − t nos da el paso de la parametrización
r1 a r3 (esto último es consecuencia de las fórmulas cos π2 − α = sen α y que
sen π2 − α = cos α).
3.2.
91
INTEGRALES DE LÍNEA
Las reparametrizaciones tienen una cosa muy buena. Y es que todas las características esenciales de una curva, como la recta tangente en un punto o la longitud no dependen realmente de dichas parametrizaciones (intenta demostrarlo). Pero
además, las parametrizaciones de una curva contienen información acerca del sentido
de recorrido de la misma. En el ejemplo de la circunferencia C que venimos considerando, las funciones r1 y r2 son parametrizaciones de C cuando ésta se recorre en
sentido contrario al de las agujas del reloj. La función r3 nos da una parametrización
de dicha curva recorrida en el sentido de las agujas del reloj.
En general, si C es una curva parametrizada por la función vectorial r1 y r2 es
otra parametrización de C entonces se dice que la función r2 conserva la orientación
de r1 cuando ambas funciones inducen el mismo sentido de recorrido. Esta denición
puede formularse con un poco más de rigor: si h : J −→ I es una función biyectiva
tal que r2 = r1 ◦ h entonces se dice que r2 conserva la orientación si h es creciente.
Cuando h es decreciente se dice que r2 invierte la orientación de r1 .
Las preguntas que hemos planteado más arriba las resuelve el siguiente resultado.
Proposición 3.2.2. Sea F un campo vectorial continuo denido en un conjunto Ω
y sean r1 y r2 dos parametrizaciones de una misma curva contenida en Ω. Se cumple
lo siguiente:
(1) Si r2 conserva la orientación de r1 entonces
I
I
F ds =
r2
F ds
r1
(2) Si r2 invierte la orientación de r1 entonces
I
I
F ds = −
r2
F ds
r1
Esta proposición nos dice que la integral curvilínea depende únicamente del sentido de recorrido de la curva sobre la que integramos, y no de la parametrización que
tomemos. Por tanto, si C es una curva que conecta dos puntos A y B , y F es un campo vectorial cualquiera, entonces tiene sentido hablar de la integral curvilínea de F a
lo largo de la curva C entre A y B (sin hacer alusión explícita a la parametrización).
Dicha integral será el número
I
Z
F ds =
r
a
b
F (r(t)) · r0 (t)dt
92
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
donde r es una parametrización inyectiva cualquiera para C denida en un intervalo
H
[a, b] tal que r(a) = A y r(b) = B . Designaremos este numero por C F ds, o por
H
F dx + F2 dy + F3 dz .
C 1
3.2.2. Integración sobre una curva C 1 a trozos
Hasta ahora hemos considerado integrales de funciones a lo largo de curvas
suaves, es decir, tales que sus parametrizaciones son funciones derivables. Ahora
bien, la noción misma de trabajo realizado por una fuerza sugiere la necesidad de
integrar sobre curvas con algún pico. Formalicemos este concepto.
Sea r una función vectorial denida en el intervalo [a, b]. Se dice que r es de clase
1
C a trozos si r es continua en [a, b] y además existe una partición de este intervalo,
digamos P = {x0 = a < x1 < . . . < xn = b}, tal que r es de clase C 1 sobre los
subintervalos [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−1 , xn ]. La imagen de una función de este tipo
se denomina curva C 1 a trozos.
Una tal curva puede verse, naturalmente, como la yuxtaposición de n curvas
parametrizadas por funciones de la clase C 1 , digamos C1 , C2 , . . . , Cn , que tienen
orientaciones compatibles con el sentido de recorrido de la curva C . La integral de
F con respecto a C se dene entonces como
Z
I
I
F ds + · · · +
F ds =
C1
C
F ds
Cn
Ejemplo: Calculemos la integral curvilínea del campo de vectores
F (x, y) = (x + y, x)
a lo largo de la la línea poligonal C que resulta al yuxtaponer los segmentos orientados AO y OB , donde A = (1, 0) y B = (0, 2).
De acuerdo con la denición, la integral que se pide es la suma de las integrales
H
H
F ds y C2 F ds, donde C1 y C2 son, respectivamente los segmentos AO y OB .
C1
Para calcular la primera de estas integrales parametrizamos el segmento AO. La
función vectorial r1 : [0, 1] −→ R2 denida por la igualdad r1 (t) = (1 − t, 0) nos da
una parametrización del mismo. Por tanto,
I
Z
F ds =
C1
0
1
F (r1 (t)) · r10 (t)dt
Z
1
Z
(1 − t, 1 − t) · (−1, 0)dt =
=
0
1
(t − 1) · dt =
0
−1
2
3.2.
93
INTEGRALES DE LÍNEA
Análogamente, la expresión r2 (t) = (0, t), denida para t ∈ [0, 2], parametriza el
segundo segmento, de modo que
Z
I
F ds =
2
F (r2 (t))r20 (t)dt
Consecuentemente,
2
Z
(t, 0) · (0, 1)dt =
=
0
0
C2
Z
I
I
F ds = −
F ds +
C
C1
0 · dt = 0
0
I
F ds =
2
C2
1
2
3.2.3. Nota sobre la integración de funciones escalares
Sea r una función (de clase C 1 ) denida en un intervalo [a, b] con valores en R2
(resp. R3 ), y sea f una función real continua en un conjunto Ω ⊂ R2 (resp. Ω ⊂ R3 )
tal que r(t) ∈ C para todo t ∈ [a, b] (es decir, tal que la curva denida por r está
contenida en el recinto Ω). La integral de f a lo largo de r, es, por denición el
número
Z
b
f (r(t)) · kr0 (t)kdt
a
Este número suele representarse con los símbolos r f , r f ds o r f (x, y, z)ds. ObH
serva que si f es la función constantemente igual a 1 entonces la integral r f es
justamente la longitud de la curva C .
H
H
H
Ejemplo: Calculemos la integral de la función escalar f (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 a
lo largo del arco de hélice denido por la expresión r(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π].
El vector tangente en un punto arbitrario r(t) de la hélice tiene por norma
kr0 (t)k = k(− sen t, cos t, 1)k =
√
sen2 t + cos2 t + 1 =
√
2
Por otra parte, el valor de f en el punto r(t) es
f (r(t)) = cos2 t + sen2 t + t2 = 1 + t2
luego
I
Z
f (x, y, z)ds =
r
0
2π
√
√
2
2(3 + 4π 2 )
(1 + t2 ) 2dt =
3
La integral de funciones escalares admite multitud de interpretaciones físicas.
Supongamos por ejemplo que la curva parametrizada por r es una cuerda cuya
densidad en un punto genérico r(t) es el valor de f en dicho punto, es decir, el
94
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
número f (r(t)) (o si lo preeres, un alambre eléctricamente cargado cuya densidad
de carga en el punto r(t) es f (r(t))). Si Π = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} es una
partición cualquiera del intervalo [a, b], entonces la suma
n−1
X
f (r(ti ))(r(ti+1 ) − r(ti ))
i=0
se aproxima, por un lado, a la integral r f (x, y, z)dx, y por otro, a la masa (carga
total) de dicha cuerda (alambre). Además, ambas aproximaciones son tanto mejores
cuanto menor es el diámetro de la partición P . Tomando límites tendremos que la
H
masa (carga total) de la cuerda (alambre) es el número r f (x, y, z)ds.
H
3.3. Integración de campos conservativos
Sea f es una función real diferenciable en un conjunto abierto Ω ⊆ R2 . Entonces
la expresión
F (x, y) = ∇f (x, y) =
∂f
∂f
(x, y),
(x, y)
∂x
∂y
dene una función vectorial en Ω. Esta función llama campo gradiente de f .
En general, se dice que la función F : Ω −→ R2 es un campo gradiente (o un
campo conservativo, o un campo que deriva de un potencial ) si existe una función
diferenciable f : Ω −→ R tal que F (x, y) = ∇f (x, y) para todo punto (x, y) ∈ Ω.
En este caso, la función f recibe el nombre de función potencial del campo F . La
denición en el caso en que Ω ⊆ R3 es completamente análoga.
Los campos conservativos tienen un comportamiento muy agradable respecto de
la integral de línea. El siguiente resultado es una prueba de este hecho.
Teorema 3.3.1. Sea f : Ω −→ R una función de clase C 1 . Sea F el campo gradiente
de f y sean A y B dos puntos del conjunto Ω. Si C es una curva cualquiera en Ω
que conecta A y B entonces
I
F ds = f (B) − f (A)
C
Demostración. Supongamos por ejemplo que Ω ⊆ R2 , y asumamos en primer lugar
que la curva C es suave (sin picos). Sea r : [a, b] −→ R2 una parametrización de la
curva C tal que r(a) = A y r(b) = B . La integral curvilínea de F a lo largo de C es
I
Z
F ds =
C
a
b
F (r(t)) · r0 (t)dt
3.3.
95
INTEGRACIÓN DE CAMPOS CONSERVATIVOS
Consideremos la función ϕ : [a, b] −→ R denida por la expresión
ϕ(t) = f (r(t))
Puesto que f y r son funciones diferenciables, en virtud de la regla de la cadena
estudiada en el Tema 1 se sigue que también ϕ es diferenciable y que
Jϕ(t) = Jf (r(t)) · Jr(t), ∀t ∈ [a, b]
Ahora bien, como ϕ y r son funciones de un variable variable tenemos que Jϕ(t) =
ϕ0 (t) y que Jr(t) = r0 (t). Por otra parte, la matriz jacobiana de f es el punto r(t)
es el gradiente de la función en dicho punto, esto es, Jf (r(t)) = ∇f (r(t)) = F (r(t))
(aquí estamos utilizando la igualdad crucial F = ∇f ). Consecuentemente,
ϕ0 (t) = F (r(t)) · r0 (t)
y por tanto
Z
I
b
Z
0
F (r(t)) · r (t)dt =
F ds =
ϕ0 (t)dt = ϕ(b) − ϕ(a) = f (B) − f (A)
a
a
C
b
Falta ver, nalmente, que la conclusión del teorema subiste cuando C es una curva
C 1 a trozos. En este caso encontramos una cantidad nita de puntos P1 , P2 , . . . , Pn
de modo que C es suave en los tramos de curva que conectan A y P1 , P1 y P2 , ... ,
Pn y B . Si llamamos C1 , . . . , Cn a estos tramos, entonces
I
I
F ds =
C
I
F ds + · · · +
F ds +
C1
I
C2
F ds
(3.1)
Cn
Ahora bien, puesto que las curvas C1 , . . . , Cn son suaves, según lo que hemos probado
H
H
hace un momento se tiene que C1 F ds = f (P1 ) − f (A), C2 F ds = f (P2 ) − f (P1 ),
etc. Y el segundo miembro de la igualdad (3.1) es igual a
f (P1 ) − f (A) + f (P2 ) − f (P1 ) + · · · + f (Pn ) − f (Pn−1 ) + f (B) − f (Pn ) = f (B) − f (A)
Por tanto,
H
C
F ds = f (B) − f (A) como queríamos demostrar.
Este resultado puede contemplarse como una versión del Teorema Fundamental
del Cálculo para las integrales de línea. Nos dice que para calcular la integral de un
campo conservativo F a lo largo de una curva es suciente encontrar una función
escalar f tal que F = ∇f . De esto nos ocuparemos un poco más adelante. De
momento, vamos a intentar sacar un poco más de punta a nuestro teorema.
96
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
Corolario 3.3.2. Si F es un campo conservativo denido en el conjunto Ω entonces
para cualquier curva cerrada C contenida en dicho conjunto se tiene
I
F ds = 0
C
Demostración. Al ser cerrada la curva C , existe una función vectorial r denida en
un intervalo [a, b] que parametriza a C y de modo que r(a) = r(b). Así pues, si f es
una función potencial para F en el conjunto Ω entonces
I
F ds = f (r(b)) − f (r(a)) = f (r(a)) − f (r(a)) = 0
C
Los dos resultados precedentes sugieren el estudio criterios que permitan decidir,
a priori, si un campo de vectores es o no conservativo. No es difícil encontrar una
condición necesaria. En efecto, sea F un campo conservativo de clase C ∞ denido
en un conjunto Ω ⊆ R2 , y sea f una función potencial para F , es decir, tal que
F (x, y) =
∂f
∂f
(x, y),
(x, y)
∂x
∂y
∂ f
∂ f
1
Las derivadas parciales cruzadas segundas de f son ∂x∂y
(x, y) = ∂F
(x, y) y ∂y∂x
(x, y) =
∂y
∂F2
(x, y). Ahora bien, gracias al Teorema de Schwarz se sigue las dos derivadas se∂x
2
1
gundas cruzadas de f son iguales en todo punto, y por tanto ∂F
(x, y) = ∂F
(x, y).
∂x
∂y
Así pues, para que el campo F sea conservativo es condición necesaria que
2
∂F2
∂F1
(P ) =
(P ), para todo punto P ∈ Ω
∂x
∂y
2
(3.2)
Esta igualdad constituye un test bastante útil para detectar campos no conservativos. Así por ejemplo, el campo F : R2 −→ R2 denido por la expresión F (x, y) =
(y 2 , x) no puede ser conservativo, pues
∂F1
∂F2
= 2y 6= 1 =
∂y
∂x
La condición dada por la igualdad (3.2) se extiende, naturalmente, al caso en
que F está denido en un subconjunto de R3 . Demuestra, como ejercicio, que si F es
un campo conservativo denido en un conjunto Ω ⊆ R3 entonces para todo P ∈ Ω
se tienen las igualdades
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
∂F3
∂F2
(P ) =
(P ),
(P ) =
(P ) y
(P ) =
(P )
∂y
∂x
∂z
∂x
∂y
∂z
(3.3)
3.3.
97
INTEGRACIÓN DE CAMPOS CONSERVATIVOS
Tras nuestro hallazgo de una condición necesaria para decidir si un campo es o
no conservativo, es natural plantearse la siguiente pregunta:
Las igualdades (3.2) y (3.3), ¾son sucientes para garantizar que el campo F es
conservativo?
La respuesta es (desgraciadamente) negativa en general. Es más, dicha respuesta
depende (sorprendentemente) de la naturaleza del conjunto Ω donde está denido
el campo. Puede demostrarse, aunque no lo haremos aquí, que la respuesta es armativa cuando Ω es abierto y convexo1 . Obviamente, esto es sólo una condición
suciente para garantizar que un campo es conservativo: un campo F denido en Ω
que verique (3.2) o (3.3) puede ser conservativo aunque Ω no sea convexo.
Volvamos ahora al problema del cálculo de integrales línea de los campos conservativos. El Teorema 3.3.1 nos proporciona una fórmula sencilla para el cálculo de
tales integrales. Pero para una aplicación efectiva de la misma es necesario conocer
algún método para la determinación de la función potencial de un campo conservativo. A continuación explicamos uno de estos métodos.
Sea F es un campo cualquiera denido en un subconjunto Ω ⊆ R2 (el caso en que
Ω ⊆ R3 se trata exactamente igual). Se nos pide determinar si F es o no conservativo,
y en caso armativo calcular una función potencial para f (naturalmente, antes de
empezar nos habremos cerciorado de que F satisface la condición necesaria dada
por las igualdades (3.2) o (3.3)). Asumamos que nuestro campo es conservativo y
que la función f es un potencial para F . Veamos quién puede ser esta f . Para ello
jamos un punto P0 (x0 , y0 ) en el conjunto Ω. Si P (x, y) es otro punto cualquiera de
Ω entonces, por el Teorema 3.3.1 se sigue que si C es una curva cualquiera contenida
en Ω conectando P0 y P entonces
I
f (x, y) = f (x0 , y0 ) +
F ds
C
Así pues, caso de existir, la función potencial f que andamos buscando es (forzosaH
mente), igual a la la integral C F ds (o la suma de esta integral y una constante).
En otras palabras, una vez jado un punto P0 , consideramos la función f :
1 Recordemos
puntos
que un conjunto
A, B ∈ Ω
Ω
en el plano o el espacio es
el segmento rectilíneo que une
A
y
B
convexo
si para cualesquiera dos
está contenido enteramente en
círculos, rectángulos, triángulos, etc. son ejemplos de conjuntos convexos de
R
2
Ω.
Los
-en cambio una
corona circular en el plano no es un conjunto convexo-. Los recintos limitados por esferas, conos,
cilindros, etc. no son subconjuntos convexos de
R3
98
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
Ω −→ R que a cada punto (x, y) ∈ Ω le asigna el número
I
f (x, y) :=
F ds
H
C
F ds, esto es,
C
donde C es una curva que conecta P0 y P . Si esta función f verica la identidad
∇f (x, y) = F (x, y) para todo (x, y) ∈ Ω entonces F es un campo conservativo y f
es una función potencial para él. Si ∇f (x, y) 6= F (x, y), para algún punto (x, y) ∈ Ω,
entonces podemos concluir que el campo F no es conservativo.
Ejemplos (1) Sea F : R2 −→ R2 el campo de vectores denido por la expresión
F (x, y) = (y 2 , 2xy)
Se trata de ver si F es conservativo y, en ese caso, hallar un potencial para F .
Empezamos comprobando la igualdad (3.2). Para cada (x, y) ∈ R2 se tiene
∂F1
2
1
2
(x, y) = 2y y ∂F
(x, y) = 2y , luego ∂F
= ∂F
, y nuestro campo F supera con
∂y
∂x
∂y
∂x
éxito la primera prueba. Da la casualidad de que el plano R2 es un conjunto convexo
(y abierto), luego en virtud de los comentarios que hemos hecho en la página anterior
se sigue que F es conservativo.
Procedamos ahora al cálculo de la función potencial. Para ello jamos un punto
en R2 , por ejemplo P0 (0, 0). El método descrito hace un momento nos dice que si
P (x, y) otro punto cualquiera de R2 entonces tenemos que encontrar una curva C
que conecte P0 con P . En este caso podemos hacer que C sea el segmento P0 P . Una
parametrización para este segmento es la función
r(t) = (xt, yt), t ∈ [0, 1]
Ahora denimos
I
Z
F dS =
f (x, y) =
C
1
F (r(t)) · r0 (t)dt
0
Aplicando la denición de integral de línea se tiene
I
Z
F ds =
C
1
2
2
(yt) , 2xyt
Z
· (x, y) dt =
0
1
3xy 2 t2 dt = xy 2
0
de modo que
f (x, y) = xy 2
Durante el desarrollo del método explicado no se ha demostrado en ningún momento que el gradiente de f iba a ser F (½aun cuando el campo fuese conservativo!).
Comprueba que es cierto. Así pues, la función f es un potencial para F .
3.3.
99
INTEGRACIÓN DE CAMPOS CONSERVATIVOS
(2) Se considera el campo de vectores denido en R2 \ {(0, 0)} por
F (x, y) =
x
y
, 2
2
2
x + y x + y2
Veamos si existe una función potencial para F . Para cada (x, y) 6= (0, 0) es
∂F1
−2xy
−1
=x· 2
· 2y = 2
2
2
∂y
(x + y )
(x + y 2 )2
y
∂F2
−1
−2xy
=y· 2
· 2x = 2
2
2
∂x
(x + y )
(x + y 2 )2
Así pues, F satisface la condición (3.2). Ahora bien, en este caso no podemos garantizar, a priori, que F sea conservativo (el conjunto R2 \ {(0, 0)} no es convexo).
Intentemos hallar una función f por el método expuesto previamente. Para empezar jamos un punto en el dominio de F , por ejemplo el (1, 0). Sea (x, y) un punto
cualquiera distinto de (0, 0). Ahora se trata de conectar los puntos (1, 0) y (x, y) por
una curva contenida en el conjunto R2 \ {(0, 0)}. Consideramos el camino C que se
obtiene como yuxtaposición del segmento C1 que une el punto (1, 0) con el (x, 0), y
el segmento C2 que une (x, 0) con (x, y), y denimos
I
f (x, y) :=
F ds
C
Sabemos que
I
I
f (x, y) =
F ds +
C1
F ds
C2
Calculemos las integrales involucradas en el segundo miembro de esta igualdad. Una
parametrización del segmento C1 es la función r1 (t) = (t, 0), t ∈ [1, x] (suponemos
que x < 1, el otro caso es análogo). Por tanto,
I
Z
F (r1 (t)) ·
F ds =
C1
x
r10 (t)dt
Z
=
1
1
x
Z x
dt
1
, 0 · (0, 1)dt =
= log x
t
t
1
Una parametrización para el segmento C2 es la función r2 (t) = (x, t), t ∈ [0, y]. Por
tanto,
I
x
Z
F (r2 (t)) ·
F ds =
C2
1
r20 (t)dt
Z
=
0
y
x
t
, 2
2
2
x + t x + t2
Z
· (0, 1) =
Ahora bien,
Z
0
y
tdt
1
log(x2 + y 2 )
2
2 t=y
=
log(x
+
t
)
=
− log x
t=0
x2 + t2
2
2
0
y
tdt
+ t2
x2
100
TEMA 3.
luego,
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
I
F ds =
C2
log(x2 + y 2 )
− log x
2
Consecuentemente,
I
f (x, y) =
F ds = log x +
C
p
log(x2 + y 2 )
− log x = log x2 + y 2
2
Para terminar comprobamos que la función f es un potencial para F en R2 \{(0, 0)}.
Para todo (x, y) 6= (0, 0) se tiene
1
2x
x
∂f
(x, y) = · 2
= 2
= F1 (x, y)
2
∂x
2 x +y
x + y2
Análogamente resulta ∂f
(x, y) = F2 (x, y), de suerte que ∇f (x, y) = F (x, y) para
∂y
todo (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Así pues, el campo F es conservativo y la función f antes
obtenida constituye un potencial para él.
Nuestro objetivo ahora es estudiar la integración para funciones vectoriales o
escalares denidas sobre supercies en R3 . Un análisis completo de este tema requiere
un tratamiento de las supercies análogo al que hemos hecho con las curvas. No
obstante, el tema resulta excesivamente complejo, por lo que nos limitaremos a
dar una descripción poco exhaustiva del asunto, comentando únicamente las ideas
básicas en las que se fundamentan tales integrales.
En el Tema 1 veíamos que si f es una función real de dos variables entonces
la gráca de f es una supercie en R3 . Ahora bien, existen ejemplos de supercies
(la esfera, el elipsoide, etc.) que no pueden verse como grácas de funciones de
dos variables. Las funciones denidas en subconjuntos de R2 , con valores en R3 ,
proporcionan el instrumento adecuado para el estudio de las supercies.
Antes de entrar de lleno en este asunto es conveniente repasar algunos elementos
de la supercie más elemental: el plano. En general, un plano en el espacio queda
completamente determinado cuando se conocen un punto y un par vectores directores del mismo (linealmente independientes). Si Π es el plano que pasa por el punto
(x0 , y0 , z0 ) y tiene por vectores directores (u1 , u2 , u3 ) y (v1 , v2 , v3 ), entonces cualquier
otro punto (x, y, z) ∈ Π puede escribirse en la forma
(x, y, z) = (x0 + λu1 + µv1 , y0 + λu2 + µv2 , z0 + λu3 + µv3 )
siendo λ y µ dos números reales (parámetros). En esta situación se dice que la función
Φ : R2 −→ R3 denida como Φ(λ, µ) = (x0 + λu1 + µv1 , y0 + λu2 + µv2 , z0 + λu3 + µv3 )
es una parametrización del plano Π.
3.3.
INTEGRACIÓN DE CAMPOS CONSERVATIVOS
101
En general, dada una supercie S en el espacio, se llama parametrización de S
a toda función Φ (inyectiva) denida en un conjunto D ⊆ R2 , con valores en R3 , y
tal que S = {Φ(u, v) : u, v ∈ D}.
Evidentemente, si D es un subconjunto de R2 y f es una función real denida en
D entonces la gráca de f puede parametrizarse por medio de la función (inyectiva)
Φ : D −→ R3 dada por la fórmula
Φ(x, y) = (x, y, f (x, y))
p
Así por ejemplo, la función Φ(x, y) = (x, y, x2 + y 2 ), denida en R2 , proporciona
p
una parametrización del cono z = x2 + y 2 .
Determinemos ahora una parametrización de la esfera S de radio 1 centrada en
el punto (0, 0, 0). Para ello hacemos uso del sistema de representación de puntos en
el espacio basado en coordenadas esféricas. En este sistema de coordenadas, la esfera
S puede verse como el conjunto de los puntos (ρ, ϕ, θ) tales que ρ = 1, ϕ ∈ [0, π] y
θ ∈ [0, 2π]. Así pues, la función Φ : [0, π] × [0, 2π] −→ R3 denida por la expresión
Φ(ϕ, θ) = (sen ϕ cos θ, sen ϕ sen θ, cos ϕ)
es una parametrización de nuestra esfera.
Pondremos n a la sección parametrizando el cilindro S cuya ecuación implícita
es x2 +y 2 = 1. Con un cambio a coordenadas cilíndricas, la supercie S se transforma
en el conjunto de los puntos (ρ, θ, z) tales que ρ = 1, θ ∈ [0, 2π] y z ∈ R. Por tanto,
una parametrización para el cilindro S nos la da la función Φ : [0, 2π] × R −→ R3
denida por la igualdad
Φ(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)
¾cómo puede parametrizarse el cilindro de ecuación x2 + z 2 = 1? ¾puede darse una
parametrización para el cono utilizando coordenadas cilíndricas?
3.3.1. Plano tangente a una supercie
Sea S una supercie en R3 , sea Φ : D −→ R3 una función de clase C 1 que
parametriza S , y sea P0 un punto de S . Nuestro objetivo es determinar la ecuación
del plano tangente a la supercie en el punto P0 .
Sea (u0 , v0 ) ∈ D tal que P0 = Φ(u0 , v0 ). Fijemos por ejemplo u0 , y consideremos
la función de una variable
ϕ(v) = Φ(u0 , v)
102
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
Claramente, ϕ dene una curva C1 ⊂ S , la cual pasa por el punto P0 , pues ϕ(v0 ) =
P0 . La derivada de ϕ en v0 es el vector ϕ0 (v0 ) = ∂Φ
(u0 , v0 ). Así, el vector
∂v
Tv (u0 , v0 ) =
∂Φ
(u0 , v0 )
∂v
es tangente a la curva C1 , y por tanto a la supercie S , en el punto ϕ(v0 ) = P0 .
Fijando v0 y procediendo de forma análoga se deduce que también el vector
Tu (u0 , v0 ) =
∂Φ
(u0 , v0 )
∂u
es tangente a S en P0 . Consecuentemente, el vector
N (u0 , v0 ) = Tu (u0 ,0 ) ∧ Tv (u0 , v0 )
(cuando es distinto de 0) es normal a la supercie S en el punto P0 .
El plano perpendicular a N (u0 , v0 ) que pasa por P0 es tangente a la supercie S
en P0 .
Las supercies que tienen plano tangente en todo punto se llaman regulares.
Todos los ejemplos de supercies que estudiemos serán de este tipo.
Ejemplos: (1) Supongamos que D es un subconjunto de R2 y que S es la gráca
de una función de dos variables f : D −→ R. Determinemos la ecuación para el plano
tangente a la supercie S en punto cualquiera de la misma.
Ya hemos dicho que la función Φ(x, y) = (x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D es una
parametrización para S . Los vectores tangentes a S en un punto P = Φ(x0 , y0 )
son
∂Φ
Tx =
(x0 , y0 ) =
∂x
∂f
1, 0,
(x0 , y0 )
∂x
y
∂Φ
Ty =
(x0 , y0 ) =
∂y
∂f
0, 1,
(x0 , y0 ) .
∂y
El vector normal en el punto P es
N (x0 , y0 ) = Tx (x0 , y0 ) ∧ Ty (x0 , y0 ) =
∂f
∂f
− (x0 , y0 ), − (x0 , y0 ), 1 .
∂x
∂y
Por tanto, la ecuación del plano tangente a S en el punto P es
z − f (x0 , y0 ) =
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ).
∂x
∂y
Observa que esta fórmula coincide con la que obtuvimos en el Tema 1.
3.4.
103
INTEGRALES DE SUPERFICIE
(2) Hallemos
la ecuación del plano Π que es tangente al cilindro x2 + y 2 = 1 en
el punto √12 , 0, √12 . Sabemos que esta supercie puede parametrizarse por medio
de la función denida en [0, 2π] × R por la igualdad Φ(θ, z) = (cos θ, sen θ, z). Los
vectores tangentes en un punto genérico Φ(θ, z) son
Tθ =
∂Φ
(θ, z) = (− sen θ, cos θ, 0)
∂θ
y
Tz =
∂Φ
(θ, z) = (0, 0, 1).
∂z
Po tanto,
N (θ, z) = Tθ ∧ Tz = (cos θ, sen θ, 0).
Los valores de los parámetros correspondientes al punto √12 , 0, √12 son θ = π4 y
z = 2. Consecuentemente, el plano
que vamos buscando es perpendicular al vector
1 1 π
π
π
N 4 , 2 = cos 4 , sen 4 , 0 = √2 , √2 , 0 . La ecuación implícita de Π es
x − √12
y − √12
√
+ √
= 0,
2
2
o equivalentemente,
x+y =
√
2.
3.4. Integrales de supercie
Antes de empezar es conveniente deducir una fórmula para el área de una supercie. Sea S una supercie regular y sea Φ : D −→ R3 una parametrización para S .
Intentaremos justicar que si el conjunto D es cerrado y acotado entonces el área
de S puede interpretarse como la integral doble
ZZ
kTu (u, v) ∧ Tv (u, v)k dudv.
D
Supongamos para simplicar que el recinto D es un rectángulo. Y sea P una partición regular de dicho rectángulo. Esta partición determina, como sabemos, una
colección de subrectángulos de D, digamos R1 , R2 . . . , Rp . Fijemos uno de estos rectángulos, y denotemos por (u, v) a uno cualquiera de sus extremos. Designemos por
L1 y L2 los lados del rectángulo que concurren en dicho extremo y por ∆u y ∆v las
longitudes de L1 y L2 , respectivamente. Es claro que los segmentos L1 y L2 se transforman en trozos de curvas sobre la supercie, digamos C1 y C2 , cuando sobre ellos
actúa la función Φ. Por tanto, nuestro rectángulo se transforma en una especie de
104
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
paralelogramo curvo sobre la supercie (en cuyo borden están C1 y C2 ). Según hemos
visto antes, los vectores tangentes a C1 y C2 en el punto (u, v) son, respectivamente,
Tu (u, v) y Tv (u, v), y por lo que dijimos al deducir la fórmula para la longitud de un
arco de curva se sigue que las longitudes de los arcos C1 y C2 son, aproximadamente,
las normas de los vectores ∆u · Tu (u, v) y ∆v · Tv (u, v). Teniendo en cuenta la interpretación geométrica del producto vectorial se sigue que el área del paralelogramo
curvo sobre la supercie es, aproximadamente, igual a kTu (u, v) ∧ Tv (u, v)k∆u∆v .
Las sumas de todos estos números se aproximan, por un lado, al área de la supercie
RR
S , y por otro, a la integral doble D kTu (u, v) ∧ Tv (u, v)kdudv . Luego
ZZ
kTu ∧ Tv kdudv.
area(S) =
D
Observa que el integrando kTu (u, v) ∧ Tv (u, v)k representa justamente la norma del
vector normal a la supercie en un punto genérico de la misma.
Nuestro objetivo ahora es denir la integral de una función vectorial sobre una
supercie. Este concepto viene sugerido por la noción física de ujo de una fuerza.
Sabemos que si S es un plano perpendicular a un vector N y F es una fuerza
entonces el ujo de F a través de S es el número F · N area(S).
Si F no es constante y la supercie S no es un plano, podemos imaginar que S
está constituida por una innidad de pequeños trozos de planos tangentes a ella, de
tal forma que la fuerza F es prácticamente constante en cada uno de estos trozos
de plano. Tal y como hemos visto hace un momento, el trocito de plano que pasa
por el punto Φ(u, v) es perpendicular al vector Tu (u, v) ∧ Tv (u, v), y la norma de
dicho vector constituye, asimismo, una aproximación al área de dicho trocito. Así
pues, el ujo de F a través del trocito es el número F · (Tu ∧ Tv )kTu ∧ Tv k. Las
sumas de estos ujos elementales se aproximan, por un lado, al ujo total de F , y
por otro, a la integral de la función escalar F · (Tu ∧ Tv ), o sea a la integral doble
RR
(F ◦ Φ) · (Tu ∧ Tv )dudv . Estas consideraciones sugieren la siguiente denición.
D
Denición 3.4.1. Sea F un campo de vectores continuo denido sobre un conjunto
de R3 , y sea Φ : D −→ R3 una función que parametriza una supercie regular S . La
integral de F sobre S es el número
ZZ
ZZ
(F ◦ Φ) · (Tu ∧ Tv )dudv.
F dS =
S
D
Esta denición parece hacer depender la integral de la función Φ que parametriza
a la supercie S . Puede demostrarse, aunque no lo haremos aquí, que salvo el signo,
3.5.
105
EJERCICIOS DEL TEMA
la integral de F sobre S es independiente de la parametrización que se utilice para
esta supercie (el signo de la integral depende del sentido del vector normal Tu ∧ Tv
en cada punto de la supercie).
Ejemplo: Calculemos la integral del campo
F (x, y, z) = (−x, −y, 0)
a través del trozo del cilindro x2 + y 2 = 1 que está comprendido entre los planos
z = 0 y z = 2.
Ya hemos visto que el cilindro se parametriza por medio de la expresión
Φ(θ, z) = (cos θ, sen θ, z).
Esta expresión es también una parametrización para nuestra supercie, pero el par
de parámetros (θ, z) se mueve ahora en el conjunto D = [0, 2π] × [0, 2].
También sabemos que, con esta parametrización se tiene
Tθ ∧ Tz = (cosθ, sen θ, 0)
luego
kTθ ∧ Tz k =
√
cos2 θ + sen2 θ = 1.
Por otro lado,
F (Φ(θ, z)) = F (cos θ, sen θ, z) = (− cos θ, − sen θ, 0).
Consecuentemente,
F (Φ(θ, z)) · (Tθ ∧ Tz ) kTθ ∧ Tz k = (− cos θ, − sen θ, 0) · (cos θ, sen θ, 0) = −1.
Y por tanto,
ZZ
ZZ
F (Φ(θ, z)) · (Tθ ∧ Tz ) kTθ ∧ Tz k dθdz =
F dS =
S
ZZ
D
(−1)dθdz = −4π.
D
3.5. Ejercicios del tema
1. Calcular la longitud del arco de espiral de Arquímedes comprendido entre los
puntos (0, 0) y (0, π/2).
106
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
2. Se llama cicloide a la curva que describe un punto sujeto a una circunferencia
de radio R mientras ésta rueda sobre el eje Ox sin deslizarse sobre él. Sea θ el
ángulo formado por el radio vector de un punto genérico (x, y) (con respecto
al centro de la circunferencia móvil) con el eje Oy . Demostrar que
(
x = R(θ − sen θ)
y = R(1 − cos θ)
Calcular además:
(a) La ecuación de la recta tangente en el punto (πR, 2R).
(b) La longitud del arco de cicloide determinado por el punto O y otro punto
cualquiera de la misma.
3. Sea C la hélice cónica de ecuaciones paramétricas


x = t cos t


y = t sen t



z=t
Se pide:
(a) Vector tangente unitario y ecuación del plano normal a C en el punto
(−π, 0, π).
(b) Longitud del arco de hélice comprendido entre los puntos (0, 0, 0) y (−π, 0, π).
4. Se considera el campo de vectores
F (x, y) = (x2 y, xy 2 ).
Hallar el valor de la integral
H
C
F ds en los siguientes casos:
(a) C es la circunferencia de radio 2 centrada en el punto (0, 0) (el sentido
de recorrido se supone contrario al del movimiento de las agujas de un
reloj).
(b) C es el arco de la hipérbola x2 − y 2 = 1 que conecta los puntos (1, 0) y
(5/4, 3/4).
3.5.
107
EJERCICIOS DEL TEMA
(c) C es el cuadrado de lado 1 situado en el primer cuadrante con dos lados
sobre los ejes coordenados (el sentido de recorrido se supone contrario al
movimiento de las agujas del reloj).
5. Determinar si es o no conservativo el campo de vectores denido en R2 por
H
la expresión F (x, y) = (y, −x). Calcular la integral C F ds en los siguientes
casos:
(a) C es el camino que resulta de yuxtaponer el segmento rectilíneo que
conecta los puntos (2π, 0) y (0, 0) y la cicloide r(t) = (t − sen t, 1 − cos t),
t ∈ [0, 2π].
(b) C es el arco de catenaria y = cosh x que conecta los puntos (− log 2, 5/4)
y (log 2, 5/4).
6. Se considera el campo de vectores denido en R2 \ {(0, 0)} por la expresión
F (x, y) =
−ky
−kx
, 2
2
2
3/2
(x + y )
(x + y 2 )3/2
.
donde k es una constante.
(a) Demostrar que F es conservativo y halla una función potencial para él.
(b) ¾Se puede reconocer en este ejemplo algún campo importante de la Física?
7. Se considera el campo de vectores F : R2 \{(0, 0)} −→ R2 dado por la expresión
F (x, y) =
−y
x
, 2
2
2
x + y x + y2
.
(a) Comprobar que para todo (x, y) 6= (0, 0) es
∂F1
∂F2
(x, y) =
(x, y).
∂y
∂x
(b) Calcular la integral curvilínea de F a lo largo de la circunferencia de
centro (0, 0) y radio 1. ¾Es F un campo conservativo?
(c) Calcular la integral curvilínea de F a lo largo del trozo de espiral de Arquímedes r(t) = (t cos t, t sen t) que conecta los puntos (0, π/2) y (−π, 0).
108
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
8. Hallar los valores de las constantes λ y µ para que el campo de vectores
F (x, y, z) = (λxz, yz, x2 + µy 2 )
sea conservativo y calcular (en estos casos) una función potencial para F .
9. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F (x, y, z) = (yz, xz, xy) para trasladar
una partícula desde el punto (0, 0, 0) hasta el (1, 1, 1) a lo largo del camino
parametrizado por la función r(t) = (t, t2 , t3 ).
10. Se considera el campo de vectores
x
y
z
, 2
, 2
2
2
2
2
2
x + y + z x + y + z x + y2 + z2
F (x, y, z) =
.
Demostrar que F es conservativo y calcular una función potencial para él.
H
Hallar el valor de la integral C F ds, siendo C el segmento de recta que conecta
los puntos (−π, 0, π) y (2π, 0, 2π).
11. Sea F un campo conservativo denido en un conjunto Ω ⊆ R2 , y sea C una
curva contenida en C . Se dice que C es una curva equipotencial para F si
cualquier función potencial de F es constante sobre C (de forma análoga se
dene el concepto de supercie equipotencial para campos en el espacio tridimensional).
(a) Demostrar que si C 0 es una curva contenida en una curva equipotencial
H
para F entonces C 0 F ds = 0.
(b) Determinar las curvas equipotenciales del campo del Ejercicio 6, y las
supercies equipotenciales del Ejercicio 10.
12. Sea f una función real de clase C 1 denida en el conjunto cerrado y acotado
D. Demostrar que el área de la gráca de f es
ZZ
s
1+
D
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy
Calcular el área de un cono y un paraboloide con base de radio r y altura h.
13. Deducir la fórmula del área de una esfera de radio R.
14. Calcular la integral de supercie
RR
S
F dS en los siguientes casos:
3.5.
EJERCICIOS DEL TEMA
(a) S es el paraboloide z = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1, y F (x, y, z) = (y, −x, z 2 ).
(b) S es la esfera de radio R centrada en (0, 0, 0) y F (x, y, z) = (x, y, 0).
109
110
TEMA 3.
INTEGRALES DE LÍNEA DE Y SUPERFICIE
Tema 4
Introducción a la Geometría
diferencial de curvas
En este breve tema haremos uso los resultados vistos previamente para estudiar
algunas propiedades geométricas de las curvas en el plano y el espacio tridimensional.
Todas las funciones consideradas en lo sucesivo serán indenidamente derivables y
regulares (o sea, con derivada no nula en todo punto).
4.1. El parámetro arco
Ya hemos visto que curva en el plano o el espacio puede ser imagen de funciones distintas. Tiene especial interés la llamada parametrización por el arco o
parametrización natural. Sea f : [a, b] −→ R3 una función cuya imagen será designada por C , y sea s : [a, b] −→ R la aplicación que asocia a cada t ∈ [a, b] la longitud
del arco de curva comprendido entre los puntos f (a) y f (t), es decir,
t
Z
kf 0 (u)kdu.
s(t) =
a
Notemos que la longitud ` de la curva C es justamente el número s(b). Por otra
parte, puesto que la función u 7→ kf 0 (u)k es continua (justifíquese esto), gracias al
Teorema Fundamental del Cálculo se sigue que s es derivable y que
s0 (t) = kf 0 (t)k > 0, para todo t ∈ [a, b].
En particular, s es estrictamente creciente, y tiene, por tanto, inversa. Sea h = s−1 .
Esta aplicación está denida en [0, `] y tiene por imagen el intervalo [a, b]. Además,
111
112
TEMA 4.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS
teniendo en cuenta la regla de derivación de funciones inversas se sigue que
h0 (s(t)) =
1
s0 (t)
=
1
kf 0 (t)k
, para todo t ∈ [a, b].
Sea ahora g la función denida por la igualdad
g = f ◦ h.
Esta función, denida en [0, `], tiene la misma imagen que f ¾por qué?. Es pues una
reparametrización de la curva C , a la que denominaremos parametrización por el
arco de C (o de f ).
La parametrización por el arco satisface la importante propiedad siguiente: el
vector tangente en cada punto es el tangente unitario.
Proposición 4.1.1. Sea f : [a, b] −→ R3 una función vectorial, y sea g : [0, `] −→ R3
su parametrización por el arco. Entonces, para cada s0 ∈ [0, `] se tiene
kg 0 (s0 )k = 1.
Demostración. Sea t0 = h(s0 ) (notemos que entonces s(t0 ) = s0 ). Aplicando la regla
de la cadena se obtiene
g 0 (s0 ) = h0 (s0 )f 0 (h(s0 )) = h0 (s0 )f 0 (t0 ).
Ahora bien,
h0 (s0 ) =
y por tanto
1
kf 0 (t0 )k
,
0
f (t0 ) kg (s0 )k = kf 0 (t0 )k = 1,
0
como queríamos demostrar.
Nota 4.1.2. Si f : I −→ R3 es una función tal que kf 0 (t)k = 1 para todo t ∈ I ,
entonces f es justamente la parametrización por el arco de la curva imagen de f
¾por qué?
Ejemplo:
Hallemos la parametrización por el arco de la hélice
f (t) = (cos t, sen t, t).
4.2.
113
CURVATURA Y TORSIÓN
La longitud del arco de hélice comprendido entre los puntos f (0) y f (t) es
Z
t
0
kf (u)kdu =
s(t) =
0
Z tp
(− sen u)2 + (cos u)2 + 1du =
√
2t.
0
La función inversa de s es, por tanto,
s
h(s) = √ .
2
Así pues, la parametrización por el arco de la hélice es la función
g(s) = f (h(s)) =
s
s
s
cos √ , sen √ , √
2
2 2
.
4.2. Curvatura y torsión
En esta sección introducimos un par de nociones relativas a la geometría de una
curva: la curvatura y la torsión. La curvatura es un vector que da información sobre
el cambio de dirección de la curva cuando nos movemos sobre ella. Físicamente
se corresponde con el concepto de aceleración centrípeta. La curvatura y el vector
tangente unitario van a denir un plano en cada punto de la curva. La velocidad de
cambio de este plano vendrá dada por una función llamada torsión.
Sea C una curva en el espacio y sea g su parametrización por el arco. De acuerdo
con la Proposición 4.1.1, la función
T = g0
proporciona el vector tangente unitario a la curva C en cada uno de sus puntos.
Denición 4.2.1. Se llama vector curvatura de la curva C en un punto g(s) al
vector
T 0 (s).
El número
κ(s) = kT 0 (s)k
recibe el nombre de curvatura escalar en el punto g(s). Si κ(s) 6= 0, se llama radio
de curvatura de C en el punto g(s) al número
ρ(s) =
1
.
κ(s)
114
TEMA 4.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS
Ejemplo:
La curvatura de una recta es 0 en todos sus puntos. En efecto, sea R la recta
que pasa por el punto a = (a1 , a2 , a3 ) y tiene por dirección la del vector unitario
v = (v1 , v2 , v3 ). La función
f (t) = a + tv = (a1 + v1 t, a2 + v2 t, a3 + v3 t)
es una parametrización de R. Claramente,
f 0 (t) = (v1 , v2 , v3 ) = v, para todo t ∈ R.
Como kvk = 1 se tiene que f 0 (t) es el vector tangente unitario a r en el punto f (t),
y f es la parametrización por el arco de r. Así pues
T (t) = v, para todo t ∈ R,
y el vector curvatura en un punto genérico f (t) es
T 0 (t) = 0.
Demostrar que si una curva tiene curvatura 0 en todos sus puntos, entonces dicha
curva es una recta.
La siguiente proposición arroja información acerca de la derivada del vector
curvatura.
Proposición 4.2.2. El vector curvatura T 0 (s) es ortogonal al vector tangente unitario T (s).
Demostración. Sabemos que kT (s)k = 1 para todo s. En particular, la función T es
constante, y por tanto
T 0 (s) · T (s) = 0,
como queríamos demostrar.
El vector curvatura no tiene por qué ser unitario. Deniendo
N (s) =
T 0 (s)
κ(s)
obtenemos un vector de norma 1 colineal con el vector curvatura. Al vector N (s) se
le llama vector normal principal en el punto g(s).
4.2.
CURVATURA Y TORSIÓN
115
Se denomina centro de curvatura en el punto g(s) al punto
c(s) = g(s) + ρ(s)N (s)
La circunferencia con centro c(s) y radio ρ(s) recibe el nombre de circunferencia
osculatriz. Se puede demostrar que
A los vectores tangente unitario y normal principal añadiremos uno más, el
denominado vector binormal en el punto g(s), que se dene por la igualdad
B(s) = T (s) ∧ N (s).
Notemos B(s) es un vector de norma 1 y ortogonal a T (s) y N (s). La terna
{T (s), N (s), B(s)} recibe el nombre de triedro intrínseco (o triedro de Frénet ) a la
curva en el punto g(s).
Se llama plano osculador de la curva en el punto g(s) al plano que pasa por dicho
punto y es perpendicular al vector binormal B(s).
Nuestro cometido ahora es cuanticar la variación del plano osculador cuando
nos movemos sobre la curva. La Proposición 4.2.2 viene a establecer una relación
entre el vector normal principal con la derivada del tangente unitario. El resultado
siguiente relaciona el vector normal principal con la derivada del binormal.
Proposición 4.2.3. Para cada s existe un número τ (s) tal que
B 0 (s) = τ (s)N (s).
Demostración. Como B(s) es un vector unitario para cada s tenemos que
B(s) · B 0 (s) = 0.
Así pues, B 0 (s) es ortogonal a B(s).
Por otra parte, derivando la igualdad B(s) = T (s) ∧ N (s) obtenemos
B 0 (s) = T 0 (s) ∧ N (s) + T (s) ∧ N 0 (s),
y como T 0 (s) es colineal con N (s) se sigue que
B 0 (s) = T (s) ∧ N 0 (s).
En particular, B 0 (s) es ortogonal a T (s).
Hemos deducido que el vector B 0 (s) es ortogonal a B(s) y a T (s). Por tanto,
B 0 (s) es forzosamente colineal con N (s).
116
TEMA 4.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS
El escalar τ (s) se llama torsión de la curva C en el punto g(s). Nótese que este
escalar viene dado por la igualdad
τ (s) = B 0 (s) · N (s).
Como consecuencia de la proposición anterior se sigue que una curva es plana si,
y sólo si, su torsión es 0 en todo punto.
Ejemplo:
Calculemos los elementos del triedro intrínseco, la curvatura y la torsión de la
hélice parametrizada por la función
f (t) = (cos t, sen t, t).
Ya hemos visto que la parametrización por el arco de esta curva es la función
g(s) =
s
s
s
cos √ , sen √ , √
2
2 2
.
Por tanto, el vector tangente unitario y el vector curvatura vienen dados por las
igualdades
y
1
s
s
T (s) = g 0 (s) = √ · − sen √ , cos √ , 1
2
2
2
1
T (s) = g (s) =
2
0
00
s
s
− cos √ , − sen √ , 0 .
2
2
La norma de este vector es
1
κ(s) = kT (s)k = ·
2
s
0
cos2
s
√
2
+ sen2
s
√
2
1
= ,
2
y consecuentemente
T 0 (s)
N (s) =
=
κ(s)
s
s
− cos √ , − sen √ , 0 .
2
2
Multiplicando vectorialmente el tangente unitario y el normal principal obtenemos
el vector binormal,
e1
1
B(s) = − √2 sen √s2
− cos √s2
e2
√1
2
cos √s2
− sen √s2
e3 1
s
s
1
√
= √ sen √ , − cos √ , 1 .
2 2
2
2
0 4.3.
117
EJERCICIOS DEL TEMA
Derivando esta función obtenemos
1
B (s) = √
2
0
s
s
cos √ , sen √ , 0
2
2
Por tanto, la torsión en el punto g(s) es
1
τ (s) = B 0 (s) · N (s) = .
2
La curvatura y la torsión son, en general, difíciles de calcular utilizando la denición,
pues no siempre es fácil hallar la parametrización por el arco de una curva dada. El
siguiente teorema, que no demostramos, nos proporciona fórmulas para el cálculo de
estos elementos cuando la curva en cuestión no está parametrizada por el arco.
Teorema 4.2.4. Sea f : I −→ R3 una función vectorial y sea C la curva imagen
de f . Entonces, la curvatura y la torsión de C en el un punto genérico f (t) vienen
dadas respectivamente por las igualdades
κ(t) =
y
τ (t) =
kf 0 (t) ∧ f 00 (t)k
kf 0 (t)k3
(f 0 (t) ∧ f 00 (t)) · f 000 (t)
.
kf 0 (t) ∧ f 00 (t)k2
4.3. Ejercicios del tema
1. Sea ϕ : I −→ R una función y sea C la gráca de ϕ. Probar que la curvatura
de C en un punto genérico (t, ϕ(t)) es
κ(t) =
|ϕ00 (t)|
(1 + (ϕ0 (t))2 )3/2
.
Hallar los puntos de máxima curvatura de la parábola
ϕ(t) = t2
y la catenaria
ϕ(t) = cosh t.
Determinar la ecuación de las correspondientes circunferencias osculatrices.
2. Sea C la circunferencia de centro (0, 0) y radio R.
118
TEMA 4.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS
a ) Determinar los vectores tangente unitario y normal en un punto cualquiera
de C .
b ) Hallar la parametrización por el arco de C .
c ) Calcular la curvatura y el radio de curvatura en un punto genérico de C .
3. Calcular la curvatura de la elipse
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
en un punto genérico de la misma. Hallar los puntos de máxima y mínima
curvatura de esta curva, y determinar la ecuación de las circunferencias osculatrices en dichos puntos.
4. Sea C la cicloide de ecuaciones paramétricas
(
x = R(θ − sen θ)
y = R(1 − cos θ).
(a) Determinar la parametrización por el arco de C .
(b) Hallar la curvatura de C y la circunferencia osculatriz en el punto (πR, 2R).
5. Sea ϕ una función no negativa y derivable en [a, b]. Y sea f (t) = (x(t), y(t))
una función que tiene por imagen la gráca de ϕ derivable. Utilizar la fórmula
del cambio de variable para demostrar que el área comprendida por la curva
y = ϕ(x) y las rectas verticales x = a y x = b es
Z
A=
b
y(t)x0 (t)dt.
a
Calcular el área bajo la cicloide de radio 1 entre los puntos (0, 0) y (2π, 0)
6. Sea C la espiral de Arquímedes de ecuaciones paramétricas
(
x = t cos t
y = t sen t.
(a) Determinar los vectores tangente unitario y normal a C en los puntos
√
√
(0, 0), (π 2/8, π 2/8) y (0, π/2).
(b) Determinar la curvatura de C en un punto arbitrario de la misma.
4.3.
119
EJERCICIOS DEL TEMA
7. Hallar la recta tangente, el plano normal, la curvatura, el plano osculador y la
torsión de la hélice cónica de ecuaciones paramétricas


x = 3t cos t


y = 3t sen t



z = 4t
en los puntos (0, 3π/2, 2π) y (0, 0, 0).
120
TEMA 4.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS
Bibliografía
[1] T.M. Apostol, Calculus (Vol. 2). Reverté, Barcelona, 1999.
[2] E. Aranda, P. Pedregal, Problemas de cálculo vectorial. Septem Ediciones,
Oviedo, 2004.
[3] J. de Burgos, Cálculo innitesimal de varias variables. McGraw-Hill, Madrid,
2008.
[4] R. Courant, F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume II. Classics
in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2000.
[5] J.A. Fernández Viña, E. Sánchez Mañes, Ejercicios y Complementos de Análisis
Matemático II. Tecnos, Madrid, 1993.
[6] J.A. Fernández Viña, E. Sánchez Mañes, Ejercicios y Complementos de Análisis
Matemático III. Tecnos, Madrid, 1993.
[7] A. García, A. López, G. Rodríguez, S. Romero, A. de la Villa, Cálculo II: Teoría
y problemas de funciones de varias variables. Glagsa, Madrid, 2002.
[8] C. Knoll, J. Johnson, B. Evans y M. D. Shaw, Discovering Calculus with Mathematica, John Wiley and Sons, 1995.
[9] E. Kreyszig, Matemáticas avanzadas para ingeniería. Limusa-Noriega, 1990.
[10] J.E. Marsden, A.J. Tromba, Cálculo vectorial. Addison Wesley, 2004.
[11] P. Pedregal, Cálculo vectorial, un enfoque práctico. Septem Ediciones, Oviedo,
2001.
[12] S.L. Salas, E. Hille, Calculus (vol. II). Reverté, Barcelona, 1994.
121