Unidad 2 Teorema Fundamental del Cálculo Solución Hacemos x = t 1

Unidad 2 Teorema Fundamental del Cálculo
2.2 Propiedades de la Integral Indenida
Propiedades de la Integral Indenida (Método de Cambio de Variable)
Proposición 1. Sea f una función denida en un intervalo I. Supongamos que ϕ es una función derivable
con derivada continua. Si consideramos
x = ϕ(t), donde t = ϕ−1 (x)
de manera que
Z
Z
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
f (x)dx =
es decir si F es una primitiva de f y G es una primitiva de f (ϕ(t))ϕ0 (t) entonces
F (x) = G(t) + c = G(ϕ−1 (x)) + c
Demostración. Tenemos que
G(ϕ−1 (x)) + c
0
= G0 ((ϕ−1 (x))(ϕ−1 )0 (x) = f (ϕ(ϕ−1 (x)))ϕ0 (ϕ−1 (x))(ϕ−1 )0 (x)
Ahora bien
1
(ϕ−1 )0 (x) =
ϕ0 (ϕ−1 (x))
por lo tanto
−1
f (ϕ(ϕ
0
−1
(x)))ϕ (ϕ
−1 0
(x))(ϕ
por lo tanto
) (x) = f (ϕ(ϕ
−1
0
−1
(x)))ϕ (ϕ
(x))
1
ϕ0 (ϕ−1 (x))
= f (x)
G(ϕ−1 (x)) + c es una primitiva de f
Ejemplo Usando el método de sustitución (Cambio de Variable) calcular
Z
√
dx
√
x(1 + 3 x)
Solución Hacemos x = t6 entonces 6t5 dt = dx y tenemos que
Z
√
dx
√ =
x(1 + 3 x)
Z
√
6t5
√
3
Z
dt =
6t5
dt =
3
t (1 + t2 )
Z
6t2
dt = 6
1 + t2
Z
t2
dt
1 + t2
t6 (1 + t6 )
Z 2
Z
Z 2
Z
t +1
1
1
t +1−1
dt
=
6
−
dt
=
6
dt
−
dt
=6
1 + t2
t2 + 1 t2 + 1
t2 + 1
√
√
= 6(t − arctan t + c) = 6( 6 x − arctan( 6 x) + c)
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral II
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
Unidad 2 Teorema Fundamental del Cálculo
2.2 Propiedades de la Integral Indenida
Integrales Impropias
Vamos a extender el concepto de integral a funciones no acotadas en un intervalo cerrado [a, b] y a
funciones continuas en intervalos no acotados, a este tipo de integrales se les conoce como integrales
impropias
(Integral Impropia de 1er Clase)
Denición 1. Si f (x) es continua en a < x < ∞ entonces
∞
Z
b
Z
f (x)dx = lı́m
f (x)dx
b→∞
a
a
Denición 2. Si f (x) es continua en −∞ < x < b entonces
Z
a
Z
f (x)dx = lı́m
a→−∞
−∞
b
f (x)dx
a
Denición 3. Si f (x) es continua en −∞ < x < ∞ entonces
Z
∞
Z
a
f (x)dx =
−∞
Z
f (x)dx +
−∞
∞
Z
f (x)dx = lı́m
a→−∞
a
b
Z
f (x)dx + lı́m
b→∞
a
b
f (x)dx
a
Si el limite existe, la integral impropia es convergente; si no, es divergente
Ejemplo Vamos a comprobar la convergencia de las siguientes integrales
Z
∞
1
1
dx = lı́m
b→∞
x2
b
Z
1
1
1 b
1 1
dx = lı́m − 1 = lı́m − +
=1
b→∞
b→∞
x2
x
b 1
por lo tanto la integral impropia es convergente
Ejemplo Calcular
0
Z
−∞
Z
ex dx tenemos que
0
ex dx = lı́m
−∞
Z
a→−∞
Z
a
0
ex dx = lı́m ex |0a = lı́m e0 − ea = 1 − 0 = 1
a→−∞
a→−∞
∞
4
dx tenemos que
(2|x|
+ 1)2
−∞
Z ∞
Z 0
Z ∞
4
4
4
dx =
dx +
dx =
2
2
(2x + 1)2
−∞ (2|x| + 1)
−∞ (−2x + 1)
0
Z 0
Z b
4
4
2 0
−2 b
lı́m
dx
+
lı́m
dx
=
lı́m
+
lı́m
a
0
a→−∞ a (−2x + 1)2
a→−∞ 1 − 2x
b→∞ 0 (2x + 1)2
b→∞ 2x + 1
!
2
2 −2
− −2
= lı́m
− + lı́m
=2+2=4
a→−∞ 1 − 2(0)
b→∞
1 − 2(a)
2(b) + 1 2(0) + 1
Ejemplo Calcular
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Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
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