Ceros y polos. Ahora supongamos que p(z)

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Ceros y polos.
Ahora supongamos que p(z) y q(z) son
funciones analíticas y:
,
y
entonces
es un polo simple y la razón
p(z)/q(z) tiene como residuo
Teoría de los residuos
Resumen (método básico para encontrar los
polos y residuos):
Supongamos que tenemos la serie de Laurent
Notamos que
Además,
es un polo de orden k. Teoría de los residuos
Entonces si multiplicamos f(z) por
tenemos que
Teoría de los residuos
Ahora, supongamos que sabemos el orden k
del polo (por ejemplo usando el método
anterior). Entonces considerando la función
tenemos que
De aquí que derivando k-1 veces:
Teoría de los residuos
O bien, sustituyendo g(z), tenemos
Cuando
reduce a:
es un polo simple, el resultado anterior se
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
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La teoría de residuos tiene muchas
aplicaciones en matemáticas aplicadas y física
Por ejemplo, está teoría es muy útil para
calculo de varios tipos de integrales reales. Por
mencionar dos ejemplos:
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integrales de la forma:
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e integrales impropias
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
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Integrales impropias
En Cálculo la integral impropia de una función
continua se define como
Cuando los límites existen se dice que la integral
converge
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
O bien,
y cuando los límites existen se dice que la
integral converge.
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Comentario: los límites pueden existir, pero la
integral impropia no.
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Con este motivo se introduce el valor principal de
Cauchy o simplemente, valor principal (VP):
siempre que los límites existen.
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Comentarios:
- La existencia del valor principal no asegura que la
integral impropia sea convergente
- Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor
principal
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior
puede aplicarse a una clase general de
integrandos, pues éste depende de dos
condiciones:
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f(z) sea analítica en el eje real y encima de él,
excepto por un número finito de singularidades
aisladas (en la parte superior del plano complejo).
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
De esta forma se puede demostrar que si P(z) y
Q(z) son dos polinomios de grado m y n,
respectivamente, y
entonces
para
:semicírculo
superior
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residuos
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Integrales impropias de la forma:
,
Este tipo de integrales aparecen en problemas
relacionados con el análisis de Fourier.
En particular, consideremos que
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residuos
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Lema de Jordan:
Si f(z) es una función tal que
entonces
: semicircunferencia superior y
(con a negativo se toma la semicircunferencia
inferior)
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Caso particular: Sea
con p(z) y q(z) polinomios de grado m y n,
respectivamente y
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Ejemplo. Evalue la integral
definiendo
(rozamiento,disipación)
frecuencia natural
y
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Si t'>t consideramos el contorno cerrado superior, pero para este contorno
la integral es nula.
Si t'<t entonces consideramos el contorno cerrado inferior y usamos el
lema de Jordan
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Comentarios:
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La posición de una partícula sujeta a una fuerza tipo muelle,
con rozamiento y una fuerza externa viene dada por
La posición de los polos es un ingrediente determinante: si
los polos hubieran estado en el semieje superior, la posición
de la partícula estaría determinada por la acción de f(t) en
el futuro !
Notemos que si la viscosidad del medio es nula, i.e,
entonces los polos se encuentran en el eje real y no hay
distinción entre el “pasado” y el “futuro”
De aquí que la disipación es un elemento que da “sentido”
al sentido del tiempo.
,
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Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Polos sobre el contorno de integración
Teorema:
Si f(z) es una función con un polo simple en
con una representación en serie de Laurent en el
disco (perforado)
y residuo
,
entonces
: semicircunferencia recorrida en el sentido
negativo con
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residuos
Integrando ambos lados sobre el contorno
:
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
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Integrales de funciones multivaluadas (con
corte ramal.