Clase 5 Límite de funciones

MATEMÁTICAS ESPECIALES I
ANÁLISIS MATEMÁTICO EN VARIABLE COMPLEJA
Clase 5
Resumen. Límites de funciones. Unicidad. Límites por caminos. Continuidad.
Límites y continuidad de funciones complejas de variable real. Álgebra de límites.
Límites y continuidad de funciones complejas de variable compleja. Álgebra de límites.
Límite de funciones
Denición. Dada f : Ω ⊂ M → M 0 , con M, M 0 espacios métricos, y dado z0 punto de
acumulación de Ω, se dice que
lı́m f (z) = l ∈ M ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω ⇒ f (z) ∈ ∆0 (l, ε)
z→z0
Se debe notar que z0 puede no pertenecer a Ω, basta con que sea punto de acumulación
de Ω para que ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω 6= ∅. La situación más sencilla para tomar límite es que z0
sea interior a Ω, donde para δ sucientemente pequeño ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω = ∆0 (z0 , δ).
Teorema.
Dada
f : Ω ⊂ M → M 0,
∃ lı́m f (z) = l ∈ M ⇔ (∀{zn }
en
z→z0
Corolario.
Dada
f : Ω ⊂ M → M 0,
M
adherente a
si existe
z0 ) ∃ lı́m f (zn ) = l ∈ M
lı́mz→z0 f (z)
n→∞
entonces es único.
Límite de funciones a valores complejos. Sea f : Ω ⊂ M → C, y llamemos z a los
puntos de Ω ⊂ M , M espacio métrico. Quedan denidas
u : Ω ⊂ M → R,u(z) = Re(f (z))
v : Ω ⊂ M → R,v(z) = Im(f (z))
tales que
f (z) = u(z) + iv(z)
Teorema.
Dada
f :Ω⊂M →C
y
z0
punto de acumulación de
Ω,
∃ lı́m f (z) = l = a + ib ∈ C ⇔ ∃ lı́m u(z) = a ∈ R ∧ ∃ lı́m v(z) = b ∈ R
z→z0
z→z0
z→z0
Denición. Límite innito: dada f : Ω ⊂ M → C y z0 punto de acumulación de Ω,
lı́m f (z) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω ⇒ f (z) ∈ ∆0 (∞, ε)
z→z0
Álgebra de límites en C. Sean f : Ωf ⊂ M → C y g : Ωg ⊂ M → C, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅,
y sea z0 punto de acumulación de Ωf ∩ Ωg .
Si ∃ lı́mz→z0 f (z) = l y ∃ lı́mz→z0 g(z) = m, entonces
∃ lı́mz→z0 (f (z) + g(z)) = l + m
∃ lı́mz→z0 (f (z) g(z)) = l m
si además m 6= 0, ∃ lı́mz→z0 (f (z)/g(z)) = l/m
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Límite de funciones de variable compleja. Dada f : Ω ⊂ C → M 0 y z0 punto de
acumulación de Ω, ya está denido el concepto lı́mz→z0 f (z).
Cuando la variable es compleja, se dene además el límite para z → ∞.
Denición. Dada f : Ω ⊂ C → M 0 , con Ω no acotado, se dice que
lı́m f (z) = l ∈ M 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0 (∞, δ) ∩ Ω ⇒ f (z) ∈ ∆(l, ε)
z→∞
En el caso de f : Ω ⊂ C → C, el límite l puede ser también innito, según deniciones
anteriores.
Continuidad
Denición. Dada f : Ω ⊂ M → M 0 , com M, M 0 espacios métricos, y dado z0 ∈ M , se
dice que f es continua en z0 si y sólo si
1. z0 ∈ Ω
2. ∃ lı́mz→z0 f (z)
3. lı́mz→z0 f (z) = f (z0 )
Denición. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que f es continua en A si y sólo si ∀z ∈ A,
f es continua en z .
Conviene leer ∀z como "para cada z "
Denición. Se llama dominio de continuidad de f al mayor subconjunto del dominio Ω
donde f sea continua.
Ejemplo. Es fácil probar por denición, o mediante sucesiones adherentes, que
z : R → C, dada por z(t) = k es continua en R
z : R → C, dada por z(t) = t es continua en R
f : C → C, dada por f (z) = k es continua en C
f : C → C, dada por f (z) = z es continua en C
Proposición.
Sean
f : Ωf ⊂ M → C
y
g : Ωg ⊂ M → C,
con
Ωf ∩ Ωg 6= ∅.
Si f y g son continuas en z0 ∈ M , entonces
f + g es continua en z0
f g es continua en z0
si además g(z0 ) 6= 0, f /g es continua en z0
Proposición.
sucesión en
Dadas
f : Ω ⊂ M → M0
continua en un punto
z0
interior a
Ω
y
{zn }
una
M,
∃ lı́m zn = z0 ⇒ ∃ lı́m f (zn ) = f (z0 )
n→∞
n→∞
Es decir, en este caso, lı́mn→∞ f (zn ) = f (lı́mn→∞ zn ).
Proposición.
con
l
f : Ωf ⊂ M → M 0 y g : Ωg ⊂ M 0 → M 00 .
Ωg y si g es continua en l, entonces
Sean
interior a
∃ lı́m g(f (z)) = g(l).
z→z0
Es decir, en este caso, lı́mz→z0 g(f (z)) = g (lı́mz→z0 f (z)).
Si
∃ lı́mz→z0 f (z) = l ∈ M 0
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Denición. Se llama función compuesta go f : Ω ⊂ Ωf → M 00 a la función dada por
go f (z) = g(f (z)),
cuyo dominio es
Ω = {z ∈ Ωf : f (z) ∈ Ωg }
Proposición.
Continuidad de la función compuesta
f : Ωf ⊂ M → M 0 y g : Ωg ⊂ M 0 → M 00 . Si f es continua
continua en g(z0 ) interior a Ωg , entonces go f es continua en z0 .
Sean
en
z0 ∈ M
y
g
es