Problema 12, sección 1.13, capítulo 1, Volumen II. Calculus, Tom M

Problema 12, sección 1.13, capítulo 1, Volumen II. Calculus, Tom M. Apostol, segunda edición.
En el espacio vectorial de todos los polinomios reales, se de…nen las siguientes
reglas, que asignan a cada par de polinomios un número real:
(a) (f; g) = f (1) g (1)
R1
(b) (f; g) = 0 f (t) g (t) dt
R1
(c) (f; g) = 0 f 0 (t) g 0 (t) dt
donde f 0 y g 0 son las derivadas.
R1
R1
(d) (f; g) = 0 f (t) dt
g (t) dt
0
¿Cuáles de ellas de…nen un producto escalar? En los casos en que la de…nición no sea un producto escalar, explicar claramente que propiedad falla.
(a) (f; g) = f (1) g (1)
i) (f; g) = (g; f )
(f; g) = f (1) g (1) = g (1) f (1) = (g; f ) : Se cumple
ii) (f; g + h) = (f; g) + (f; h)
(f; g + h) = f (1) [g + h] (1) = f (1) [g (1) + h (1)] = f (1) g (1) + f (1) h (1) =
(f; g) + (f; h)
Si se cumple.
iii) (cf; g) = c (f; g)
(cf; g) = [cf ] (1) g (1) = cf (1) g (1) = c (f; g)
Esta propiedad también se cumple
iv) Si f 6= 0 entonces (f; f ) > 0
2
(f; f ) = f (1) f (1) = [f (1)] .
En general, f (1) puede ser cero aunque la función f 6= 0. Por ejemplo, el
polinomio 1 t.
Por tanto, esta cuarta propiedad no se cumple y esta de…nición no constituye
un producto escalar.
R1
(b) (f; g) = 0 f (t) g (t) dt
i) (f; g) = (g; f )
R1
R1
(f; g) = 0 f (t) g (t) dt = 0 g (t) f (t) dt = (g; f )
ii) (f; g + h) = (f; g) + (f; h)
R1
R1
R1
(f; g + h) = 0 f (t) [g + h] (t) dt = 0 f (t) [g (t) + h (t)] dt = 0 [f (t) g (t) + f (t) h (t)] dt =
R1
R1
R1
= 0 [f (t) g (t) + f (t) h (t)] dt = 0 f (t) g (t) dt + 0 f (t) h (t) dt 6=
R1
R1
6= 0 f (t) g (t) dt + 0 f (t) h (t) dt = (f; g) + (f; h)
por lo que esta propiedad NO SE CUMPLE y la de…nición no es de un
producto escalar.
(c) (f; g) =
R1
0
f 0 (t) g 0 (t) dt
donde f 0 y g 0 son las derivadas.
1
i) (f; g) = (g; f )
R1
R1
(f; g) = 0 f 0 (t) g 0 (t) dt = 0 g 0 (t) f 0 (t) dt = (g; f )
Se cumple
ii) (f; g + h) = (f; g) + (f; h)
R1
R1
R1
0
(f; g + h) = 0 f 0 (t) [g + h] (t) dt = 0 f 0 (t) [g 0 + h0 ] (t) dt = 0 f 0 (t) [g 0 (t) + h0 (t)] dt =
R1
R1
R1
= 0 [f 0 (t) g 0 (t) + f 0 (t) h0 (t)] dt = 0 f 0 (t) g 0 (t) dt + 0 f 0 (t) h0 (t) dt =
(f; g) + (f; h)
Se cumple
iii) (cf; g) = c (f; g)
R1
R1
R1
0
(cf; g) = 0 [cf ] (t) g 0 (t) dt = 0 cf 0 (t) g 0 (t) dt = c 0 f 0 (t) g 0 (t) dt = c (f; g)
Se cumple
iv) Si f 6= 0 entonces (f; f ) > 0
R1
R1
2
(f; f ) = 0 f 0 (t) f 0 (t) dt = 0 jf 0 (t)j dt
esta integral puede ser cero aunque la función sea diferente de cero. Tomemos
el caso, por ejemplo, de cualquier función constante diferente de cero. Es diferente de cero y, sin embargo, (t; t) = 0:
Esta propiedad no se cumple.
Esta de…nición no constituye un producto escalar.
R1
R1
(d) (f; g) = 0 f (t) dt
g (t) dt
0
i) (f; g) = (g; f )
R1
R1
R1
R1
(f; g) = 0 f (t) dt
g (t) dt = 0 g (t) dt
f (t) dt = (g; f )
0
0
Se cumple
ii) (f; g + h) = (f; g) + (f; h)
R1
R1
R1
R1
(f; g + h) = 0 f (t) dt
[g + h] (t) dt = 0 f (t) dt
[g (t) + h (t)] dt =
0
0
R1
R1
R1
R1
R1
R1
R1
= 0 f (t) dt
g (t) dt + 0 h (t) dt = 0 f (t) dt
g (t) dt + 0 f (t) dt
h (t) dt =
0
0
0
= (f; g) + (f; h)
Se cumple
iii) (cf; g) = c (f; g)
R1
R1
R1
(cf; g) = 0 [cf ] (t) dt
g (t) dt = 0 [cf (t)] dt
0
R1
R1
= c 0 f (t) dt
g (t) dt = c (f; g)
0
Se cumple
iv) Si f 6= 0 entonces (f; f ) > 0
R1
R1
R1
(f; f ) = 0 f (t) dt
f (t) dt = 0 f (t) dt
0
R1
0
g (t) dt = c
0
2
Nuevamente el que la función sea diferente de cero no garantiza que
no sea cero, por ejemplo la función t 1=2:
2
R1
R1
0
f (t) dt
f (t) dt
R1
0
g (t) dt =
Por lo tanto, esta útima propiedad no se cumple y la de…nición no constituye
un producto escalar.
3