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Estadística para 2o de Bachillerato
de Ciencias de la Salud y Tecnología
IES Bahía de Cádiz.
Departamento de Matemáticas1
1
Prof: Jesús Beato Sirvent
Índice general
0.1. Algunas notas sobre el origen histórico de la Estadística . . . . .
0.2. Cuando la Estadística se hace ocial . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3. Diversos signicados del término Estadística . . . . . . . . . . . .
I Estadística descriptiva unidimensional
1. Tablas y grácos estadísticos
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Población y muestra . . .
Método estadístico . . . .
Objeto de la Estadística .
Caracteres estadísticos . .
Tablas de frecuencias . . .
Grácos estadísticos . . .
Tipos de distribuciones de
Ejercicios del tema . . . .
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frecuencias
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2.1. Medidas de centralización . . . . . . . . . . .
2.1.1. Media aritmética simple . . . . . . . .
2.1.2. Media aritmética ponderada . . . . . .
2.1.3. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Media geométrica . . . . . . . . . . . .
2.1.6. Media cuadrática . . . . . . . . . . . .
2.1.7. Media armónica . . . . . . . . . . . .
2.2. Medidas de posición . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Cuartiles, deciles y percentiles . . . . .
2.2.2. Momentos centrales . . . . . . . . . .
2.3. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Recorrido o rango . . . . . . . . . . .
2.3.2. Desviación media respecto a la media
2.3.3. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Desviación típica . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Desviación cuartílica . . . . . . . . . .
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2. Parámetros estadísticos
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4
5
5
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7
8
8
9
9
10
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11
18
19
19
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20
20
21
21
22
22
22
23
23
24
24
24
24
25
ÍNDICE GENERAL
2
2.3.6. Desviación percentílica 10-90 . . . . .
2.3.7. Variable tipicada . . . . . . . . . . .
2.4. Medidas de asimetría . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Coeciente de asimetría . . . . . . . .
2.5. Medidas de apuntamiento o curtosis . . . . .
2.5.1. Coeciente de apuntamiento o curtosis
2.6. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . .
II
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Estadística descriptiva bidimensional
32
3. Distribuciones bidimensionales. Teoría de la correlación
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
III
Relación estadística y relación funcional
Distribuciones bidimensionales . . . . .
Medida de la correlación . . . . . . . . .
Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . .
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Cálculo de probabilidades
4. Combinatoria
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
Variaciones . . . . . . . . . .
Variaciones con repetición . .
Números factoriales . . . . . .
Permutaciones . . . . . . . .
Permutaciones con repetición
Números combinatorios . . .
Combinaciones . . . . . . . .
Combinaciones con repetición
Ejercicios del tema . . . . . .
5. Probabilidad
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
Experimentos aleatorios .
Operaciones con sucesos .
Concepto de probabilidad
Probabilidad condicionada
Ejercicios del tema . . . .
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6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
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33
34
34
35
35
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IV Distribuciones de probabilidad
6. Distribuciones discretas
25
25
25
25
26
26
26
Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribución de probabilidad discreta . . . . .
Parámetros de una variable aleatoria discreta
Distribución binomial . . . . . . . . . . . . .
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43
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66
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ÍNDICE GENERAL
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Cálculo de probabilidades en una distribución binomial . . .
Funciones de probabilidad y de distribución binomial . . . .
Parámetros de una distribución binomial . . . . . . . . . . .
Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Distribuciones continuas
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
3
Distribuciones de probabilidad continuas . . .
La distribución normal . . . . . . . . . . . . .
La distribución normal estándar . . . . . . . .
Aproximación de la binomial por la normal .
Ajuste de un conjunto de datos a una normal
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . .
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79
Introducción
0.1. Algunas notas sobre el origen histórico de la
Estadística
La primera manifestación estadística de la humanidad la encontramos en
China. En el año 2238 adC. el Emperador Yao manda hacer un censo.
Las inundaciones anuales del Nilo obligaban a realizar trabajos censales
para repartir los bienes que se habían librado de las mismas.
En el Imperio Romano eran frecuentes los censos tanto de personas como
de bienes con el n de repartir bien la aplicación de los impuestos (Sin
duda alguna el censo más famoso fue el ordenado por Octavio Augusto el
año en que nació Jesucristo)
En la Edad Media, Carlomagno y Guillermo el Conquistador ordenaron
realizar trabajos de estadística sobre sus posesiones, tanto materiales como
personales.
Los primeros trabajos estadísticos en España son debidos a Alhaken II y
Abd-el-Mumén que cultivaron esta ciencia.
En 1348 ddC las Cortes de Alcalá mandan realizar padrones y notas de
rebaño para la Mesta.
Más tarde, los Reyes Católicos ordenan el primer empadronamiento general de sus súbitos.
El primer precursor de la estadística tal y como se entiende hoy en día
es, sin duda alguna, el inglés GRANT (1620-1674). Utilizando datos demográcos obtenidos en las parroquias de Londres, es capaz de formular
leyes de validez universal y estimar la población futura de Londres.
Los discípulos de GRANT, PETTY y SUSMILCH sientan las bases para
estudiar los fenómenos de masas.
En el siglo XVII, de forma paralela, Pascal y Fermat inician el cálculo de
probabilidades tratando de resolver problemas de juegos planteados por el
caballero DE MERÉ.
4
ÍNDICE GENERAL
5
En el siglo XVIII, Achenwall (1719-1772) introduce la palabra Estadística:
Çiencia de las cosas que pertenecen al Estado, llamando Estado a todo lo
que es una sociedad civil y al país en que ella habita, con lo que se encuentra de activo y de efectivo; la Estadística se ocupa de los fenómenos
que pueden favorecer o defender la prosperidad de un Estado. La política enseña cómo deben ser los Estados y la Estadística explica cómo son
realmente.
En el siglo XIX se desarrollan los parámetros numéricos que resumen la
información ofrecida por unos datos estadísticos.
Los trabajos de Gauss, Bernouilli, Laplace y Bessel unieron la Probabilidad y la estudiaron conjuntamente.
El astrónomo Quetelet realizó importantes aplicaciones de la Estadística.
Entre nales del siglo XIX y principios del siglo XX, Pearson, Galton
y Fisher fueron considerados respectivamente los padres de la inferencia
estadística, regresión y correlación y teoría de la investigación.
0.2. Cuando la Estadística se hace ocial
El primer país que crea un organismo ocial dependiente del Estado para
los trabajos estadísticos es Suecia, que en 1756 crea la Comisión de
Indias.
En España, en 1856 se crea la Comisión General de la Estadística y
en 1945 se crea el Instituto Nacional de Estadística (INE)
0.3. Diversos signicados del término Estadística
Diccionario RAE
1 Ciencia o recuento de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráco o de cualquier otra manifestación de un Estado,
provincia, pueblo, clase, etc.
3 Ciencia que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades
Larousse 2000 Conjunto de datos de observación relativos a un grupo de individuos o
unidades (Suele usarse en plural)
La primera denición matemática que se dio de estadística fue: Un conjunto de datos numéricos sobre cualquier cuestión, presentados en tablas
o de forma sistemática
Generalmente s acepta como Estadística: Es la Ciencia Aplicada que se
ocupa del estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasicar,
resumir, analizar datos y hacer inferencias cientícas a partir de tales
datos
Parte I
Estadística descriptiva
unidimensional
6
Capítulo 1
Tablas y grácos estadísticos
Contenidos del tema
1. Población y muestra.
2. Método estadístico.
3. Objeto de la Estadística.
4. Caracteres estadísticos.
5. Tablas de frecuencias.
6. Grácos estadísticos.
7. Tipos de distribuciones de frecuencias.
1.1. Población y muestra
Denición 1.1.1 Se llama población al conjunto formado por todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa.
Denición 1.1.2 Se denomina individuo a cada uno de los elementos de una
población.
Denición 1.1.3 Se denomina muestra a un subconjunto limitado extraído de
la población con objeto de reducir el campo de experiencias
Nota 1.1.1 Las propiedades que se obtienen de la muestra se hacen extensivas
a toda la población.
7
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
8
1.2. Método estadístico
1. Planteamiento del problema.
2. Recogida de datos.
a ) Selección de la información que es conveniente obtener para la resolución del problema.
b ) Elección de la forma en la que se va a obtener dicha información
(elaboración de encuestas, sondeos, censos, sondeos de opinión,...)
c ) Selección de los individuos a los que se les va a pedir información
(técnicas de muestreo, población y muestra)
3. Recuento de los datos obtenidos.
4. Síntesis, organización y presentación de los datos.
a ) Elaboración de tablas.
b ) Elaboración de grácos.
5. Resumen de la información. Parámetros y relaciones.
a ) Medidas de centralización.
b ) Medidas de dispersión.
6. Análisis de la distribución.
a ) Medidas de forma.
b ) Medidas de concentración.
c ) Otras medidas.
7. Adecuación a un modelo probabilístico.
8. Inferencia estadística.
a ) Estimación.
b ) Contraste de hipótesis.
9. Toma de decisiones y predicciones.
1.3. Objeto de la Estadística
La Estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento
numérico de un conjunto. La estadística se divide en dos ramas principales:
Estadística descriptiva, cuyo objeto es examinar los individuos de un
conjunto.
Estadística inferencial, por la que, mediante el estudio de una muestra,
se sacan conclusiones válidas para la totalidad.
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
9
1.4. Caracteres estadísticos
Denición 1.4.1 Se llama carácter estadístico a cualquier característica observable de los individuos de una población.
Denición 1.4.2 Se dice que un carácter es cualitativo o atributo si no se puede
expresar de forma numérica, es decir, si no es el resultado de una medida. En
caso contrario se dice que el carácter es cuantitativo o variable. Las variables
las representaremos por letras mayúsculas (X, Y, Z, . . . )
Denición 1.4.3 Se dice que una variable es discreta si sólo puede tomar val-
ores aislados. En caso contrario, se dice que la variable es continua, a saber, si
puede tomar todos los valores de un intervalo
Denición 1.4.4 Se llama dato a cada una de las distintas modalidades de un
atributo.
Denición 1.4.5 Se llama valor a cada una de los distintos posibles resultados
de una variable. Cada uno de los valores de una variable se representa por xi .
Las valores correspondientes a variables continuas suelen expresarse agrupados
en intervalos. Estos intervalos se denominan clases. En esta caso, se llama
marca de clase al punto medio de cada clase y se representa por xi .
Proposición 1.4.1 Si [a, b] representa una clase de valores de una variable
continua, la marca de clase xi se calcula así:
xi =
a+b
2
1.5. Tablas de frecuencias
Denición 1.5.1 Se llama frecuencia absoluta del dato i−ésimo de un atributo,
o del valor xi de una variable discreta o de la clase i−ésima de valores de una
variable continua, y se representa por ni , al número de veces que se repite en un
recuento estadístico. El número total de datos de un atributo o de valores de una
variable, contando las posibles repeticiones en un recuento lo representaremos
por N .
Proposición 1.5.1 Se verica:
X
ni = N
Denición 1.5.2 En las variables estadísticas, una vez ordenados los valores
o las clases de forma creciente, se llama frecuencia absoluta acumulada correspondiente al valor i−ésimo o a la clase i−ésima, y se representa por Ni ,
a:
i
X
Ni =
nk
k=1
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
10
Observación 1.5.1 La frecuencia absoluta acumulada correspondiente al últi-
mo valor de la variable o a la última clase de valores, debe coincidir con el total
de datos: N .
Denición 1.5.3 Se llama frecuencia relativa del dato i−ésimo de un atributo,
o del valor xi de una variable discreta o de la clase i−ésima de valores de una
variable continua, y se representa por fi , al cociente:
fi =
ni
N
Proposición 1.5.2 Se verica:
X
fi = 1
Denición 1.5.4 En las variables estadísticas, una vez ordenados los valores
o las clases de forma creciente, se llama frecuencia relativa acumulada correspondiente al valor i−ésimo o a la clase i−ésima, y se representa por Fi , a:
Fi =
i
X
fk
k=1
Observación 1.5.2 La frecuencia relativa acumulada correspondiente al último
valor de la variable o a la última clase de valores, debe ser 1.
Observación 1.5.3 Las frecuencias relativas, tanto simples como acumuladas,
se pueden representar en forma de fracción o en forma decimal. Si se multiplica por 100 una frecuencia relativa expresada en forma decimal, se obtiene el
porcentaje del total de datos correspondiente a dicho atributo o de valores de la
variable.
Proposición 1.5.3 (Algoritmo para agrupar en intervalos) Los pasos a
seguir son:
1. Tomamos como número de intervalos (I ):
√
a)
N , si N es un cuadrado perfecto.
√
b) [ N ] + 1, si N no es un cuadrado perfecto.
2. Rango = V alor M aximo − V alor M inimo
3. Amplitud de cada intervalo:
Rango
I
1.6. Grácos estadísticos
Se estudiarán los siguientes grácos estadísticos:
Diagrama de barras.
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
11
Histograma.
Polígono de frecuencias.
Diagrama de sectores.
Pirámides de población.
Gráco en espiral.
1.7. Tipos de distribuciones de frecuencias
Denición 1.7.1 Llamaremos distribuciones de frecuencias de tipo I a aquéllas
en las cada valor de la variable aparece una sola vez. Su tratamiento estadístico
se reduce a representar los datos de manera ordenada.
Denición 1.7.2 Llamaremos distribuciones de frecuencias de tipo II a aquél-
las en las que alguno de los valores de la variable aparece más de una vez. Usualmente son pocos los valores de la variable y en cambio se dispone de muchas
observaciones. Para su estudio se representan ordenando los datos en tablas de
frecuencias.
Denición 1.7.3 Llamaremos distribuciones de frecuencias de tipo III a aquél-
las en las que se disponen los datos de forma agrupada. Cuando el número de
observaciones y el de valores es muy grande, lo que generalmente ocurre en
las distribuciones de variable continua, se realiza una partición del campo de
variación de la variable en intervalos de clase, de igual o diferente amplitud y
se realizan las correspondientes tablas de frecuencias.
1.8. Ejercicios del tema
Ejercicio 1.1 Un fabricante de tornillos desea hacer un control de calidad. Para
ello recoge uno de cada 100 tornillos fabricados y lo analiza. El conjunto de
tornillos analizado, ¾es población o muestra? ¾por qué?
Ejercicio 1.2 Un campesino posee 127 gallinas. Para probar la ecacia de un
nuevo tipo de alimentos, las pesa a todas antes y después de los veinte días que
dura el tratamiento. El conjunto de esas 127 gallinas, ¾es población o muestra?
Ejercicio 1.3 ¾Cuál es el carácter seleccionado en la población del problema
anterior? ¾Es cualitativo?, ¾cuantitativo discreto o cuantitativo continuo? ¾por
qué?
Ejercicio 1.4 Plantea un problema en el que los individuos de la población
a analizar sean entidades bancarias y el carácter estudiado sea el número de
cuentacorrentistas. ¾Cuál podrá ser la población?
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
12
Ejercicio 1.5 Un fabricante de vasos de vidrio quiere estudiar la resistencia
que presentan a la rotura. El procedimiento consiste en someterlos a presiones
paulatinamente crecientes, hasta que se parten. ¾Puede hacer el estudio sobre la
población, o debe sacar una muestra? ¾Por qué?
Ejercicio 1.6 Los métodos utilizados en el ejercicio 1, ¾son relativos a la es-
tadística descriptiva o a la inferencial? ¾y los del ejercicio 2? Razona la respuesta.
Ejercicio 1.7 Se ha encuestado a los alumnos de un centro. Una de las preguntas es el tipo de lectura que preeren. He aquí las respuestas, distinguiendo
curso y sexo del encuestado.
Género
Liter. Fant.
Cienc. Ficc.
Divul. Cien.
Novel. Poli.
Novel. Oest.
Fotonovelas
Diarios Not.
Revis. Depo.
Revis. Cora.
Otras
Nada
1er.
H
6
11
6
15
3
2
2
22
2
5
26
curso
M
8
2
3
24
0
15
2
4
17
18
26
2o
H
8
10
5
14
1
0
1
18
2
6
16
curso
M
9
4
4
20
0
11
2
14
13
6
14
3o
H
11
14
8
10
0
1
4
11
0
4
10
curso
M
12
6
4
10
0
9
3
0
8
7
8
COU
H
13
15
12
13
0
0
5
4
0
6
3
COU
M
15
8
10
8
0
6
5
0
2
8
3
Para resolver las siguientes preguntas copia la tabla en papel aparte, dejando
huecos para hacer sumas parciales
¾Cómo evoluciona la ación a la lectura clásica al pasar los años? Es
decir, ¾qué proporción de los alumnos de 1o tienen ación a la literatura
clásica? ¾Y de 2o ? ...
¾Cuáles son las lecturas en alza? ¾En cuál de ellas se nota más el aumento
en porcentaje?
¾Cuáles son las que sufren menos variación con la edad?
A la vista de la tabla, señala aspectos interesantes y estúdialos.
Hazte nuevas preguntas y respóndelas.
Ejercicio 1.8 Las siguientes tablas nos muestran el reparto de la población en
España:
Municipios
Hasta 5000 ha.
De 5001 a 20000
De 20001 a 100000
más de 100000
1900
51 %
28 %
12 %
9%
1910
48 %
30 %
12 %
10 %
1920
44 %
30 %
16 %
10 %
1930
40 %
29 %
16 %
15 %
1940
36 %
28 %
22 %
14 %
1950
34 %
26 %
16 %
24 %
1960
29 %
25 %
18 %
28 %
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Municipios
No de hab.(millones)
1900
18,6 %
1910
19,9 %
1920
21,3 %
13
1930
23,6 %
1940
25,9 %
1950
28,0 %
El 51 % que aparece en la primera casilla de la tabla primera signica que en
1900 el 51 % de los españoles vivía en municipios de hasta 5000 habitantes.
La suma de los números de la primera columna es: 51+28+12+9=100.
¾Era de esperar este resultado? Suma las demás columnas y explica a qué
se deben los resultados obtenidos.
¾Podemos decir que en 1900 más de la mitad de los españoles vivía en
municipios de menos de 5001 habitantes?
Mira la segunda tabla. ¾Qué signica el 18,6 de la primera casilla? ¾Es
lógico que los números de las sucesivas casillas sean cada vez más grandes?
Mira la primera la y di cómo ha evolucionado la proporción de españoles
en municipios pequeños.
Calcula cuántos españoles había en 1900 en municipios de hasta 5000
habitantes. Haz otro tanto para los demás años y observarás que el número
total se encuentra relativamente estabilizado.
Calcula el número de españoles que vivía en municipios de más de 100000
habitantes en cada uno de estos años y observa el espectacular aumento
que se ha ido produciendo.
El número de ciudades de ese tamaño también aumentó año a año. Concretamente, había 6 en 1900, 10 en 1930 y 24 en 1950. Calcula el tamaño
medio de esas ciudades en cada uno de estos años.
Ejercicio 1.9 El número de personas que viven en cada uno de los portales de
una gran barriada son:
63
141
128
124
147
78
116
83
69
152
90
103
134
71
119
85
83
115
75
133
129
133
102
93
85
120
137
138
96
63
107
93
93
127
131
143
99
69
106
118
73
139
73
110
74
76
111
116
80
105
62
60
104
86
119
117
94
114
100
91
97
88
107
133
104
123
109
87
84
77
100
155
125
121
107
156
98
124
109
143
Se trata de una variable discreta. Sin embargo, el hecho de que haya una gama
tan grande de valores (de 60 a 156), aconseja que se agrupen en intervalos y se
someta a un tratamiento como si de una variable continua se tratara. Por eso:
Reparte los 80 datos en los intervalos
(60, 76]; (92, 108]; (108, 124]; (124, 140]; (140, 156]
1960
30,4 %
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
14
Construye una tabla de frecuencias y el histograma correspondiente.
Ejercicio 1.10 En el gráco 1 se nos da, en cada año, el número total de
parados y el número de los que, entre ellos, no reciben ayuda. Contesta si las
siguientes armaciones son verdaderas o falsas.
El número total de parados ha ido aumentando.
El número de parados que no reciben ayuda, ha ido aumentando.
El aumento del número total de parados de 1984 a 1985 es de, aproximadamente, un 6 %.
La proporción de parados sin seguro de desempleo es prácticamente la misma en 1983 que en 1984.
1985 es el año con mayor proporción de parados con seguro de desempleo.
Puesto que los datos de 1985 son hasta julio, probablemente al acabar al
año las cantidades se habrán duplicado.
Ejercicio 1.11 Tipos de pirámides de población: Según el perl, la pirámide
puede ofrecer, entre otras, las siguientes formas: pagoda, bulbo y as de pique.
Las tienes en el gráco 2. Las peculiaridades de las correspondientes poblaciones
se describen a continuación, en otro orden:
A: Indica una población que, en algún momento, ha sufrido alguna crisis
por la que se produce una disminución fuerte de sus efectivos, de la cual
después se recupera.
B: Representa una población en proceso de envejecimiento debido al descenso de la natalidad.
C: Representa una población joven con una natalidad elevada.
Asocia cada descripción con una gráca. Si te dicen que las poblaciones de Suecia, Méjico y USA responden a esos tres tipos, ¾cuál crees que corresponderá a
cada cual?
Ejercicio 1.12 La gráca 3 correspondiente a la climatología de Sevilla: el his-
tograma representa los mm de lluvia y el polígono de frecuencias representa
las temperaturas. A la vista de la gráca, confecciona, de forma aproximada,
las tablas correspondientes. Representa de forma similar la climatología de San
Sebastián del mismo año:
E
13
145
F
17
135
M
20
130
A
21
170
M
24
135
J
22
130
J
25
105
A
21
120
S
23
150
O
19
180
N
17
190
D
15
150
donde la segunda la representa la temperatura, expresada en o C y la tercera la
pluviosidad, expresada en mm.
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
15
Ejercicio 1.13 El número total de parados en España, a nales de 1984, fue
de 2716000 y, al nal de 1985, fueron 2910000. ¾Cuál fue el índice de aumento
del paro en ese año?
2910000
× 100 = 107, 14
2716000
Decimos que el aumento de paro ha sido, durante el año 1985, del 7, 14 %.
También se dice que el paro ha aumentado 7,14 puntos, o bien de 1,0714. Si
el número de parados al nal de 1986 ha sido 3047000, ¾cuál es el índice de
aumento de paro durante el año 1986?
Ejercicio 1.14 La cotización media del dólar, en ptas, fue durante el año 1985
la que gura en la siguiente tabla:
E
175
F
182
M
183
A
172
M
175
J
175
J
168
A
164
S
169
O
162
N
160
D
156
Haz la gráca que reeje la evolución de esta serie temporal (polígono de frecuencias). ¾Cuál es el índice de variación de enero a febrero? ¾Y de febrero a
marzo? ¾Y de marzo a abril?
Ejercicio 1.15 Los ingresos por turismo en España durante 1985 han sido, en
miles de dólares, los reejados en la siguiente tabla:
E
480
F
400
M
420
A
540
M
610
J
660
J
1010
A
1120
S
900
O
910
N
510
D
520
Haz la gráca correspondiente.
Ejercicio 1.16 El salario mínimo ha experimentado las siguientes subidas:
Año
Índice de Subida
1983
1,05
1984
1,24
1985
1,10
1986
1,13
Si el salario mínimo a nales de 1982 era de 28000 ptas., ¾cuál sería al nal de
cada uno de los años 1983, 1984, 1985, 1986? ¾Cuál será el índice de aumento
de 1983 a 1986? Para obtenerlo, divide el salario mínimo al nal de 1986 entre
28000 ptas, que era el salario mínimo al comienzo de 1983. Comprueba que el
resultado coincide con el producto 1, 05 × 1, 24 × 1, 10 × 1, 13
Ejercicio 1.17 Haz un histograma que represente las estaturas en metros de
4350 soldados:
Talla
No sold.
1,52
62
1,56
186
1,60
530
1,64
812
1,68
953
1,72
860
1,76
507
1,80
285
1,84
126
1,88
29
Para ello, asocia a cada valor un intervalo de 4 cm. centrado en el punto que
aparece en la tabla. Por ejemplo, a 1,52 le corresponde el intervalo (1,50-1,54),
etc.
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
16
Ejercicio 1.18 Tenemos la siguiente distribución de edades de una población
Edad
No sold.
[0,5)
900
[5,10)
850
[10,15)
1300
[15,20)
1200
[20,25)
1000
[25,30)
700
[30,40)
1360
[40,100)
2840
Observa que los intervalos no son de la misma longitud. Teniendo esto en cuenta, agrúpalos en intervalos de 10 años (para los más ancianos puedes repartir
los 840 individuos en cuatro partes iguales) pues, si no, la representación puede
ser engañosa. Haz el histograma correspondiente.
Ejercicio 1.19 Un cierto día, pusieron por TV una película, a las 21:00 h, y un
debate a las 23:00 h. Se ha encuestado a 3820 personas. El resultado se reeja
en la siguiente tabla:
Vieron película
No vieron película
Vieron debate
1187
No vieron debate
1041
2712
3820
Ejercicio 1.20 La tabla 4 nos muestra algunos de los contenidos relacionados
con la emigración en España.
Mira atentamente la tabla y explica el signicado de los números. Por
ejemplo, ¾qué signican los números a11 = 5368; a17 = 28475; a74 =
91064; a77 = 386827?
Para estudiar globalmente los destinos de los emigrantes, expresa los números
de la última columna en tantos por ciento del total.
Pasa a porcentajes de sus correspondientes totales los datos de las restantes
columnas. Compara con los de la columna de totales y extrae algunas consecuencias que relacionen las preferencias de los lugares de destino con el
tamaño del lugar de procedencia.
Ejercicio 1.21 En una residencia hay 1085 ancianos. 519 fuman, 226 tienen
afecciones pulmonares. Pero sólo hay 31 que aunque no fumen tienen afecciones
pulmonares. Haz una tabla de contingencia y averigua:
Cuántos hay que fumen y tengan afecciones pulmonares.
Qué proporción de fumadores tienen afecciones pulmonares.
Qué proporción de no fumadores tienen afecciones pulmonares.
Ejercicio 1.22 Interpreta las siguientes tablas estadísticas 5. Se reeren a los
primeros 50 sorteos de la Lotería Primitiva. ¾Qué signican, en cada una, los
dos números escritos en cada casilla? ¾Cuál fue la combinación ganadora de la
última semana? ¾Y de la anterior? ¾Y...?
CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
17
Ejercicio 1.23 La tabla 6 nos muestra la ecacia de algunos equipos de baloncesto. Está tomada de un periódico, después de la 6a jornada del campeonato
1985/86. Cada equipo presenta tres proporciones (una por cada tipo de tiro).
Estas proporciones vienen dadas en forma de fracción (por ejemplo, 26/53 signica 26 canastas logradas de 53 intentos). Se advierten algunos errores. Por
ejemplo, si el Barcelona encestó 45 canastas de 3 puntos, 210 de 2 y 61 de 1
punto, su puntuación total debería ser:
45 × 3 + 210 × 2 + 61 × 1 = 616
en tanto que, en la tabla, gura 618. Lo mismo ocurre con el resto de los equipos.
Corrige, en tu cuaderno, las puntuaciones de los cuatro primeros equipos.
Para esos mismos cuatro equipos, supón correctas las puntuaciones y modica el número de canastas (de 3 puntos, de 2 o de 1) de forma que ajusten
los datos.
Comprueba, para esos mismos cuatro equipos, si los porcentajes está bien
calculados.
Calcula los datos que faltan en los lugares marcados con un guión.
Capítulo 2
Parámetros estadísticos
Contenidos del tema
1. Medidas de centralización.
a ) Media aritmética simple.
b ) Media aritmética ponderada.
c ) Mediana.
d ) Moda.
e ) Media geométrica.
f ) Media cuadrática.
g ) Media armónica.
2. Medidas de posición
a ) Cuartiles, deciles y percentiles.
b ) Momentos centrales.
3. Medidas de dispersión.
a ) Recorrido o rango.
b ) Desviación media respecto a la media.
c ) Varianza.
d ) Desviación típica.
e ) Desviación cuartílica.
f ) Desviación percentílica 10-90.
g ) Variable tipicada.
4. Medidas de asimetría.
18
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
19
a ) Coeciente de asimetría.
5. Medidas de apuntamiento o curtosis.
a ) Coeciente de apuntamiento o curtosis.
2.1. Medidas de centralización
Una medida de centralización o promedio es el valor que es capaz de representar todos los datos de una distribución estadística.
2.1.1. Media aritmética simple
Sólo tiene sentido para variables estadísticas.
Denición 2.1.1 Dada una variable estadística X , se dene su media arit-
mética simple y se representa por X , como el cociente entre la suma de todos
los datos y el número total de ellos.
X
xi
En distribuciones de tipo I: X =
En distribuciones de tipo II: X =
i
N
X
xi ni
i
N
X
xi ni
i
En distribuciones de tipo III: X =
N
marcas de clase de los intervalos de clase.
, donde xi representan las
Teorema 2.1.1 La media aritmética cumple las siguientes propiedades:
1. Dadas dos variables estadísticas X, Y y una constante C tales que Y =
CX , se tiene:
Y = CX
2. Dadas dos variables estadísticas X, Y y una constante C tales que Y =
X + C , se tiene:
Y =X +D
3. Dadas tres variables estadísticas X, Y, Z tales que Z = X + Y , se tiene:
Z =X +Y
4. En toda distribución estadística se verica que la suma de las desviaciones
de todos los datos respecto a la media aritmética es nula, esto es:
X
(xi − X)ni = 0
i
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
20
2.1.2. Media aritmética ponderada
En determinadas distribuciones estadísticas es notorio que no todos los valores de la variable tienen la misma inuencia y por ello a cada valor se le asigna
un coeciente diferenciador llamado peso, que representaremos por pi .
Denición 2.1.2 Se llama media aritmética ponderada de la variable X que
toma valores x1 , x2 , . . . , xN con pesos respectivos p1 , p2 , . . . , pN y representamos
por X p , al número:
X
xi pi
i
Xp = X
pi
i
2.1.3. Mediana
Denición 2.1.3 Se llama mediana de una distribución, y se designa por M e,
al número tal que, ordenados los datos de forma creciente o decreciente, la mitad
son inferiores a dicho número y la otra mitad son superiores a dicho número.
Para calcular la mediana de una distribución se procede así:
En distribuciones de tipo I ó de tipo II: Se construye la tabla de frecuencias
N
absolutas acumuladas correspondiente a la distribución y se calcula
.
2
N
, la
Si hay un valor cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual a
2
mediana M e se calcula como la media aritmética de éste y el siguiente.
En caso contrario, la mediana M e será el primer valor cuya frecuencia
N
absoluta acumulada supere a .
2
En distribuciones de tipo III: Se construye la tabla de frecuencias absolutas
N
acumuladas correspondiente a la distribución y se calcula
. El primer
2
N
intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada supere o iguale a
, es el
2
llamado intervalo mediano. Supongamos que este intervalo es el de extremos Li−1 , Li . Entonces la mediana M e se calcula con la fórmula:
N
− Ni−1
M e = Li−1 + 2
· ai
ni
2.1.4. Moda
Es un parámetro adecuado tanto para variables como para atributos.
Denición 2.1.4 Se dene la moda de una distribución estadística, y se des-
igna por M o, como el valor de la variable al que corresponde mayor frecuencia.
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
21
En distribuciones de tipo I éste concepto carece de interés pues cada valor
sería una moda.
En distribuciones de tipo II: Una vez construida la tabla de frecuencias
absolutas, la moda vendrá dada por el valor o valores a las que corresponda
mayor frecuencia. En estas distribuciones puede haber más de una moda,
caso en el que se llaman distribuciones bimodales, trimodales,. . . , si bien
se acostumbra a decir que la distribución carece de moda cuando presenta
más de dos.
En distribuciones de tipo III: Se llama intervalo modal a aquel al que
corresponde mayor frecuencia absoluta. Supongamos que dicho intervalo
tiene de extremos Li−1 , Li y que todos los intervalos son de igual amplitud,
a. En este caso, la moda es un valor situado dentro de este intervalo, y se
calcula con la fórmula:
ni+1
M o = Li−1 +
·a
ni−1 + ni+1
2.1.5. Media geométrica
Denición 2.1.5 Se llama media geométrica y se designa por G, al número
obtenido así:
En distribuciones de tipo I:
G=
√
N
x1 · x2 · · · xN
En distribuciones de tipo II y III:
q
G = N xn1 1 · xn2 2 · · · xnk k ; n1 + n2 + · · · + nk = N
2.1.6. Media cuadrática
Denición 2.1.6 Se llama media cuadrática y se designa por C , a la raíz
cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.
Se calcula así:
En distribuciones de tipo I:
r
C=
x21 + x22 + · · · + x2N
=
N
En distribuciones de tipo II y III:
r
C=
x21 n1 + x22 n2 + · · · + x2k nk
=
N
v
u N
uX
u
x2i
u
t i=1
v
u N
uX
u
x2i ni
u
t i=1
N
N
; n1 + n2 + · · · + nk = N
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
22
2.1.7. Media armónica
Denición 2.1.7 Se llama media armónica y se designa por H , al valor recíproco de la media aritmética de los valores recíprocos de la variable. Se calcula así:
En distribuciones de tipo I:
H=
N
N
= N
1
1
1
X 1
+
+ ··· +
x1
x2
xN
x
i=1 i
En distribuciones de tipo II y III:
H=
N
N
= N
; n1 + n2 + · · · + nk = N
1
1
1
X 1
n1 + n2 + · · · +
nk
ni
x1
x2
xk
x
i=1 i
Teorema 2.1.2 Entre los distintos tipos de medias se verica la siguiente relación:
2.2. Medidas de posición
2.2.1. Cuartiles, deciles y percentiles
Denición 2.2.1 Los cuartiles se representan por Qp ; p = 1, 2, 3 y son los tres
números que dividen a la distribución en cuatro partes iguales:
En distribuciones de tipo I: Q1 es el valor tal que el 25 % de los datos son
anteriores a él y el 75 % restante son posteriores. El segundo cuartil Q2
coincide con la mediana y el tercer cuartil Q3 separa el 75 % de los datos
anteriores a él del 25 % posteriores a él.
N 2N
N 3N
En distribuciones de tipo II: Se consideran los valores ,
= ,
4 4
2 4
y se observan los valores de la variable para los que se igualan o superan
estos números en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.
En las distribuciones de tipo III: Sea Li−1 , Li el intervalo en el que se
encuentra el cuartil Qp . Este intervalo se determina procediendo igual que
en las distribuciones de tipo II. Entonces el cuartil Qp se calcula con la
fórmula:
pN
− Ni−1
· ai ; p = 1, 2, 3
Qp = Li−1 + 4
ni
Denición 2.2.2 Los deciles se representan por Dp ; p = 1, 2, . . . , 9 y son los
nueve números que dividen a la distribución en diez partes iguales:
En distribuciones de tipo I: D1 deja anteriores a un 10 % de los datos, D2
un 20 %, etc. Como era de esperar, D5 = M e.
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
23
N 2N
9N
En distribuciones de tipo II: Se consideran los valores
,
,...,
y
10 10
10
se observan los valores de la variable para los que se igualan o superan
estos números en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.
En las distribuciones de tipo III: Sea Li−1 , Li el intervalo en el que se
encuentra el decil Dp . Este intervalo se determina procediendo igual que
en las distribuciones de tipo II. Entonces el decil Dp se calcula con la
fórmula:
pN
− Ni−1
Dp = Li−1 + 10
· ai ; p = 1, 2, . . . , 9
ni
Denición 2.2.3 Los percentiles se representan por Pp ; p = 1, 2, . . . , 99 y son
los noventa y nueve números que dividen a la distribución en cien partes iguales:
En distribuciones de tipo I: P1 es el valor tal que el 1 % de los datos
son anteriores a él y el 99 % restante son posteriores. El tercer percentil
P3 separa el 3 % de los datos anteriores a él del 97 % posteriores a él.
Evidentemente, P50 = D5 = Q2 = M e.
N 2N
99N
En distribuciones de tipo II: Se consideran los valores
,
,...,
100 100
100
y se observan los valores de la variable para los que se igualan o superan
estos números en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.
En las distribuciones de tipo III: Sea Li−1 , Li el intervalo en el que se
encuentra el percentil Pp . Este intervalo se determina procediendo igual
que en las distribuciones de tipo II. Entonces el percentil Pp se calcula con
la fórmula:
pN
− Ni−1
100
Pp = Li−1 +
· ai ; p = 1, 2, . . . , 99
n1
2.2.2. Momentos centrales
Denición 2.2.4 Se llama momento central de orden k y se representa por µk ,
al parámetro estadístico:
X
(xi − X)k ni
k
µk = X =
N
Observación 2.2.1 Cuanto mayor sea el orden k del momento, más inuyen
en el valor del momento correspondiente los valores muy alejados de la media.
2.3. Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión de una distribución estadística se corresponden
con cualquier parámetro que mida la proximidad o alejamiento existente entre
los datos.
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
24
2.3.1. Recorrido o rango
Denición 2.3.1 Se llama recorrido o rango y se representa por Re, a la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la variable, es decir:
Re = xmax − xmin
2.3.2. Desviación media respecto a la media
Denición 2.3.2 Se dene la desviación media respecto a la media de una
variable X y se representa por DX como la media aritmética de los valores
absolutos de las desviaciones de los datos respecto a su media aritmética. Viene
dada por la fórmula:
X
|xi − X|ni
DX =
N
2.3.3. Varianza
Denición 2.3.3 Se dene la varianza de una distribución como la media ar-
itmética de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a su media
aritmética. Se representa por σ 2 y viene dada por la fórmula:
X
(xi − X)2 ni
2
σ =
N
Teorema 2.3.1 Se verica:
σ2 = X 2 − X
2
σ 2 = µ2
2.3.4. Desviación típica
Denición 2.3.4 Se llama desviación típica y se representa por σ a la raíz
cuadrada positiva de la varianza, es decir:
√
σ = + σ2
La desviación típica, llamada también desviación cuadrática media o desviación
estándar es la medida de dispersión más frecuentemente utilizada. Usualmente,
una distribución estadística se suele caracterizar de un modo abreviado indicando solamente los valores de su media y de su desviación típica.
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
25
2.3.5. Desviación cuartílica
Denición 2.3.5 Se llama desviación cuartílica o recorrido semiintercuartílico
de una distribución y se designa por DC , como la mitad de la diferencia entre
los cuartiles tercero y primero, a saber:
DC =
Q3 − Q1
2
2.3.6. Desviación percentílica 10-90
Denición 2.3.6 Se llama desviación percentílica 10-90 o recorrido semipercentílico 10-90 de una distribución y se designa por DP10−90 , como la mitad de
la diferencia entre los percentiles noventa y diez, a saber:
DP10−90 =
P90 − P10
2
2.3.7. Variable tipicada
Cuando se quieren comparar dos distribuciones estadísticas o dos medidas
que no sean la media aritmética y la desviación típica, es necesario eliminar la
inuencia de estas dos medidas, lo cual se hace considerando un nueva variable
para cada una de las distribuciones a comparar que se llama variable tipicada.
Denición 2.3.7 Sea X una variable estadística de media X y desviación típica σ . Se dice que una variable estadística Z se corresponde con la variable X
tipicada, si:
X −X
Z=
σ
Teorema 2.3.2 Si Z es una variable estadística tipicada, entonces:
Z=0
σ(Z) = 1
2.4. Medidas de asimetría
2.4.1. Coeciente de asimetría
Denición 2.4.1 Se llama coeciente de asimetría y se representa por γ1 , al
número:
γ1 =
µ3
σ3
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
26
2.5. Medidas de apuntamiento o curtosis
2.5.1. Coeciente de apuntamiento o curtosis
Denición 2.5.1 Se llama coeciente de apuntamiento o curtosis y se representa por γ2 al número
γ2 =
µ4
−3
σ4
2.6. Ejercicios del tema
Ejercicio 2.1 Las estaturas de los jugadores de baloncesto de cuatro equipos
tienen los parámetros que muestra la siguiente tabla y las grácas que se proporcionan en la gráca 7. Asocia a cada gráca el par de parámetros correspondiente
Equipo
x
σ
K
198,5
9,7
L
198,1
3,9
M
193
4,6
N
193,4
8,1
Ejercicio 2.2 Las distribuciones de la gráca 8 tienen todas ellas la misma
media, 5, aproximadamente. Sin embargo, sus desviaciones típicas son 1, 2, 3 y
4. ¾Cuál es la de cada cual?
Ejercicio 2.3 Las desviaciones típicas de las cuatro distribuciones de la gura
9 son: 3,2; 4,3; 5,2; 6,8. ¾Cuál corresponde a cada una?. ¾Cuál es la media de
todas ellas?
Ejercicio 2.4 Se ha hecho un mismo examen en dos clases, A y B, de 40
alumnos cada una. Las notas medias de cada clase y sus desviaciones típicas
son: xA = 6; σA = 1; xB = 6; σA = 3 y las grácas correspondientes están en la
gura 10
Asigna la distribución de la clase A a una de las tres grácas y la distribución de B a otra.
En una de las clases hay 15 suspensos y 6 sobresalientes; en la otra, 5
suspensos y 1 sobresaliente. ¾Cuál es la clase A y cuál es la clase B?
¾En qué clase habrá más notas comprendidas entre 5 y 7?
Ejercicio 2.5 La siguiente tabla expresa las estaturas en centímetros de 4350
soldados:
Talla
No sold.
152
62
156
186
160
530
164
812
168
953
172
860
176
507
Haz el histograma correspondiente a estos datos.
Estima la media y la desviación típica.
180
285
184
126
188
29
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
27
¾Cuántos soldados tienen su estatura en el intervalo (x−σ, x+σ)? ¾Cuántos en el intervalo (x − 2σ, x + 2σ)?
Calcula el porcentaje de soldados para cada intervalo del apartado anterior.
Decimos que los soldados que tienen su estatura en el intervalo (x + σ, x +
2σ) son altos. ¾Cuántos soldados altos hay en total? ¾Qué porcentaje suponen?
Decimos que los soldados que tienen su estatura en el intervalo (x−2σ, x−
σ) son bajos. ¾Cuántos soldados bajos hay en total? ¾Qué porcentaje suponen?
Ejercicio 2.6 Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado la
suma. Éstos son los resultados:
Sumas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
¾De qué tipo de variable se trata? Calcula x, σ . Averigua el porcentaje de valores
obtenidos en el intervalo (x − σ, x + σ) y en (x − 2σ, x + 2σ).
Ejercicio 2.7 Calcula x, σ en la distribución de edades siguiente y averigua
el porcentaje y calcula el porcentaje aproximado de individuos que hay en e
intervalo (x − σ, x + σ) y en (x − 2σ, x + 2σ).
Edades
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
No de personas
1850
2500
1700
1360
1100
900
210
210
210
210
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
28
Ejercicio 2.8 Calcula los parámetros x, σ de la distribución, por portales, del
número de personas que viven en una gran barriada:
Intervalos
(60,76]
(76,92]
(92,108]
(108,124]
(124,140]
(140,156]
Frecuencias
12
13
18
19
11
7
Obtén el intervalo (x − σ, x + σ) y cuenta los valores que hay en él. ¾Qué porcentaje suponen del total? Haz lo mismo con (x − 2σ, x + 2σ)
Ejercicio 2.9 Las temperaturas tomadas en dos ciudades, A y B, los días 15
de cada mes de un determinado año, a las 12 de la mañana, son, en grados
centígrados:
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
A
11
13
15
14
19
24
26
25
19
16
14
12
B
-2
5
13
13
19
29
37
38
23
15
10
6
Calcula la temperatura media y la desviación típica en cada una de ellas.
Ejercicio 2.10 Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el número de
lanzamientos que necesitamos hasta obtener la primera cara. Realizamos el experimento 100 veces con los siguientes resultados:
Lanz. en el que sale c.
1
2
3
4
5
6
7
Calcula x, σ .
No de veces que ha ocurrido
53
24
11
6
3
2
1
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
29
Ejercicio 2.11 Calcula la mediana, los cuartiles y los centiles 10, 40, 70 y 90
en la distribución del ejercicio 28.
Ejercicio 2.12 Calcula la mediana, los cuartiles y los centiles 10, 40, 70 y 90
en la distribución del ejercicio 29.
Ejercicio 2.13 Calcula la mediana, los cuartiles y los centiles 10, 40, 70 y 90
en la distribución del ejercicio 30.
Ejercicio 2.14 Calcula la mediana, los cuartiles y los centiles 10, 40, 70 y 90
en la distribución del ejercicio 31.
Ejercicio 2.15 Calcula la mediana, los cuartiles y los centiles 10, 40, 70 y 90
en la distribución del ejercicio 33.
Ejercicio 2.16 Las estaturas de los componentes de tres equipos infantiles de
baloncesto, A, B y C se distribuyen según las grácas de la gura 11 y con los
parámetros que aparecen en la misma gura. ¾Qué gráca corresponde a cada
equipo?
Ejercicio 2.17 Sabemos que, en una clase, la calicación media de un examen
ha sido 5 y la desviación típica 1,5. En esa misma clase, para otro examen, la
calicación media ha sido también 5, y la desviación típica 1. Si un alumno ha
obtenido un 8 en el primer examen y un 7,5 en el segundo, ¾qué nota te parece
más meritoria? ¾Por qué?
Ejercicio 2.18 En una fábrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de
algunos de ellos y se obtiene:
22
17
22
19
19
20
23
22
23
20
18
23
19
21
18
21
21
19
23
21
19
18
20
21
19
22
20
21
20
18
16
22
18
19
20
19
18
24
21
22
23
25
17
20
21
18
23
20
22
19
Haz una tabla de frecuencias, represéntala grácamente y calcula la media
y la desviación típica.
Haz una nueva tabla de frecuencias agrupando los valores así: de 17 a 19
mm, de 20 a 22 mm y de 23 a 25 mm. Represéntala grácamente y calcula
la media y la desviación típica.
Calcula las medianas, los cuartiles y el centil 90 (para ello haz, previamente, el polígono de frecuencias acumuladas)
¾Qué centil corresponde a la longitud 24 cm?
Ejercicio 2.19 Las estaturas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas en
la siguiente tabla:
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
Intervalos
(158,5-163,5]
(163,5-168,5]
(168,5-173,5]
(173,5-178,5]
(178,5-183,5]
(183,5-188,5]
30
Alumnos
1
5
11
14
6
3
Calcula la media y la desviación típica. Dí el valor de la mediana y los cuartiles.
¾Qué centil corresponde a una estatura de 180 cm?
Ejercicio 2.20 Al lanzar tres dados distintos pueden darse 6 × 6 × 6 = 216
resultados posibles. Imaginemos que tiramos 216 veces tres dados y que se dieran
exactamente todas y cada una de las 216 posibilidades distintas. En este caso,
las sumas de las tres puntuaciones se distribuirían así:
x
fi
3
1
4
3
5
6
6
10
7
15
8
21
9
25
10
27
11
27
12
25
13
21
14
15
15
10
16
6
17
3
Representa esta distribución mediante un diagrama de barras.
Calcula la media y la desviación típica.
Calcula los intervalos (x − σ, x + σ) y (x − 2σ, x + 2σ) y el porcentaje de
resultados en cada uno.
Ejercicio 2.21 Los pesos de 40 alumnos de una clase se distribuyen del sigu-
iente modo:
Intervalos
(35,5-42,5]
(42,5-49,5]
(49,5-56,5]
(56,5-63,5]
(63,5-70,5]
(70,5-77,5]
Alumnos
2
11
13
9
3
2
Represéntala grácamente y estima x, σ .
Calcula numéricamente x, σ y obtén el porcentaje de chicos que hay en los
intervalos (x − σ, x + σ) y (x − 2σ, x + 2σ)
Calcula la mediana y los cuartiles y estima el centil que corresponde a
cada una de las siguientes medidas: 40 Kg, 50 Kg, 60 Kg, 70 Kg.
Ejercicio 2.22 En una fábrica de bombillas se observaron 200 de ellas para
estudiar su duración y se obtuvieron los siguientes resultados:
18
1
CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
Horas de duración
(100,200)
(200,300)
(300,400)
(400,500)
(500,600)
(600,700)
(700,800)
31
No de bombillas
2
7
16
49
62
41
23
Representa grácamente mediante un histograma de frecuencias y estima
el valor de x, σ .
Haz una tabla con las marcas de clase de cada intervalo y las frecuencias
y calcula con exactitud x, σ .
Obtén el porcentaje de bombillas cuya duración está en cada uno de los
intervalos (x − σ, x + σ) y (x − 2σ, x + 2σ).
Representa el polígono de frecuencias acumuladas, obtén sobre él la mediana, los cuartiles, los centiles 10, 70 y 90 y di qué centiles corresponden
a los valores 225 y 575.
Parte II
Estadística descriptiva
bidimensional
32
Capítulo 3
Distribuciones
bidimensionales. Teoría de la
correlación
Contenidos del tema
1. Relación estadística y relación funcional.
2. Distribuciones bidimensionales.
3. Medida de la correlación.
4. Regresión.
3.1. Relación estadística y relación funcional
Denición 3.1.1 Se dice que entre dos variables existe una relación funcional
si a cada valor de una de las variables, llamada variable independiente, le corresponde uno y un sólo valor de la otra variable, llamada variable dependiente.
Denición 3.1.2 Se dice que entre dos variables hay una relación estadística
o correlación, si a cada valor de una las variables le puede corresponder más de
un valor de la otra variable.
Denición 3.1.3 Se dice que una correlación entre dos variables es positiva si
a medida que aumentan los valores de una, aumentan los valores que le corresponden de la otra. Se dice que una correlación entre dos variables es negativa
si a medida que aumentan los valores de una, disminuyen los valores que le
corresponden de la otra.
33
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN34
3.2. Distribuciones bidimensionales
Denición 3.2.1 Sea un conjunto de n individuos. A cada uno de ellos se le
toman dos medidas, (xi , yi ). Al conjunto de valores:
{(xi , yi ); i = 1, 2, . . . , n}
se le llama distribución bidimensional de las variables estadísticas (X, Y ).
Denición 3.2.2 La representación en un diagrama cartesiano de una distribución bidimensional se llama nube de puntos o diagrama de dispersión.
Denición 3.2.3 Se llama centro de gravedad de una distribución bidimensional (X, Y ) al punto (X, Y )
Denición 3.2.4 A veces, la nube de puntos se amolda a una recta. A esta
recta se llama recta de regresión.
Observación 3.2.1 El carácter creciente o decreciente de la recta de regresión
coincide con el signo de la correlación existente entre las variables estadísticas.
Observación 3.2.2 La recta de regresión pasa por el centro de gravedad de una
distribución.
3.3. Medida de la correlación
Denición 3.3.1 Sea (X, Y ) una distribución bidimensional. Se llama covarianza y se representa por σXY , al parámetro:
n
X
(xi − X)(yi − Y )
σXY =
i=1
n
Teorema 3.3.1 Sea (X, Y ) una distribución bidimensional. Se verica:
σXY = XY − X · Y
Observación 3.3.1
El signo positivo o negativo de la covarianza coincide
con el carácter creciente o decreciente de la recta de regresión y por tanto
con el tipo positivo o negativo de la correlación.
σXY = 0 ⇒ No existe correlación lineal entre las variables, se dice que las
variables son incorreladas.
Denición 3.3.2 Sea (X, Y ) una distribución bidimensional. Se llama coeciente de correlación lineal y se representa por ρXY , al número:
ρXY =
σXY
σX σY
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN35
Teorema 3.3.2 Sea (X, Y ) una distribución bidimensional. Se verican las
siguientes propiedades:
−1 ≤ ρXY ≤ 1
ρXY > 0 ⇒ correlación positiva.
ρXY < 0 ⇒ correlación negativa.
ρXY = 0 ⇒ variables incorreladas.
A medida que aumenta en valor absoluto el coeciente de correlación, más
se asemeja la nube de puntos a la recta de regresión.
3.4. Regresión
Teorema 3.4.1 Sea (X, Y ) una distribución bidimensional. La recta de regresión de Y sobre X tiene de ecuación:
y−Y =
σXY
2 (x − X)
σX
3.5. Ejercicios del tema
Ejercicio 3.1 En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos
variables que se citan, hay relación funcional o relación estadística (correlación)
y, en este último caso, indicar si es positiva o negativa:
Estatura media de los padres-estatura media de los hijos.
Temperatura a la que calentamos una barra de hierro-longitud alcanzada.
volumen de exportación, volumen de importación con España.
Índice de mortalidad infantil-número de médicos por cada 1000 habitantes.
Kwh consumidos en cada casa durante enero-coste del recibo de la luz.
Personas que viven en cada casa-coste del recibo de la luz.
Lugar que ocupan al nalizar la liga-número de partidos perdidos.
Ejercicio 3.2 Asigna los valores 0,95; 0,4; -0,7 y -1 a los coecientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de la gura 11.
Ejercicio 3.3 Asigna los valores 0,34; 0,72; 0,97 y 1 a los coecientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de la gura 12.
Ejercicio 3.4 Los números 0; 0,47; 0,92 y 0,97 son los valores absolutos de los
coecientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de la gura 13.
Asigna a cada cual la suya, cambiando el signo cuando convenga.
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN36
Ejercicio 3.5 Las correlaciones correspondientes a las seis distribuciones de
la gura 14 son, no respectivamente, 0,46; -0,94; 1; 0; 0,9; -0,63. Míralas detenidamente y asigna a cada cuál su valor.
Ejercicio 3.6 Cuatro jugadoras de baloncesto han hecho 10 lanzamientos a
canasta de una distancia de 1 m, otros 10 desde 2 m y así sucesivamente hasta
8 m. En cada caso se ha anotado el número de encestes.
A
B
C
D
1m
9
7
3
10
2m
10
6
4
8
3m
6
7
0
9
4m
4
4
1
9
5m
2
2
0
6
6m
0
4
2
7
7m
1
1
1
4
8m
0
0
3
5
Una distribución bidimensional para la jugadora A puede consistir en asociar
la distancia a que se producen los lanzamientos y el número de canastas conseguidas. Se obtienen los pares de valores (1,9) -desde un metro, 9 encestes(2,10), (3,6), etc.
Representa grácamente los 8 puntos de la distribución correspondiente a
la jugadora A, traza la recta de regresión y estima el valor del coeciente de
correlación.
Ejercicio 3.7 Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para las jugadoras B, C
y D. En algunos de estos casos ¾puedes asegurar que la correlación es claramente
más débil que en los demás?
Ejercicio 3.8 Observa en cualquier periódico la clasicación futbolística de primera
división y estima, tras representar la nube de puntos correspondiente, cómo será
el coeciente de correlación entre el puesto en la clasicación y el número de
goles a favor.
Ejercicio 3.9 Haz lo mismo para la relación entre el puesto en la clasicación
y la diferencia de goles a favor y goles en contra.
Ejercicio 3.10 Los siguientes 15 países son los que mantienen relaciones comerciales más fuertes con España, bien por importación, bien por exportación.
Exp. a España
Imp. a España
USA
1
2
Ale
2
3
Fra
3
1
Ing
4
4
Méj
5
20
Ita
6
5
Los números de la primera la signican el lugar que ocupan (Ranking Mundial)
por su exportación a España. USA (1) es el país que más exporta a España. La
segunda la expresa el lugar que ocupan por su nivel de importación de España.
Francia (1) es el país que más importa a España. Representa la nube de puntos
y traza la recta de regresión. ¾Qué podrías decir de la correlación: positiva,
negativa, grande, mediana, casi nula...? ¾Cuál de los siguientes valores te parece
el más adecuado para ella: -0,98; -0,7; -0,3; 0,2; 0,7; 0,99?
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN37
Ejercicio 3.11 Observa esta tabla:
Esp
7,4
11,3
Índ. de mort.
Hab. >64 años
Hol
8,2
11,6
Gre
8,7
13,2
Ita
9,4
13,6
Irl
9,4
10,7
Fra
10
15,4
Congura la nube de puntos y di cuál de los siguientes valores te parece que
puede ser coeciente de correlación: -0,81; -0,56; -0,32; 0,03; 0,41; 0,77; 0,99
Ejercicio 3.12 Calcula numéricamente el coeciente de correlación de la distribución correspondiente a la siguiente tabla:
x
y
1
2
2
2
3
4
4
6
5
4
6
5
7
7
8
7
9
9
10
10
Ejercicio 3.13 Las estaturas de 10 chicas y las de sus respectivas madres son:
xi
yi
158
163
162
155
164
160
165
161
168
164
169
158
172
175
172
169
174
166
178
172
Representa los valores mediante una nube de puntos.
Traza a ojo la recta de regresión y estima el valor del coeciente de correlación.
Calcula x, y, σx , σy , σxy y, partir de ellos, obtén el valor de ρxy y la ecuación
de la recta. Compáralos con los que obtuviste a ojo.
Ejercicio 3.14 La siguiente tabla relaciona el número atómico de varios metales de la misma la en el sistema periódico, (período 4), con su densidad:
Elemento
Núm. atóm.
Dens. (g/cm2 )
K
19
0,86
Ca
20
1,54
Ti
22
4,5
V
23
5,6
Mn
25
7,11
Fe
26
7,88
Co
27
8,7
Ni
28
8,8
Representa los puntos, calcula el coeciente de correlación y traza la recta de
regresión. A partir de ella, estima la densidad del cromo (Cr), cuyo número
atómico es 24, y haz otro tanto con la del escandio (Sc), de número atómico 21.
Nota: En cada uno de los siguientes ejercicios se da una tabla que corresponde a una distribución bidimensional. Calcula el coeciente de correlación y
la ecuación de la recta de regresión de cada una de ellas.
Ejercicio 3.15 Distribución bidimensional:
Notas en Matemáticas
Notas en Filosofía
2
2
3
5
4
7
4
8
5
4
6
4
6
6
7
4
6
18
7
18
8
18
Ejercicio 3.16 Distribución bidimensional:
Clasicación
Puntos Ganados
1
23
2
20
3
22
4
17
5
18
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN38
Ejercicio 3.17 Distribución bidimensional:
Clasicación
Puntos Empatados
1
11
2
17
3
12
4
19
5
16
6
11
7
9
5
7
6
12
7
14
8
17
8
6
Ejercicio 3.18 Distribución bidimensional:
Clasicación
Puntos Perdidos
1
7
2
4
3
7
4
5
Ejercicio 3.19 Distribución bidimensional:
mg diarios de una sustancia A
Aumento de peso (g) en un mes
1
3
2
1
3
3
4
5
5
6
6
4
7
6
8
5
2
2
3
1
4
3
5
0
6
3
7
4
8
1
6
-1
7
1
8
-2
Ejercicio 3.20 Distribución bidimensional:
mg diarios de una sustancia B
Aumento de peso (g) en un mes
1
2
Ejercicio 3.21 Distribución bidimensional:
mg diarios de una sustancia C
Aumento de peso (g) en un mes
1
3
2
3
3
2
4
0
5
1
Ejercicio 3.22 De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientes
alargamientos:
Masa de la pesa (g)
Alargamiento producido (cm)
0
0
10
0,5
30
1
60
3
90
5
120
6,5
150
8
200
10,2
Representa los puntos, traza a ojo la recta de regresión y estima el valor del
coeciente de correlación. Calcula el coeciente de correlación y la ecuación
de la recta de regresión y compáralos con los que obtuviste a ojo. Estima qué
alargamientos se producirán al colgar pesas de 100 g. 300 g. y 500 g. ¾Cómo de
able serán los resultados obtenidos?
Ejercicio 3.23 Observa la siguiente tabla de valores:
Ind. nat.
Exp. vid.
Ren. cap.
Nig
50
49
873
Gha
48
50
402
Sib
47
54
536
Mar
44
57
869
Ecu
41
61
1171
Arg
24
70
2560
Representa la distribución bidimensional "Índice de natalidad-Expectativa de
vida al nacer"mediante una nube de puntos. Calcula el coeciente de correlación
y extrae consecuencias sociológicas del resultado. Haz lo mismo con las variables
"Índice de natalidad-Renta per cápita".
Ejercicio 3.24 La tabla adjunta proporciona los gastos en publicidad y las correspondientes ventas, de dos empresas. Estudia la correlación entre gastos de
publicidad y ventas de cada una.
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN39
Emp A
Emp B
Gastos publi (×106 ptas)
Ventas (×106 ptas)
Ventas (×106 ptas)
1
10
10
2
17
12
3
30
19
4
28
22
5
39
25
Ejercicio 3.25 Las distancias medias de los 10 planetas al Sol son:
1.Mer
0,39
2.Ven
0,72
3.Tie
1
4.Mar
1,52
5.Ast
2,65
6.Jup
5,2
7.Sat
9,54
8.Ura
19,19
9.Nep
30,07
10.Plu
39,52
(Se ha tomado como unidad la distancia entre la Tierra y el Sol, a lo que se llama
unidad astronómica (u.a.) El quinto lugar está ocupado por los asteroides que,
para estos efectos, son considerados como un planeta más). Representa la nube
de puntos correspondiente, traza la recta de regresión y calcula el coeciente de
correlación. Si hubiera un nuevo planeta más allá de Plutón, ¾a qué distancia en
u.a. estaría del Sol? Toma las medidas sobre la recta de regresión. ¾Qué grado
de seguridad podríamos tener en estos cálculos?
Ejercicio 3.26 Para estudiar algunos efectos de la altitud, un grupo de 10
jóvenes acionados a la investigación cientíca ha llevado a cabo un experimento. Cada uno de ellos ha acudido a un lugar distinto de la misma comarca
y ha obtenido medidas sobre:
Altura en metros sobre el nivel del mar.
número de plantas de una cierta especie en un 1 dam2 .
Presión atmosférica en mm.
Número de pulsaciones por minuto del experimentador.
Éstos son los resultados:
a
0
184 231
n
0
0
4
Pa 760 745 740
Pu 73
78
75
481
14
720
78
730
23
700
83
911
18
685
80
1343
12
650
89
1550
3
630
80
1820
0
610
85
2184
0
580
92
Considera las siguientes distribuciones bidimensionales: a,n; a,Pa; a,Pu. Representa cada una de ellas en un diagrama cartesiano mediante la nube de puntos,
traza a ojo su recta de regresión y estima su coeciente de correlación. Efectúa,
después, los cálculos de forma rigurosa y compara los resultados. Estima, sobre
la correspondiente recta de regresión, la presión atmosférica correspondiente a
2000 m. de altura.
Ejercicio 3.27 Dibuja la nube de puntos y traza la recta de regresión para estos
datos de la climatología en La Coruña:
T oC
Lluvia mm
Horas sol
E
7
125
104
F
10,4
106
93
M
11,3
97
134
A
13,1
78
166
M
14
64
182
J
17,1
25
197
J
20,4
35
223
A
18,3
38
263
S
18,7
84
181
O
16,9
135
151
N
13,4
185
83
D
11,5
131
60
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN40
Estudia la correlación entre:
Temperatura y lluvia.
Temperatura y horas de sol.
Lluvia y horas de sol.
Ejercicio 3.28 De un muelle colgamos pesas. Cuanto mayor sea la pesa, más
se estira el muelle. La siguiente tabla nos da los pesos colgados y los correspondientes alargamientos del muelle:
Masa (g)
Alarg (cm)
0
0
30
9
60
17
90
26
120
35
150
43
180
52
210
61
240
70
270
79
Representa los puntos y traza la recta de regresión (r=0,999) Calcula su ecuación.
Estima el alargamiento esperado para masas de 40 g, 100 g, 250 g, 350 g.
Parte III
Cálculo de probabilidades
41
Capítulo 4
Combinatoria
Contenidos del tema
1. Variaciones.
2. Variaciones con repetición.
3. Números factoriales.
4. Permutaciones.
5. Permutaciones con repetición.
6. Números combinatorios.
7. Combinaciones.
8. Combinaciones con repetición.
4.1. Variaciones
Denición 4.1.1 Sean m, n ∈ N con n ≤ m. Se llaman variaciones de m
elementos tomados de n en n, y se representa por Vm,n , al número de grupos
que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos distintos.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden
de colocación de éstos.
Teorema 4.1.1 Sean m, n ∈ N con n ≤ m. Entonces:
Vm,n = m · (m − 1) · (m − 1) · · · (m − n + 1)
42
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
43
4.2. Variaciones con repetición
Denición 4.2.1 Sean m, n ∈ N. Se llaman variaciones con repetición de m
elementos tomados de n en n, y se representa por V Rm,n , al número de grupos
que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos repetidos o no.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden
de colocación de éstos.
Teorema 4.2.1 Sean m, n ∈ N. Entonces:
V Rm,n = mn
4.3. Números factoriales
Denición 4.3.1 Sea n ∈ N. Se llama factorial de n (o n factorial), y se
representa por n!, al número:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1
Teorema 4.3.1 Sea n ∈ N. Se verican las siguientes propiedades:
1. n! = n · (n − 1)!
2. n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (r + 1) · r!; r < n
4.4. Permutaciones
Denición 4.4.1 Sea n ∈ N. Se llaman permutaciones de n elementos y se
representa por Pn a los distintos grupos que se pueden formar, de manera que:
En cada grupo están los n elementos.
Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de
sus elementos.
Teorema 4.4.1 Sea n ∈ N. Entonces:
Pn = n!
Corolario 4.4.2 Sea n ∈ N. Entonces:
Pn = Vn,n = n!
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
44
4.5. Permutaciones con repetición
Denición 4.5.1 Sean a, b, . . . , k, n ∈ N / a + b + · · · + k = n. Se llaman
permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite
a veces, el segundo b veces,. . . ,el último k veces, y se representa por Pna,b,...,k ,
al números de grupos distintos que se pueden formar con los n elementos, de
manera que:
El primer elemento se repite a veces.
El segundo elemento se repite b veces.
...
El último elemento se repite k veces.
Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de
sus elementos.
Teorema 4.5.1 Sea n ∈ N. Entonces:
Pna,b,...,k =
n!
a!b! . . . k!
4.6. Números combinatorios
Denición 4.6.1 Sean m, n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Se dene
elnúmero combinatorio de numerador m y de orden n, se representa por
n, al número:
m
n
=
m
n
y se lee m sobre
m!
(m − n)!n!
Teorema 4.6.1 Sean m, n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Se verican las siguientes
propiedades:
m
= 1; ∀m ∈ N ∪ {0}
0
m
= 1; ∀m ∈ N ∪ {0}
m
m
= 1; ∀m ∈ N ∪ {0}
1
m
m
=
; ∀m, n ∈ N ∪ {0}
n
m−n
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
45
4.7. Combinaciones
Denición 4.7.1 Sean m, n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Se llaman combinaciones de
m elementos tomados de n en n y se representa por Cm,n al número de grupos
distintos que se pueden formar con m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos distintos.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en
el orden de colocación.
Teorema 4.7.1 Sean m, n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Entonces:
Cm,n =
m
n
=
m!
(m − n)!n!
Teorema 4.7.2 Sean m, n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Entonces:
Cm,n =
Vm,n
Pn
4.8. Combinaciones con repetición
Denición 4.8.1 Sean m, n ∈ N∪{0}. Se llaman combinaciones con repetición
de m elementos tomados de n en n, y se representa por CRm,n , al número de
grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entran n elementos repetidos o no.
Dos grupos son diferentes si se diferencian en algún elemento.
Teorema 4.8.1 Sean m, n ∈ N ∪ {0}. Entonces:
CRm,n = Cm+n−1,n =
m+n−1
n
=
(m + n − 1)!
(m − 1)!n!
4.9. Ejercicios del tema
Ejercicio 4.1 Resuelve la ecuación: Vm,4 = 20Vm,2
Ejercicio 4.2 ¾Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos
1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra?
Ejercicio 4.3 La bandera de un país está formada por tres franjas horizontales
de igual anchura y distinto color. ¾Cuántas banderas distintas se podrán formar
con los siete colores del arco iris?
Ejercicio 4.4 ¾De cuántas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos en
los cuatro asientos de la primera la de la clase? ¾Y si el primer puesto está
siempre reservado para el delegado?
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
46
Ejercicio 4.5 Resuelve V Rx,2 + 5V Rx−2,2 = 244
Ejercicio 4.6 En el alfabeto Morse se utilizan dos símbolos: el punto y la raya.
¾Cuántos caracteres diferentes es posible obtener en el citado alfabeto tomando
1,2,3 o 4 de los símbolos citados?
Ejercicio 4.7 ¾Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pudiéndose repetir las cifras?
Ejercicio 4.8 Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¾Cuántos resultados distintos se pueden obtener?
Ejercicio 4.9 En un campeonato mundial de ciclismo participan cuatro equipos
que pertenecen a España, Francia, Alemania e Italia. Forma todas las posibles
clasicaciones del torneo. ¾Cuántas hay?
Ejercicio 4.10 Un jugador habitual de quinielas tiene la corazonada de que
en la próxima jornada ganarán 10 equipos en casa, empatarán 3 y ganarán en
campo contrario 2. ¾Cuántas quinielas deberá rellenar para asegurarse un pleno
al 15?
Ejercicio 4.11 Como respuesta a un anuncio de trabajo de presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo. ¾Cuántos grupos diferentes de
tres personas se pueden formar?
Ejercicio 4.12 ¾Cuántos triángulos distintos se pueden formar con ocho puntos en el plano si tres de ellos nunca están alineados
Ejercicio 4.13 Resuelve la ecuación 3Cx,3 − 5Cx,2 = 8Cx,1
Ejercicio 4.14 Resuelve las siguientes ecuaciones:
Vx,4 = 20Vx,2 (x > 3)
Vx,1 + Vx,2 + Vx,3 = 26x
15Vx,x = 10Vx−1,x−1
Vm,5 = 6Vm,3
Vx,3 − Vx,1 = 203
Vx+1,3 = 9Vx,2
Ejercicio 4.15 Resuelve las siguientes ecuaciones:
V Rx,2 + 3V Rx−1,2 = 73
V Rx,2 = 15V5,3
V Rx,2 + 5V Rx−2,2 = 244
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
47
V Rx,2 − V Rx−1,2 = 7
Ejercicio 4.16 Resuelve las siguientes ecuaciones:
Pn = 42Pn−2
Pn = 24Vn,2
Px = P3 − 2Px
12Px + 5Px+1 = Px+2
Px+1 − Px = 18
3Vx+2,3
5Vx+1,2
=
P3
P2
42Px = 7Px+1
Vx,2 × P4 = P2 × Vx,4
12,2
; P93,4,2
Ejercicio 4.17 Calcula P74,3 ; P14
Ejercicio 4.18 Resuelve las siguientes ecuaciones:
P4 × Cx,3 = 3x × Vx,2
4Vx,3 − 16Cx,2 = Vx,4
2C2x,x = 7C2x−2,x−1
Ejercicio 4.19 Resuelve las siguientes ecuaciones:
3Cx+2,3 = 5Cx+1,2
C2x,3 = 2C2x−1,3
Cx,3 + 4Cx+1,3 + Cx+2,3 = 8
Ejercicio 4.20 Simplica la siguiente expresión:
16
+
1
17
+
14
16
2
17
15
Ejercicio 4.21 Calcula las siguientes potencias:
(2 + x)5
(1 + 3x)6
(5 + 4x)7
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
48
(4 − x)7
(−3 + x)6
(−2 − 3x)9
Ejercicio 4.22 ¾Cuántas parejas distintas de vocales se pueden formar con las
cinco vocales de manera que no se puedan repetir?
Ejercicio 4.23 ¾Cuántas parejas distintas se pueden formar con las cinco vocales de manera que se puedan repetir?
Ejercicio 4.24 ¾De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de
presidente, secretario y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12
posibles candidatos
Ejercicio 4.25 ¾Cuántos números de tres cifras signicativas se pueden formar
con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra?
Ejercicio 4.26 ¾Cuántos números de tres cifras signicativas se pueden formar
con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra?
Ejercicio 4.27 Con las cifras 1,2,3,4,5 ¾cuántos números distintos de cuatro
cifras se pueden formar de modo que la cifra 2 ocupe siempre el lugar de las
unidades?
Ejercicio 4.28 ¾Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras
pares 2,4,6,8 sin que se repita ninguna? ¾Cuántos terminan en 64? ¾Cuántos
habrá que sean mayores de 500? ¾Cuánto suman todos los números de tres cifras
que se pueden obtener?
Ejercicio 4.29 Si se escriben en orden creciente las variaciones de cuarto or-
den sin repetición que se pueden formar con las 9 cifras signicativas, es decir,
1,2,3,4,5,6,7,8,9, ¾qué lugar ocupa la variación 3254?
Ejercicio 4.30 ¾De cuántas formas se pueden colocar 10 cantores de un coro
si dos de ellos tienen que estar siempre en los extremos?
Ejercicio 4.31 ¾Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar
con los dígitos 2,4,6,8?
Ejercicio 4.32 Suponiendo ordenadas en orden creciente las permutaciones del
ejercicio anterior, ¾qué lugar ocupará la permutación 6248?
Ejercicio 4.33 Consideramos escritas en orden alfabético las permutaciones
de las letras a,b,c,d,e. ¾Qué lugar ocupa la permutación bdace? ¾Cuál es la
permutación que ocupa el lugar 50?
Ejercicio 4.34 ¾Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes se pueden
formar con los dígitos 2,3,4,5,6? ¾Cuántos son menores de 65000?
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
49
Ejercicio 4.35 Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos
de tres alumnos cada uno. ¾De cuántas maneras puede hacerse?
Ejercicio 4.36 Permutando de todos los modos posibles las cifras del número
111223, ¾cuántos números resultan?
Ejercicio 4.37 ¾Cuántos números de cuatro cifras distintas, que sean múltiplos
de tres, se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,6?
Ejercicio 4.38 Al unir cinco vértices de un heptágono, ¾cuántos pentágonos se
obtienen?
Ejercicio 4.39 En cada programa de radio de una emisora intervienen cuatro
locutores. Si una cadena de radio dispone de 20 locutores, ¾de cuántas formas
distintas se puede presentar un programa?
Ejercicio 4.40 ¾Cuántas rectas se pueden trazar con 20 puntos situados en un
plano de tal forma que no hay tres puntos alineados?
Ejercicio 4.41 A una reunión acuden 30 personas. Se decide constituir comisiones de seis personas para estudiar un cierto plan. ¾Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?
Ejercicio 4.42 ¾Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan ocho
cartas de una baraja de 40 cartas?
Ejercicio 4.43 ¾En cuántos puntos se cortan ocho rectas si tres de ellas son
paralelas entre sí?
Ejercicio 4.44 ¾De cuántas maneras pueden combinarse los siete colores del
arco iris tomándolos de tres en tres?
Ejercicio 4.45 A una reunión asisten 17 personas y se intercambian saludos
entre todos. ¾Cuántos saludos se intercambiarán?
Ejercicio 4.46 Una bolsa contiene 12 bolas de distinto tamaño, de las cuales
cinco son negras, cuatro blancas y tres rojas. ¾De cuántos modos se puede sacar
un grupo de seis bolas que contenga, al menos, una de cada color?
Ejercicio 4.47 Halla el número de capicúas de ocho cifras? ¾Cuántos capicúas
hay de nueve cifras?
Ejercicio 4.48 ¾De cuántas formas pueden colocarse en la 10 alumnos si
suponemos que hay dos que ocupan siempre el mismo puesto, uno el primero
otro el último?
Ejercicio 4.49 ¾De cuántas formas distintas pueden sentarse tres chicos y dos
chicas en una la de butacas de un cine, teniendo en cuenta que no pueden estar
dos chicos juntos ni dos chicas juntas?
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
50
Ejercicio 4.50 En el banquete que sigue a una boda se sientan en la mesa
presidencial ocho personas, incluidos los novios. ¾De cuántas formas distintas
se pueden sentar de forma que los novios no se separen?
Ejercicio 4.51 Se tienen 10 tarjetas sobre las que se han escrito los números
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. ¾De cuántas formas diferentes se pueden ordenar de manera
que el 5 y el 6 siempre estén juntos? ¾Y cuántas formas distintas habrá de
manera que el 5 y el 6 estén juntos y precisamente en ese orden?
Ejercicio 4.52 Colocadas en orden alfabético todas las permutaciones de las
letras A,E,I,J y M, se desea saber el lugar que ocupa la permutación JAIME.
Ejercicio 4.53 Una secretaria ha escrito 12 cartas dirigidas a 12 personas dis-
tintas y sus correspondientes sobres. A la hora de meter las cartas en los sobres
la llaman por teléfono y sin jarse, va introduciendo, al azar, las cartas en los
sobres. ¾De cuántas formas distintas podrá rellenar los sobres? ¾En cuántas de
las formas anteriores ocurrirá que la carta dirigida a don Armando Guerra esté
en su correspondiente sobre?
Ejercicio 4.54 Luis no recuerda el teléfono de Ana. Sabe que empieza por 2,
tiene tres 1, dos 3 y tres 9. ¾Cuántas llamadas diferentes tendría que hacer como
máximo para localizar a Ana?
Ejercicio 4.55 En una unidad militar hay 6 capitanes, 10 tenientes, 25 sar-
gentos y 50 cabos. ¾De cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de 3
capitanes, 7 tenientes, 15 sargentos y 36 cabos?
Ejercicio 4.56 Con un grupo de 12 alumnos de un curso deben hacerse tres
equipos de cuatro personas cada uno para asistir a tres exposiciones distintas.
¾Cuántas formaciones diferentes pueden hacerse?
Ejercicio 4.57 Para hacer una apuesta en la Lotería Primitiva hay que marcar
con cruces seis números del primer bloque (donde guran los números del 1 al
49). ¾De cuántas formas diferentes una persona puede marcar 6,5,4y 3 números?
Capítulo 5
Probabilidad
Contenidos del tema
1. Experimentos aleatorios.
2. Operaciones con sucesos.
3. Concepto de probabilidad.
4. Probabilidad condicionada.
5.1. Experimentos aleatorios
Denición 5.1.1 Un experimento se denomina aleatorio si no es posible pre-
decir el resultado antes de su realización, siendo posible repetir el experimento
en las mismas condiciones indenidas veces.
Denición 5.1.2 Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al
conjunto de todos los posibles resultados de la realización de dicho experimento
y lo signicaremos por E .
Denición 5.1.3 Se llama suceso elemental de un experimento aleatorio a cada
uno de los posibles resultados del experimento.
Denición 5.1.4 Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de
los subconjuntos del espacio muestral.
Denición 5.1.5 Se llama espacio de sucesos asociado a un experimento aleatorio, y los denotamos por P(E) al conjunto de todos los sucesos correspondientes
a dicho experimento, esto es, al conjunto de todos los subconjuntos del espacio
muestral.
P(E) = {A / A ⊆ E}
51
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
52
Teorema 5.1.1 Si E tiene n elementos, entonces P(E) tiene 2n elementos.
card(E) = n ⇒ card(P(E)) = 2n
Denición 5.1.6 Se dice que un suceso A se ha vericado si al realizar el
experimento aleatorio se obtiene como resultado uno de los sucesos elementales
que componen A.
Denición 5.1.7 Se llama suceso seguro al que se verica siempre, esto es, al
espacio muestral.
Denición 5.1.8 Se llama suceso imposible y se representa por ∅ al que no se
verica nunca.
5.2. Operaciones con sucesos
Denición 5.2.1 Dados dos sucesos A, B de un mismo experimento aleatorio,
se dene la unión de A y B y se representa por A ∪ B como el suceso que se
verica cuando se verica A o cuando se verica B .
Denición 5.2.2 Dados dos sucesos A, B de un mismo experimento aleatorio,
se dene la intersección de A y B y se representa por A ∩ B como el suceso que
se verica cuando se verican A y B simultáneamente.
Denición 5.2.3 Dado un suceso A de un experimento aleatorio, se llama
suceso contrario de A y se representa por A a aquel suceso que se verica siempre que no se verica A.
Teorema 5.2.1
A=A
∅=E
E =∅
Denición 5.2.4 Dos sucesos A, B del mismo experimento aleatorio se denominan incompatibles si A ∩ B = ∅.
Corolario 5.2.2 A y A son incompatibles.
Teorema 5.2.3 (Propiedades de (P(E), ∪, ∩)) Sean A, B ∈ P(E). Se cumplen
las siguientes propiedades:
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A∪A=A
A∩A=A
A∪E =E
A∩E =A
A∪∅=A
A∩∅=∅
A∩A=∅
A∪A=E
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
53
Por cumplir estas propiedades se dice que el conjunto P(E) con las operaciones ∪, ∩ tiene estructura de σ−álgebra.
Nota: Esta dos últimas propiedades se conocen como Leyes de De Morgan.
Denición 5.2.5 Dados dos sucesos A y B del mismo experimento aleatorio.
Llamamos diferencia de A y B y representamos por A \ B al suceso que se
verica cuando se verica A y no se verica B , es decir:
A\B =A∩B
Denición 5.2.6 Dados dos sucesos A, B ∈ P(E). Llamamos diferencia simétrica de A y B y representamos por A4B al sucesos que se verica cuando se
verica A y no se verica B o cuando se verica B y no se verica A, esto es:
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A)
5.3. Concepto de probabilidad
Denición 5.3.1 Consideremos un experimento aleatorio que se ha realizado
n veces. Se llama frecuencia absoluta de un suceso A asociado al experimento
aleatorio y representamos por n(A) al número de veces que se ha vericado A
en las n realizaciones del mismo.
Denición 5.3.2 Consideremos un experimento aleatorio que se ha realizado
n veces. Se llama frecuencia relativa de un suceso A asociado al experimento
aleatorio y representamos por f r(A) al cociente entre el número de veces que se
ha vericado A en las n realizaciones del mismo y el número de realizaciones
del experimento, esto es:
n(A)
f r(A) =
n
Teorema 5.3.1 (Propiedades de f r) Consideremos un experimento aleatorio que se ha repetido n veces. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ∀A ∈ P(E) 0 ≤ f r(A) ≤ 1
2. f r(∅) = 0
3. f r(E) = 1
4. f r(A) = 1 − f r(A)
5. A ∩ B = ∅ ⇒ f r(A ∪ B) = f r(A) + f r(B)
6. A ∩ B 6= ∅ ⇒ f r(A ∪ B) = f r(A) + f r(B) − f r(A ∩ B)
Teorema 5.3.2 (Ley del azar) La frecuencia relativa de un suceso, cuando
realizamos un experimento aleatorio un número elevado de veces, tiende a estabilizarse en torno a un número.
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
54
Denición 5.3.3 (Denición frecuencialista de probabilidad) Sea A un
suceso asociado a un experimento aleatorio. Se llama probabilidad de que se
verique A y se representa por p(A) al número en torno al cual tiende a estabilizarse la frecuencia relativa de A al realizar el experimento un número elevado
de veces.
Denición 5.3.4 (Denición axiomática de probabilidad) Consideremos
un experimento aleatorio con espacio muestral E y sea P(E) el espacio de sucesos. Llamamos probabilidad a toda aplicación:
p : P(E) → [0, 1]
cumpliendo las siguientes propiedades:
1. 0 ≤ p(A) ≤ 1 ∀A ∈ P(E)
2. p(E) = 1
3. A ∩ B = ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
A la terna (E, P(E), p) se le llama espacio de probabilidad o espacio probabilístico.
Teorema 5.3.3 (Propiedades de la probabilidad) Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. p(A) = 1 − p(A) ∀A ∈ P(E)
2. p(∅) = 0
3. A ⊂ B ⇒ p(A) ≤ p(B)
4. A ∩ B 6= ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
5.4. Probabilidad condicionada
Denición 5.4.1 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B ∈ P(E).
Llamamos suceso A condicionado a B y representamos por A/B al suceso consistente en que se verique A supuesto que se ha vericado B .
Denición 5.4.2 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B ∈ P(E),
con p(B) 6= 0. Se dene la probabilidad de A condicionado a B y representamos
por p(A/B) como:
p(A ∩ B)
p(A/B) =
p(B)
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
55
Denición 5.4.3 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B ∈ P(E),
con p(B) 6= 0. Se puede establecer una nueva denición de probabilidad condicionada como la aplicación:
p : P(E) → [0, 1]
A 7→ p(A/B)
cumpliendo las siguientes propiedades:
1. 0 ≤ p(A/B) ≤ 1 ∀A ∈ P(E)
2. p(E/B) = 1
3. A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ p((A1 ∪ A2 )/B) = p(A1 /B) + p(A2 /B)
Teorema 5.4.1 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B, C ∈ P(E).
Se cumplen las siguientes propiedades:
1. p(A ∩ B) = p(B) · p(A/B)
2. p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A)
3. p(A ∩ B ∩ C) = p(A) · p(B/A) · p(C/(A ∩ B))
Teorema 5.4.2 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B ∈ P(E).
Se verica:
p(A) = p(A/B) ⇔ p(B) = p(B/A)
p(A) 6= p(A/B) ⇔ p(B) 6= p(B/A)
Denición 5.4.4 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B, C ∈
P(E). Se dice que A y B son sucesos dependientes si p(A) 6= p(B/A). Se dice
que A y B son sucesos independientes si p(A) = p(A/B)
Teorema 5.4.3 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A, B, C ∈ P(E).
Si A, B son independientes, entonces p(A∩B) = p(A)·p(B). Si {A1 , A2 , · · · , Ar−1 , Ar }
son independientes 2 a 2,entonces:
p(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ar−1 ∩ Ar ) = p(A1 ) · p(A2 /A1 ) · · · p(Ar /(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ar−1 ))
Denición 5.4.5 Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Un conjunto de
sucesos {Ai ; i = 1, 2, . . . , n} se dice que forman un sistema completo de sucesos
si verica las dos siguientes condiciones:
1. Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , n, es decir, los sucesos son incompatibles dos a dos.
2.
n
[
i=1
Ai = E
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
56
Teorema 5.4.4 (Teorema de la probabilidad total) Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sea {Ai ; i = 1, 2, . . . , n} un sistema completo de sucesos y
sea B ∈ P(E), con p(B) > 0. Entonces:
p(B) =
n
X
p(Ai ) · p(B/Ai )
i=1
Teorema 5.4.5 (Teorema de Bayes) Sea (E, P(E), p) un espacio probabilístico. Sea {Ai ; i = 1, 2, . . . , n} un sistema completo de sucesos y sea B ∈ P(E),
con p(B) > 0. Entonces:
p(Aj /B) =
p(Aj ) · p(B/Aj )
n
X
; ∀j = 1, 2, . . . , n
p(Ai ) · p(B/Ai )
i=1
5.5. Ejercicios del tema
Nota: En los nueve ejercicios siguientes, di cuál es el espacio muestral correspondiente a la experiencia aleatoria en cuestión. Si es nito y tienen pocos
elementos, dilos todos. Si tiene muchos elementos, descríbelo y di el número
total. Y si es innito, di si es continuo o discreto:
Ejercicio 5.1 Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número.
Ejercicio 5.2 Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo.
Ejercicio 5.3 Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo
de cada uno.
Ejercicio 5.4 Lanzamos dos monedas distintas y anotamos el resultado.
Ejercicio 5.5 Lanzamos tres monedas distintas y anotamos el resultado.
Ejercicio 5.6 Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado.
Ejercicio 5.7 Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras.
Ejercicio 5.8 Lanzamos un dado tantas veces como sea necesario hasta que
salga un 5. Anotamos el número de tiradas que ha hecho falta realizar.
Ejercicio 5.9 En un teléfono de una ocina pública, anotamos el tiempo que
media entre dos llamadas.
Ejercicio 5.10 Un gato persigue a un ratón. Éste puede huir por cualquiera
de los callejones A,B,C. En cada uno de ellos puede ser cazado o no cazado.
Forma el espacio muestral, E, con las seis posibilidades que se dan, asignándoles
nombres (por ejemplo: a="va por A y es cazado"; b="va por A y es cazado";
etc) Designa los sucesos "va por A", "va por B", "va por C", "es cazado", "no
es cazado", mediante los elementos de E (por ejemplo, "va por A"= {a, b})
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
57
Ejercicio 5.11 Pon todos los sucesos de las experiencias de los ejercicios 132,
133.
Ejercicio 5.12 ¾Cuántos sucesos tienen las experiencias de los ejercicios 131,
135, 136 y 137?
Ejercicio 5.13 Haz unos grácos en los cuales se vea claro que:
(A ∩ B) = A ∪ B
Ejercicio 5.14 Demuestra grácamente que:
A−B =A∩B
Ejercicio 5.15 Demuestra grácamente que:
A ∪ (B ∩ A) = A
Ejercicio 5.16 Demuestra grácamente que:
A ∩ (B ∪ A) = A
Ejercicio 5.17 Tira un dado 120 veces, anota las frecuencias de cada una de
las caras y haz un diagrama de barras con las frecuencias relativas de las seis
1
caras, en el cual se comparen con la probabilidad = 0, 1666 · · ·
6
Ejercicio 5.18 Tira 120 veces dos dados y anota cada vez la suma de las pun-
tuaciones obtenidas. Halla las frecuencias relativas de los distintos resultados y
represéntalas en un diagrama de barras.
Ejercicio 5.19 Para ganar una man de cartas debemos conseguir un As o bien
un Oro. ¾Qué probabilidad tenemos de ganar?
Ejercicio 5.20 En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que
quedan se dan las siguiente probabilidades de ser extraídas:
P (rey) = 0, 15
P (bastos) = 0, 3
P (carta que no sea ni rey ni bastos) = 0, 6
(Recuerda que P (A) = 1 − P (A)). ¾Está entre ellas el rey de bastos? En caso
armativo, da su probabilidad. ¾Cuántas cartas quedan?
Ejercicio 5.21 Asigna probabilidades a los 6 elementos de E (ejercicio 140)
y calcula las probabilidades de los cinco sucesos allí señalados. Por ejemplo, si
has asignado P (a) = 0, 2; P (b) = 0, 1, será:
P (”entreporA”) = P ({a, b} = P (a) + P (b) = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
58
Ejercicio 5.22 En un centro hay 1000 alumnos repartidos así:
Usan gafas
No usen gafas
Chicos
187
413
Chicas
113
287
Se elige al azar uno de ellos. ¾Cuál es la probabilidad de que sea:
chico
chica
use gafas
no use gafas
sea una chica con gafas
Se elige alguien al azar y le dicen que es una chica, ¾cuál es la probabilidad
de que use gafas?
Ejercicio 5.23 En una comarca hay dos periódicos: El progresista y El Liberal. Se sabe que el 55 % de las personas de esa comarca lee El progresista
(P), el 40 % lee El Liberal (L) y el 25 % no lee ninguno de ellos. Expresa en
función de P y L los siguientes sucesos:
Leer los dos periódicos.
Leer sólo El Liberal.
Leer sólo Progresista.
Leer alguno de los dos periódicos.
No leer ninguno de los dos.
Leer sólo uno de los dos.
Calcula las probabilidades de los sucesos P, L, P ∩ L, P ∪ L, P − L, L −
P, (L ∪ P ), (L ∩ P ).
Sabemos que una persona lee El Progresista, ¾Qué probabilidad hay de
que, además, lea El Liberal? ¾Y de que no lo lea?
Ejercicio 5.24 En una residencia hay 1085 ancianos, de los que 519 fuman
y 226 tienen afecciones pulmonares. Pero sólo hay 31 que, aunque no fumen,
tienen afecciones pulmonares. Haz una tabla de contingencia y averigua:
Cuántos hay que fumen y tengan afecciones pulmonares.
Qué proporción de fumadores tienen afecciones pulmonares.
Qué proporción de no fumadores tienen afecciones pulmonares.
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
59
Qué proporción de enfermos de pulmón son fumadores.
Ejercicio 5.25 Una encuesta revela que el 35 % de los habitantes de La Laguna
oyen la cadena SER, el 28 % la COPE y e 10 % ambas emisoras de radio. Se se
elige al azar uno de estos ciudadanos:
¾Cuál es la probabilidad de que escuche alguna de estas emisoras de radio?
¾Cuál es la probabilidad de que no escuche ninguna de ellas?
¾Cuál es la probabilidad de que escuche solamente una de las dos?
Ejercicio 5.26 Tiramos dos dados. ¾Cuál es la probabilidad de cada una de las
posibles sumas?
Ejercicio 5.27 A, B, C son tres sucesos de una misma σ -álgebra. Expresa en
función de ellos los sucesos:
Se realiza alguno de los tres.
No se realiza ninguno de los tres.
Se realizan los tres.
Se realizan dos de los tres.
Se realizan, al menos, dos de los tres.
Ejercicio 5.28 En familias de tres hijos se estudia la distribución de sus sexos.
Por ejemplo (V,M,M) signica que el mayor es varón y los otros dos mujeres.
¾Cuántos elementos tiene el espacio muestral E ? Describe los siguientes sucesos:
A="La menor es mujer", B="El mayor es varón"¾En qué consiste A ∪ B ?
Ejercicio 5.29 Al tirar tres dados podemos obtener suma 9 de seis formas dis-
tintas: {126, 135, 144, 225, 234, 333} y otras seis de obtener suma 10: {136, 145, 226, 235, 244, 334}
Sin embargo la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 10 que suma
9 ¾Por qué? (Este problema lo resolvió Galileo en el siglo XVII a requerimiento
de un jugador el príncipe de Toscana)
Ejercicio 5.30 Se lanzan simultáneamente cuatro monedas. ¾Cuál es la probabilidad de obtener, al menos, una cara?
Ejercicio 5.31 Sean A, B y C sucesos arbitrarios de un experimento aleatorio.
Expresa, mediante A, B y C el suceso .ocurren exactamente dos de los sucesos
A, B o C.
Ejercicio 5.32 Las letra de la palabra CLASE se colocan al azar y en línea.
¾Cuál es la probabilidad de que las dos vocales queden juntas? Razónalo.
Ejercicio 5.33 Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire.
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
60
¾Cuál es la probabilidad de obtener, a lo sumo, tres cruces?
¾Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
Ejercicio 5.34 Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La
mitad de las alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas.
Calcula la probabilidad de que al elegir una persona al azar, resulte ser:
Alumna o que aprueba las matemáticas.
Alumno que suspenda las matemáticas.
Ejercicio 5.35 Sea A, B dos sucesos tales que:
P (A ∪ B) =
3
2
1
; P (B) = ; P (A ∩ B) =
4
3
4
Calcula P (A ∩ B); P (B); P (A)
Ejercicio 5.36 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y
B en los siguientes casos:
P (A) =
1
1
2
; P (B) = ; P (A ∪ B) =
4
2
3
P (A) = 0; P (B) =
1
2
Ejercicio 5.37 De los sucesos A y B se sabe que P (A) =
P (A ∩ B) =
1
. Halla P (A ∪ B); P (A ∩ B)
3
2
1
, P (B) = , y
5
3
Ejercicio 5.38 ¾Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados a suma sea
par? ¾Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6 al lanzar un dado n
veces?
Ejercicio 5.39 Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p,
¾cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razónalo.
Ejercicio 5.40 Razona la siguiente armación: Si la probabilidad de que ocur-
1
ran dos sucesos a la vez es menor que , la suma de las probabilidades de ambos
2
3
(por separado) no puede exceder de .
2
Ejercicio 5.41 En una urna hay 10 bolas. Cada una de un color (blanco, rojo
o verde) y tiene un número (1 ó 2).
Forma un cuadro de doble entrada en el que aparezca la probabilidad de
cada par de caracteres.
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
61
Calcula la probabilidad de rojo", "verde", "blanco", "1 "2", en una urna
que contiene: 3 bolas verdes marcadas con un 2, 3 bolas verdes marcadas
con un 1, 2 bolas rojas marcadas una con un 2 y la otra con un 1, 2 bolas
blancas marcadas con un 1.
2
Comprueba que se pueden las probabilidades obtenidas en el apartado anterior se pueden obtener sumando las o columnas del cuadro formado en
el primer apartado.
Calcula todas las probabilidades condicionadas.
Di si alguno de los caracteres rojo", "verde", "blanco"es independiente de
"1"ó de "2".
Ejercicio 5.42 Se ha seguido la pista a 100000 coches utilitarios durante un
año Éstos son de tres marcas distintas: A, B y C. Unos han tenido accidente
serio (Ac) y otros no (no Ac). Se reparten según la tabla siguiente:
Ac
no Ac
A
650
49350
B
200
19800
C
150
29850
Calcula cuál de estas tres marcas ha resultado ser más segura. Para ello,
compara P (Ac/A), P (Ac/B), P (Ac/C) con P (Ac).
Di si alguno de los sucesos A, B, C es independiente de Ac y de no Ac.
Explica lo que signica P (A/Ac)
Ejercicio 5.43 Extraemos 3 cartas de una baraja. ¾Cuál es la probabilidad de
que sean guras?
Ejercicio 5.44 Extraemos cinco veces carta de una baraja, con reemplazamiento. Llamamos éxito (E) a sacar as o rey. Calcula:
P(5 veces E)
P(5 veces E )
P(algún E)
Ejercicio 5.45 Un avión tiene cinco bombas. Desea destruir un puente. La
1
probabilidad de destruirlo de un bombazo es . ¾Cuál es la probabilidad de que
5
destruya el puente?
Ejercicio 5.46 Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B
contiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas
que resultan ser las dos blancas. Halla la probabilidad de la urna elegida haya
sido la A.
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
62
Ejercicio 5.47 Tenemos dos urnas. Una de ellas contiene 3 bolas azules, 4
bolas blancas y 5 bolas rojas, mientras que la segunda contiene 7 bolas azules,
6 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola de cada urna. ¾Cuál es la
probabilidad de que sean del mismo color, ¾Y la de que sean de distinto color?
Ejercicio 5.48 Una urna contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se extraen tres
bolas, sin jarnos en el color, y se dejan aparte. ¾Cuál es la probabilidad de que
la siguiente que se extraiga sea blanca?
Ejercicio 5.49 Hay epidemia de cólera (C). Consideramos como uno de lo
síntomas la diarrea (D). Pero este síntoma se presenta también en personas
con intoxicación (I), e incluso en algunas que no tengan nada serio (N). Las
probabilidades son:
P (D/C) = 0, 99; P (D/I) = 0, 5; P (D/N ) = 0, 004
Se dan los siguientes porcentajes: el 2 % de la población tiene cólera; el 0,5 %,
intoxicación y el resto, 97,5 %, nada de eso.
Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga diarrea.
Una persona tiene diarrea. Calcula la probabilidad de que tenga cólera.
Ejercicio 5.50 Simultáneamente se sacan dos cartas de una baraja española y
se tira un dado. ¾Cuál es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el número
del dado sea par?
Ejercicio 5.51 En una baraja de 40 cartas se toman tres cartas distintas. Calcula la probabilidad de que las tres sean números distintos.
Ejercicio 5.52 Escogidas cinco personas al azar, ¾cuál es la probabilidad de
que al menos dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana?
Ejercicio 5.53 En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3
pares de calcetines blancos y 4 pares de calcetines rojos; otro cajón contiene 4
corbatas blancas, 3 rojas y 2 azules. Para vestirse saca al azar del primer cajón
un par de calcetines, y del segundo, una corbata. Halla la probabilidad de que
los calcetines y la corbata sean del mismo color.
Ejercicio 5.54 Un producto está formado por dos partes A y B. El proceso de
fabricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad
de un defecto en B es 0,07. ¾Cuál es la probabilidad de que el producto no sea
defectuoso?
Ejercicio 5.55 Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se ex-
traen 3 bolas con reemplazamiento, ¾cuál es la probabilidad de obtener 2 blancas
y una roja?
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
63
Ejercicio 5.56 Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras, una segunda
urna B contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se selecciona una urna al azar y de
ella se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¾Cuál es la probabilidad de que
sean de distinto color?
Ejercicio 5.57 Las probabilidades de que cada uno de los tres aviones A,B y
C cumpla su horario previsto son 0,7 0,8 y 0,9, respectivamente. El comportamiento de cada avión no depende de los otros. Calcula las probabilidades de
que cumplan el horario:
Los tres aviones.
Al menos, dos de ellos.
Ejercicio 5.58 Se lanza un dado repetidas veces, y estamos interesados en el
número de tiradas precisas para obtener un 6 por primera vez. Se pide:
¾Cuál es el espacio muestral?
¾Cuál es la probabilidad de que el primer 6 se obtenga precisamente en la
séptima tirada?
Ejercicio 5.59 Dos jugadores arrojan a la vez dos monedas cada uno. ¾Cuál
es la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras (sea éste
cero, una o dos)? Razónalo detalladamente.
Ejercicio 5.60 Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un
1
objetivo. En cada disparo, la probabilidad de alcanzarlo es . ¾Cuál es la prob7
abilidad de alcanzar el objetivo con algún obús?
Indicación: Calcula la probabilidad de no alcanzarlo con ninguno.
Ejercicio 5.61 De una baraja de 40 cartas se toman cuatro. Halla la probabilidad de que sean de palos distintos.
Ejercicio 5.62 Se tienen dos bolsas A y B. La bolsa A contiene 12 bolas blancas
y 8 negras y la bolsa B tiene 8 blancas y 12 negras. Se toma una bolsa y se sacan
dos bolas. Calcula la probabilidad de que:
Las dos bolas sean blancas.
Una sea blanca y la otra negra.
Ejercicio 5.63 En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas de la misma
naturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es,
respectivamente, 1 %, 2 % y 3 %. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina
y se elige una pieza al azar que resulta ser defectuosa. ¾Cuál es la probabilidad
de que haya sido fabricada en la máquina A?
Indicación: Calcula previamente la probabilidad de que una pieza al azar
sea defectuosa.
CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD
64
Ejercicio 5.64 Una caja A contiene 2 bolas blancas y dos rojas, y otra caja B
contiene 3 bolas blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se
extrae una bola de B que resulta ser blanca. Calcula la probabilidad de que la
bola trasladada haya sido blanca.
Indicación: Calcula previamente la probabilidad de que la bola nal sea
blanca.
Ejercicio 5.65 En cierto país, donde la enfermedad X es endémica, se sabe
que un 12 % de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba
para detectar la enfermedad, pero no es totalmente able ya que da positiva en
l 90 % de los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en el
5 % de personas sanas. ¾Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a
la que la prueba le ha dado positiva?
Indicación: Calcula previamente la probabilidad de que en una persona al
azar de positiva.
Ejercicio 5.66 Sean A y B dos montones de cartas. En A hay 8 oros y 5
espadas y en B, 4 oros y 7 espadas. Sacamos dos cartas del mismo montón y
resulta que ambas son espadas. Halla la probabilidad de que las hayamos sacado
del montón B.
Indicación: Calcula previamente la probabilidad de obtener dos espadas.
Ejercicio 5.67 De una baraja de 40 cartas se toman dos cartas. Halla la probabilidad de que las cartas sean:
Dos oros
Dos espadas o dos guras.
Ejercicio 5.68 Tenemos una urna con 15 bolas blancas y 25 negras. Sacamos
dos bolas. Halla la probabilidad de que sea una de cada color en cada uno de los
siguientes casos:
Después de sacada la primera bola la volvemos a introducir en la bolsa
antes de extraer la segunda bola.
Sacada la primera bola la dejamos fuera y entre las restantes extraemos la
segunda.
Parte IV
Distribuciones de
probabilidad
65
Capítulo 6
Distribuciones discretas
Contenidos del tema
1. Variable aleatoria.
2. Distribución de probabilidad discreta.
3. Parámetros de una variable aleatoria discreta.
4. Distribución binomial.
5. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial.
6. Funciones de probabilidad y de distribución binomial.
7. Parámetros de una distribución binomial.
8. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial.
6.1. Variable aleatoria
Denición 6.1.1 Una variable aleatoria X es una función del espacio muestral
de un experimento aleatorio en el conjunto de los números reales, esto es:
X:E →R
X(A) = k ∈ R; ∀A ∈ E
Denición 6.1.2 Sea X una variable aleatoria. Se dice que X es discreta y
la representamos mediante un diagrama de barras, si sólo pueden tomar valores aislados. En caso contrario, es decir, si X puede tomar todos los valores
de un cierto intervalo, decimos que X es una variable aleatoria continua y la
representamos mediante un histograma.
66
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
67
Denición 6.1.3 Una variable aleatoria discreta X se llama de Bernouilli y se
representa por X ∼ Be(p) si sólo puede tomar dos posibles valores. Uno de ellos
se denomina éxito y tiene probabilidad p de vericarse y el otro se denomina
fracaso y tiene probabilidad q = 1 − p de vericarse.
6.2. Distribución de probabilidad discreta
Denición 6.2.1 La función de probabilidad de una variable aleatoria X discreta es la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi .
Esto es, P [X = xi ] = pi . La representamos por f (x). Se tiene entonces:
f (x) = P [X = x]
Observación 6.2.1 En las condiciones de la denición anterior, se tiene:
X
pi = 1
i
Denición 6.2.2 La función de distribución de una variable aleatoria X disc-
reta es una función que mide la probabilidad de que la variable aleatoria X tome
valores menores o iguales que un determinado xi . La representamos por F (x).
Entonces:
X
X
F (x) = P [X ≤ x] =
P [X = xi ] =
pi
xi ≤x
xi ≤x
6.3. Parámetros de una variable aleatoria discreta
Denición 6.3.1 Se llama media de una variable aleatoria X discreta y la
representamos por µ, al valor:
µ=
X
xi pi
i
Denición 6.3.2 Se llama varianza de una variable aleatoria X discreta y la
representamos por V , al valor:
X
X
V =
(xi − µ)2 pi =
x2i pi − µ2
i
i
Denición 6.3.3 Se llama desviación típica de una variable aleatoria X disc-
reta y la representamos por σ , a la raíz cuadrada positiva de la varianza, esto
es:
√
σ= V
Observación 6.3.1 Se verica:
V = σ2
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
68
6.4. Distribución binomial
Denición 6.4.1 Se dice que una variable aleatoria X discreta sigue una dis-
tribución binomial de parámetros n y p, y se representa por X ∼ B(n, p) si X
se corresponde con una variable aleatoria de Bernouilli de probabilidad de éxito
p y que se realizado n veces.
Observación 6.4.1 Sea X ∼ B(n, p). Entonces {xi ; i} = {0, 1, 2, 3 . . . , n}
6.5. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial
Teorema 6.5.1 Sea X ∼ B(n, p). Entonces:
P [X = k] =
n
k
pk q n−k
6.6. Funciones de probabilidad y de distribución
binomial
Teorema 6.6.1 Sea X ∼ B(n, p). La función de probabilidad de X viene dada
por:
Valor de k
P [X = k]
n
0
0
qn
n
1
1
...
pq n−1
...
n
k
k
pk q n−k
...
...
n
n
Teorema 6.6.2 Sea X ∼ B(n, p). La función de distribución de X viene dada
por:
F (x) =
x X
n
pi q n−i
i
i=1
6.7. Parámetros de una distribución binomial
Teorema 6.7.1 Sea X ∼ B(n, p). Se verica:
µ = np
V = npq
σ = sqrtV =
√
npq
n
pn
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
69
6.8. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial
Para estudiar si un conjunto de datos obtenidos experimentalmente se ajustan a una distribución binomial B(n, p), se aplica el siguiente procedimiento:
Calculamos la media de los datos y la igualamos a la media de una teórica
binomial B(n, p), esto es, µ = np. Despejando, calculamos el valor de p.
Comparamos la distribución de los datos obtenidos experimentalmente
con la distribución de probabilidad teórica B(n, p). Para ello:
• Calculamos las frecuencias relativas fi de la distribución experimental.
• Calculamos las probabilidades P [X = k], para los valores k = 0, 1, 2, . . . , n
en la B(n, p).
• Calculamos las diferencias en valor absoluto entre las probabilidades
teóricas y las frecuencias relativas. Si las diferencias son sucientemente pequeñas o sucientemente grandes, aceptamos o rechazamos
la hipótesis de que los datos se ajustan a la binomial.
6.9. Ejercicios del tema
Ejercicio 6.1 Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado.
Ejercicio 6.2 Si se tiran dos monedas al aire podemos obtener 0,1 ó 2 caras.
Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente.
Ejercicio 6.3 Tiramos dos monedas 800 veces y anotamos el número de caras:
0
208
1
385
2
207
Calcula la media y la desviación típica. Compara los resultados obtenidos con
los del ejercicio anterior.
Ejercicio 6.4 Un experimento consiste en tirar una moneda reiteradamente
hasta que se obtenga cara por primera vez. Completa la siguiente tabla que corresponde a su distribución de probabilidad:
xi
pi
Represéntala grácamente.
1
1
2
2
1
4
4
···
···
n
···
···
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
70
Ejercicio 6.5 En una bolsa hay bolas numeradas: 9 bolas con un 1, 5 con un 2
y 6 con un tres. Sacamos una bola y vemos qué número tiene.
¾Cuál es la distribución de probabilidad?
Calcula la media y la desviación típica.
Ejercicio 6.6 La distribución de probabilidad de un suceso viene dada por
xi
pi
1
0,1
2
0,3
3
4
0,2
5
0,3
¾Cuánto vale p(3)? Calcula la media y la desviación típica.
Ejercicio 6.7 En un monedero hay 5 monedas: una de 50 céntimos, dos de euro
y dos de 2 euros. Sacamos una moneda al azar y anotamos su valor en euros.
Establece la distribución de probabilidad y calcula la media y la desviación típica.
Ejercicio 6.8 Una empresa hace un estudio de mercado para lanzar un produc-
to A u otro producto B. Según el estudio, si se comercializa A, tiene la probabilidad 0,8 de ganar 30 millones y una probabilidad 0,2 de perder 10 millones.
Si comercializa B, tiene una probabilidad 0,6 de ganar 20 millones y una probabilidad 0,4 de perder 4 millones. ¾Qué producto crees que debe comercializar?
¾Por qué?
Ejercicio 6.9 Se lanzan tres monedas al aire y se cuenta el número de caras
obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntalas grácamente y
calcula la media y la desviación típica.
Ejercicio 6.10 En las familias con dos hijos, se observa el número de hijos
varones. Haz una tabla con las probabilidades, represéntalas grácamente y calcula la media y la desviación típica.
Ejercicio 6.11 En las familias con cuatro hijos, se observa el número de hijas.
Haz una tabla con las probabilidades, represéntalas grácamente y calcula la
media y la desviación típica.
Ejercicio 6.12 En un aparato de Galton con 4 las de topes dejamos caer 400
perdigones. ¾Cuántos, aproximadamente, llegarán a cada casillero?
Ejercicio 6.13 En un aparato de Galton hemos dejado caer un montón de
perdigones y hemos contado los que se han depositado en cada casillero:
1
9
46
121
209
251
211
119
44
11
2
¾Cuántas las, n, de topes crees que tenía en este caso, el aparato?. Calcula los
números combinatorios:
n
n
n
;
; ··· ;
0
1
n
y compáralos con los que se han obtenido.
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
71
Ejercicio 6.14 Un juego: lanzamos 6 monedas y hemos de apostar por el número
de caras que van a salir. ¾Por qué número apostarías? Apostar cuesta 0,50 euros y, si ganas, te dan 2 euros. Al cabo de 64 partidas, ¾cómo irán tus nanzas,
aproximadamente?
Ejercicio 6.15 ¾Cuál es la probabilidad de que salga 3 veces cara 7 lanzamientos de una moneda? ¾Y 4 veces cara en 9 lanzamientos?
Ejercicio 6.16 Calcula:
7
3
;
9
2
;
100
99
;
1000
1
;
9
4
;
Ejercicio 6.17 En una baraja se llaman guras a las cartas AS, SOTA, CABALLO y REY. Hay, pues, 4 guras por cada 10 cartas. Por tanto, la probabilidad de extraer una gura es P(gura)=0,4. Realizamos la siguiente experiencia:
extraemos una carta, la miramos y la devolvemos al mazo; y esto lo hacemos 5
veces.
Se trata de una distribución B(n, p). ¾Cuánto valen n y p?
Calcula la probabilidad de no obtener ninguna gura, la de obtener alguna
gura y la de obtener 4 guras.
Calcula x y σ y explica qué signican.
Ejercicio 6.18 En una distribución B(10; 0, 2) calcula:
P (X = 3)
P (X > 2)
P (X ≤ 2)
x; σ
Ejercicio 6.19 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2 % son
defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad
de que en una caja:
No haya ningún tornillo defectuoso.
Haya exactamente un tornillo defectuoso.
Haya más de 2 tornillos defectuosos.
(Datos: 0, 9850 = 0, 364; 0, 9849 = 0, 372; 0, 9848 = 0, 379) ¾Cuántos tornillos
defectuosos habrá, por tanto medio, en cada caja?
Ejercicio 6.20 En una mano de póker se dan, a cada jugador, 5 cartas y nos
preguntamos por la probabilidad de que un jugador tenga K guras (K=0,1,2,3,4
ó 5). ¾Por qué no se trata de una distribución binomial?
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
72
Ejercicio 6.21 Calcula:
7
2
;
11
3
1280
1
;
;
55
0
400
3
;
55
1
;
400
397
;
55
2
Ejercicio 6.22 En una distribución B(5; 0, 2), calcula P [X = K] para K =
0, 1, 2, 3, 4, 5. Calcula la suma:
0.P [X = 0] + 1.P [X = 1] + 2.P [X = 2] + · · · + 5.P [X = 5]
y comprueba que el resultado es 5,0, 2 = 1
Ejercicio 6.23
Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con
cuatro respuestas, sólo una de las cuales es correcta. Un alumno contesta
al azar. ¾Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente más de 3
preguntas? ¾cuál es la probabilidad de que conteste mal a todas?
En este examen, un alumno sabe las respuestas a 5 preguntas. ¾Cuál es la
probabilidad de que responda bien a más de 5? Observa que, al conocer las
respuestas a 5 preguntas, sólo deja al azar otras 5. Es pues, una binomial
B(5; 0, 25).
Ejercicio 6.24 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al
azar, se anota el color y se vuelve a meter; y se realiza 5 veces esta experiencia.
Calcula la probabilidad de obtener:
tres rojas.
menos de 3 rojas.
más de 3 rojas.
alguna roja.
Ejercicio 6.25 En un almacén, el 20 % de las cajas que se reciben de un determinado producto son defectuosas (tienen un contenido defectuoso).
Abrimos dos cajas; ¾Cuál es la probabilidad de que las dos sean defectuosas?
Abrimos tres cajas; ¾Cuál es la probabilidad de que dos sean defectuosas?
Abrimos 100 cajas; ¾Cuál es la probabilidad de que dos sean defectuosas?
Ejercicio 6.26 En el almacén del ejercicio anterior, ¾cuántas, de 100 cajas,
son defectuosas por término medio?
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
73
Ejercicio 6.27 ¾Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras lanzando 11 ve-
ces una moneda? ¾Cuántas caras se obtienen por término medio? ¾Cuál es la
desviación típica?
Ejercicio 6.28 Una urna contiene 40 bolas blancas y 60 bolas negras. Sacamos
8 veces una bola devolviéndola, cada vez, a la urna. ¾Cuál es la probabilidad de
que 5 sean blancas?
Ejercicio 6.29 ¾Cuál es la probabilidad de que en una familia con 6 hijos, tres
de ellos sean varones? Haz la distribución de probabilidades del número de hijos
varones y calcula la media y la desviación típica.
Ejercicio 6.30 Se lanza un dado 6 veces. ¾Cuál es la probabilidad de obtener
3 cincos? Calcula el número medio de cincos obtenidos y la desviación típica.
Ejercicio 6.31 Si la probabilidad de que un cierto modelo de secador sea de-
fectuoso es del 5 %, ¾cuántos habrá defectuosos, por término medio, en un lote
de 1000 secadores? ¾Cuál es la desviación típica?
Ejercicio 6.32 En un test hay 100 preguntas con cuatro opciones de respuesta,
de las que hay que seleccionar una. Si se responde totalmente al azar, ¾cuál es el
número medio esperado de respuestas correctas? ¾Cuál es la desviación típica?
Ejercicio 6.33 La probabilidad de obtener cara con una cierta moneda trucada
es 0,3 y la lanzamos 100 veces. ¾Cuál es el número esperado de caras? ¾Y la
desviación típica?
Ejercicio 6.34 De los alumnos que cierto centro presenta al examen de Se-
lectividad cada año, suele aprobar el 95 %. Si este curso van a presentarse
240 alumnos de ese centro, ¾cuántos aprobarán por término medio aproximadamente? ¾Cuál es la desviación típica?
Ejercicio 6.35 Se estima que cierto hongo pernicioso acaba con la vida en el
80 % de las plantas en las que se asienta. Calcula el valor medio esperado de
mortalidad en una población de un millón de plantas infectadas por dicho hongo.
Ejercicio 6.36 En una esta muy numerosa hay tantos chicos como chicas.
¾Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 7 personas formado al azar haya
3 chicas? ¾Y la de que hay al menos 3 chicas? ¾Por qué decimos que la esta
es muy numerosa?
Ejercicio 6.37 Un tipo de piezas requiere de 4 soldaduras. Se hace un control
de calidad a 1000 de esas piezas y se obtienen los siguientes resultados:
Sold. defect.
Piezas
0
603
1
212
2
105
3
52
4
28
¾Se ajustan estos datos a una binomial? Si la probabilidad de que una soldadura fuese defectuosa es de 0,1, ¾cuál es el número esperado de piezas con una
soldadura defectuosa?
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
74
Ejercicio 6.38 En una ciudad se han contado 4960 familias con 5 hijos. ¾Cuán-
tas de ellas, aproximadamente, tienen 2 chicos y 3 chicas? (Tómese P[varón]=P[hembra]=0,5)
Ejercicio 6.39 En un proceso de fabricación de motores para coches, y antes
de la revisión previa a la venta, la probabilidad de que un motor tenga algún
defecto es de 0,05. Entre cuatro motores sin revisar, calcula la probabilidad de
que:
No haya ninguno defectuoso.
Haya alguno defectuoso.
Haya más de uno defectuoso.
Ejercicio 6.40 De un total de cinco mi familias de 4 hijos, ¾cuántas de ellas
cabe esperar que tengan un hijo varón?
Ejercicio 6.41 La probabilidad de que un aparato de TV, antes de revisarlo,
sea defectuoso, es de 0,02. Al revisar cinco aparatos, ¾cuál es la probabilidad de
que ninguno sea defectuoso? ¾Y la de que haya uno defectuoso? ¾Y la de que
los cinco sean defectuosos?
Ejercicio 6.42 Un examen tipo test consta de 20 preguntas que se contesta con
SI o NO. Si se responde completamente al azar:
¾Cuál es la probabilidad de acertar exactamente 15?
¾Cuál es la probabilidad de superarlo, si para ello hay que contestar correctamente 18 ó más?
Nota: Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial, y dí los valores de n, p, x, σ
Ejercicio 6.43 Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres
respuestas, de las que sólo una es correcta. Se responde al azar y nos preguntamos por el número de preguntas acertadas.
Ejercicio 6.44 En el examen descrito en el ejercicio anterior, un alumno conoce
las respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos
por cuántas de ellas acertará.
Ejercicio 6.45 La probabilidad de que una persona, su padre y su abuelo paterno tengan el mismo cumpleaños es:
1
365
2
= 7, 5 × 10−8
Explica por qué. Nos preguntamos por el número de personas con esta propiedad
que habrán una ciudad de dos millones de habitantes.
CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
75
Ejercicio 6.46 Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.
Ejercicio 6.47 Lanzamos 10 dados pretendiendo que salga "seis"en los 10.
Hacemos ésto durante un año, una tirada cada 3 segundos (!!). Número de veces
que conseguiremos lo pretendido.
Ejercicio 6.48 El 11 % de los billetes de lotería reciben algún premio, aunque
sea el reintegro. En una familia juegan a 46 números.
Ejercicio 6.49 El 1 % de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos dos
mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá.
Ejercicio 6.50 Un examen tipo test tiene 70 preguntas y cada pregunta cuatro
respuestas diferentes, sólo una de las cuales es correcta. Número de ellas que se
responderán correctamente si se responde al azar.
Capítulo 7
Distribuciones continuas
Contenidos del tema
1. Distribuciones de probabilidad continuas.
2. La distribución normal.
3. La distribución normal estándar.
4. Aproximación de la binomial por la normal.
5. Ajuste de un conjunto de datos a una normal.
7.1. Distribuciones de probabilidad continuas
Denición 7.1.1 Sea X una variable aleatoria continua y f : [a, b] → R continua. Se dice que f es una función de densidad asociada a la variable aleatoria
X , si:
1. f (x) ≥ 0; ∀x ∈ [a, b]
Z b
2.
f (x) dx = 1
a
3. P [x1 ≤ X ≤ x2 ] =
Z
x2
f (x) dx
x1
Observación 7.1.1 Las propiedades que denen a una función de densidad
f (x) de una variable aleatoria continua X , nos informan respectivamente de:
1. La gráca de f (x) está en todo su dominio por encima del eje X .
2. El área comprendida entre la gráca de la función y el eje X vale 1.
76
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
77
3. El área comprendida entre la gráca de f (x), el eje X y dos valores x1 , x2 ∈
Dom(f ) vale la P [x1 ≤ X ≤ x2 ]
Denición 7.1.2 Sea X una variable aleatoria continua y f : [a, b] → R continua una función de densidad de X . La función F : [a, b] → R, denida por:
Z x
F (x) = P [X ≤ x] =
f (t) dt
a
se llama función de distribución de la variable aleatoria continua X .
Observación 7.1.2 F es la función integral asociada a f . Como f es continua,
F es diferenciable.
Teorema 7.1.1 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad
f : [a, b] → R. Entonces:
Z b
µ=
xf (x) dx
a
Z
Z
b
V =
b
2
(x − µ) f (x) dx =
a
√
σ=+ V
x2 f (x) dx − µ2
a
7.2. La distribución normal
Denición 7.2.1 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x). Se dice que X sigue una distribución normal de parámetros µ y σ y
se representa por X ∼ N (µ, σ), si f (x) es de la forma:
f (x) =
1 x−µ 2
1
√ e− 2 ( σ )
σ 2π
Observación 7.2.1 La gráca de la función de densidad de una variable aleato-
ria X ∼ N (µ, σ) se conoce como campana de Gauss y tiene las siguientes características:
Dom(f ) = R
Es simétrica respecto de la recta x = µ.
Tiene una asíntota horizontal en el eje X : y = 0.
Es creciente en (−∞, µ) y decreciente en (µ, +∞).
1
.
Tiene un máximo absoluto en el punto µ, √
σ 2π
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
78
1
1
1
1
Tiene dos puntos de inexión en los puntos x − µ, √ e− 2 , x + µ, √ e− 2
σ 2π
σ 2π
Área comprendida entre el eje X y la curva:
• En (−∞, +∞) el área es 1 por ser una función de densidad.
• En (−∞, µ) el área es 0, 5 y en (µ, +∞) el área es, también, 0, 5.
• En (µ − σ, µ + σ) el área es 0, 6828.
• En (µ − 2σ, µ + 2σ) el área es 0, 9544.
• En (µ − 3σ, µ + 3σ) el área es 0, 9974.
7.3. La distribución normal estándar
Denición 7.3.1 Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una dis-
tribución normal estándar o normal tipicada, si X ∼ N (0, 1). La variable
entonces se suele representar por la letra Z .
Observación 7.3.1 Si Z ∼ N (0, 1), entonces su función de densidad es:
x2
1
f (x) = √ e− 2
2π
y se encuentra tabulada.
Denición-Teorema 7.3.1 Sea X ∼ N (µ, σ). Se llama tipicación de la variable X a la operación:
Z=
X −µ
σ
Entonces Z ∼ N (0, 1).
7.4. Aproximación de la binomial por la normal
Teorema 7.4.1 Sea X ∼ B(n, p). Entonces X puede aproximarse por una vari-
√
able aleatoria X 0 ∼ N (np, npq) si n es grande y p, q no están muy próximas
a cero. En general esta aproximación es válida si np ≥ 5; nq ≥ 5.
Observación 7.4.1 Al aproximar una variable aleatoria binomial X (discreta) por una variable aleatoria X 0 normal (continua), es necesario realizar las
correcciones de continuidad:
P [X = k] = P [k − 0, 5 ≤ X 0 ≤ k + 0, 5]
P [X ≤ k] = P [X 0 ≤ k + 0, 5]
P [X < k] = P [X 0 ≤ k − 0, 5]
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
79
7.5. Ajuste de un conjunto de datos a una normal
Para estudiar si un conjunto de datos obtenidos experimentalmente se ajustan a una distribución normal N (µ, σ), aplicamos el siguiente procedimiento:
Calculamos la media µ y la desviación típica, σ .
Comparamos la distribución de los datos obtenidos experimentalmente con
la distribución de probabilidad teórica de la normal N (µ, σ). Para ello:
• Calculamos las frecuencias relativas fi de la distribución experimental.
• Calculamos las probabilidades de los intervalos en los que hemos distribuido el recorrido, P [xi ≤ X 0 ≤ xi+1 ] en la N (µ, σ).
• Calculamos las diferencias en valor absoluto entre las probabilidades
teóricas y las frecuencias relativas y si las diferencias son sucientemente pequeñas o sucientemente grandes, aceptamos o rechazamos
la hipótesis de que los datos se ajustan a la normal.
7.6. Ejercicios del tema
Ejercicio 7.1 Las estaturas de 1400 mujeres se distribuyen según la N (160, 8; 6, 4).
Calcula los valores x − 3σ, x − 2σ, x − σ, x + σ, x + 2σ, x + 3σ . Reparte a las 1400
mujeres, aproximadamente, en los intervalos determinados por esos valores.
x − 3σ = 141, 6. Menores que 141,6 hay el 0,13 % de 1400 ' 2 mujeres.
x − 2σ = 148. Entre 141,6 y 148 hay el 2,15 % de 1400 ' 30 mujeres.
Continúa por tu cuenta haciendo el reparto en los intervalos:
(x − 2σ, x − σ); (x − σ, x), · · ·
Ejercicio 7.2 En un estanque de una piscifactoría se ha tomado una muestra
de 3000 truchas y se ha medido, en cm, la longitud de las mismas, resultando
que se distribuyen según la N (26, 7). Calcula, de forma análoga a como lo has
hecho en el ejercicio anterior, los valores x − 3σ, x − 2σ, x − σ · · · , establece los
intervalos de longitud correspondientes y reparte las 3000 truchas de la muestra
en esos intervalos.
Ejercicio 7.3 En una distribución N (0, 1) calcula las siguientes probabilidades:
P [Z = 2]
P [Z ≥ 2]
P [Z ≤ 2]
P [Z ≤ −2]
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
80
P [Z ≥ −2]
P [−2 ≤ Z ≤ 2]
Ejercicio 7.4 En una distribución N (0, 1) calcula las siguientes probabilidades:
P [0, 81 ≤ Z ≤ 1, 33]
P [−1, 33 ≤ Z ≤ 0, 81]
P [−0, 81 ≤ Z ≤ 1, 33]
P [−1, 33 ≤ Z ≤ −0, 81]
Ejercicio 7.5 En una distribución N (22, 5) calcula las siguientes probabilidades:
P [X ≤ 27]
P [X ≥ 27]
P [X ≥ 12, 5]
P [15 ≤ X ≤ 20]
P [17 ≤ X ≤ 30]
Ejercicio 7.6 Los pesos de 600 soldados se distribuyen según la N (67, 5). Calcula cuántos de ellos pesan:
Más de 80 Kg. (intervalo (80, 5; +∞))
50 Kg. o menos (intervalo (−∞; 50, 5))
Menos de 60 Kg. (intervalo (−∞; 59, 5))
70 Kg.
Entre 60 Kg. y 80 Kg. (los extremos incluidos)
Ejercicio 7.7 Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyen
N (65, 18). Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la
puntuación obtenida, se le asigna uno de los siguientes comentarios:
Duro de oído.
Poco sensible a la música.
Normal.
Sensible a la música.
Extraordinariamente dotado para la música.
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
81
de modo que haya, respectivamente, en cada uno de los grupos, un 10 %, un
35 %, un 30 %, un 20 % y un 5 % del total de individuos observados. ¾En qué
puntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos?
Ejercicio 7.8 Supongamos que la variable que expresa el tiempo (en meses) que
tarda en salir el primer diente a los niños es N (7, 5; 1, 5). Calcula la probabilidad
de que a un niño le salgan los dientes:
Habiendo cumplido ya un año.
Antes de los cinco meses.
Con 7 meses.
Antes de cumplir el primer mes.
Después de haber cumplido 6 meses.
Ejercicio 7.9 En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas:
la máquina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezas
con un grosor determinado. Ambos procesos son independientes. El diámetro del
taladro producido por A, en mm, es N (23; 0, 5). El grosor producido por B, en
mm, es N (11, 5; 0, 4)
Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre 20,5
y 24 mm.
Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10,5 y 12,7
mm.
Suponiendo que sólo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas en
los dos apartados anteriores, calcula qué porcentaje de piezas aceptables
se consiguen.
Nota: Se supone que las medidas están dadas exactamente.
Ejercicio 7.10 En ejercicios anteriores ha aparecido un conjunto de soldados
cuyas estaturas en cm, se distribuyen según la N (168; 8) y sus pesos, en Kg,
según la N (67, 5).
¾Qué porcentaje de ellos pesan entre 60 Kg y 80 Kg, exactamente?
¾Qué porcentaje miden entre 160 y 180 cm exactamente?
¾Podrás, como en el ejercicio anterior, multiplicar las probabilidades para
obtener la proporción de los soldados que cumplen ambas condiciones? Ten
en cuenta que estatura y peso no son independientes.
Ejercicio 7.11 La calicación media en un cierto examen fue 6,5 y la desviación
típica 1,6. Si el profesor va a calicar con sobresaliente al 10 % de la clase, ¾a
partir de qué nota se consigue?
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
82
Ejercicio 7.12 Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones bino-
miales mediante aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas ten
en cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una discreta
a una continua)
X ∼ B(100; 0, 1). Calcula P [X = 10], P [X < 2], P [5 < X < 15]
X ∼ B(1000; 0, 02). Calcula P [X > 30], P [X < 80]
X ∼ B(50; 0, 9). Calcula P [X > 45], P [X ≤ 30]
Ejercicio 7.13 Un test consta de 100 preguntas con cuatro respuestas optativas
cada una. Si se responde totalmente al azar, ¾cuál es la probabilidad de acertar
50 o más preguntas? ¾Cuál es la probabilidad de acertar entre 25 y 75 preguntas?
¾Cuál es la probabilidad de acertar menos de 25? ¾Y más de 75?
Ejercicio 7.14 La siguiente distribución corresponde a las estaturas, en cm, de
1400 mujeres:
141
2
146
25
151
146
156
327
161
424
166
314
171
128
176
29
181
5
Calcula su media, x, y su desviación típica, σ
Calcula las frecuencias acumuladas.
Obtén, dividiendo las anteriores por 14, los porcentajes acumulados. Por
27
ejemplo, para el segundo intervalo:
= 1, 93 %
14
Teniendo en cuenta que en la tabla anterior los valores de la variable son
las marcas de clase de ciertos intervalos, pon el extremo superior de dichos
146 + 151
intervalos. Por ejemplo, el del segundo intervalo es:
= 148, 5.
2
Tipica los valores anteriores respecto a los valores de x, σ obtenidos en
el primer apartado. Por ejemplo:
148, 5 →
148, 5 − 160, 9
= −1, 92
6, 46
Calcula, en %, la probabilidad acumulada hasta cada uno de los extremos
de los intervalos. Por ejemplo:
P [X ≤ 148, 5] = P [Z ≤ −1, 92] = 2, 74 %
Compara, restándolos, los porcentajes acumulados en la distribución empírica y en la teórica. Por ejemplo:
|1, 93 − 2, 74| = 0, 81
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
83
Selecciona la mayor de las diferencias y prueba si supera o no al número
136
√
= 3, 63. Decide, en consecuencia, si se rechaza o no la hipótesis
1400
de normalidad de la distribución de partida.
Ejercicio 7.15 Las estaturas de los mozos que acuden a hacer el servicio militar se distribuye según la gráca 15.
Cuenta el número de cuadraditos que hay bajo la curva y comprueba que
son 100, aproximadamente.
Calcula la probabilidad de que un soldado mida entre 180 cm y 190 cm.
Hazlo de forma aproximada valorando el área bajo la curva que hay en ese
intervalo.
¾Qué porcentaje de soldados miden 160 cm? Calcula el área bajo la curva
en el intervalo (159,5;160,5).
Estima a ojo el valor de x, σ .
Ejercicio 7.16 Se ha hecho un estudio sobre la longitud de ciertas piezas A,B
y C, obteniéndose las grácas de la gura 16. Las medias y las desviaciones
típicas obtenidas son:
x1 = 5; σ1 = 3, 5; x2 = 5; σ2 = 1, 5; x3 = 7; σ3 = 1, 5;
Asigna a cada gráca los parámetros adecuados.
Ejercicio 7.17 En una distribución N (0, 1) calcula las siguientes probabilidades:
P [Z ≤ 1, 83]
P [−1, 5 ≤ Z ≤ 3, 71]
P [Z ≤ 11]
P [Z ≤ 4, 27]
P [1, 5 ≤ Z ≤ 2, 5]
P [Z = 1, 6]
P [−2, 71 ≤ Z ≤ −1, 83]
P [1, 3 ≤ Z ≤ 2, 2]
Ejercicio 7.18 En una distribución N (43, 10) calcula las siguientes probabilidades:
P [X ≥ 43]
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
84
P [40 ≤ X ≤ 55]
P [30 ≤ X ≤ 40]
Ejercicio 7.19 En una distribución N (19, 5) calcula las siguientes probabilidades:
P [X ≤ 17]
P [X ≥ 15]
P [11 ≤ X ≤ 22]
P [13, 5 ≤ X ≤ 17, 5]
Ejercicio 7.20 El peso en gramos de los paquetes de azúcar fabricados por una
máquina empaquetadora se distribuye N (965, 25). ¾Qué proporción de paquetes
pesan 1 Kg o más? ¾Cuantos pesan menos de 900 g?
Ejercicio 7.21 Los camiones que pasan por una cierta autopista tienen una
altura (en m) que se distribuye N (3, 5; 0, 6). Se construye un puente sobre la
autopista a una altura de 4,40 m. ¾Qué porcentaje de camiones se verán impedidos a circular por ésta?
Ejercicio 7.22 Para cada una de las siguientes distribuciones binomiales indi-
ca, calculando los valores n.p y n.q si se pueden aproximar a una normal o no.
En caso armativo, determina cuál es la distribución normal correspondiente
dando su media y su desviación típica.
B(100; 0, 1)
B(200; 0, 88)
B(200; 0, 03)
B(1000; 0, 02)
B(20; 0, 7)
B(50; 0, 9)
Ejercicio 7.23 La probabilidad de que una copa de cristal se rompa cuando
es transportada es del 1 %. Si se transportan 1000 copas, ¾cuál es el número
esperado de roturas? ¾Y la desviación típica? ¾Cuál es la probabilidad de que se
rompan 20 copas o más?
Ejercicio 7.24 En una bolsa hay dos mil bolas: mil blancas y mil negras. Si
sacamos 10 bolas, ¾cuál es la probabilidad de que las 10 sean blancas? ¾Y la
probabilidad de que, al menos, 7 sean negras. (Resuélvelo suponiendo que al
extraer pocas bolas no varía la probabilidad de blanca o negra)
CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
85
Ejercicio 7.25 Un centro de enseñanza va a presentar, este curso, 240 alumnos
al examen de selectividad y se sabe que, en ese centro, suele aprobar el 95 % de
los presentados. ¾Cuál es la probabilidad de que aprueben:
más de 200
más de 220
más de 230
más de 235 alumnos?
Ejercicio 7.26 Una gran plantación está infectada por una nociva especie de
escarabajos y se estima que la plaga la componen un millón de estos insectos. Se
rocía la plantación con un insecticida que suele matar al 80 % de los perjudiciales
bichos. ¾Cuál es la probabilidad de que sobrevivan 500000 escarabajos o menos?
¾Y la de que sobrevivan más de 300000? ¾Y la de que sobrevivan entre 100000
y 200000 escarabajos?
Ejercicio 7.27 Si lanzamos un dado mil veces, ¾cuál es la probabilidad de que
el número de cincos obtenidos sea menor que 100?
Ejercicio 7.28 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que
el número de caras diera de 200 en más de 10. ¾Y de que diera en más de
20?
Ejercicio 7.29 Al tallar 150 alumnos de bachillerato, obtenemos la siguiente
tabla:
Intervalo
Frecuencia absoluta
155-160
30
160-165
35
165-170
60
170-175
15
175-180
10
Somete a esta distribución a un test de normalidad.
Ejercicio 7.30 Se han lanzado 2 dados 120 veces y se han anotado las sumas:
Suma
Veces
2
3
3
8
4
9
5
11
6
20
7
19
8
16
9
13
10
11
11
6
¾Se puede rechazar que esta distribución proviene de una normal?
12
4