Resumen de Fórmulas - División de Ciencias Básicas

RESUMEN DE FÓRMULAS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
1) PROPIEDADES
INTERNO
DE
UN
PRODUCTO
4) NORMA DE UN VECTOR
( )
u = u u
1.- Simetría o conmutatividad:
(u v ) = ( v u ) ← Para números reales
(u v ) = ( v u ) ← Para números complejos
1/ 2
ó
u
2
( )
= u u
5) VECTOR UNITARIO
u = 1 ; ó convertirlo con: e =
1
u
u
2.- Aditividad o distributividad:
(u v + w) = (u v) + (u w)
6) DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO
3.- Homogeneidad:
(αu v) = α(u v)
u+v ≤ u + v
4.- Positividad:
(u u ) > 0 ∀ u ≠ 0
ó (u u ) = 0 si y sólo si u = 0
7) ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Cosθ =
(u v)
← Para números reales
u v
( )
2) DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
(u v )
• Si
2
( )( )
≤ uu ⋅ vv
ó
(u v )
Cosθ ≅
≤ u ⋅ v
Ru v
v)
(u=
(u u ) ⋅ ( v v ) ← u y v linealmente
2
8) DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES
( )
d u, v = u − v = v − u
dependientes
• Si
(u v )
2
<
← Para números complejos
u v
(u u ) ⋅ ( v v ) ← u y v linealmente
9) ORTOGONALIDAD ENTRE VECTORES
(u v) = 0
independientes
3) MÓDULO DE UN ESCALAR
y
α
α = a + bi → =
α
ó α = a − bi → =
α
α=a → =
θ = Cos −1 (0) = 90  =
a2 + b2
10) TEOREMA DE PITÁGORAS
a 2 + b 2 ← Para números
complejos
2
a=
a
u+v
← Para números reales
NOTA:
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
π
2
1 de 2
2
= u
2
+ v
2
Aplica sólo cuando u y v son ortogonales.
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta
RESUMEN DE FÓRMULAS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
11) PROCESO DE GRAM-SCHMIDT
{
13) VECTOR DE COORDENADAS
{
}
a) Para convertir A = v1 , v 2 en base ortogonal:
w1 = v1
w2 = v 2 −
(v w )
(w w ) w
2
β1 =
1
(v w )
(v w )
(v w )
;β =
;β =
(w w )
(w w )
(w w )
2
1
3
2
1
3
1
2
2
3
1
1
1
{
()
Siendo el vector de coordenadas : v
}
b) Para convertir A = v1 , v 2 , v3 en base ortogonal:
w1 = v1
(v w )
(w w ) w
(v w ) (v
−
(w w ) w − (w
2
1
1
1
3
1
w2 = v 2 −
w3 = v3
( )
)
w
w )
(v
∑ (w
i −1
wi = vi −
k =1
i
k
)
w
w )
2
}
2
{
y en general: ei =
{
w' ∈W ⊥ =Complemento ortogonal de W
}
w1 ; e 2 =
wi
Propiedad importante v = wo + w' , donde:
wo ∈ W =Subespacio vectorial de V
k
1
}
v ∈ V =Espacio vectorial
k
}
en la base
ortonormal BON = e1 , e2 ,..., ei :
w1
( )
W ⊥ = v ∈V v u = 0 ∀ u ∈W
NOTA:
Para convertir BOG = w1 , w2 ,..., wi
1
 γ1 
=  γ 2  .
 γ 3 
14) COMPLEMENTO ORTOGONAL
i
12) CONVERTIR BASE ORTOGONAL EN
BASE ORTONORMAL
e1 =
BON
2
wk
{
( )
Siendo el vector de coordenadas : v
2
{
= {w , w ,..., w } :
1
( )
()
w2
c) En general, para convertir A = v1 , v2 ,..., vi en la
base ortogonal BOG
}
γ 1 = v e1 ; γ 2 = v e 2 ; γ 3 = v e3
3
1
 β1 
= β2  .
β3 
{
1
1
BOG
3
b) De v en la base ortonormal BON = e1 , e 2 , e3 :
1
w1 = v1
}
a) De v en la base ortogonal BOG = w1 , w2 , w3 :
15) PROYECCIÓN DE v SOBRE W
∑ (v e ) e
n
wo =
i
i
i =1
1
w2
donde v ∈ V =Espacio vectorial
w2 . . .
{
ei ∈ Base ortonormal BON = e1 , e2 ,..., ei
}
wi
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
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