Vectores ortonormales Bases ortonormales
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Vectores ortonormales
Definición
Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se dice que es un conjunto ortogonal si
cada par de vectores en el conjunto es ortogonal. Se dice que el conjunto es un conjunto
ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario
Ejemplo
3 4
4 3
Demuestre que el conjunto (1,0,0), 0, , , 0, ,− es un conjunto ortonormal.
5 5
5
5
Solución
Cada par de vectores es ortogonal
(1,0,0) ⋅ 0, 3 , 4 = 0
5 5
(1,0,0) ⋅ 0, 4 ,− 3 = 0
5 5
3 4 4 3
0, , ⋅ 0, ,− = 0
5 5 5 5
y cada vector es unitario
(1,0,0) = 1,
3 4
0, , = 1,
5 5
4 3
0, ,− = 1
5 5
Por lo tanto, el conjunto es ortonormal.
Bases ortonormales
Definición
Una base que es un conjunto ortogonal se dice que es una base ortogonal. Una base que es
un conjunto ortonormal se dice que es una base ortonormal.
Nota: Las bases canónicas son bases ortonormales.
Teorema
Sea {u1 , L , u n } una base ortonormal del espacio vectorial R n . Sea v un vector en V. v se
puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base.
v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2 + L + (v ⋅ u n )u n
ALGEBRA LINEAL
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Ejemplo
Los siguientes vectores constituyen una base ortonormal para R 3 . Exprese al vector
v = (7,−5,10 ) como una combinación lineal de estos vectores.
u1 = (1,0,0),
3 4
u 2 = 0, , ,
5 5
4 3
u 3 = 0, ,−
5 5
Solución
v ⋅ u1 = 7
v ⋅u2 = 5
v ⋅ u 3 = −10
(7,−5,10) = 7(1,0,0) + 5 0, 3 , 4 − 10 0, 4 ,− 3
5 5
5
5
Proyección de un vector sobre otro vector
Definición
La proyección de un vector v sobre un vector distinto de cero u en R n de denota proy u v y
se define como
v
proy u v =
v ⋅u
u
u ⋅u
v - proyuv
o
proyuv
u
La proyección del vector v ortogonal al vector u.
v − proy u v = v −
v ⋅u
u
u ⋅u
Ejemplo
Determine la proyección del vector v = (6,7 ) sobre el vector u = (1,4) y la proyección de
vector v ortogonal a u
Solución
ALGEBRA LINEAL
v ⋅ u = (6,7 ) ⋅ (1,4) = 34
u ⋅ u = (1,4) ⋅ (1,4 ) = 17
v ⋅u
34
(1,4) = (2,8)
proy u v =
u=
u ⋅u
17
v − proy u v = (6,7 ) − (2,8) = (4,−1)
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Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Sea {v1 , K , v n } una base para el espacio vectorial V. El conjunto de vectores {u1 , K , u n }
definidos de la manera siguiente es ortogonal. Para obtener una base ortonormal de V, se
normaliza cada uno de los vectores u1 , K , u n .
u1 = v1
v
u 2 = v2 − proyu1 v2
u3 = v3 − proyu1 v3 − proyu 2 v3
v - proyuv
L
u n = vn − proyu1 vn − proyu2 vn − L − proyun−1 vn
o
proyuv
u
Ejemplo
El conjunto {(1,2,0,3), (4,0,5,8), (8,1,5,6)} es linealmente independiente en R 4 . Los vectores
forman una base para el subespacio de tres dimensiones V de R 4 . Construya una base
ortonormal para V.
Solución
Sea v1 = (1,2,0,3), v 2 = (4,0,5,8), v3 = (8,1,5,6)
La base ortogonal sería
u1 = v1 = (1,2,0,3)
u 2 = v 2 − proy u1 v 2 = v 2 −
v 2 ⋅ u1
(4,0,5,8) ⋅ (1,2,0,3) (1,2,0,3) = (4,0,5,8) − 2(1,2,0,3) = (2,−4,5,2)
u1 = (4,0,5,8) −
(1,2,0,3) ⋅ (1,2,0,3)
u1 ⋅ u1
u 3 = v3 − proy u1 v3 − proy u2 v3 = v3 −
v ⋅u
v3 ⋅ u1
u1 − 3 2 u 2
u2 ⋅ u2
u1 ⋅ u1
(8,1,5,6) ⋅ (1,2,0,3) (1,2,0,3) − (8,1,5,6) ⋅ (2,−4,5,2) (2,−4,5,2)
(1,2,0,3) ⋅ (1,2,0,3)
(2,−4,5,2) ⋅ (2,−4,5,2)
= (8,1,5,6) − 2(1,2,0,3) − (2,−4,5,2) = (4,1,0,−2)
= (8,1,5,6) −
El conjunto {(1,2,0,3), (2,−4,5,2), (4,1,0,−2)} es una base ortogonal para v.
u1 ⋅ u 3 = 0,
u2 ⋅ u3 = 0
Se puede demostrar que u1 ⋅ u 2 = 0,
Para que sea una base ortonormal se normalizan los vectores u1 , u 2 , u 3
u1 = (1,2,0,3) = 14
u 2 = (2,−4,5,2 ) = 7
u 3 = (4,1,0,−2) = 21
Por lo que la base ortonormal para V sería
1
1
− 2
2
3 2 4 5 2 4
, ,− , , ,
,
,0,
,
,0,
21
14 7 7 7 7 21 21
14 14
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Proyección de un vector sobre un subespacio
Definición
Sea W un subespacio de R n . Sea, además, {u1 , K , u m } una base ortonormal para W. Si v es
un vector en R n , la proyección de v sobre W se denota proyW v y se define como
proyW v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2 + L + (v ⋅ u m )u m
v
v – proywv
W
o
Proywv
Se dice que un vector v es ortogonal al subespacio W
si v es ortogonal a cada vector de W.
Teorema
Sea W un subespacio de R n . Cada vector v en R n se puede expresar de forma única de la
manera siguiente.
v = w + w⊥
donde w se encuentra en W y w⊥ es ortogonal a W. Los vectores w y w⊥ son
w = proyW v
w⊥ = v − proyW v
Ejemplo
Considere un vector v = (3,2,6 ) en R 3 . Sea W el subespacio de R 3 , el conjunto {(1,0,0), (0,1,1)}
genera a W, y forma una base. Descomponga v en la suma de un vector que se encuentre en
W y un vector ortogonal a W.
Solución
La base es linealmente independiente, y sus vectores son ortogonales.
Normalizando cada vector para obtener una base ortonormal {u1 , u 2 } para W.
1 1
,
u1 = (1,0,0), u 2 = 0,
2 2
w = proyW v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2
1 1 1 1
,
,
= ((3,2,6 ) ⋅ (1,0,0))(1,0,0 ) + (3,2,6) ⋅ 0,
0,
= (3,0,0) + (0,4,4) = (3,4,4)
2 2
2 2
w⊥ = v − proyW v = (3,2,6) − (3,4,4) = (0,−2,2 )
La descomposición que se busca de v es
(3,2,6) = (3,4,4) + (0,−2,2)
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Distancia de un punto a un subespacio
Sea x = (x1 ,K, xn ) un punto en R n , W un subespacio de R n y y = ( y1 ,K. y n ) un punto en W. la
distancia mínima x a W es.
d (x, w) = x − proy w x
Ejemplo
Calcule la distancia del punto x = (4,1,−7 ) de R 3 al subespacio W .
Una base ortonormal para W es u1 = (1,0,0), u 2 = 0,
1 1
,
2 2
Solución
La proyección del vector x sobre el subespacio W es
proyW x = (x ⋅ u1 )u1 + (x ⋅ u 2 )u 2
1 1 1 1
,
,
= ((4,1,−7 ) ⋅ (1,0,0))(1,0,0) + (4,1,−7 ) ⋅ 0,
0,
2 2
2 2
= (4,0,0) + (0,−3,−3) = (4,−3,−3)
la distancia de x a W es
x − proy w x = (4,1,−7 ) − (4,−3,−3) = (0,4,−4 ) = 32
Matrices ortogonales
Definición
Una matriz cuadrada cuyos vectores columnas forman un conjunto ortonormal recibe el
nombre de matriz ortogonal.
Ejemplo
Demuestre que la siguiente matriz A es una matriz ortogonal.
1
A= 2
− 1
2
1
2
1
2
Solución
Los vectores columna de A son
1
a1 = 2
− 1
2
y a2 =
1
2
1
2
Observe que
a1 = 1,
a2 = 1, a1 ⋅ a2 = 0
Los vectores columna de A son, vectores unitarios y, además, ortogonales, por lo tanto es
una matriz ortogonal.
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