Algebra Lineal
UPPITA-IPN
Tarea # 9
Definición de Producto interno
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna para cada par de
vectores u y v en V un número real u, v tal que las siguientes propiedades se satisfacen para todos los
vectores u, v y w en V y todos los escalares c.
1. u , v v, u
2. u, v w u, v u, w
3. cu , v c u , v
4. u , u 0 y u , u 0 si y solo si u = 0.
Propiedades del producto interno
Sean u, v y w vectores en un espacio con producto interno V y sea c un escalar.
a) u v, w u, w v, w
b) u , cv c u , v
c) u,0 0, u 0
Longitud, distancia y ortogonalidad.
Definición. Sean u y v dos vectores en un espacio con producto interno V.
1. La longitud (o norma) de v es v
v, v .
2. La distancia entre u y v es d (u , v) u v .
3. u y v se llaman ortogonales si u , v 0 .
Un vector de longitud uno se llama vector unitario. La esfera unitaria en V es el conjunto formado
por todos los vectores unitarios en V.
Teorema de Pitágoras
Sean u y v vectores en un espacio con producto interno V. Entonces, u y v son ortogonales si y solo si
2
2
2
uv u v
Proyecciones ortogonales y el proceso Gram-Schmidt
Definición. Un conjunto ortogonal de vectores en un espacio con producto interno V es un conjunto
v1 , v2 ,..., vk de vectores de V tal que vi , v j 0 siempre que vi v j .
Autor: Fermín Acosta Magallanes
Page 1
Algebra Lineal
UPPITA-IPN
Un conjunto ortonormal de vectores de vectores es un conjunto ortogonal de vectores unitarios.
Una base ortogonal (base ortonormal) para un subespacio W de V es una base para W que es un
conjunto ortogonal (conjunto ortonormal).
El proceso Gram- Schmidt
Sea x1 ,..., x k una base para el subespacio W de un producto interno V, entonces definimos lo
siguiente
v1 x1
W1 espacio( x1 )
v2 x2
v1 , x 2
v3 x3
v1 , x3
v1 , v1
v1 , v1
v1
W2 espacio( x1 , x 2 )
v1
v 2 , x3
v1
v2 , xk
v2 , v2
v2
W3 espacio( x1 , x 2 , x3 )
vk xk
v1 , x k
v1 , v1
v2 , v2
v2
v k 1 , x k
v k 1 , v k 1
v k 1
Wk espacio( x1 , x 2 ,..., x k )
Entonces para cada i 1,..., k v1 ,..., vi es una base ortogonal para W i . En particular, v1 ,..., v k es una
base ortogonal para W.
Definiciones. La proyección ortogonal proyW (v) de un vector v sobre un subespacio W de un espacio
con producto interno es proy W (v)
u1 , v
u1 , u1
u1 ...
uk , v
uk , uk
u k si u1 ,..., u k es una base ortogonal para
W. Entonces la componente de v ortogonal a W es el vector perpW (v) v proyW (v) .
Autor: Fermín Acosta Magallanes
Page 2
Algebra Lineal
UPPITA-IPN
u1
v1
1. Considere u , v en R2 con el producto interno dado por u, v 2u1v1 3u 2 v 2 .
u 2
v 2
2
3
Calcule
(a) u, v
(b) u
(c) d (u , v )
si
u y v .
4
1
2
2. Encuentre un vector no cero ortogonal a u con el producto dado en el ejercicio 1.
1
3. Considere P2, y los polinomios p( x) a0 a1 x a 2 x 2 ,
q( x) b0 b1 x b2 x 2 y el producto
interno dado por p( x), q( x) a0 b0 a1b1 a 2 b2 . Calcule
(a) p( x), q ( x)
si p ( x) 2 3x x , q ( x) 1 3 x
2
(b) p (x )
(c) d ( p ( x), q ( x))
2
4. Encuentre un vector no cero ortogonal a p ( x) 2 3x x 2 con el producto interno dado por el
ejercicio 3.
5. Sean f ( x) sin x y g ( x) sin x cos x en el espacio vectorial C 0,2 con el producto interno
usual (dado por la integral
2
0
f ( x) g ( x)dx ). Calcule
(a) f , g
(b) f
(c) d f , g
Determine en los ejercicios 6 - 8 cual de los cuatro axiomas del producto interno no se satisfacen. Dar
un contraejemplo en cada caso.
u1
v1
6. Sean u y v en R2. Definimos u, v u1v1
u 2
v 2
u1
v1
7. Sean u y v in R2 . Definimos u, v u1v 2 u 2 v1
u 2
v 2
8. En P2, definimos p( x), q( x) p(1)q(1) .
9.
u
u, v 4u1v1 u1v 2 u 2 v1 4u 2 v 2 define un producto interno sobre R2 , donde u 1 y
u 2
v
v 1 . Encuentre una matriz A tal que u , v u T A v
v 2
1
10. Bosqueje el círculo unitario en R2 para el producto interno u, v u1v1 u 2 v 2
4
En los ejercicios 11-12 suponga que u, v y w son vectores en un espacio vectorial con producto
interno en el cual se satisface que:
u , v 1 , u , w 5 , v, w 0 , u 1 , v 3 , w 2
Autor: Fermín Acosta Magallanes
Page 3
Algebra Lineal
UPPITA-IPN
11. Evalúe la expresión u w, v w .
12. Evalúe la expresión
uv .
En los siguientes ejercicios aplique el proceso de Gram-Schmidt a la base B para obtener una base
ortogonal para el espacio con producto interno V definido con el producto interno dado.
1 1
u1
v1
13. V R 2 , B , , considere u , v en R2 con el producto interno dado por
u 2
v 2
0 1
u, v 2u1v1 3u 2 v 2 .
14. V P2 , B 1,1 x,1 x x 2 . Sean p( x) a0 a1 x a 2 x 2 , q( x) b0 b1 x b2 x 2 y el producto
interno dado por p( x), q( x) a0 b0 a1b1 a 2 b2 .
Soluciones
1. (a) 0
(b)
11
(c)
77
3
2. Cualquier vector no cero múltiplo de v
4
3. (a) −1 (b) 14
(c) 26
4. 1−x2.
5. (a) (b)
(c)
0
6. Axioma (4) falla: u 0 , pero u , u 0 .
1
0
7. Axioma (4) falla: u 0 , pero u , u 0 .
1
8. Axioma (4) falla: p ( x) 1 x no es el polinomio cero, pero p( x), p( x) 0
4 1
9. A
1 4
10. una elipse con a = semi eje mayor = 2 b semi eje menor = 1.
1 0
11. −8.
12. 6
13. ,
0 1
Autor: Fermín Acosta Magallanes
14. 1, x, x 2
Page 4
0
