En este artículo se prueba, que el subconjunto

En este artículo se muestra cómo encontrar una base ortogonal de un plano que pasa por
el origen sin hacer uso del proceso de Gramm-Schmidt.
Dado un plano  que pasa por el origen, cuya ecuación es: ax + by +cz = 0, se procede
primero a encontrar una base de este plano, es decir dos vectores no paralelos en el
plano. Si a  0, los vectores u = (-b, a, 0) y v = (-c, 0, a) pertenecen ambos al plano,
pues las coordenadas de ambos satisfacen la ecuación ax + by +cz = 0 y son no
paralelos, pues ninguno es múltiplo del otro. Así {u, v} es una base de , pero si b y c
son ambos no nulos, los vectores u y v no son ortogonales y la base {u, v} no es
ortogonal.
Primer método:
El producto cruz w = u x n, en donde n = (a, b, c) es un vector normal al plano, es
ortogonal a u, pues u  (u x n) y (u x n)  , pues n  (u x n) y todo vector ortogonal a
n pertenece al plano. Resultan u y w dos vectores del plano ortogonales entre sí y
{u, w} una base ortogonal de . Se procede con analogía si es b ó c el coeficiente
diferente de cero.
Ejemplo concreto:
Sea : x + y + z = 0, una de sus bases es {u = (1, -1, 0), v = (0, 1, -1)}. Un vector normal
i j k
al plano es n = (1, 1, 1) y w = u x n = 1  1 0 = (-1, -1, 2), de donde
1 1 1
{(1, -1, 0), (-1, -1, 2)} es una base ortogonal del plano y dividiendo cada vector de esta
base entre su norma es 1 2  1 2 0 ,  1 6  1 6 2 6 una base ortonormal
de 



Segundo método:
Una vez encontrada una base { u = (-b, a, 0), v = (-c, 0, a) } de : ax + by + cz = 0, se
desea encontrar un vector w = (x , y, z) que pertenezca al plano, es decir que sus
coordenadas satisfagan la ecuación del plano: ax + by + cz = 0, y que sea ortogonal a u,
es decir w  u = 0 ó -bx + ay = 0, se debe pues resolver el sistema:
 ax  by  cz  0

 0
 bx  ay
El cual tiene infinitas soluciones por ser uno homogéneo con más incógnitas que
ecuaciones (también puede verse que tiene infinitas soluciones, porque este sistema
representa la intersección de dos planos no paralelos). Luego de obtener la solución
general de este sistema homogéneo, basta tomar una solución w no nula del mismo y
{u, w} será una base ortogonal de .
El mismo ejemplo concreto:
: x + y + z = 0 y sólo se necesita un vector no nulo de , digamos u = (1, -1, 0) para
completar una base ortogonal del plano con w = (x, y, z) que satisfaga el sistema:
x  y  z  0
, cuya solución se encuentra reduciendo la matriz:

 0
x  y
1 1 1 f 2  f 2  f1



1  1 0 
1  f 2   1 2f 2
1 1



 0  2  1
 1 1 1  f1  f1  f 2



 0 1 1 2
 1 0 1 2


 0 1 1 2
y la solución general de este sistema es:
  1 2z 




  1 2z  z  IR ó
 z 




  1 2


  1 2
 1 


ó
  1
 
  1
2
 
y tomando la solución particular
w = (-1, -1, 2) al sistema recién resuelto, se tiene que {u = (1, -1, 0), w = (-1, -1, 2)} es
una base ortogonal del plano .