proyecciones ortogonales

PROYECCIONES ORTOGONALES
1. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r es el punto Q de r tal que el vector QP es
perpendicular a cualquier vector director de r.

Si u es un vector director de r,
 
Q proyección ortogonal de P sobre r ⇔ Q ∈ r y QP ⊥ u
Q ∈ r
=
Q proy r P ⇔   
QP ⊥ u
EJEMPLO
x − 3 y −1 z + 2
Halla la proyección ortogonal del punto P ( −1, 4, 3) sobre la recta r : = =
4
2
−1
1 3 9
Solución: Q  , − , − 
7 7 7
EJERCICIOS
x −1 y − 3 z
.
1. Determina la proyección ortogonal del punto P ( 3, −3, 7 ) sobre la recta r : = =
−1
2
1
 x =−2 − 2λ

2. Calcula la proyección ortogonal del punto P ( 2, −9, −9 ) sobre la recta r :  y = 7 + 3λ .
 z = 6 + 4λ

0
 x + y + 3z − 1 =
3. Halla la proyección ortogonal del punto P ( −6, −1, 3) sobre la recta r : 
0
2 x + 3 y + 4 z − 2 =
SOLUCIONES
3 3

1. Q  −2, , 
2 2

2. Q ( 6, −5, −10 )
12

3. Q  −5, ,
5

6

5
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2. Proyección ortogonal de un punto sobre un plano

La proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π es el punto Q de π tal que el vector QP es
perpendicular a π.

Q proyección ortogonal de P sobre π ⇔ Q ∈ π y QP ⊥ π
Q ∈ π
=
Q proy π P ⇔  
QP ⊥ π
EJEMPLO
Halla la proyección ortogonal del punto P ( 6, −9, 7 ) sobre el plano π : x − 3 y + 5 z + 2 =
0.
Solución: Q ( 4, −3, −3)
EJERCICIOS
1. Determina la proyección ortogonal del punto P ( −3, 2, −2 ) sobre el plano π : 4 x − 6 y + 2 z − 7 =
0.
2. Calcula la proyección ortogonal del punto P (14, 7, −12 ) sobre el plano π : 4 x + y − 5 z + 3 =
0.
3. Halla la proyección ortogonal del punto P ( 4, 5, 4 ) sobre el plano π : 3 x − y + 2 z − 8 =
0.
x = λ − µ

4. Calcula la proyección ortogonal del punto P ( 9, 2, 1) sobre el plano π :  y = 2 − λ + 3µ .
 z = 3 + 2λ − 2µ

5. Determina la proyección ortogonal del punto P ( −7, 2, −2 ) sobre el plano π : 3 x − y + 2 z − 8 =
0.
SOLUCIONES
 1 7 3
1. Q  − , − , − 
 2 4 4
2. Q ( 2, 4, 3)
 5 11 
3. Q  , , 3 
2 2 
4. Q (1, 2, 5 )
1 1 
5. Q  , − , 3 
2 2 
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3. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
La proyección ortogonal de una recta r sobre un plano π es la recta s contenida en el plano π tal que el plano π'
que contiene a las dos rectas r y s es perpendicular al plano π.
s proyección ortogonal de r sobre π ⇔ s ⊂ π y π ⊥ π '
siendo π' el plano que contiene a las rectas r y s.
Se tiene que
s = π ∩ π'
Por lo tanto, la recta proyección la daremos mediante sus ecuaciones implícitas, como intersección de dos planos
π
s:
π '
Como el plano π' es un plano que contiene a r y es perpendicular a π, quedará determinado por un punto y un
vector director de r, y un vector normal de π.
EJEMPLO
 x =−2 + λ

Dada la recta r :  y= 2 − 3λ y el plano π : 3 x − 2 y + z − 5 =
0 , calcula la proyección ortogonal de la recta r
 z= 5 + λ

sobre el plano π.
0
3 x − 2 y + z − 5 =
Solución: s : 
0
 x − 2 y − 7 z + 41 =
 x =−1 + 8λ

Expresada mediante sus ecuaciones paramétricas será s :  y =−1 + 11λ
 z = 6 − 2λ

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SELECTIVIDAD - Geometría
PROYECCIONES ORTOGONALES
Ejercicios
Punto-plano: 37, (60) y 71.
Punto-recta: 68.
PUNTOS SIMÉTRICOS
Ejercicios
Punto-recta: 7, 15, 49, 51, 66, (80), (82), 119, 125, 131, 138, 144, (149), y 166.
Punto-plano: 12, 18, 60, 83, 96, 124, 148 y (156).
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