Bases Ortogonales Archivo

Bases ortogonales
Profesores
Omar Darı́o Saldarriaga Ortı́z
Iván Dario Gómez
Hernán Giraldo
2009
Definición
Sea V un espacio vectorial y {v1 , . . . , vn } una base para V .
1
decimos que {v1 , . . . , vn } es una base ortogonal si los vectores v1 , . . . , vn
son ortogonales entre si, es decir si vi · vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ n.
2
decimos que {v1 , . . . , vn } es una base ortonormal si es una base
ortogonal y ||vi || = 1 para i = 1, . . . , n.
Ejemplo


 
 
1
1
0
Determine si los vectores v1 = −1 , v2 = 1 y v3 = 0 forman una
0
0
1
base ortogonal de R3 .
Definición
Sea V un espacio vectorial y {v1 , . . . , vn } una base para V .
1
decimos que {v1 , . . . , vn } es una base ortogonal si los vectores v1 , . . . , vn
son ortogonales entre si, es decir si vi · vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ n.
2
decimos que {v1 , . . . , vn } es una base ortonormal si es una base
ortogonal y ||vi || = 1 para i = 1, . . . , n.
Ejemplo


 
 
1
1
0
Determine si los vectores v1 = −1 , v2 = 1 y v3 = 0 forman una
0
0
1
base ortogonal de R3 .
Lema
Si los vectores v1 , . . . , vk son ortogonales entre si, entonces son linealmente
independientes.
Definición
Sea V un espacio vectorial y {v1 , . . . , vn } una base para V .
1
decimos que {v1 , . . . , vn } es una base ortogonal si los vectores v1 , . . . , vn
son ortogonales entre si, es decir si vi · vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ n.
2
decimos que {v1 , . . . , vn } es una base ortonormal si es una base
ortogonal y ||vi || = 1 para i = 1, . . . , n.
Ejemplo


 
 
1
1
0
Determine si los vectores v1 = −1 , v2 = 1 y v3 = 0 forman una
0
0
1
base ortogonal de R3 .
Lema
Si los vectores v1 , . . . , vk son ortogonales entre si, entonces son linealmente
independientes.
Definición
Decimos que una matriz A = v1 · · · vk es una matriz ortogonal si
vi · vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ k y ||vi || = 1 para i = 1, . . . , k.
Ejemplo
√1
2
−1
√
2

La matriz A =
0
√1
2
√1
2
0

0
0 es una matriz ortogonal.
1
Definición
Decimos que una matriz A = v1 · · · vk es una matriz ortogonal si
vi · vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ k y ||vi || = 1 para i = 1, . . . , k.
Ejemplo
√1
2
−1
√
2

La matriz A =
0
√1
2
√1
2
0

0
0 es una matriz ortogonal.
1
Teorema (Propiedad de las matrices ortogonales)
Sea A una matriz ortogonal, entonces At A = I. Por tanto si A es una
matriz cuadrada entonces A es invertible y A−1 = At , si A no es cuadrada
entonces A tiene inversa a la izquierda la cual esta dada por At .
Definición
Decimos que una matriz A = v1 · · · vk es una matriz ortogonal si
vi · vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ k y ||vi || = 1 para i = 1, . . . , k.
Ejemplo
√1
2
−1
√
2

La matriz A =
0
√1
2
√1
2
0

0
0 es una matriz ortogonal.
1
Teorema (Propiedad de las matrices ortogonales)
Sea A una matriz ortogonal, entonces At A = I. Por tanto si A es una
matriz cuadrada entonces A es invertible y A−1 = At , si A no es cuadrada
entonces A tiene inversa a la izquierda la cual esta dada por At .
Ejemplo
1
Este teorema nos permite calcular la inversa de una matriz ortogonal
de manera fácil, por el Ejemplo ?? tenemos que la matriz
 1

1
√
√
0
2
2
−1
1
√
0 es una matriz ortogonal
A = √
2
2
0
0
1
2
El teorema también se puede usar para calcular la inversa a la
izquierda de matrices ortogonales cuando no son cuadradas. Por
 1
1 
√
2
−1
ejemplo la matriz B =  √
2
0
√
2
√1 
2
es una matriz ortogonal
0
Teorema
Sea {v1 . . . , vn } una base ortogonal para un espacio vectorial V y sea b ∈ V ,
entonces
b · v1
b · vn
b=
v1 + · · · +
vn .
v1 · v1
vn · vn
Más aún, si {v1 . . . , vn } una base ortonormal, entonces
b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vn )vn .
Ejemplo
1
Este teorema nos permite calcular la inversa de una matriz ortogonal
de manera fácil, por el Ejemplo ?? tenemos que la matriz
 1

1
√
√
0
2
2
−1
1
√
0 es una matriz ortogonal
A = √
2
2
0
0
1
2
El teorema también se puede usar para calcular la inversa a la
izquierda de matrices ortogonales cuando no son cuadradas. Por
 1
1 
√
2
−1
ejemplo la matriz B =  √
2
0
√
2
√1 
2
es una matriz ortogonal
0
Teorema
Sea {v1 . . . , vn } una base ortogonal para un espacio vectorial V y sea b ∈ V ,
entonces
b · v1
b · vn
b=
v1 + · · · +
vn .
v1 · v1
vn · vn
Más aún, si {v1 . . . , vn } una base ortonormal, entonces
b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vn )vn .
Ejemplo


 
 
1
1
0
Consideremos los vectores v1 = −1 , v2 = 1 y v3 = 0 forman una
0
0
1
base ortogonal para R3 , puesto que A = [v1 v2 v3 ] es una matriz
  ortogonal.
1
Usando el teorema anterior podemos escribir el vector b = 1 de la
1
siguiente forma:
b=
b · v1
b · v2
b · v3
0
2
1
v1 +
v2 +
v3 = v1 + v2 + v3 = v2 + v3 .
v1 · v1
v2 · v2
v3 · v3
2
2
1
Ejemplo




 
0
 
 
−1  , w2 =  √
Consideremos los vectores w1 =  √
1  y w3 = 0 forman
2
2
1
0
0
3
una base ortogonal para R , puesto que A = [v1 v2 v3 ] es una matriz  
1
ortogonal. Usando el teorema anterior podemos escribir el vector b = 1
1
de la siguiente forma:
1
√
2
1
√
2
√
2
b = (b · w1 )w1 + (b · w2 )w2 + (b · w3 )w3 = 0w1 + √ w2 + w3 = 2w2 + w3 .
2
Teorema
Sea {v1 . . . , vk } una base ortonormal para un subespacio vectorial H de Rn
y sea b ∈ Rn , entonces
proyH b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vk )vk .
Observaciones
La segunda parte del Teorema 5 sale como corolario de este teorema, ya que
si b ∈ H entonces por el Teorema ?? tenemos que proyH b = b y por tanto
b = proyH b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vk )vk .
Teorema
Sea {v1 . . . , vk } una base ortonormal para un subespacio vectorial H de Rn
y sea b ∈ Rn , entonces
proyH b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vk )vk .
Observaciones
La segunda parte del Teorema 5 sale como corolario de este teorema, ya que
si b ∈ H entonces por el Teorema ?? tenemos que proyH b = b y por tanto
b = proyH b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vk )vk .
Ejemplo
El plano xy (o z = 0) tiene
base ortogonal dada por

 
 
−1
1


√
√


 2
 2
v1 =  √1  , v2 =  √1  entonces usando el teorema anterior para


2
2


0
0
 
1
calcular proyH b donde H es el plano xy y b = 2
1
Teorema
Sea {v1 . . . , vk } una base ortonormal para un subespacio vectorial H de Rn
y sea b ∈ Rn , entonces
proyH b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vk )vk .
Observaciones
La segunda parte del Teorema 5 sale como corolario de este teorema, ya que
si b ∈ H entonces por el Teorema ?? tenemos que proyH b = b y por tanto
b = proyH b = (b · v1 )v1 + · · · + (b · vk )vk .
Ejemplo
El plano xy (o z = 0) tiene
base ortogonal dada por

 
 
−1
1


√
√


 2
 2
v1 =  √1  , v2 =  √1  entonces usando el teorema anterior para


2
2


0
0
 
1
calcular proyH b donde H es el plano xy y b = 2
1