ENGINYERIA INFORM`ATICA FIB Examen final de Matem

ENGINYERIA INFORMÀTICA
FIB
Examen final de Matemàtiques 1
13.1.2004
1. [2,5 punts] Trobeu els enters n ≥ 0 per als quals 10n + 3 ≡ 0 (mod 7).
2. [2,5 punts] Trobeu el nombre de solucions enteres de l’equació
x1 + x2 + x3 = 15,
tal que 0 ≤ x1 ≤ 4, 0 ≤ x2 ≤ 6 i 0 ≤ x3 .
3. [2,5 punts] Sigui f : E −→ F una aplicació lineal i siguin v~1 , v~2 , . . . , v~k vectors de E. Discutiu les
afirmacions següents: demostreu la certa i doneu un contraexemple de la falsa.
a) Si v~1 , v~2 , . . . , v~k són linealment independents a E, aleshores f (v~1 ), f (v~2 ), . . . , f (v~k ) són linealment
independents a F .
b) Si f (v~1 ), f (v~2 ), . . . , f (v~k ) són linealment independents a F , aleshores v~1 , v~2 , . . . , v~k són linealment
independents a E.
4. [2,5 punts] Sigui F el subespai de R3 generat pels vectors
~v1 = (1, 1, −1), ~v2 = (0, 1, 1), ~v3 = (1, 3, 1), ~v4 = (2, 1, −3).
a) Doneu la dimensió i una base ortonormal de F .
b) Donat un vector (x, y, z), trobeu l’expressió de la projecció ortogonal sobre F .
c) Doneu un vector ortogonal a F de norma 1.
d) Sigui p : R3 −→ R3 l’aplicació tal que p(x, y, z) és la projecció ortogonal de (x, y, z) sobre F .
Doneu la matriu associada a p en la base canònica.
Temps: de 18:30 a 21:15.
Notes provisionals: dilluns 26/1/2004, al Racó.
Revisió: dimarts 27/1/2004 a l’aula 005 de l’edifici U (FME) del Campus Sud, de 11:30 a 13:00.
Notes definitives: dijous 29/1/2004, al Racó.
Resolución problema 1.
n
n
n
n
10 + 3 ≡ 0 (mod7 ) ⇔ 3 + 3 ≡ 0 (mod7 ) ⇔ 3 ≡ −3 (mod7 ) ⇔ 3 ≡ 4 (mod7 )
10 ≡ 3 (mod7)
− 3 ≡ 4 (mod7)
Según el teorema de Fermat:
como m.c.d.(3, 7)=1 ⇒ 3
7 −1
≡ 1 (mod7 ) ⇒ 3
6q+r
r
≡ 3 (mod7 ) con 0 ≤ r ≤ 5
n
Por tanto, los enteros n≥0 que satisfacen 10 + 3 ≡ 0 (mod7 ) serán los n≥0 tales que:
r
n ≡ r (mod 6) y 3 ≡ 4 (mod 7)
r
Ahora, miramos con qué es congruente 3 módulo 7, para valores de r desde 0 hasta 5:
0
1
2
3
4
5
3 ≡1 (mod 7); 3 ≡3 (mod 7); 3 ≡2 (mod 7); 3 ≡6 (mod 7); 3 ≡4 (mod 7); 3 ≡5 (mod 7).
Solución: n≥
≥0 tal que n ≡ 4 (mod 6)
Resolució problema 2.
Les restriccions imposades limiten els valors de x1 a 5 possibilitats (0,1,2,3,4). De manera
anàloga, x2 pot prendre 7 possibles valors (0,1,2,3,4,5,6). Donat cada un dels cinc valors
esmentats per x1 i donat cada un dels set valors esmentats per x2 existeix un únic valor de
x3 que compleix l’equació x1 + x2 + x3 = 15 ( x3 = 15 − x1 − x2 ). Només cal comprovar que
en tots els casos x3 és un enter no negatiu: x3 = 15 − x1 − x2 ≥ 15 − 4 − 6 = 5 . Comprovat!
Per tant el nombre de solucions demanat és 5 × 7 = 35.
Resolució problema 3.
a) En general és falsa. Només cal pensar en una aplicació que consisteixi en projectar vectors sobre un subespai.
Per exemple f : R3 → R3 tal que f (x, y, z) = (x, y, 0). Els vectors (a, b, c) i (a, b.0) són clarament linealment
independents però en canvi f (a, b, c) = f (a, b.0.
b) Sempre és certa. Fem la demostració pel contrarecı́proc.
Si ~v1 , ~v2 , . . . , ~vk fossin linealment dependents, un d’ells seria combinació lineal dels altres. Suposem que és ~v1 ,
és a dir, que existeixen escalars a2 , . . . , ak tals que
~v1 = a2~v2 + · · · + ak~vk .
Aleshores, per la linealitat de f seria
f (~v1 ) = f (a2~v2 + · · · + ak~vk ) = a2 f (~v2 ) + · · · + ak f (~vk ),
és a dir, les imatges f (~v1 ), f (~v2 ), . . . , f (~vk ) també serien linealment dependents.
Resolución problema 4:
a) Se puede comprobar que ~v3 = ~v1 + 2~v2 y ~v4 = 2~v1 − ~v2 . Puesto que ~v1 y ~v2 no son múltiplos entre si entonces
son linealmente independientes. Esto permite deducir que la dimensión de F es igual a 2. También se puede
llegar a la misma conclusión demostrando que el rango de la matriz que forman los vectores que generan F es
igual a 2.
Para obtener una base ortonormal de F basta comprobar que el producto escalar euclı́deo de ~v1 y ~v2 es cero
y por lo tanto forman una base ortogonal. Si normalizamos dichos vectores obtendremos entonces una base
ortonormal que será la formada por los siguientes vectores:
√
√
√
√
√
~u1 = (1/ 3, 1/ 3, −1/ 3) ,
~u2 = (0, 1/ 2, −1/ 2) .
b) Utilizando la base ortonormal del apartado anterior la proyección ortogonal de un vector (x, y, z) sobre el
subespacio F viene dada por la siguiente fórmula:
[(x, y, z) · ~u1 ] ~u1 + [(x, y, z) · ~u2 ] ~u2
donde las expresiones entre corchetes representan productos escalares entre vectores. Alternativamente, usando
la base ortogonal de F formada por los vectores ~v1 y ~v2 se obtendrı́a la siguiente fórmula:
(x, y, z) · ~v1
(x, y, z) · ~v2
~v1 +
~v2 .
k~v1 k2
k~v2 k2
Ambas fórmulas conducen al mismo resultado, obteniéndose la siguiente expresión para la proyección ortogonal
en función de las coordenadas del vector (x, y, z):
x + y − z 2x + 5y + z −2x + y + 5z
projF (x, y, z) =
,
,
.
3
6
6
c) Puesto que en el apartado (a) se ha visto que F tiene dimensión 2, se trata de un plano que pasa por (0, 0, 0)
en el espacio R3 . Ası́ pues, todo vector del espacio R3 se puede descomponer en suma de su proyección ortogonal
sobre F y un vector ortogonal a F . Puesto que la proyección ortogonal la hemos obtenido en el apartado (b),
se puede deducir la expresión del vector ortogonal a F haciendo la diferencia
(x, y, z) − projF (x, y, z)
y después tomando valores arbitrarios para las coordenadas x, y, z y normalizando el vector resultante.
Otra forma de resolver este apartado es calcular el producto vectorial de dos vectores de la base de F ya que el
resultado es un vector perpendicular a ambos, y por tanto, ortogonal al plano que representa F .
También se puede deducir la ecuación implı́cita del plano F
usual:
x y
z
1 1 −1
0 1
1
a partir de alguna de sus bases utilizando la fórmula
=0
Se deduce entonces que la ecuación del plano F es 2x − y + z = 0, y por tanto
√ un√vector
√ ortogonal a F será
(2, −1, 1). Si lo dividimos por su norma lo hacemos unitario, y se obtiene (2/ 6, −1 6, 1 6). Cualquier vector
múltiplo de (2, −1, 1) y posteriormente dividido por su norma es también ortogonal a F .
d) Es evidente que p(x, y, z) = projF (x, y, z) y por lo tanto podemos utilizar el resultado del apartado (b) para
calcular las imágenes de los vectores de la base canónica por la aplicación lineal p. A partir de estas imágenes
se obtiene la matriz asociada a p en dicha base que es la siguiente:


1/3 1/3 −1/3
 1/3 5/6
1/6 
−1/3 1/6
5/6