Proyección ortogonal de un vector sobre otro

Proyección ortogonal de un vector sobre otro
Objetivos. Sea V un espacio con producto interno. Dado un vector no nulo a ∈ V \ {0}
y un vector arbitrario v ∈ V construir dos vectores u, w ∈ V tales que
u ∈ `(a),
ha, wi = 0.
v = u + w,
Requisitos. Espacios con producto interno.
Suponemos que V es un espacio vectorial complejo (el caso real es similar). En estos
apuntes usamos el convenio que el producto interno es homogéneo respecto al segundo
argumento:
∀a, b ∈ V λ ∈ C
ha, λbi = λ ha, bi.
1. Dibujo (proyección ortogonal de un vector sobre otro). Consideramos un ejemplo con V = R2 , a ∈ V \ {0}, v ∈ V , u = λa y w = v − u:
v
w = v − λa
a
λa
0
2. Ejercicio. Sean a, v ∈ V , a 6= 0, λ ∈ C. Muestre que
ha, v − λai = 0
⇐⇒
λ=
ha, vi
.
ha, ai
3. Proposición (proyección ortogonal de un vector sobre otro). Sean a, v ∈ V .
Entonces existe un único par de vectores (u, w) ∈ V 2 tales que
u ∈ `(a),
v = u + w,
ha, wi = 0.
(1)
Demostración. Si a = 0, entonces u = 0, w = v. Consideremos el caso principal cuando
a 6= 0.
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Unicidad. Supongamos que u y w satisfacen las condiciones (1). Entonces u debe ser
de la forma u = λa, donde λ ∈ C. De aquı́ sigue que
ha, v − λai = 0,
ha, vi − λha, ai = 0,
λ=
ha, vi
.
ha, ai
Finalmente, u y w se expresan en términos de a y v:
u=
ha, vi
a,
ha, ai
w=v−
ha, vi
a,
ha, ai
(2)
y por lo tanto se determinan de manera única.
Existencia. Definimos u y w por las fórmulas (2). Entonces u ∈ `(a), v = u + w,
ha, vi
ha, vi
ha, ui = a,
a =
ha, ai = ha, vi,
ha, ai
ha, ai
ha, wi = ha, v − ui = ha, vi − ha, ui = ha, vi−ia, vi = 0.
4. Notación. En la situación de la proposición anterior el vector u se llama la proyección
ortogonal del vector v al vector a o la proyección ortogonal del vector v sobre la recta
generada por a (si a 6= 0). El vector u se denota por pra (v).
5. Ejemplo. En el espacio euclideano R2 con el producto interno canónico (producto
punto) consideramos los vectores
3
5
a=
,
v=
.
1
5
En este caso
15 + 5
λ=
= 2,
10
u = 2a =
6
2
,
w =v−u=
−1
3
.
6. Ejercicio. En la situación de la proposición anterior calcule hw, wi. Este ejercicio se
aplica en la demostración de la desigualdad de Schwarz.
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