Geometría Euclídea II. - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Matemáticas, Matemáticas-Informática
Geometrı́a I. Curso 2008-09
GEOMETRÍA I
Hoja 4: Geometrı́a euclı́dea II.
1. Sea f : R2 → R2 la aplicación lineal cuya matriz en una base ortonormal B es:
α
β
.
β 1−α
Demuestra que f es una proyección ortogonal sobre la recta ax + by = 0, donde α = b2 /(a2 + b2 ) y
β = −ab/(a2 + b2 ).
2. En R3 se considera el producto escalar con matriz en una base B = {w1 , w2 , w3 },


1 1 0
 1 2 2 .
0 2 5
i. Calcula una base ortonormal {u1 , u2 , u3 }.
ii. Calcula la proyección ortogonal del vector con coordenadas (1, 1, 1) respecto a la base B sobre el plano
y + z = 0.
iii. Calcula el subespacio ortogonal al vector con coordenadas (2, 0, 1) respecto a la base {u1 , u2 , u3 }.
3. Encuentra las ecuaciones de la simetrı́a respecto al plano 2x + y + z = 0.
4. Encuentra la expresión analı́tica de las siguientes isometrı́as:
i. La simetrı́a deslizante de eje paralelo a la recta 2x + y = 3 y que transforma (2, 1) en (1, 0).
ii. El giro de ángulo π/3 que lleve (2, 1) en (1, 0).
5. Estudia las siguientes isometrı́as del plano:
(
√
x0 = −2 +√ 21 x − 23 y
y 0 = 1 + 23 x + 12 y
(
√
√
x0 = 22 x√+ 22 y √
y 0 = 1 + 22 x − 22 y.
Estudia la isometrı́a composición de las anteriores.
6. Sea {P ; e1 , e2 , e3 } una referencia ortonormal del espacio afı́n euclı́deo, (A, E), sea f la simetrı́a respecto
al eje P + h(a, b, c)i y sea f˜ su aplicación lineal asociada.
i. Demuestra que para todo v ∈ E, f˜(v) + v es o bien ~0 o bien un vector propio de valor propio 1.
ii. Usa el apartado anterior para calcular la matriz de f˜ en función de a, b, c.
iii. Usa el apartado anterior para hallar las ecuaciones de la rotaci ón de ángulo π respecto al a recta
intersección de los planos 3x − 4y − 25 = 0, z = 2.
7. Sea {P ; e1 , e2 , e3 } una referencia ortonormal del espacio afı́n euclı́deo, (A, E). Considera la simetrı́a g
respecto al plano de ecuación ax + by + cz + d = 0, y sea g̃ su aplicación lineal asociada.
i. Demuestra que para todo v ∈ E, g̃(v) − v es ortogonal al plano de simetrı́a.
ii. Calcula la matriz de g̃ en función de a, b, c.
iii. Halla las ecuaciones de la simetrı́a respecto al plano x + 2y − 3z + 2 = 0.
8. En R3 considera el producto escalar cuya matriz

5
 1
0
en la base B = {e1 , e2 , e3 } es:

1 0
1 0 .
0 3
Calcula la distancia del punto (−1, 1, −2) al plano que pasa por los puntos de coordenadas cartesianas
a = (1, −1, 1), b = (−2, 1, 3) y c = (4, −5, −2) en la referencia {O; B}.
9. En R3 considera el producto escalar usual y sea α ∈ R.
i. Calcula la ecuación de la recta lα que pasa por los puntos P = (1, α, −1) y Q = (1, 2α, −2).
ii. Calcula el punto rα simétrico del punto m = (1, 0, −2) con respecto a la recta lα .
iii. Demuestra que el lugar geométrico de los puntos rα con α ∈ R es la recta (1, 0, 2) + h(0, 1, −1)i.
10. Encuentra la expresión analı́tica de las siguientes isometrı́as de R3 :
i. La simetrı́a respecto al plano 3x − y + 2z = 1.
ii. La rotación helicoidal respecto al eje h(1, −1, 0)i con ángulo π y vector de traslación (2, −2, 0).
iii. La composición de las dos isometrı́as anteriores.
11. Estudia las siguientes isometrı́as de R3 :
√


2
1
1
0

 x = 1 + 2 x√+ 2 y√+ 2 z  x0 = 1 + y
y0 = 1 − y
y 0 = −1 + √22 x − 22 z


 0 1
z 0 = −x
z = 2 x − 22 y + 21 z
Estudia la composición de las dos isometrı́as anteriores.
12. En Rn fijamos un sistema de referencia ortonormal R = {O; e1 , e2 , e3 }, y sea a1 x1 + . . . + an xn = b un
hiperplano H ⊂ Rn .
i. Demuestra que el vector (a1 , . . . , an ) es ortogonal a cualquier vector en la dirección de H.
ii. Sea P = (b1 , . . . .bn ) un punto y sea H como en el apartado anterior. Demuestra que
d(P, H) =
|a1 b1 + . . . + an bb + b|
p
.
a21 + . . . + a2n
13. Sean L1 y L2 dos rectas que se cruzan en R3 , sobre el que consideramos el producto escalar usual.
i Demuestra que existe una única recta L que es ortogonal a L1 y a L2 .
ii. Sean P1 = L ∩ L1 y P2 = L ∩ L2 . Demuestra que
d(L1 , L2 ) = d(P, Q).