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Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemáticas
PRIMERA PRUEBA DE ALGEBRA 1 MA - 190
JUEVES 16 DE ABRIL DEL 2009
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Nombre:
Nota:
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INSTRUCCIONES:
A. Tiempo de duración de la prueba 90 minutos.
B. Sea ordenado en sus respuestas.
C. NO SE ACEPTAN CONSULTAS.
D. No usar calculadora.
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PROBLEMA 1: (5 ptos.)Indicando el método de demostración a usar, demuestre que:
Si
a
b
b+1
, entonces b
a 1
0 ó a
b+1
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PROBLEMA 2: (5 ptos.)Se de…ne X 5 Y = X [ Y c , usando propiedades de conjuntos, encuentre la
expresión más simple para
[A \ (B 5 A)] [ [A 5 (B 5 A)]
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PROBLEMA 3: (5 ptos.)Sean P y Q dos puntos en el suelo, separados por una distancia d. Sobre
la vertical desde Q se eleva un globo. Desde P los ángulos de elevación al punto inicial y al punto
…nal son y respectivamente. Exprese la distancia h que sube el globo en términos de ; ; y d:
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PROBLEMA 4: (1 pto. c/u)Decida si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas, justi…cando su respuesta.
1) Si el lado …nal de un ángulo
2) Si
corta a la circunferencia unitaria en P (0:6; 0:8), entonces tg
es un ángulo en el II cuadrante y tg
=
1
, entonces cos
4
=
=
3
.
4
4
p .
17
1
= p , entonces el ángulo está en el primer cuadrante.
5
a
4) Si tg = , entonces sen = a ^ cos = b.
b
3) Si sen
5) Si una rueda de 4 centímetros de radio se desplaza girando un ángulo de 585o , entonces la distancia
que recorre es 13 centímetros.
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Cálculo de la Nota:
8 1
>
>
< 4 (x + 4) si
Nota =
> 1
>
: (3x 4) si
8
0
x
12
, x = puntos obtenidos
12
x
20
PAUTA DE CORRECCION
PROBLEMA 1: Sean
P :
a
b
b+1
,Q:b
a 1
0yR:a
b+1
se quiere demostrar:
P =) (Q _ R)
Usando método de la contrapositiva, la proposición anterior es equivalete a demostrar:
(Q _ R) =)
P
(
Q^
R) =)
P
es decir,
b+1
a
>
b
a 1
1 > b > 0 . Luego se tiene que:
Si b > 0 y a > b + 1 , entonces
En efecto, notamos que: b > 0, a > b + 1 > 0 y a
b+1 < a =:a 1
b+1
a
<
::::: (1)
a 1
a 1
Por otra parte,
a
1 >
a
a
1
<
b =)
1
a 1
a
::::: (2)
b
<
1
= a
b
De (1) y (2) se concluye que
b+1
a
<
a 1
b
PROBLEMA 2:
[A \ (B 5 A)] [ [A 5 (B 5 A)]
=
=
=
=
=
c
[A \ (B [ Ac )] [ [A [ (B [ Ac ) ]
[(A \ B) [ (A \ Ac )] [ [(A [ (B c \ A))]
[(A \ B) [ ] [ A
(A \ B) [ A
A
PROBLEMA 3:
Del dibujo se desprende que:
tg
=
tg
=
x
=) x = d tg :::::(1)
d
h+x
=) h = d tg
x :::::(2)
d
Por tanto,
h = d (tg
tg )
PROBLEMA 4:
1) F P (0:6; 0:8) en la circunferencia unitaria, entonces cos
tg
=
= 0:6 y sen
= 0:8; luego
0:8
8
4
3
= = 6=
0:6
6
3
4
1
, luego podemos construir un triángulo rectángulo con cateto opuesto igual a 1 y
4
p
p
4
cateto adyacente igual a 4, así la hipotenusa mide 1 + 42 = 17 y cos = p , es negativo
17
porque está en el II cuadrante.
2) V tg
=
3) F El ángulo puede estar en el primer o segundo cuadrante. Sea
entonces el ángulo
=
está en el segundo cuadrante y sen
4) F Contraejemplo: Sean a = 3 , b = 4 y tg =
5) V
o
= 585 = 360 + 180 + 45, entonces
13
s= r r=
4 cm = 13 cm:
4
r
2 0;
2
= sen (
tal que sen
) = sen
1
= p ,
5
1
=p .
5
3
3
, entonces sen = 6= 3.
4
5
=2 +
+
4
=
13
. luego la longitud del arco es
4