Cuestiones resueltas tema 3.

CUESTIONES RESUELTAS 3. INTEGRACIÓN
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA
INTEGRAL DEFINIDA. REGLA DE BARROW.
1. Sea f(x) una función discontinua en x=0 y continua en el resto de puntos del intervalo
[-1,1]. Entonces f(x) es integrable en [-1,1] y tiene primitiva en dicho intervalo.
1
verifica las condiciones del enunciado, no es integrable en [-1,1]
x
a. Falso, la función f ( x) =
y no tiene primitivas en este intervalo.
b. Es cierto que la función es integrable en [-1,1] ya que cumple la condición suficiente de
integrabilidad en el intervalo, sin embargo no tiene primitiva en [-1,1] ya que no es continua
en x=0.
c. Verdadero, f(x) es integrable en [-1,1] ya que cumple la condición suficiente de
integrabilidad, y una de sus primitivas es su función integral en dicho intervalo.
2.
Sea f ( x) una función continua en el intervalo [-2,2] tal que
que la función g(x)=|f(x)| es integrable en [-2,2] y además
∫
2
−2
∫
2
−2
f ( x)dx = 0 . Entonces, se verifica
g ( x)dx = 0 .
a. Verdadero, ya que g(x) es continua (y, por tanto, integrable) en [-2,2], al ser composición de
funciones continuas. pues g(x)=h(f(x)) donde h(x)=|x|. Además, aplicando las propiedades de
las funciones integrables, resulta que
2
2
−2
−2
g ( x)dx ∫
∫=
| f ( x) | dx
=
2
f ( x)dx
∫=
−2
0.
b. Es falso, ya que aunque g(x) es integrable en [-2,2], no es cierto que
demuestra
∫
2
−2
la
función
0
2
−2
0
f(x)=x
para
la
cual
∫
2
−2
xdx = 0
∫
2
−2
g ( x)dx = 0 como lo
y,
sin
embargo
| x | dx = ∫ (− x)dx + ∫ xdx = 2 + 2 = 4 ≠ 0 .
c. Falso, pues bajo las hipótesis del enunciado no podemos garantizar la integrabilidad de la
función g(x) en el intervalo [-2,2].
3. Sean las funciones f(x) y F(x) definidas por
 x2 1 ≤ x < 2
f ( x) = 
6 − x 2 ≤ x ≤ 3

x3 + 1
1≤ x < 2

2
.
; F ( x) = 
2
6 x − x − 20 2 ≤ x ≤ 3
2
3

Entonces, F(x) es una primitiva de f(x) en [1,3].
a. Falso, pues F(x) no es la función integral de f(x) en el intervalo [1,3] ya que F(1)=1≠0.
b. Verdadero, pues f es continua, F(x) es su función integral en [1,3] y por tanto por el Teorema
Fundamental del Cálculo F(x) es una de sus primitivas en [1,3].
c. Verdadero, pues F(x) es continua y derivable en [1,3] y F’(x)=f(x) en dicho intervalo.
d. Falso, pues F(x) no es continua en [1,3].
4. La función F ( x) = Ln
[3,5].
x−6
( x + 2) 2
+ Ln 2 es una función primitiva de f ( x) = 2
x−2
x −4
en el intervalo
a. Falso, F no puede ser la primitiva de f en [3,5] porque F no es continua.
b. Verdadero, pues F(x) es derivable en el intervalo [3,5] y además se verifica que
F ' ( x) = f ( x) en el intervalo [3,5].
c. Falso, pues f(x) no está acotada en x=2 y en consecuencia no puede ser integrable en el
intervalo [3,5] ni tener una primitiva en dicho intervalo.
 x2 −1 0 ≤ x ≤ 1
entonces
5. Sea f ( x) = 
− ln( x) 1 < x ≤ e
∫
e
0
5
f ( x)dx = − .
3
(a) Falso, dado que la integral representa el área de una región del plano y no puede ser negativa.
 x3
−x
0 ≤ x ≤1

(b) Verdadero, f es continua en el intervalo [0,e], F ( x) =  3
es una función
 x(1 − ln( x)) 1 < x ≤ e

primitiva de f en [0,e] y aplicando la regla de Barrow, se tiene que
5
f ( x)dx =
F (e) − F (0) =
−
3
e
1
2
(c) Verdadero, pues ∫ ( x 2 − 1)dx =
− y ∫ (− ln( x))dx =
−1
[− x ln x + x]xx==1e =
0
1
3
∫
e
0
(d) Falso, la función f no es integrable por no ser continua.
 x − 1 si − 2 ≤ x ≤ −1

6. La función f ( x) =  x 3
si − 1 ≤ x < 1 es integrable en el intervalo [-2,2].
 x + 1 si
1≤ x ≤ 2

a. Verdadero, pues como − 3 ≤ f ( x) ≤ 3 para todo x ∈ [− 2,2] entonces f es acotada en [-2,2]
y toda función acotada es integrable.
b. Falso, ya que f no es continua en el intervalo [-2,2].
c. Verdadero, dado que f es una función acotada y discontinua en x=-1 y x=1, por tanto en un
número finito de puntos de [-2,2], luego es integrable.
7. Sean las funciones f(x) y F(x) definidas por
 x
−1 ≤ x < 0
f ( x) =  2
− x − 1 0 ≤ x ≤ 1
4

x5

; F ( x) =  3 5
− x − x + 1
 3
5
−1 ≤ x < 0
.
0 ≤ x ≤1
Entonces, F(x) es la función integral de f(x) en el intervalo [-1,1] y F(x) es una primitiva de f(x) en
dicho intervalo.
a.
Falso, pues f(x) no es continua y, por tanto, no es integrable en [-1,1] por lo que no
existe su función integral. También es falso que F(x) sea primitiva de f(x) en [-1,1] ya que
F (−1) ≠ 0.
b.
Verdadero, pues f es continua, F(x) es su función integral en [-1,1] y por tanto por el
Teorema Fundamental del Cálculo F(x) es una de sus primitivas en [-1,1].
c.
Falso. F(x) no es la función integral de f(x) pues F(-1)=-1/5. Tampoco es una
primitiva de f(x) en
[-1,1], ya que F(x) no es derivable en x=0.
 e x +1 −1 ≤ x ≤ 0
3
 x + 2 0 < x ≤ 1
8. Sea f ( x) = 
se verifica que:
es integrable en el intervalo [−1,1] ya que es continua en dicho intervalo.
a.
f (x)
b.
 e x + x +1 −1 ≤ x ≤ 0

F ( x) =  x 4
 4 + 2 x + 2 0 < x ≤ 1
es la función integral de f (x) en el intervalo [−1,1] .
c. La función f (x) no tiene primitiva en [−1,1] ya que no es continua en x=0.
9. Sean las funciones f(x) y F (x) definidas por:
 x2
 − 2 x si − 2 ≤ x < 0
F ( x) =  24
 x + 5 x si 0 ≤ x ≤ 2
 4
 x − 2 si −2 ≤ x < 0
f ( x) =  3
0≤ x≤2
 x + 5 si
Entonces se verifica:
a.
no tiene primitiva en el intervalo [−2,2] .
b. F (x) es una primitiva de f (x) puesto que f (x) es integrable en [−2,2] y se verifica que
F ' ( x) = f ( x) para todo x ∈ [−2,2] .
c. f (x) es integrable en el intervalo [−2,2] por lo que existe función integral en dicho intervalo
que es la función
 x2
 − 2 x − 6 − 2 ≤ x ≤ 0
G ( x) =  24
.
 x + 5x − 6 0 < x ≤ 2
 4
CÁLCULO DE PRIMITIVAS
2
10. Sea la función f ( x) = xe 2 x se verifica que:
1
a. F ( x) = e 2 x + 7 es una primitiva de f (x) ya que F ' ( x) = f ( x) .
2
1
2
x
2 x2
b. ∫ f ( x)dx = e 2 x + C
4
c.
∫ f ( x)dx = 4 e
+C
2
x −1
es una función primitiva de f ( x) = 2
en el intervalo [2,5].
x +1
x −1
(a) Falso, pues como F(x)=ln(x-1)-ln(x+1) entonces F’(x)≠f(x).
11. La función F ( x) = ln
(b) Falso, F no puede ser la primitiva de f en [2,5] porque F no es derivable en [2,5] pues no es
continua en dicho intervalo.
(c) Verdadero, pues la integral indefinida de f es
2
1 
 1
dx = ∫ 
−
dx =
−1
 x −1 x +1
x −1
= ln( x − 1) − ln( x + 1) + C = ln
+ C.
x +1
∫ f ( x)dx = ∫ x
12. Dada la integral
∫ sen x cos
2
3
2
xdx se verifica que
sen3 x sen5 x
−
+C
3
5
(a) Verdadero, pues efectuando el cambio de variable t = sen( x) se verifica que dt = cos( x)dx y por
dt
tanto despejando dx se tiene que dx =
por lo que
cos( x)
2
3
∫ sen x cos xdx =
2
3
2
2
2
4
∫ sen x cos xdx = ∫ t (1 − t )dt = ∫ (t − t )dt =
t3 t5
sen3 x sen5 x
− +C =
−
+C
3 5
3
5
2
3
(b) Falso, pues la función f ( x) = sen x cos x no tiene primitivas ya que se trata de una función no
integrable.
(c) Falso, pues aplicando el método de descomposición por partes, si tomamos por
u
2
sen
=
xcos 2 x y por dv cos xdx se obtiene que du = 2
∫ sen x cos
2
3
xdx
= ( sen 2 x cos 2 x)( senx) − ∫ 2senx
cos x
dx y v=sen(x) por tanto
senx
cos x
dx
=
senx
xdx ( sen3 x cos 2 x) − 2 senx + C
= ( sen3 x cos 2 x) − 2 ∫ cos
=
≠
sen3 x sen5 x
−
+C
3
5
13. Se verifica que
3
∫ cos xdx = sen( x) −
sen 3 ( x)
+ C.
3
,
 sen3 ( x)

3sen 2 x
(a) Falso, ya que  −
+ sen( x)  = −
+ cos( x) = − sen 2 x + cos x ≠ cos3 x.
3
3


3
(b) Falso, pues cos ( x) no tiene primitivas.
(c) Verdadero, pues efectuando el cambio de variable t = sen( x), dt = cos( x)dx y teniendo en
cuenta que sen 2 x + cos 2 x = 1 entonces
t3
sen 3 ( x)
3
2
∫ cos xdx = ∫ (1 − t )(dt ) = t − 3 + C = sen( x) − 3 + C
INTEGRALES IMPROPIAS
1
1− x
, entonces se verifica que ∫ f ( x)dx es convergente.
0
x
11− x
(a) Verdadero, puesto que ∫
dx = β (0, 2) , y por tanto es convergente.
0
x
11
1
1− x 1
(b) Falso, ya que
=
− 1 y como ∫ (−1)dx es convergente y ∫ dx es divergente,
0 x
0
x
x
14. Dada la función f ( x) =
entonces resulta que la integral de la suma es divergente.
( x) ln( x) − x es una primitiva de f en (0,1], y como
(c) Falso, la función F=
entonces la integral dada es divergente.
1− x
≥ 1 − x ≥ 0 , y como la integral
x
11− x
1
∫0 (1 − x)dx es convergente, por el criterio de comparación se tiene que ∫0 x dx es
(d) Verdadero, pues para todo x ∈ (0,1] se verifica que
convergente.
x
15. Sea f(x) una función continua en [0, ∞) tal que para todo x ≥ 0 se cumple: 0 < f ( x) ≤ e
Entonces podemos asegurar que la integral I =
(a) Verdadero, pues como
∫
∞
0
ex
dx es divergente.
f ( x)
ex
ex
≥ 1 entonces, si existe, lim
≥ 1 y por tanto distinto de cero;
x →∞ f ( x )
f ( x)
por ello la integral es divergente.
(b) Falso, pues si f ( x) = 1 entonces
∫
∞
0
∞
ex
dx =
e x dx =
Γ(1) =
1.
∫
0
f ( x)
(c) Verdadero, pues si f ( x) = e entonces
x
∫
∞
0
∞
ex
dx = ∫ 1dx y esta integral es divergente.
0
f ( x)
16. Sea f(x) una función acotada e integrable en [1,b] para todo b≥1 tal que lim f ( x) = 0 . Entonces
x →∞
∫
∞
1
f ( x)dx es convergente.
(a) Verdadero, pues se cumple la condición necesaria de convergencia.
(b) Falso, pues f ( x) =
1
verifica las hipótesis del enunciado y sin embargo
no es
x
convergente.
(c) Falso, pues f ( x) =
1
verifica las hipótesis del enunciado y sin embargo
x4
no es
convergente.
(d) Falso, aunque sería cierto si lim F (b) < ∞ siendo F(x) una primitiva de f(x) en [1,b] para
b →∞
todo b≥1.
2
3
dx = .
3
−1 x
4
∫
17. La integral I =
2
2
= 0 , entonces I es convergente
x →∞ x 3
a. Verdadero, pues como lim
b. Verdadero, pues
−1 −1
3
2
1
1
−
= − +1 = .
I = ∫ 3 dx = − 2  =
−1 x
4
1
4
4
x  −1
2
c. Falso, f ( x) = 3 no es una función acotada en [-1,2], al no estar definida en x=0 (x=0 es
x
2
2
una asíntota vertical de f(x)). Así, I es una integral impropia que puede escribirse como
2 2
2
dx + ∫ 3 dx
3
0 x
−1 x
I =∫
0
y como estas dos integrales son divergentes, I también es divergente.
∫
18. La integral I =
∞
0
xe − x dx es convergente.
a. Verdadero, pues F ( x) = −( x + 1)e − x es una primitiva de f ( x) = x ⋅ e − x en (0, ∞) y
− ( x + 1)
−1
= lim x = 0.
x
x
→
∞
e
e
b. Verdadero, pues I = Γ(2) = 1!= 1.
c. Falso, ya que lim xe − x = 1 ≠ 0 y, por tanto, no cumple la condición necesaria de
lim F ( x) = lim
x →∞
x →∞
x →∞
convergencia.
APLICACIONES. CÁLCULO DE AREAS
19. Determinar qué integral o integrales definidas habría que calcular para obtener el área limitada por
las curvas y=2x, x=2 e y=2/x tal y como se muestra en la siguiente figura:
(a)
1
∫ 2 xdx + ∫
0
2
1
2
dx
x
y
1
(b)
∫ (2 − 2 )dy + ∫
(c)
∫
0
2
1
2
( − 2 y )dy
y
2 2
y
(1 − )dy + ∫ dx
0
1 x
2
2
20. Determinar qué integral o integrales definidas habría que calcular para obtener el área limitada por
2
2
las curvas y = − x , y = x + 2 , x = -1 y x = 1 / 2
(a)
1/ 2
∫
−1
3
(b)
∫
(c)
∫−1
−1
tal y como se muestra en la siguiente figura:
(2 x 2 + 2)dx
( 2 − y − − y )dy
1/ 2
0
0
1
( x 2 + 2)dx + ∫−1 (− − y − (−1))dy + ∫−1/ 4 ( − − y )dy
2
21. Sea el área limitada por las curvas y = 9,
continuación:
y = 6 x − x 2 , x = 0,
y = x tal y como se muestra a
Determina qué integrales definidas habría que calcular para obtener el área sombreada y delimitada
por estas curvas:
a.
b.
c.
5
∫3 (9 − (6 x − x
9
2
5
9
))dx + ∫5 (9 − x)dx
∫0 (9 − x)dx − ∫0 (6 x − x − x)dx
9
5
2
∫3 (9 − x)dx − ∫3 (6 x − x − x)dx
2