Integrales o Antiderivada Apuntes de análisis y cálculo

Integrales o Antiderivada
Apuntes de análisis y cálculo
Introducción
Consideraremos una función real continua y derivable y = f(x) positiva y acotada, definida en
el intervalo cerrado [a, b], entonces:
f  F x 
'
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (los límites de integración), al área
de la porción de plano limitada por la gráfica de la función (figura 1), el eje X y las rectas
paralelas x = a y x = b.
Figura 1.
Si f es derivable entonces su derivada existe. Esta ultima se puede diferenciar y existe una
operación inversa a la diferenciación que se denomina antiderivada o integración. Así una
función es integrable en un intervalo I si es diferenciable en ese intervalo.
Sea entonces
dy
dx
 f
'
y  f  x  diferenciable (o derivable) entonces y '  f '  x  o equivalentemente
 x  de donde
dy  f
y la integración denotado por el símbolo
'
 x  dx
dy: diferencial de y en términos de x
dx: diferenciación
, son operaciones inversas y se tiene que:

 dy   f  x  dx
'
y 

f
'
de donde
 x  dx
Considerando el lado derecho de la igualdad y teniendo presente que la derivación e integración
son operaciones inversas, se tiene que:
y 
 f  x  dx  f  x 
'
Así entonces:
 f  x dx
Ejemplo:
 F x   F
'
x   f x 
f  x   sen x
f
'
 x   cos
dy
x
pero
y  sen x,
luego
 cos x
dx
dy  cos x dx
y
 cos
x dx
y  sen x  f  x 
Suma de Riemann
Una forma de encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), entre el eje x y
las rectas que pasan por los puntos x = a y x = b, que son paralelas al eje “y”, es dividir el
intervalo [a, b] en n partes.
Figura 2.
Figura 3.
Denotándose la longitud de la primera parte como x1, la segunda como x2, y así sucesivamente
hasta la última, xn. En cada parte se elegen los números x1, x2, ..., xn, y se escribe la suma
Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 2.
Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se encontrará Sn al área S
(figura 3). Si se considera una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes
cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S. Suponiendo no sólo que n crece
indefinidamente, sino también que xi tiende a cero. Así:
Tipos de aproximación de la integral
Suma inferior de Riemann (punto izquierdo): se toma como valor i el límite inferior del
subintervalo, es decir, i -1. Gráficamente:
Suma superior de Riemann (punto derecho): se toma como valor i el límite superior del
subintervalo, es decir, i. Gráficamente:
Suma de Riemnan (punto medio): se toma como valor i el punto medio entre los límites del
subintervalo, es decir, (i -1 + i) / 2. Gráficamente:
Integral definida
El límite anterior se llama integral definida o integral de Riemann de la función f (x) en el
intervalo [a, b], y se nota por:
La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite
inferior, y b, el límite superior.
Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal
Sea f integrable y continua sobre el intervalo [a, b] entonces:
F x   f x 
'
o
d  x

  f  x  dx   f  x 
a


dx
luego F es derivable en “x”, y:
Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal
Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la
integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un
enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
La diferencia se acostumbra a escribirse así:
Ejemplo:
La igualdad
muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y
Leibnitz,
Propiedades de la integral definida
Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:
1.
2.
3.
, siendo c una constante
4.
5.
, cuando a < c < b
6. Primer teorema del valor medio:
, para al menos un valor x = x0 entre a y b.
7.
Si , se verifica .
Integrales indefinidas; técnica de integración.
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), se donde f (x) es la
primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única. Todas
las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una
constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo
Propiedades de la integral indefinida
d
1º
dx
d
 f  x dx  
 f  x dx  
d
2º
 dx  f  x  dx
3º
 a f  x  dx
4º
  f x 
Ejemplo:
f x 
f  x dx
 F x   C
 a  f  x  dx
 g  x  dx 
 f  x  dx
caso part icular
a:cte . R

 g x 
 dx
 xC

  8 x
3
6 x 
1 
3
1 2
 dx  8  x dx  6  x dx 
2
x 
 8
x
4
6
4
 2x  4x
4
x
3 2
3 2

x
1
c
x
TABLA DE INTEGRALES
1

3 2
x
1
c
2
dx