ANÁLISIS MATEMÁTICO II – 1er

---------------- ANÁLISIS MATEMÁTICO II – 2do.CUATRIMESTRE DE 2007 ---------------Prof. Gastón Argeri
Unidad 1: Aplicaciones de la integral definida.
Volumen de sólidos de revolución
Definición: Sólidos X-proyectables. Sólidos Y-proyectables.
MÉTODO 1
Este método se aplica en los dos casos siguientes.
[*]Sólido X-proy. alrededor de eje paralelo al eje X :







Integrar respecto de x .
Intervalo de integración es la X-proyección de la región, en orden creciente de valores de x.
R  ( x, y) : a  x  b  f ( x)  y  g ( x)
Eje de rotación horizontal E : y  c (O sea paralelo al eje X).
Fórmula:
b
  R( x) 2  r ( x) 2 dx
(1)
a


Radio mayor = R( x)  máx g( x)  c , f ( x)  c
Radio menor = r( x)  mín g ( x)  c ,

f ( x)  c 
[**]Sólido Y-proy. alrededor de eje paralelo al eje Y:





Integrar respecto de y .
Intervalo de integración es la Y-proyección de la región, en orden creciente de valores de y.
R  ( x, y) : a  y  b  f ( y)  x  g ( y)
Eje de rotación vertical E : x  c (O sea paralelo al eje Y).
Fórmula:
b
(2)
  R( y) 2  r ( y) 2 dy
a




Radio mayor = R( y)  máx g( y)  c , f ( y)  c
Radio menor = r( y)  mín g ( y)  c ,

f ( y)  c 
NOTA: Si la región no responde a [*] ni a [**], separarla en subregiones convenientemente de
modo que cada subregión responda a alguno de estos dos casos. O quizás pueda convenir el
método 2.
ATENCIÓN: Plantear significa utilizar la fórmula adecuada, reemplazar a, b, f , g , c como
corresponda y deshacerse de las barras de valor absoluto. No se requiere el cálculo explícito de la/s
integral/es involucrada/s. Es decir, este ejercicio no intenta evaluar métodos de integración (Pero sí
evalúa propiedades de la integral definida). Se requiere interpretar gráficamente los radios mayor y
menor en el método 1 como también ser capaz de construir sumas de Riemann aproximadotas.
EJEMPLOS DE CLASE

Plantear mediante integrales el volumen de los sólidos limitados por las curvas dadas alrededor de
los ejes E1 : y  0 ; E2 : y  4 ; E3 : y  5 ; E4 : y  1
1) y  3 ( x  2) 2
; y 3
2) y  4x  x 2 ; y  0
( E 2 ejercicio).
3) y  4x  x 2 ;
( E3 ejercicio).
yx
4) y  4x  x 2 ; y  3 ( x  2) 2
( E 2 ejercicio).
5) y  3  2x  x 2
; y  3 x 1
6) y  4  2 x  2
( E 2 ejercicio).

; 2x  3 y  0
( E3 ejercicio).
Plantear mediante integrales el volumen de los sólidos limitados por las curvas dadas alrededor de
los ejes E1 : x  0 ; E2 : x  1 ; E3 : x  4
1) x  y 2
2) x  y  2
; 4( x  3)  y 2
3) x  4 y  y 2
;
x4 y
5) x  4  y 2
;
x3 ;
4) x  4 y  y 2
; x  3  y 1
; x  1    y  2
2
x y2
MÉTODO II
Este método se aplica en los dos casos siguientes.
[º]Sólido X-proy. alrededor de eje paralelo al eje Y :





Integrar respecto de X.
Intervalo de integración es la X-proyección de la región, en orden creciente de valores de x.
R  ( x, y) : a  x  b  f ( x)  y  g ( x)
Eje de rotación vertical E : x  c (O sea eje paralelo al eje Y)
Fórmula:
2

b
a
g ( x)  f ( x) . x  c dx
(3)
[ºº]Sólido Y-proy. alrededor de eje paralelo al eje X:



Integrar respecto de Y.
Intervalo de integración es la Y-proyección de la región, en orden creciente de valores de y.
R  ( x, y) : a  y  b  f ( y)  x  g ( y)


Eje de rotación horizontal E : y  c (O sea eje paralelo al eje X)
Fórmula:
b
(4)
2  g ( y)  f ( y) . y  c dy
a
NOTA: Si la región no responde a [º] ni a [ºº], separarla en subregiones convenientemente de
modo que cada subregión responda a alguno de estos dos casos. O quizás pueda convenir el
método 1. Otra opción es calcular volúmenes por diferencia de volúmenes (no lo aconsejo,
salvo en casos muy claros).
EJEMPLOS DE CLASE

Plantear mediante integrales el volumen de los sólidos limitados por las curvas dadas alrededor de
los ejes indicados.
1) y  sen x ;
y  0 ; 0  x  2
2) y  sen x ;
y 1 ; 0  x  
3) y  ( x  1) 2
;
4) y  4  x

2
x2
y 1 
4
;
;
y  5  ( x  2) 2
;
E:x 0
;
E :x 
; E1 : x  3 ; E2 : x  0 ; E3 : x  1
E :x  2
Plantear mediante integrales el volumen de los sólidos limitados por las curvas dadas alrededor de
los ejes indicados.
1) x  ( y  1) 2
;
y  x  3 ; E : y  2
2) x  y  3 ;
x 1  y2
; x0 ;
y  2 ; E : y  3
Valor medio de una función en un intervalo
Sabemos hallar el promedio de n números reales x1 , , x n
x
x1    x n 1 n
  xi
n
n i 1
f
Consideremos una función [a, b] 

R Queremos darle algún sentido a promediar los valores de una
tal función en [a, b] . Se nos presenta el siguiente problema: f toma una cantidad infinita de valores en
dicho intervalo y no sabemos promediar infinitos valores! Sin embargo, podemos aproximar la función
f mediante funciones “simples” que sólo tomen una cantidad finita de valores distintos. Si f es
suficientemente “buena”, digamos continua en [a, b] , y si consideramos una partición suficientemente
fina (norma pequeña) de [a, b] , sobre cada subintervalo f variará poco, de modo que será razonable
aproximarla en cada uno de ellos mediante una función constante allí con valor igual a algún valor de f
en ese subintervalo. Formalizando esto:
Sea P : a  xo  x1  xn  b una partición de [a, b] . Sean c1  c2  cn
puntos tales que x j 1  c j  x j (1  j  n) . Aproximaremos los valores de f en el subintervalo
[ x j 1 , x j ] mediante el valor f (c j ) . Podemos entonces promediar la cantidad finita de valores
f (c1 ) ,, f (cn )
f (c1 )    f (c n )
n
Si la partición considerada es regular, sabemos que P   j x 
ba
ba
de modo que n 
Esto
n
jx
permite reescribir:
f (c1 )    f (cn )
1
 f (c1 )    f (cn )  j x  1

n
ba
ba
n
 f (c
j 1
j
)  j x (*)
Observemos que esto expresa las aproximaciones al valor medio de f en [a, b] mediante las sumas de
Riemann (*). Si f es continua en [a, b] resultará:
f (c1 )    f (cn )
1

n
ba
n
 f (c
j 1
j
)  j x 

P 0
1
ba

b
a
f ( x) dx
Se define entonces el valor medio de f en [a, b] como:
f
Comentario: Hasta ahora no hemos probado que f
b
a
b
a

1
ba

b
a
f ( x) dx
sea valor de f . Pero por el teorema del valor
medio para integrales, siendo f continua en [a, b] sabemos que existe al menos un punto c  [a, b] tal
que
1
ba

b
a
f ( x) dx  f (c)
Por lo tanto: f a  f (c ) . Esto muestra que para funciones continuas en el intervalo considerado, el
valor medio es efectivamente valor de la función.
b
Trabajo de una fuerza bajo trayectoria rectilínea
Convención: Supondremos que una partícula se desplaza sobre el eje X. Si en el instante t  t i se
encuentra en el punto de coordenada x  xi y en el instante posterior t  t f se encuentra en el punto de
coordenada x  x f , decimos que el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [t i , t f ] ha
sido x  x f  xi
Observen que x  0 sii la partícula termina a la derecha de su posición inicial, x  0 sii la partícula
termina en el mismo lugar donde comenzó, x  0 sii la partícula termina a la izquierda de su posición

inicial. Podemos resumir esto tratando al desplazamiento como un vector x con extremo inicial en x i
y extremo final en x f .

Supongamos que actúa una fuerza F sobre la partícula, a lo largo de su trayectoria.


Fuerza constante: Si la fuerza F es constante (en dirección, sentido y módulo) se define el


trabajo realizado por F sobre la partícula para el desplazamiento x como el producto escalar:




T  F  x  F . x . cos


Siendo  el ángulo entre F y x . Siempre: 0    



En particular, cuando F y x son perpendiculares es T  0 . Cuando F es
paralela al eje X podemos anotar:




F  F i ; x  x i
(donde F y x pueden tener cualquier signo), entonces T  F . x



Fuerza variable: Supongamos que F  F ( x) i , es decir que la fuerza sobre la partícula es
paralela al eje X y depende de la posición de la partícula. Si subdividimos el intervalo [ xi , x f ] en
una cantidad grande de subintervalos, sobre cada uno de ellos la fuerza puede considerarse
aproximadamente constante. Formalizando:
Sea P : xi  xo  x1    xn  x f una partición de [ xi , x f ] . Consideremos
puntos de evaluación c j  [ x j 1 , x j ] , 1  j  n . Aproximamos F en [ x j 1 , x j ]

por F (c j ) . Entonces el trabajo realizado por F sobre la partícula para el
desplazamiento dado resulta aproximadamente:
n
T   F (c j ) .  j x
j 1
La suma anterior es claramente una suma de Riemann de F en [ xi , x f ] .
Suponiendo F continua en [ xi , x f ] se tiene:
n
 F (c
j 1
j
) .  j x 
 
P 0
xf
xi
F ( x) dx

Por lo tanto, se define el trabajo realizado por F sobre la partícula para el
desplazamiento dado, como:
xf
T   F ( x) dx
xi
Volumen de un sólido por secciones transversales
Consideremos un sólido S y un eje coordenado que llamaremos eje X. Supongamos que el sólido S es
acotado, de modo que queda completamente contenido en cierto cubo, dos de cuyas caras son
perpendiculares al eje X y pasan por los puntos de coordenadas x  a y x  b . Imaginemos que se corta
el sólido con planos perpendiculares al eje X. En general el corte produce una región plana denominada
sección de S transversal al eje X, que designaremos Rx y cuya forma y en particular su área dependen
del plano de corte. Podemos afirmar que para cada x fijo por donde se hace pasar el plano de corte, el
área de la sección correspondiente es única y supondremos que es finita. De este modo obtenemos una
función A : [a, b]  [0.) tal que para cada x fijo, con a  x  b , A(x) da el valor exacto del área de
Rx .
Supongamos además que esta función A(x) es integrable en [a, b] . Esto sucede por ejemplo cuando es
una función continua en [a, b] . Para calcular el volumen de S podemos comenzar “rebanándolo” en
fetitas mediante cierta cantidad de cortes transversales al eje X. Cada fetita queda determinada
conociendo las coordenadas de los dos planos que al limitan lateralmente. Por lo tanto, el proceso de
rebanar equivale a considerar una partición del intervalo [a, b] :
Sea P : a  xo  x1    xn  b una partición de [a, b] . Llamemos S j a la porción (fetita) de S
comprendida entre los planos perpendiculares al eje X que pasan por x  x j 1 y x  x j Entonces:
n
V ( S )  V ( S j )
j 1
Dado que calcular en forma exacta V (S j ) es tan difícil como calcular exactamente V (S ) , simplemente
aproximaremos V (S j ) mediante el volumen de un cilindro recto (no necesariamente circular). Para ello
determinamos puntos c j  [ x j 1 , x j ] , uno en cada subintervalo de la partición, realizamos el corte de S
mediante un plano perpendicular al eje X que pase por el punto de coordenada x  c j , lo que produce
una región R j de área A(c j ) . Construimos el cilindro C j de bases paralelas a R j , de generatrices
paralelas al eje X, y nos quedamos con la porción comprendida entre los planos x  x j 1 y x  x j .
Cuanto más pequeña la norma de la partición, mejor aproximará V (C j ) el valor de V (S j ) , de modo que
es razonable aproximar:
V (S )  V (S j )  V (C j )   A(c j ) x j  x j 1    A(c j )  j x
n
n
n
n
j 1
j 1
j 1
j 1
(*)
Como supusimos que A(x) es integrable en [a, b] y dado que (*) es una suma de Riemann de A(x) en
dicho intervalo, esto significa que cuando P  0 , las aproximaciones (*) mejorarán tanto como se
quiera y tenderán precisamente al valor

b
a
A( x) dx . Resulta entonces natural definir el volumen de S como:
b
V ( S )   A( x) dx
a
Observen que este método es más general que cualquiera de los vistos cuando discutimos volumen de un
sólido de revolución, dado que acá las secciones Rx pueden ser de forma arbitraria, en tanto que para
sólidos de revolución, si los seccionamos perpendicularmente al eje de revolución, se generan regiones
tipo “anillos concéntricos”.
Este método parece más sencillo que el de sólidos de revolución y de hecho en general lo es si
disponemos de la función A(x) . En ciertos problemas hallar una expresión para A(x) no tiene porqué
ser sencillo.
Longitud de arco de una curva plana
Sea f : [a, b]  R una función diferenciable con continuidad en [a, b] . La gráfica de f es un arco de
curva que anotaremos  ab , con extremos en los puntos A(a, f (a)) y B(b, f (b)) . Queremos calcular la
longitud Lba del arco  ab . Naturalmente surge un problema de aproximación: Podemos considerar sobre
 ab una gran cantidad de puntos consecutivos (abscisas crecientes) y unir cada uno con el siguiente
mediante un segmento de recta. Esto da lugar a una línea poligonal de extremos A y B , cuya longitud
es aproximadamente Lba
La intuición nos dice que cuanto más cercanos unos de otros estén los puntos tomados sobre  ab , mejor
será el grado de aproximación.
Para elegir tales puntos, basta elegir sus abscisas, que intuitivamente formarán una partición de [a, b] .
Sea entonces P : a  xo  x1    xn  b una partición de [a, b]
Consideremos los puntos Pj ( x j , f ( x j )) , para j  0,1,, n . Observen que Po  A y Pn  B . La
longitud de la poligonal que determinan es:
 x
n
j 1
n

j 1
 x j 1    f ( x j )  f x j 1   
2
j
n
2
x
j 1
 f ( x j )  f ( x j 1 ) 
1 

x j  x j 1


2
 x j 1 
2
j
  f ( x j )  f x j 1 2 
1 

x j  x j 1 2 

. x j  x j 1 
En virtud del teorema de Lagrange aplicado a f en cada subintervalo [ x j 1 , x j ] sabemos que existe un
punto c j  ( x j 1 , x j ) tal que
f ( x j )  f ( x j 1 )
 f ' (c j )
x j  x j 1
Entonces la longitud de la poligonal en cuestión se reescribe como:
n

j 1

1  f ' (c j )

2
.jx
Esta es una suma de Riemann de la función 1   f ' ( x) . Pero
2
habiendo supuesto que f ' es continua en [a, b] resulta 1   f ' ( x) continua en [a, b] , con lo cual es
integrable allí. Esto significa que cuando la norma de la partición tienda a cero, las sumas de Riemann
aproximarán cada vez más a la longitud del arco  ab (tanto como se desee). Resulta pues natural definir:
2
Lba  lim
P 0
n

j 1

1  f ' (c j )

2
.jx
Es decir:
b
L 
b
a
a
1   f ' ( x) 2 dx