ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2◦ PARTE Marı́a Susana Montelar Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura - UNR E XTENSI ÓN DEL S ÍMBOLO INTEGRAL Z a Z b f (x) dx = − a<b b g(x) dx a Z a a=b f (x) dx = 0 a P ROPIEDADES DE LA I NTEGRAL D EFINIDA I NTEGRAL DE UNA CONSTANTE . Dado k ∈ R, cualesquiera sean a, b ∈ R, Z b k dx = k(b − a). a A DITIVIDAD . Si f y g funciones integrables en [a, b], entonces f + g es integrable en [a, b] y Z b Z b (f (x) + g(x)) dx = a Z b f (x) dx + a g(x) dx. a H OMOGENEIDAD Si f es una función integrable en [a, b], entonces kf es integrable en [a, b] y Z b Z b kf (x) dx = k a f (x) dx a P ROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA L INEALIDAD Si f y g son funciones integrables en [a, b] y k1 , k2 ∈ R , entonces k1 f + k2 g es integrable en [a, b] y Z b Z b (k1 f (x) + k2 g(x)) dx = k1 a Z b f (x) dx + k2 a g(x) dx. a A DITIVIDAD RESPECTO DEL INTERVALO DE INTEGRACI ÓN Si f es integrable en [a, b] y [c, d] ⊂ [a, b] entonces f es integrable en [c, d]. Si f es integrable en [a, c] y en [c, b] entonces f es integrable en [a, b]. y en ambos casos, Z b Z c f (x) dx = a Z b f (x) dx + a f (x) dx c Interpretación geométrica: f continua y no negativa en [a, b]. area(R ∪ S) = area(R) + area(S) Z b Z c f (x) dx = a Z b f (x) dx + a f (x) dx c a c b O BSERVACIONES 4 Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces Z b Z b (f (x) − g(x)) dx = a Z b f (x) dx − a g(x) dx a X Todas las propiedades de la integral definida que hemos visto, son válidas si a > b. 4 La propiedad de Aditividad respecto al intervalo de integración es válida independientemente del orden entre a, b y c Interpretación geométrica para el caso f continua y no negativa en I, a, b, c ∈ I, c < b < a area(R ∪ S) = area(R) + area(S) Z a Z b Z a f (x) dx f (x) dx + f (x) dx = c b c Z a Z b f (x) dx = − b Z a f (x) dx + c Z b − Z b f (x) dx = − a Z b Z b f (x) dx − c Z c f (x) dx = a f (x) dx c Z b f (x) dx + a f (x) dx a f (x) dx c c b a E JERCICIOS Aplicar las propiedades de la integral definida, para calcular las siguientes integrales. Z 2 7 dx = 7(2 − 5) = −21 5 Z 0 (7 − 2x) dx 2 Z 2 |x − 1| dx −2 Z −2 1 (x2 − 2x) dx P ROPIEDADES DE COMPARACI ÓN Sean f y g funciones integrables en [a, b] Z b 1 Si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces f (x) dx ≥ 0 a Z b 2 Z b f (x) dx ≤ (Monotonı́a) Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces a 3 Si m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces Z b f (x) dx ≤ M (b − a) m(b − a) ≤ a 4 |f (x)| es integrable en [a, b] y Z b Z b f (x) dx ≤ a |f (x)| dx a f (x) dx a T EOREMA DEL VALOR M EDIO DEL C ALCULO I NTEGRAL Sea f continua en un intervalo I y a, b ∈ I. Entonces existe al menos un c entre a y b, de manera que: Z b f (x) dx = f (c)(b − a) a Interpretación Geométrica: f ≥ 0 en I, a < b R a c b S recinto de ordenadas de f R rectángulo de base (b − a) y altura f (c), donde c ∈ [a, b] es tal que area(S) = area(R) es decir: Z b f (x) dx = f (c)(b − a) a T EOREMA DEL VALOR M EDIO DEL C ALCULO I NTEGRAL Demostración: 1o caso a < b.- Como f es continua en el intervalo cerrado [a, b], alcanza su máximo y su mı́nimo en [a, b], es decir, existen α y β en [a, b] tales que, para todo a ∈ [a, b] f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) Z b f (α)(b−a) ≤ f (x) dx ≤ f (β)(b−a) a aplicando Prop. de Orden 3 f (α) ≤ se divide por (b − a) 1 b−a f continua en [a, b], por TVI existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = multiplicando por (b − a) Z b Z b f (x) dx ≤ f (β) a 1 b−a Z b f (x) dx a f (x) dx = f (c)(b − a) a 2o caso a > b.Z b Z a f (x) dx = − a b f (x) dx = −f (c)(a − b) = f (c)(b − a) |{z} (∗) (∗)Aplicando el 1o caso al intervalo [b, a] 3o caso a = b.- Z b a | f (x) dx = f (c)(b − a) | {z } {z } =0 =0 T EOREMA F UNDAMENTAL DEL C ALCULO I NTEGRAL CALCULO DIFERENCIAL CALCULO INTEGRAL Pb. de la recta tangente Pb. del área ISAAC BARROW (1630 - 1677) DESARROLLO DEL CALCULO INTEGRAL ISAAC NEWTON (1642-1724) GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716) D EFINICI ÓN : F UNCI ÓN I NTEGRAL Sea f integrable en [a, b] y c ∈ [a, b] , se llama función integral a: g : [a, b] −→ R tal que Z x f (t) dt g(x) = c Observaciones: la función g está bien definida Interpretación Gráfica f continua y no negativa en [a, b] Si c < x < b, Z x g(x) = f (t) dt = area(S) c Si a < x < c, Z x g(x) = f (t) dt = −area(R) c a x c x b Ejemplo : Sea f : [0, 2] → R tal que f (x) = 2 si 0≤x≤1 1 si 1<x≤2 Z x Z x f (t) dt y h(x) = Se definen las funciones g(x) = 0 g(t) dt 0 Probar que están bien definidad, encontrar la ley, y trazar la gráficas de cada una de ellas. Analizar continuidad y derivabilidad. T EOREMA F UNDAMENTAL DEL C ALCULO I NTEGRAL P RIMERA PARTE - V ERSI ÓN FUERTE Z x Sea f es integrable en [a, b] y g(x) = f (t) dt. Entonces a a) g es continua en [a, b]. b) Si f es continua en [a, b] entonces g es derivable en (a, b) y además para todo x ∈ (a, b) g 0 (x) = f (x) P RIMERA PARTE - V ERSI ÓN D ÉBIL Z x Si f es continua en [a, b] y g(x) = y además para todo x ∈ (a, b) f (t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b) a g 0 (x) = f (x) S EGUNDA PARTE - R EGLA DE BARROW Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces Z b f (x) dx = P (b) − P (a). a TFCI - P RIMERA PARTE Z x Si f es continua en [a, b] y g(x) = y además para todo x ∈ (a, b) f (t) dt, entonces g es continua en [a, b] y derivable en (a, b) a g 0 (x) = f (x) Demostración: ¶ Primero vamos a demostrar que g es una función derivable en (a, b) Sea x ∈ (a, b) y h 6= 0 tal que x + h ∈ (a, b). Z x+h Z x 1 1 g(x + h) − g(x) f (x)dx − f (x) = = (g(x + h) − g(x)) = h h h a a Z x+h Z a Z 1 1 x+h = f (x)dx + f (x) = f (x)dx = |{z} h |{z} h x a x (1) (2) 1 = f (c)(x + h − x) = f (c). |{z} h (3) (1)y (2) Propiedades de la integral definida. (3) Como f es continua en (a, b) y x, x + h ∈ (a, b), por el teor. del valor medio del CI, existe c está entre x y x+h Demostración (continuación): g(x + h) − g(x) = f (c) Luego: h Observemos que |x − c| < |h|, luego c −→ x cuando h −→ 0 y como f es continua en x ∈ (a, b), lı́m f (c) = f (x). c→x Por lo tanto lı́m h→0 g(x + h) − g(x) = lı́m f (c) = f (x) h→0 h Luego, g es derivable en (a, b) y g 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) · Como g es derivable en (a, b) resulta que g es continua en (a, b), vamos a probar que g es continua por derecha en x = a y por izquierda en x = b. Recordemos que lı́mx→a g(x) = g(a) ⇔ lı́mh→0 (g(a + h) − g(a)) = 0 Sea h > 0, R g(a + h) − g(a) = aa+h f (x)dx = f (c) · h con c ∈ [a, a + h], por lo tanto lı́m (g(a + h) − g(a)) = lı́m f (c) · h = f (x) · 0 = 0 h→0 es decir, g es continua por derecha en x = a. h→0 Demostración (continuación): Sea h < 0, g(b + h) − g(b) = · · · Ejercicio: completar la demostración del teorema, probando que g es continua por izquierda en x = b. ...................................... Por lo tanto resulta que g es continua en [a, b]. O BSERVACIONES f es una antiderivada (o primitiva )de g en (a, b). Por lo tanto las funciones continuas en en un intervalo I admiten primitiva en dicho indervalo. Z x d f (t) dt = f (x) para todo x ∈ (a, b) dx a TFCI - S EGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW Si f es continua en [a, b] y P una primitiva de f en [a, b], entonces Z b f (x) dx = P (b) − P (a). a Demostración: Por el TFCI-1o , sabemos que la función g(x) = Z x f (t) dt es una primitiva de f en (a, b), y a como P es también una primitiva de f en [a, b], aplicando el teorema ......., resulta que existe C ∈ R tal que P (x) = g(x) + C, ∀x ∈ (a, b) Si bien esta igualdad es válida en (a, b), las funciones P y g son continuas en [a, b], por lo tanto P (a) = lı́m P (x) = lı́m (g(x) + C) = g(a) + C (1) P (b) = lı́m P (x) = lı́m (g(x) + C) = g(b) + C (2) x→a+ x→b− x→a+ x→b− Teniendo en cuenta (1) y reemplazando g por su ley, resulta Z a f (t) dt + C = C P (a) = =⇒ C = P (a) a Por lo tanto teniendo en cuenta (2) Z b P (b) = f (t) dt + P (a) a como querı́amos demostrar. Z b f (t) dt = P (b) − P (a) =⇒ a O BSERVACIONES Notación: Si f es continua en [a, b] y P es una primitiva de f en [a, b] Z b a b f (x) dx = P (x) a = P (b) − P (a) Obviamente esto vale independientemente del orden entre a y b, es decir, si f es continua en un intervalo I, P es una primitiva de f en I y a, b ∈ I, entonces Z b a Ejemplos b f (x) dx = P (x) a = P (b) − P (a) REGLA DE SUSTITUCI ÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Sea g una función cuya derivada, g 0 , es continua en el intervalo I, y f una función continua en el intervalo J = g(I). Entonces, cualesquiera sean a, b ∈ J, Z b f (g(x))g 0 (x) dx = Z g(b) f (t) dt a g(a) Demostración Sea P una primitiva de f en J y g(a), g(b) ∈ J, entonces Z g(b) g(a) g(b) f (t) dt = P (x) g(a) = P (g(b)) − P (g(a)). (3) Por otro lado, P ◦ g es una primitiva de f ◦ g en I, por lo tanto Z b a De (3) y (4), resulta Ejemplo Rb b f (g(x))g 0 (x) dx = P (g(x)) a = P (g(b)) − P (g(a)). 0 a f (g(x))g (x) dx = R g(b) g(a) f (t) dt como querı́amos demostrar. (4) REGLA DE INTEGRACI ÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS Sean f y g funciones cuyas derivadas son continuas en un intervalo I. Entonces, cualesquiera sean a, b ∈ I, Z b Z b b f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x)) a − f 0 (x)g(x) dx a a Demostración f g es una primitiva de f g 0 + f 0 g en I, y f g 0 + f 0 g es continua en I, por lo tanto Z b a b f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) dx = f (x)g(x)) a Teniendo en cuenta que Z b f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) dx = Z b a Z b f 0 (x)g(x) dx a b f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x)) a − como querı́amos demostrar. Ejemplos f (x)g 0 (x) dx + a a Resulta Z b Z b a f 0 (x)g(x) dx