Departamento de Matemáticas. CÁLCULO III (OTOÑO 2016) TAREA 2 (CONTROL 6) Instrucciones: - Conteste las tres preguntas. - Justifique todo. 1.- [20 ptos.] Sea {fi }i∈N P una sucesión de funciones integrables en un rectángulo R tales que F = i∈N fi resulta ser una función acotada. ¿Será F integrable en R? Si su respuesta es afirmativa, demuéstrelo. Si su respuesta es negativa, de un contraejemplo. 2.- [20 ptos.]Sean f1 , f2 : Rn −→ R dos funciones cuyos conjuntos de discontinuidades son A1 y A2 respectivamente. Sea además G : R2 −→ R una función continua. Sea finalmente F = G(f1 , f2 ) : Rn −→ R. Demuestre que si A1 y A2 tienen medida nula, entonces F es integrable. 3.- [20 ptos.]Calcule e invierta el orden de integración de la siguiente integral: Z 0 3 Z −x2 +4x √ dydx 3x Ayuda: x4 − 8x3 + 16x2 − 3x = (x − 3)(x3 − 5x2 + x) “ Creo que lo más importante para que te gusten las matemáticas es tener habilidad y la libertad necesarias para jugar con ellas.” - Terrence Tao. 1