Departamento de Matemáticas.
CÁLCULO III (OTOÑO 2016)
TAREA 2 (CONTROL 6)
Instrucciones:
- Conteste las tres preguntas.
- Justifique todo.
1.- [20 ptos.] Sea {fi }i∈N
P una sucesión de funciones integrables en un rectángulo
R tales que F = i∈N fi resulta ser una función acotada. ¿Será F integrable en R? Si su respuesta es afirmativa, demuéstrelo. Si su respuesta es
negativa, de un contraejemplo.
2.- [20 ptos.]Sean f1 , f2 : Rn −→ R dos funciones cuyos conjuntos de discontinuidades son A1 y A2 respectivamente. Sea además G : R2 −→ R una
función continua. Sea finalmente F = G(f1 , f2 ) : Rn −→ R. Demuestre
que si A1 y A2 tienen medida nula, entonces F es integrable.
3.- [20 ptos.]Calcule e invierta el orden de integración de la siguiente integral:
Z
0
3
Z
−x2 +4x
√
dydx
3x
Ayuda: x4 − 8x3 + 16x2 − 3x = (x − 3)(x3 − 5x2 + x)
“ Creo que lo más importante para que te gusten las matemáticas es tener habilidad
y la libertad necesarias para jugar con ellas.”
- Terrence Tao.
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