Cálculo Diferencial - Parcial No. 2

Cálculo Diferencial - Parcial No. 2
Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes
Marzo 18 de 2010
“Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas
académicas o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de
mis compañeros o de la misma universidad”
Duración: 80 minutos
No está permitido el uso de calculadoras, libros, apuntes, etc
Resolver cada punto en una hoja separada. Todos los puntos valen lo mismo.
Nombre:
Sección:
1. Utilizando la definición de la derivada, demostrar que si y = f (x) =
dy
= f 0 (x) = 2x + 2.
x2 + 2x + 1, entonces dx
2. Encontrar las derivadas de las sigientes funciones:
(a) y = f (x) =
√3x−2
2x+1
(b) y = g(θ) = esin(2θ)
√
(c) y = h(x) = ln(arcsin( x))
2
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva cosh(xy)−ln(x+y 2 ) = 1,
en el punto (0, 1). Compruebe primero que el punto (0, 1) efectivamente
pertenece a la curva.
3
4. Un hombre camina de izquierda a derecha a lo largo de un camino recto
a una velocidad de 1,2 mts/sg. Una linterna ubicada a 6 mts del camino
rota de tal forma que el rayo de luz siempre esta apuntando al hombre.
(a) ¿A que velocidad rota el rayo de luz en el momento en que el hombre
se encuentra a una distancia de 8 mts a la derecha del punto del
camino, más cercano a la linterna? Las unidades de su respuesta
deben ser rad/sg.
(b) ¿A que velocidad aumenta la distancia de la linterna al hombre, en
este mismo momento?
4
Segundo Parcial de Cálculo Diferencial – Sección 21
Tema B
Departamento de Matemáticas
8 de marzo de 2010
Nombre:
Código:
I. [20 puntos] Calcular lo siguiente:
√
1 − 1 − x2
.
a) lı́m
x→0
x
2
+2
b) lı́m x
.
x→−1 x + 1
sin x+cos x
c) La derivada de f (x) = 2 2x
2 +x+1 .
2
d ) La derivada de f (x) = sin ex .
II. [30 puntos] Resuelva los siguientes problemas mostrando todo su trabajo y justificando todas sus respuestas.
a) Una función f está definida del modo siguiente:
(
x2 ,
x≤0
f (x) =
.
ax + b, x > 0
Hallar los valores de a y b de modo que f sea derivable en x = 0.
√
b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 3 2x2 − 2x + 1
en el punto (1, 1).
c) Encuentre las ası́ntotas verticales y horizontales de la gráfica de
f (x) =
1 − 2x
x+2
y úselas para dibujar una gráfica aproximada de f .
1
Departamento de
Matematicas
UNIANDES
Cálculo Diferencial
Parcial 2
Estudiante:
Marcar esta hoja y devolverla con la de procedimiento.
Fecha:
x+3
. Entonces hallar g 0 (x) a partir de la definicion de derivada como limite.
¬ Sea g(x) = − 1−2x
(La derivada obviamente es un cociente pero se pide como limite)
­ Deducir la derivada de y = T g −1 (2x)
® Obtener y 0 en x = 0 si
exy − 2Ln
(x + y)
= y + 2xy
y
o decir si no se puede determinar justificando.
¯ Derivar F (x) si
F (x) =
3Sen(2T g(ex ))(−5−x )
4
y hallar la pendiente de la recta tangente a la curva del punto x = 0
° Hallar los puntos en donde la recta tangente a la curva
x
Y = Sen( )
2
es horizontal.
F
Sept de 2010.
Parcial 2
Cálculo Diferencial
Septiembre 23 de 2010
crg.
1. Derivadas!
a) Derive las siguientes funciones, es decir calcule y 0 .
1) (4 ptos) y = tan2 (x) + 2(1−3x)
2) (3 ptos) y ln(y) = x ln(x)
3) (2 ptos) y x = 2x
b) Muestre que la ecuación dada es verdadera para las siguientes funciones.
1) (2 ptos) Si f (x) = sin(x) + cos(x) entonces
f 00 (x) + f (x) = 0
2) (2 ptos) Si f (x) = ex sin(x) entonces
−f 00 (x) + f 0 (x) − f (x) = −ex cos(x)
2. Considere la siguiente ecuación y 2 − x2 = 1
a) (3 ptos) Calcule los puntos donde la recta tangente es paralela al eje x.
√
b) (3 ptos) Muestre que en el punto ( 3, 2) la recta tangente es perpendicular a la recta
y = − √23 x + √83 .
3. Verdadero o falso: Respuesta sin justificación no será tenida en cuenta a la hora de calificar
a) (2 ptos) Sea f (x) = −|x + 1| + 2. Entonces f (x) no es continua en dos puntos.
sin(2x)
no existe.
x→0 tan(x)
b) (3 ptos) lı́m
4. (6 ptos) Considere la siguiente función
f (x) =
(
−x3 + 2
2ax−b
x+1
si x ≤ 0
si x > 0.
Calcule a y b tal que la función sea diferenciable en x = 0.
crg
1
12-2-2010
Segundo exámen parcial Cálculo Diferenciál.
MATE–1203-19, I semestre de 2010.
Solucionar los siguentes problemas.
1.
(2 puntos)
Por cuales valores del parametro k la función definida por
3
x +1
x>0
f (x) =
−x3 + k
x≤0
es continua? Por tales valores de k es la función tambien diferenciabile? Justificar las respuestas.
2.
(2 puntos)
Derive las funciones:
√
i.) f (x) = log((1 + 1/ 7)99).
x2 + 1
ii.) y = 3
;
x −1
iii.) y = 7xcosx;
1
iv.) y = √x .
x
3.
(1 punto)
Encuentre dy/dx por derivación implı́cita.
p
x3 + y 3 = 1 + xy.
1
4.
(1 punto)
Halle los valores máximo y mı́nimo absolutos de f sobre el intervalo dado.
f (x) = log(x2 + 2x + 1),
2
[0, 2].
Segundo Parcial Cálculo Diferencial
MATE1203 Sección 17
Septiembre 24 de 2010
(Segundo semestre de 2010)
Recuerde que, a menos que se indique expresamente lo contrario, usted debe justificar
plenamente sus respuestas a través de un proceso matemático y/o de castellano escrito
Problemas
1. Considere la función f (x) =
4x
x+1 .
a) Determine la función f 0 (x) a través de lı́mites.
b) Determine la función f 0 (x) a través de propiedades de las derivadas.
2. Determine el valor del lı́mite
sen(θ)
θ→0 θ + tan(θ)
lı́m
3. Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva y = sec2 (x) cuando x = π4 .
4. Determine la derivada de y respecto a x (tan simplificada como sea posible) cuando las variables x
y y están relacionadas por la igualdad
x5 + y 5 + 5x4 y + 5xy 4 + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 = 32.
5. Calcule la derivada de la función
f (x) = ln(
simplificando mientras sea posible.
p
x2 + 1 − x) + senh−1 (x)
Segundo Parcial Cálculo Diferencial
MATE 1203 Sección 08
Marzo 8 de 2010
(Periodo académico: Primer semestre de 2010)
Recuerde que, a menos que se indique expresamente lo contrario, usted debe justificar
plenamente sus respuestas a través de un proceso matemático y/o de castellano escrito
Problemas
1. [4 puntos] Determine los valores de las constantes a y
todos los reales, cuando

ax+b

3
f (x) = x2 + 4x + 4

 ax+b
3
b para los que la función f (x) es continua en
x ≤ −1,
−1 < x < 1,
1 ≤ x.
2. [4 puntos] Determine todas las posibles ası́ntotas de la función
f (x) =
x2 − 3x + 2
.
x4 − 5x2 + 4
3. [4 puntos] Calcule, a través de lı́mites, la derivada de la función f (x) =
4. [4 puntos] Considere la función g(x) = e2+
tes lı́mites:
sen(3x)
x
x+1
.
x2 +1
. Encuentre (con justificación completa) los siguien-
a) [2 puntos] lı́m g(x).
x→0
b) [2 puntos] lı́m g(x).
x→∞
5. [4 puntos] Determine la derivada de la función
sen(x)
x
4
f (x) = tan 2 +
+ cos x
.
x