DATOS CON L´APIZ PASTA (parte superior de la primera hoja

Prueba parcial N◦ 1
Cálculo III. Ing. Civil (2012-1)
Instrucciones: NO HAY CONSULTAS. Sus datos en la parte superior de la primera
hoja deben ser escritos usando lápiz pasta. Responder una pregunta por hoja. Las respuestas sin
desarrollo y/o justificación no dan puntaje. Duración 1.0 hora. Nota=1 +
Las respuestas desordenadas no serán corregidas.
P untaje
10
.
Recordar que en su puesto de trabajo solo debe tener su lápiz (de pasta y/o grafito), formularios
oficiales del curso, goma y calculadora cientı́fica básica. En particular, no se permite el uso de
celulares, hojas extras, formularios personales, etc.
DATOS CON LÁPIZ PASTA (parte superior de la primera hoja):
• Nombre completo:
• Carrera:
• Número de matrı́cula:
• Firma:
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
ACTIVIDADES
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
1. [20 ptos.] Responder en la hoja 1
Considerar la función z = f (x, y), definida por
 2
x (xy − 1) − y 2


si (x, y) 6= (0, 0)

x2 + y 2
f (x, y) =



−1
si (x, y) = (0, 0)
Estudiar su continuidad en el punto (0, 0)
2. [20 ptos.] Responder en la hoja 2
Sea z = 4 − x2 − y 2 la ecuación de una superficie S.
a) (10 ptos.) Encontrar una ecuación del plano tangente a S en el punto (1,1,2).
b) (10 ptos.) Determinar el punto (a, b) en el cual√la derivada direccional de f , en
→
−
la dirección del vector
v = (−1, 2) es igual a 5, y en la dirección del vector
√
→
−
w = (1, 1) es igual 2.
3. [20 ptos.] Responder en la hoja 3
El nivel de producción para cierto fabricante viene dado por la función:
P (x, y) = 100x3/4 y 1/4
donde P representa el número de unidades producidas, x es el número de unidades de
trabajo, a 150 por unidad e y el número de unidades de capital, a 250 por unidad.
Si el costo total, de trabajo y capital, es igual a $50.000, determinar el máximo nivel de
producción para este fabricante.
Instituto de Matemática y Fı́sica
Universidad de Talca