Movimiento armónico - Campus Virtual FFyB

MOVIMIENTO ARMONICO 1
2011
MOVIMIENTO ARMÓNICO
CÁTEDRA DE FÍSICA – FFyB - UBA
CASOS YA VISTOS:
•MRU
F=0; a=0
•MRUV
F=cte; a=cte
Pero que pasa si F es variable… cómo es el movimiento?
VEAMOS UN CASO SENCILLO….
EQUILIBRIO INESTABLE
EQUILIBRIO ESTABLE
EQUILIBRIO NEUTRO
Ep(x)
x
Movimiento periódico: que se repite
EXISTE UNA FUERZA RESTAURADORA
FEDERICO MONCZOR
MOVIMIENTO ARMONICO 1
FUERZA RESTAURADORA: SE OPONE AL DESPLAZAMIENTO
RESPECTO DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
ΔX
PARA DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS
PUEDE ASUMIRSE QUE F ∝ X
SI LA FUERZA RESTAURADORA ES
PROPORCIONAL AL DESPLAZAMIENTO:
MOVIMIENTO ARMÓNICO
1 2
E pot = kx
2
F =−kx
F =−kx
∑ F =ma
−kx =ma
−kx=m⋅
d2 x
dt 2
d2 x k
 ⋅x =0
dt 2 m
x  t = A⋅cosω 0⋅t ϕ 
FEDERICO MONCZOR
ω 0 = k /m
2011
MOVIMIENTO ARMONICO 1
2011
x  t =cost
Pero cómo es la función hallada?
PARÁMETROS
AMPLITUD
(depende de las
condiciones iniciales)
PERÍODO ó FRECUENCIA
(propia del sistema)
FASE
(depende de las
condiciones iniciales)
x  t = A⋅cos ω 0⋅t ϕ 
x  t = A⋅cosω 0⋅t ϕ 
A=A/2
T=T/2
ω0=2 ω0
ϕ=0
ϕ=Π/2
A = Amplitud : perturbación máxima respecto
de la posición de equilibrio
Si la función Cos(t) varía entre 1 y -1
la función A·Cos(t) varía entre A y -A
[A]: longitud
FEDERICO MONCZOR
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T = Período : tiempo en el cual el movimiento se repite
A . cos ω0⋅t = A.cos  ω 0⋅tT 
f = Frecuencia : número de repeticiones por segundo
f=
1
T
Si la función COS repite cada 2Π:
cos ω 0⋅tT =cos ω 0⋅t2Π 
ω0⋅t T =ω 0⋅t 2Π
ω 0⋅T =2Π
ω 0=
2Π
=2Π⋅f =  k / m
T
[T]: tiempo
[ f ]: 1/tiempo
[ω]: rad/tiempo
ϕ = FASE : valor de desplazamiento para t=0
x  t = A⋅cos ω0⋅t ϕ 
x  0= A⋅cos ϕ
ϕ=0
ϕ=Π/2
•El valor de Φ es arbitrario, depende de cuando se elija t=0
•Si se tienen dos MAS existe una diferencia de Φ, su valor
no es arbitrario y posee contenido físico
[ϕ]: rad
Pensemos de nuevo en el resorte…
F =−kx
x  t = A⋅cos ω 0⋅t ϕ 
pero qué pasa con la velocidad??
FEDERICO MONCZOR
y con la aceleración??
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CONSIDERACIONES CINEMÁTICAS
POSICIÓN
x  t = A⋅cos ω 0⋅tϕ 
VELOCIDAD
v t =
dx  t 
dt
=−ω 0⋅A⋅sen ω0⋅t  ϕ 
ACELERACIÓN
a t  =
dv  t 
=−ω 2⋅A⋅cos ω 0⋅t ϕ 
0
dt
a t =−ω 2⋅x  t 
0
CONSIDERACIONES DINÁMICAS
F =−k⋅x
x
x
1
E pot =−∫ F⋅dx=−∫ −k⋅x⋅dx = k⋅x 2
2
0
0
E total=E pot  E cin
1
2
 si x =A ; E cin=0 ; E total =E pot = k⋅A
2
1
 si x=0 ; E pot =0 ; E total =E cin= m⋅v 2
2
max
SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS
MOVIMIENTOS CON LA MISMA DIRECCIÓN Y CON LA MISMA FRECUENCIA
x 1 t  =A1⋅cos ω 0⋅t ϕ 1  x 2 t = A2⋅cosω 0⋅t ϕ 2 
A= A12 A 22 2 A1 A2 cos Δϕ 
x=x 1 x 2 =A⋅cos ω 0⋅tα 
ϕ1- ϕ2=0
EN FASE
A = A1 + A2
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tan α=
A1 sen ϕ 1 A2 sen ϕ 2
A1 cos ϕ 1 A2 cos ϕ 2
ϕ1- ϕ2=Π
A = A1 - A2
EN OPOSICIÓN
DE FASE
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ALGUNOS CASOS A MODO DE EJEMPLO…
Caso 1: El péndulo simple
OJO!!!
F =−m⋅g⋅senθ
Pero para θ pequeños:
x
senθ≈θ
Caso 1: El péndulo simple
OJO!!!
F =−m⋅g⋅senθ
Pero para θ pequeños:
x
senθ≈θ
F =−m⋅g⋅θ
x =θ ⋅L
análogo a k
x 
m⋅g
F =−m⋅g⋅ =−
⋅x =ma
L
L
 
ω0 =
k
m⋅ g / L
=
=
m
m
FEDERICO MONCZOR
g
L
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Caso 2: El oscilador angular
τ = torca de restitución
κ = constante de torsión
θ = desplazamiento angular
τ =κ⋅θ
2
d θ
dt 2
τ =I⋅α= I
−κ⋅θ =I
I = momento de inercia
α = aceleración angular
d2θ
dt 2
θ  t =θ max cos ω 0⋅t ϕ 
ω 0 = κ / I
Caso 3: Oscilaciones de dos cuerpos
L=longitud natural del resorte
x = ( x2 − x1 ) − L
OPERANDO….
masa reducida
m1 ⋅
d 2 x1
= + kx
dt 2
m2 ⋅
d 2 x2
= −kx
dt 2

m1 m 2
d2
⋅ 2  x 2 − x 1 =−kx
m1 m 2 dt
La solución es idéntica a la conocida
con la masa reducida como m y x2-x 1 como x
Pero… un péndulo se frena con el tiempo…..
Además de las Fuerzas Restauradoras actúan
Fuerzas de Rozamiento que NO son conservativas
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
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F Roz ∝v
∑ F =F Re st − F Roz =m⋅a
F Re st
F Roz
−k⋅x
 −b⋅v
 =m⋅a
a
v
d2x
dx 

=m⋅
−k⋅x−b⋅
dt
− b/ 2m ⋅t
x=A0⋅e
dt 2
cosω 0 '⋅t ϕ 
La amplitud disminuye
exponencialmente con t
ω0 ' =

ω0’< ω0
 
k
b
−
m 2m
2
A0.e-( b / 2 m ) . t
-A0.e-( b / 2 m ) . t
1
2
 si E total = k⋅A
2
Al disminuir A lo que disminuye es la
energía del sistema
SISTEMA NO CONSERVATIVO
En ambos casos ω0 = Π/2; pero notar que ω0’ varía
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Por lo tanto,
si queremos mantener el movimiento
hay que entregar energía al sistema…
OSCILACIONES FORZADAS
F( t ) = F0 ⋅ senω ' t
F( t)
F Re st
a
F Roz
⏞
−k⋅x
F sen ω ' t −b⋅v
⏞ +⏞
⏞ =m⋅ddt x
2
0
2
SOLUCIÓN ESTACIONARIA
(permanente en el tiempo)
x  t =
NO depende de las condiciones iniciales
∑ F =F Rest F  t−F Roz =m⋅a
estacionario
transitorio
depende de las condiciones iniciales
MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO
F0
⋅cosω'⋅t ϕ 
G
bω '
G= m 2  ω 20 −ω' 2 2 b 2 ω ' 2 ϕ =−arctan m ω ' 2 −ω 20 

•La oscilación ocurre con ω’ y no con
ω0 (es independiente del sistema)
Pero…
La amplitud depende de
la F ejercida y su frecuencia, pero también
del sistema (m y ω0)
Qué pasa con A al variar ω’??
A es función de ω’
A ω '  =
F0
2
m ω 0 −ω ' 2 
Si ω’ es muy distinto de ω0; A es pequeña
Si ω’ es muy parecido a ω0; A es grande
Dado que
Etotal =
1
k ⋅ A2
2
A es “una medida” de la energía del sistema
Entonces, la transferencia de Energía al sistema
aumenta cuando ω’ se asemeja a ω0
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ω’ <<< ω0 Φ ≈ 0
ω’ = ω0 Φ = Π/2
ϕ =−arctan
bω '
bω '
=−arctan
= Π /2
m0
m  ω' 2 −ω 2 
0
ω’ >>> ω0 Φ ≈ Π
Menos amortiguado
(b decreciente)
Estrictamente la resonancia se
alcanza cuando:
RESONANCIA
ω’/ ω0
RESONANCIA
FEDERICO MONCZOR
ω ' = ω02 − b/2m  2=ω 0
Estrictamente la resonancia se
alcanza cuando:
ω ' = ω02 − b/2m  2=ω 0
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Ejemplo de resonancia:
PUENTE DE TACOMA (US), 1940
L=longitud natural del resorte
Oscilaciones de dos cuerpos
x = x 2 −x 1 −L
2
m1⋅
m 2⋅
OPERANDO….
d x1
dt 2
2
d x2
dt 2
=+ kx
=−kx
masa reducida

m1 m 2
d2
⋅ 2  x2 − x 1 =−kx
m1 m 2 dt
La solución es idéntica a la conocida
con la masa reducida como m y x 2-x1 como x
x  t = A⋅cos ω 0⋅t ϕ  ω 0 = k /m
SABÍAMOS QUE…
F =−k⋅x
x
x
1
E pot =−∫ F⋅dx=−∫ −k⋅x⋅dx = k⋅x 2
2
0
0
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POTENCIAL DE LENNARD-JONES
[    ]
Ep  r  =E 0⋅
H2
r0
r
12
−2
r0
r
6
N2
R0
E0
r0
(A)
(10-23J)
(A)
3,3
43
4,2
E0
(10
-23
J)
131
Notar que para r=r0
Ep  r =−E 0
Notar que para r→∞
Ep r  ∞  0
0
[    ]
Ep r  =E 0⋅
r0
12
−2
r
r0
r
[
r 12 r 6
dEp
=F  r =12⋅E 0⋅ 011 − 05
dr
r
r
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]
Notar que para r=r0
F  r  =0
Notar que para r→∞
F  r ∞  0
0
ESPECTROSCOPÍA INFRARROJA
Dos cuerpos unidos por un resorte
6
Una molécula diatómica
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Habíamos visto que para un oscilador armónico…..
1
2
E total = k⋅A
2
si ω=

k
2
m
 k =ω ⋅m
1 2
2
E total = A ⋅m⋅ω
2
Vale decir que para una m y una A definida,
la energía del oscilador es una función
CONTÍNUA de la frecuencia angular
Pero…. a nivel molecular la energía está cuantizada
E = n1/2⋅ℏ⋅ω
‘número cuántico’
n
energía
.
.
.
.
0
4
3
2
1
0
Clásica: todos los
Cuántica: sólo
valores posibles de ciertos “niveles
energía están
de energía”
permitidos
están permitidos
La energía de la transición
corresponde a la zona del IR
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Vibraciones en la vida real
El oscilador armónico es un buen modelo para las
moléculas diatómicas simples (por ej. HCl)
cambio de nivel
n=0  n=1
n=1  n=2
n=3  n=4
n=4  n=5
ENERGÍA
INCIDENTE
υe x p t l
8,65
8,34
8,02
7,72
υ a r m o n I c o (101 3 Hz)
8,65
8,65
8,65
8,65
SISTEMA
ESTUDIADO
ENERGÍA
TRANSMITIDA
INTENSIDAD
FRECUENCIA
Donde disminuye la E transmitida es porque la absorbió el sistema
RESONANCIA
PROBLEMA
Con qué frecuencia vibrará una molécula de cloruro de hidrógeno cuyo átomo de cloro
corresponde al isótopo de masa atómica 35 g/mol, si el enlace tiene una constante de
fuerza de 96,67 N/m? y una molécula formada con el isótopo de 3 7Cl?
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Suponiendo que la molécula se comporta como un oscilador armónico, su
frecuencia de vibración será…
ω 0 = k /m
Pero recordar que al tratarse de dos cuerpos unidos por un resorte…
m 1⋅m 2
m=
m 1 m 2
Entonces…
35 g /mol
m35 Cl =
m1 H =
6, 022 .10 23 át /mol
1g /mol
6,022. 10 23 át / mol
m=
=1, 6611296 . 10−24 g /át=1, 6611296 .10−27 kg /át
m 35 ⋅m 1 H
Cl
m 35 m 1
Cl
=5,81395 . 10−23 g / át=5, 81395.10 −26 kg /át
−27
=1,6149871 . 10
kg
H
Por lo que…
ω 0= k /m=

96 , 67 N / m
1, 6149871 .10− 27 kg
f =ω 0 / 2Π=
=2, 4466 .10 14 rad /s
2,4466 .10 14 rad / s
=3,8939 .10 13 Hz =38 , 94 THz
2Π
Para el caso de la molécula formada por el isótopo 3 7Cl…
m37 Cl =
37 g / mol
6, 022 .1023 át / mol
Luego…
m=
Entonces…
ω 0= k / m=
m 37 ⋅m1 H
Cl
m 37 m 1
Cl

=6, 14618. 10−23 g /át=6, 14618 .10−26 kg / át
−27
=1, 617416. 10
96 , 67 N / m
f =ω 0 /2Π=
kg
H
1, 307698 .10−26 kg
=2, 44475. 1014 rad / s
2, 44475. 10 14 rad / s
=3,8909 .10 13 Hz=38, 09 THz
2Π
ESPECTRO DEL HCl
x  t = A⋅cos  ω 0 ⋅t  ϕ 


k
m
con m =
m1⋅m 2
m1 m 2
La partición de cada pico
es por la diferencia de masa entre el 3 5Cl y el 3 7Cl
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QUÉ APRENDIMOS EN ESTA CLASE?
SISTEMAS EN EQUILIBRIO
puede ser
INESTABLE
NEUTRO
ESTABLE
porque existe
FUERZA RESTAURADORA
que determina
CIRCUITO
OSCILANTE
MOVIMIENTO PERIÓDICO
si la Fza
restauradora
PÉNDULO SIMPLE
ES PROPORCIONAL A X
el movimiento es
OSCILADOR
ANGULAR
SISTEMAS DE
DOS CUERPOS
un caso particular
MOVIMIENTO ARMÓNICO
en presencia
de rozamiento
si existe una
Fza externa
idealmente
AMORTIGUADO
SIMPLE
FORZADO
puede provocar
RESONANCIA
ESPECTROSCOPÍAS
es el fundamento de las
Fuerza restauradora y energía potencial
HOJA DE FÓRMULAS 1
1
2
E pot = k⋅x
2
F Re st =−kx
Posición velocidad, aceleración y parámetros de un oscilador armónico simple
ω 0= k /m
x  t = A⋅cosω 0⋅t ϕ 
v  t =
dx t
dt
a t  =
=−ω 0⋅A⋅sen  ω 0⋅t  ϕ 
ω 0=
2Π
=2Π⋅f
T
f=
1
T
dv  t 
=−ω 2⋅A⋅cos ω0⋅t  ϕ 
0
dt
Superposición de dos MAS
x =x 1x 2=A⋅cos  ω 0⋅tα 
A= A 2 A 2 2A 1 A 2 cos  Δϕ  tanα= A1 sen ϕ 1  A2 sen ϕ 2
1
2
A1 cos ϕ 1  A2 cos ϕ 2
Oscilador angular
θ t =θ max cosω 0⋅t ϕ  ω 0= κ / I
Oscilación de dos cuerpos
masa reducida

m1 m 2
d2
⋅  x − x =−kx
m1 m2 dt 2 2 1
Circuito LC
q  t =Q⋅cos ω0⋅t ϕ 
ω 0=
1
 LC
HOJA DE FÓRMULAS 2
Oscilaciones amortiguadas
x  t = A0⋅e
− b/ 2m ⋅t
cos ω 0 '⋅t ϕ 
ω0 ' =

 
k
b
−
m 2m
2
Oscilaciones forzadas A

F
⋅cos ω'⋅t ϕ 
x  t =
m  ω 2 −ω' 2 
0
Oscilaciones forzadas amortiguadas
F
x  t = ⋅cos ω'⋅t ϕ 
G

2
2
2
2
G= m  ω ' −ω 2  b ω'
ϕ =−arctan
0
bω '
m ω ' 2 − ω 2 
0
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2
MOVIMIENTO ARMONICO 1
2011
HOJA DE FÓRMULAS 2
Oscilaciones amortiguadas
x  t = A0⋅e
− b/ 2m ⋅t
cos ω 0 '⋅t ϕ 
ω0 ' =

 
k
b
−
m 2m
2
Oscilaciones forzadas A

F
⋅cos ω'⋅t ϕ 
x  t =
m  ω 2 −ω' 2 
0
Oscilaciones forzadas amortiguadas
F
x  t = ⋅cos ω'⋅t ϕ 
G

2
2
2
2
G= m  ω ' −ω 2  b ω'
ϕ =−arctan
2
0
bω '
m ω ' 2 − ω 2 
0
BIBLIOGRAFÍA
FISICA. Resnick - Halliday - Krane. Vol 1. 4ta Ed. 1998, CECSA, Mexico, DF.
FISICA. Wilson - Buffa. 5ta Ed. 2003, Pearson Educación SA, Mexico, DF.
FISICA. Feynman. Vol 1. 1987, Addison Wesley IberoAmericana SA, Mexico, DF.
RECURSOS ON LINE
http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=0471216437&bcsId=2037
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
http://www.physicsclassroom.com
consultas bienvenidas a [email protected] (Federico)
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