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Descripción cinemática
Proyección
y
de un movimiento circular uniforme,, sobre un diámetro
•
•
•
••
t=0
••
•
•
•
•
•
•
Elegimos el diámetro el eje OX; la posición de la partícula,
partícula
sobre el diámetro, en un instante t es x=Acos(ωt+δ)
t
ωt
La velocidad es
t=0
x’= -Aω sen(ωt+δ)
(
)
δ
El módulo de la
velocidad es Aω
La aceleración es x’’=-Aω2 cos(ωt+δ)=
(
) - ω2 x
El módulo de la aceleración es Aω2
t
ωt
δ
t=0
Ecuación diferencial del
movimiento
x’’+
’’ ω2 x = 0
x = A cos(ωt + δ )
x' = − Aωsen(ωt + δ )
x" = − Aω cos(ωt + δ )
2
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Descripción
ó dinámica
á
Movimiento que realiza una masa, cuando se separa de su
posición de equilibrio estable. La masa está sometida a una
fuerza atractiva hacia la posición de equilibrio estable, que es
función de la distancia que separa en cada instante a la masa
de la posición de equilibrio
Ejemplos
Al separar la masa de la posición de equilibrio estable,
estable surge
una fuerza que tiende a devolverla a la posición de equilibrio
(a) Masa unida a un muelle de constante
elástica k
(b) Péndulo simple
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Masa m unida a un muelle de constante elástica k
Una masa m unida a un muelle de constante elástica k, se
separa ligeramente de la posición de equilibrio estable
La masa realiza un movimiento p
periódico en torno a la
posición de equilibrio, siendo x la distancia que separa en
cada instante la masa de la posición de equilibrio
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Sobre la masa actúa una fuerza,
fuerza que tiende a llevarlo a la
posición de equilibrio.
La fuerza F que actúa, es función de la distancia x que
separa en cada instante la masa de la posición de equilibrio.
C
Cuanto
t más
á alejada
l j d está
tá la
l masa, la
l fuerza
f
que lo
l devuelve
d
l a
la posición de equilibrio es mayor
F=-kx
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
es positiva porque
es negativa
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
x = A cos (ωt + B )
xmax = A
Elongación (t)
Amplitud: Máximo valor de x
x ' = − Aω sen (ωt + B )
Velocidad (t)
x '' = − Aω 2 cos (ωt + B ) = −ω 2 x
x ''+ ω 2 x = 0
Aceleración (t)
Ecuación diferencial
F = − kx = mx ''
x ''+ ω x = 0
2
k
ω=
m
2π
k
x ''+ x = 0
m
P l ió o frecuencia
Pulsación
f
i propia
i
m
T=
= 2π
ω
k
Periodo
G
G
dU G
F = − kxi
k =−
i
dx
1 2 1 2
U = kx = kA cos 2 (ωt + B)
2
2
1
1
1 2 2
2
2 2
2
Ec = mx ' = mA ω sen (ωt + B ) = kA sen (ωt + B)
2
2
2
1 2
1 2 2
1 2
2
E = kA cos (ωt + B) + kA sen (ωt + B) = kA
2
2
2
x = A cos (ωt + B )
1 2 1 2
U = kx
k = kA cos 2 (ωt + δ )
2
2
1
1
2
Ec = mx ' = mA2ω 2 sen 2 (ωt + δ )
2
2
1 2
Etot = U + Ec = kA
2
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
La p
partícula realiza oscilaciones en torno a la p
posición de
equilibrio. La máxima distancia que se separa es A (amplitud)
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Masa m unida a un hilo inextensible de longitud L
La masa se separa ligeramente de la posición de equilibrio
estable
bl
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Una masa m unida a un hilo de
longitud L y masa despreciable,
se separa ligeramente de la
posición de equilibrio estable
La masa realiza un movimiento
periódico en torno a la posición
de equilibrio, siendo θ el ángulo
que forma el hilo con la vertical
mgsenθ
mgcosθ
mg
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Sobre la masa actúa una fuerza,,
mgsenθ, que tiende a llevarlo a
la posición de equilibrio.
La fuerza F que actúa, es
función del ángulo θ que separa
en cada instante la masa de la
posición de equilibrio.
p
q
Cuanto
más alejada está la masa, la
fuerza que lo devuelve a la
posición
i ió de
d equilibrio
ilib i es mayor
mgsenθ
θ
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
La ecuación diferencial del
movimiento del movimiento de
la masa es F=-mgsenθ=mLθ’’
Cuando el ángulo es pequeño
senθ=θ
F=-mgθ=mLθ’’, o bien Lθ’’+gθ
=0, cuya solución es de la
f
forma
θ =Acos(ωt+B)
mgsenθ
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
θ = A cos (ωt + B )
θ max = A
Á
Ángulo
en función de t
Amplitud: máximo valor del ángulo
θ ' = − Aω sen (ωt + B )
Velocidad (t)
θ '' = − Aω 2 cos (ωt + B ) = −ω 2 x
Aceleración (t)
θ ''+ω θ = 0
2
Ecuación diferencial
F = −mgsenθ ≈ −mgθ = mLθ ''
θ ''+ ω θ = 0
2
ω=
2π
g
L
g
θ ''+ x = 0
L
Pulsación o frecuencia propia
L
T=
= 2π
ω
g
Periodo