T - IES Alfonso X el Sabio

CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
Tema 8.- Las ondas periódicas. Generación de la
corriente alterna.
DESARROLLO DEL TAMA:
1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales.
2. Características de una onda.
3. La representación vectorial de una onda.
4. Ondas sinusoidales simultáneas con la misma frecuencia: su
suma y producto.
5. Generación de una corriente alterna.
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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
Tema 8.- Las ondas periódicas. Generación de la
corriente alterna.
1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales.
Las funciones algebraicas y = f(x) pueden depender o no del tiempo; si dependen del tiempo
y = f(x,t) se dirá que dichas funciones son de tipo ondulatorio o poseen forma de onda. Cuando se
repite el valor, transcurrido un cierto tiempo, se dirá que dicha función es periódica.
Y = f (t) = f ( t + T) = f (t + 2T) .... El tiempo que transcurre hasta que se vuelva a
dar el mismo valor de la función y, recibe el nombre de periodo , T y se mide en segundos (s)
Cuando la magnitud Y posee siempre un valor positivo o negativo (tiene siempre el mismo
sentido) diremos que las ondas son pulsantes. Si por el contrario, la magnitud Y toma sentidos
alternativos, diremos que la onda es alterna. Cuando el valor máximo de la magnitud es siempre el
mismo en los dos sentidos, diremos que la onda alterna es pura.
Ondas pulsantes
Ondas periódicas
alternas
No puras
Cuando la función periódica es de tipo seno o coseno, se dirá que las ondas alternas puras
son sinusoidales.
La función periódica será :
a = am sen k t ;;; k = ω =
el periodo; ω, es la pulsación.
2. Características de una onda.
Una onda se caracteriza por:
2
2
T
= 2 π f , siendo f la frecuencia y T
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a. El periodo , T . Es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa la onda. Se mide en
segundos(s).
b. La frecuencia, f . Representa el número de oscilaciones que describe una onda en un
segundo; se mide en hertzios (Hz) o en s-1. La frecuencia, f = 1/T .
c. La fase , φ . Se define como la parte del periodo que describe la onda desde la referencia.
Hay puntos que se encuentran en fase o en oposición.
d. Valores de cresta, AC, son los valores máximos, en valor absoluto, que puede adquirir la
magnitud periódica a.
e. Valor medio Am representa el valor medio de la función en un periodo o semiperiodo.
T
Am =
1
.∫ f (t). dt
T 0
f. Valor eficaz de la magnitud. Se representa como Ae y es igual a :
√
T
1
Ae =
( )∫ f (t )2 dt
T 0
g. El factor de forma de la curva que será igual :
Ae
Am
FF =
En el caso de que la onda sea senoidal :
AC = Amplitud, A y la función será y = A sen ω t
El valor medio, AM será :
T /2
T /2
T /2
1
1
2. A
2A
2A
A m =(
) ∫ f (t )dt =(
) ∫ A sin (ω . t )dt=(
) ∫ sin(ω . t )dt=(
)[−cos ω t ](0T /2)=
T /2 0
T /2 0
T
ω.t
Tω
0
[(−cos
2.π T
2A
2A
2A
. )−(−cos 2 . π .0)]=
.[−cos π +cos 0 ]=
. 2= π =0,6366 A
T 2
T
Tω
Tω
El valor eficaz para una función senoidal será :
√
T
T
T
1
1
1
Ac =
f (t )2 dt → Ac2= . ∫ f (t )2 dt= ∫ A 2 . sin 2 ω t dt
∫
T 0
T 0
T 0
2
Para resolver la
integral
se
recurre a las
siguientes
expresiones :
2
2
2
sin ω t +cos ω t =1 ; ;cos ω t −sin ω t=cos 2 ω t
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Operando convenientemente
se obtiene:
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sin 2 ω t=
1−cos 2 ω t
2
Por lo tanto :
2 T
A
A =
2
2
C
AC =
2
2
∫ 1−cos 2 ω t dt= AT .( T2 + sinωω t − sinω 0 )= A2
0
A
=0,7871 A
√2
El factor de forma FF será igual :
Ae
0,7071
FF =
=
= 1,11
Am
0,6366
Problema 1.- Una función sinusoidal es de la siguiente forma : y = 30 sen 200 t . Con
estos datos, determinar las características de la onda.
Resolución.-
y = A sen ω t
a. Pulsación, ω = 200 (rad/s)
b Periodo , T ;; ω =
2
T
;; T = 0,031 s
c, Frecuencia, f = 1 / T = 31,83 Hz.
d. AC = A = 30 unidades
e. A M =
f Ae =
g. FF =
2A
= 19,09

A
= 21,21
2
Ae
=
Am
21,21
= 1,111
19,09
3. La representación vectorial de una onda.
Una onda se puede considerar como una función periódica en el espacio y en el tiempo
simultáneamente. Para representarla desde el punto de vista vectorial, se puede considerar que la
onda es un vector con el origen constante y que va girando con una velocidad angular ω; esta
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magnitud recibe el nombre de pulsación de la onda y la traza en sentido contrario a las agujas del
reloj . La trayectoria que describe el extremo del vector es una circunferencia, cuyo radio será la
amplitud de la onda. Los espacios recorridos por la onda se representan ,mediante las proyecciones
del vector giratorio sobre el eje de ordenadas Y.
ω
Y
φφ
x
Y = A sen ω t
y
Existen tres aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de representar una onda
sinusoidal :
1, Caso . La onda a t = 0 , el vector se encuentra en el eje de abscisas y en sentido
positivo. No hay desfase:
Y = am sen ω t
2, Caso . La onda a tiempo t = 0 , ha descrito un cierto ángulo, desfase, φ, positivo.
Y = am sen (ω t + φ)
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3º Caso La onda a tiempo t = 0 ha descrito una desfase negativa
Y = am sen (ω t - φ)
Según estas características, se puede generalizar la ecuación de la onda como :
y = am sen ( ω t - φ )
Teniendo en cuenta que si el
sentido para llevar al vector
sobre
el
sentido positivo del eje abscisas es el mismo
que las agujas del reloj, entonces el desfase φ
< 0 ; si al llevar el vector sobre el sentido
positivo del eje de abscisas es contrario a las
agujas del reloj, el desfase φ > 0
Problema 2.- El valor eficaz de una onda senoidal es A e = 250 y su frecuencia es de 100
Hz. Si la onda comienza 1 ms. después de comenzar el tiempo, hallar su fase inicial.
Datos .- Ae = 250 ;; A = Ae / 0,7071 = 353,55 ;; f = 100 Hz ;; ω = 2 . π f = 628,31 rad/s
Resolución .- y = A sen ( ω t - φ ) 0 = 353,55 sen (628,31 . 10-3 - φ )
0,6283 - φ = 0 ;; φ = 0,6283 = 36º
Estará retrasada 36º
4. Ondas sinusoidales simultáneas con la misma frecuencia: su
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suma y producto.
Dos ondas sinusoidales, de la misma frecuencia y diferente amplitud, se pueden asociar
entre si, de tal forma que pueden ocurrir dos situaciones:
a . Que las dos ondas estén en fase, por lo tanto :
y1 = A1 sen ω t
y2 = A2 sen ω t
b Que las dos ondas se encuentren
desfasadas:
y1 = A1 sen ω t
En el caso a y2 = A2 sen (ω t + φ )
En el caso b y2 = A2 sen (ω t -φ )
Al sumar dos ondas sinusoidales sin desfase se
obtendrá :
y1 = A1 sen ω t
y2 = A2 sen ω t
y = y1 + y2 = ( A1 + A2 ) . sen ω t
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En este caso se observa que la onda resultante es también senoidal, está en fase con las otras
dos su amplitud es la suma de las amplitudes.
Cuando se suman dos ondas con diferentes amplitudes y desfasadas, con la misma pulsación
se obtiene :
y1 = A1 sen ω t
y2 = A2 sen( ω t – φ )
y = y1 + y2 = A1 sen ω t + A2 sen( ω t – φ )
La onda resultante es también senoidal y el desfase resultante es menor que el primitivo
como se aprecia en la siguiente representación :
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Según esta representación fasorial , el valor de la amplitud resultante y del desfase φS será :
2
2
2
a m= A1 + A2∗2 A1 A 2 cos ϕ ; ; tan ϕ s=
A2 sin ϕ
AB
AB
=
=
OB OC +CB A1 + A 2 cos ϕ
Problema 3.- Los valores eficaces de dos ondas senoidales son respectivamente A 1 = 100 y
A2 = 200 . Si la segunda onda está retrasada respecto la primera 60º, determinar el valor eficaz
de la resultante y su desfase.
Resolución.- Aplicando la fórmula anterior:
A1 = Ae1 / 0,7071 = 141,42 ;; A2 = Ae2 / 0,7071 = 282,84
AS =
√ A + A +2 A
tg φ =
A 2 sen 60
228,62
=
= 0,853 ; φ = 44,96 º
307,66
A 1+ A 2 cos 60
2
1
2
2
1
A 2 cos φ = 383,43
Cuando se multiplican dos ondas con diferente amplitud, igual pulsación y desfase, se
obtiene lo siguiente :
y1 = A1 sen ω t
y2 = A2 sen ω t
= A1 . A2 sen2 ω t = A1 A2
y = y1 . y2 = A1 sen ω t . A2 sen ω t =
1−cos 2 . t
2
La onda se convierte en una pulsación de amplitud el producto de las amplitudes
siendo su frecuencia el doble de las dos ondas
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Si las dos ondas se encuentran desfasadas:
y1 = A1 sen ω t
y2 = A2 sen( ω t – φ )
y = y1 . y2 = A1 sen ω t . A2 sen( ω t – φ )
2
y= y 1 . y 2= A1 . A 2 sin ω t (sin ω t cos ϕ−cos ω t sin ϕ)= A1 A2 (sin ω t cos ϕ−sin ω t cos ω t sin ϕ)
Fórmulas trigonométricas:
sin 2 ω t=2 sin ω t cos ω t ; ; sin 2 ω t =
y= A 1 A 2
1−cos 2 ω t
2
cos ϕ−cos(2 ω t −ϕ) A 1 A 2
cos ϕ−cos 2ω t cos ϕ−sin ϕ sin 2ω t
= A1 A2
=
(cos ϕ−cos (2ω t −ϕ))
2
2
2
Problema 4.- Dos ondas de 50 Hz y con amplitudes de 40 y 60 unidades, actúan
simultáneamente y en la misma dirección y sentido. Calcular el valor de la onda resultante al
cabo de 12 ms, si :
a. Están en fase.
b. Se encuentran desfasadas 30º.
Resolución.- Se aplica las ecuaciones respectivas:
a. En fase y = A1 A2
1−cos 2 . t
= 40 . 60 .
2
10
1−cos 2.2  . f .t
= 829,17 unidades
2
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cos −cos 2  . t−
2
cos 0,52−cos 2 2  50 0,012−0,52
= 152,50 unidades
2
b con desfase y = A1 A2.
=
40 . 60
5. Generación de una corriente alterna.
El giro de una espira, a velocidad angular constante, en el seno de una campo magnético, de
tal forma que el eje de giro sea axial a la dirección del campo, induce una corriente eléctrica. Esta
corriente eléctrica será alterna si los terminales de la espira se conectan cada uno a un colector con
una única delga:
Colector y
delga
Se originará corriente alterna (AC) entendiendo por ésta, aquella que cambia de sentido
periódicamente. Va a transmitir por los conductores una onda de energía cuya frecuencia, en el uso
doméstico, es de f = 50 Hz.
Para determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida, se recurre a la ley de Fareday
de inducción electromagnética :
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corriente alterna.
ξ = -
d
dt
= -
d B . S . cos 
dt
= -
d B . S . cos  . t
dt
= B . S ω sen ω t
La fuerza electromotriz máxima se conseguirá cuando φ = 90 ;;
ξM = B . S . ω
ξ = ξM . sen ω t
Es una señal sinusoidal, de función seno. Por lo tanto, en AC, la fuerza electromotriz no
permanece constante en el tiempo y las otras magnitudes relacionadas, como son la tensión o la
intensidad, siguen también funciones sinusoidales.
Cuando el inducido de la espira, está formado por una bobina con N espiras , la fórmula será
ξ = ξM . N . sen ω t
El generador de corriente alterna posee el siguiente símbolo:
Problema 5.- Una tensión alterna cuyo valor eficaz es de 220 V , posee una frecuencia de
50 Hz . Determinar los valores máximo y medio de dicha tensión así como su valor a los 4 ms de
haber comenzado a propagarse la onda.
Resolución.- Ve =
Vmax
2
Vm =
;; VM = 311.12 V
2 Vmax
= 198,06 V

V = Vmax sen ω t = v M . sen 2 . π . f . t = 295,89 V
Problema 6.- Dos ondas sinusoidales simultáneas se intensidad, poseen la misma
frecuencia de 50 Hz y el mismo valor eficaz de 8 A . Si una de ellas está adelantada respecto a la
otra 2 ms. de ciclo , calcular las expresiones de las ondas de ambas:
Resolución.- φ = 2 . π . ( 0,002 . 50 ) = 0,628 radianes.
I1 = 11,31 sen 100 π t ;;; I2 = 11,31 . sen (100 π . t + 0,618 )
Problema 7 .- Dos ondas sinusoidales instantáneas , una de 220 V de tensión y la otra de
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8 A de intensidad ( en valores eficaces) tienen una frecuencia de 50 Hz y están en fase. Hallar
el valor de la onda producto cuando ha transcurrido 8 ms del comienzo del ciclo.
Resolución .Aplicamos la fórmula :
P=V . I=220. 80 . 2.
1−cos 2 ω . t
=220 . 8 .(1−(−0,81))=3185 W
2
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