Respuesta en frecuencia

Circuitos y Sistemas Dinámicos
Ejercicios tema 4
Respuesta en frecuencia y
circuitos resonantes
4.1 Dada la siguiente función de transferencia:
G( jω) =
a)
b)
c)
25jω
( jω + 0.5) ( jω) 2 + 4 jω + 100 
Escribirla en forma estándar.
Trazar el diagrama asintótico de Bode de módulo y fase señalando todas sus pendientes
y puntos críticos.
Corregir este diagrama con algunos puntos característicos.
4.2 Dibujar el diagrama asintótico de Bode de módulo y fase para el circuito de la figura tanto para la
función de transferencia Ua/Ue como para Ub/Ue. Calcular el valor exacto para las frecuencias 2f1, f1, f1/2,
2 f2, f2 y f2/2 siendo f1 = 1/(2πR1C1) y f2 = 1/(2πR2C2) Comparar los resultados en los casos siguientes:
a)
b)
R1 = 15,9 Ω; C1 = 10 µF; y R2 = 0,8 kΩ; C2 = 2 nF
R1 = 20 kΩ; C1 = 0,1 µF; y R2 = 82 kΩ; C2 = 5,6 nF
R2
C1
1
Ue
Ub
Ua
C2
R1
4.3 En el circuito RLC serie de la figura:
a)
Calcular la función de transferencia que relaciona la tensión en la resistencia con la
tensión en la fuente.
b)
Particularizar para L = 5 H, R = 3000 Ω y C = 5 nF.
c)
Dibujar el diagrama de Bode de módulo y fase.
d)
Repetir el problema para la función de transferencia entre la tensión de la autoinducción
y la tensión de la fuente y comparar los resultados.
L
C
+
Vi
R
-
4.4 En el circuito de la figura:
a)
Escribir la función de transferencia en
forma estándar que relaciona la tensión
de salida con la tensión de entrada.
R = 1 kΩ,
r = 50 Ω,
C = 10 µF,
L = 1,013 H.
b)
Dibujar el diagrama de Bode.
c)
Interpretar la posible utilización
práctica del circuito.
Vo
C
r
+
Vi
-
L
R
Vo
4.5 (Examen Febrero 99) Para el circuito de la figura, construido con un amplificador operacional ideal,
se pide:
a)
Demostrar que la relación entre la tensión de salida Vo y la tensión de entrada Vg en
régimen permanente es:
V0
0, 25( jω) 2
=
Vg 0,1( jω)3 + 2, 05( jω) 2 + 2001jω + 40000
b)
Dibujar los diagramas asintóticos de Bode de amplitud y fase en el papel que se ha
suministrado al efecto. Indicar las pendientes de cada recta y las frecuencias de esquina
(también llamadas “de codo”).
Indicar los puntos característicos siguientes (indicando ganancia en dB, fase y
frecuencia): amplitud máxima, amplitud = – 50 dB y fase nula.
Dibujar el diagrama de Bode de forma aproximada.
c)
d)
4.6 En el circuito RLC serie de la figura:
a)
Calcular la función de transferencia que relaciona la tensión en el condensador con la
tensión en la fuente.
b)
Particularizar para L = 5 H, R = 3000 Ω y C = 5 nF.
c)
Dibujar el diagrama de Bode de módulo y fase.
d)
Determinar la frecuencia para la que se alcanza el valor máximo de tensión en el
condensador. Compararla con la frecuencia de resonancia.
L
C
+
vi
vo
R
-
4.7 Dibujar el diagrama de Bode correspondiente a la expresión de la impedancia del siguiente circuito:
L
C
R
a) Sin realizar ninguna aproximación.
b) Sustituyéndolo por su circuito paralelo equivalente.
c) Comparar lo resultados y decidir para qué frecuencias es suficiente la
aproximación.
L = 0,05 H R = 17,5 Ω
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Departamento de Electrotecnia y Sistemas
C = 0,5 µF
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4.8 (Examen Septiembre 99) Se considera el siguiente diagrama de Bode de amplitud:
Amplitud (dB)
30
20
10
0
10-1
10 0
10 1
10 2
103
Pulsación (rad/s)
a)
Determinar una función de transferencia que tenga dicha función de amplitud sabiendo que se trata
de un cociente de polinomios. Es necesario determinar los coeficientes de los términos de los
polinomios del numerador y denominador.
b) Una vez obtenida la expresión de la función de transferencia, dibujar el diagrama de fase.
4.9 El circuito de la figura representa una bobina real en paralelo con un
condensador. (L = 0,1 H; R = 30,5 Ω; C = 0,25 µF)
L
a) Se pide estudiar la variación del módulo de la impedancia de este dipolo al
variar la frecuencia, representando el diagrama asintótico de Bode de amplitud
correspondiente.
R
b)
C
Mediante este diagrama estimar el valor máximo que alcanza la impedancia.
4.10 Aplicando la definición de factor de calidad, deducir su expresión para un circuito RLC en serie a la
frecuencia de resonancia.
4.11 Sabiendo que se cumple ω2 LC = 1 , calcular la tensión en la impedancia Z de la figura. Exprésese
en forma exponencial. I = 2e j0 A ; f = 50 Hz ; L = 38,2 mH
C
_
I
L
_
Z
_
Uz
4.12 Un osciloscopio se utiliza para medir la tensión en una bobina real con una inductancia de 1 mH y
una resistencia de 1 kΩ. El osciloscopio tiene una impedancia de entrada de 1,2 MΩ en paralelo con una
capacidad de 20 pF. La bobina está alimentada mediante un generador de tensión sinusoidal con una
pulsación de 7 Mrad/s, que tiene una resistencia interna de 12 kΩ. La amplitud de pico de la fuente
cuando está en vacío es de 50 V.
a) Dibujar el circuito correspondiente.
b) Determinar el error porcentual
cometido en la medida.
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Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Gen.
Bobina
OSC
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4.13 El circuito representa un sintonizador elemental para 1000 Hz. Siendo la tensión de entrada de 1 V
calcular:
a) Tensión de salida para f = 1000 Hz.
b) Tensión de salida para f = 500 Hz.
c) Tensión de salida para f = 2000 Hz.
d) Determinar si existe resonancia en el circuito y a qué frecuencia en caso afirmativo.
e) Igualmente en caso afirmativo, determinar las frecuencias de corte.
10000Ω
+
Ue
2.2µF
11.5mH
-
Us
0.1Ω
4.14 En el circuito de la figura, calcular los valores
de L y C para que la carga R se vea con una
impedancia igual a la de la fuente (puramente
resistiva, Rg) si esta es sinusoidal y su pulsación es
ωg. Considerar que Rg >> R.
L
Rg
+
(ωg)
R
C
-
4.15 Para el circuito de la figura:
a) Calcular su frecuencia de resonancia.
b) Demostrar que si se cumple
RL = RC = L / C
presenta resonancia para todas las frecuencias.
L
C
RL
RC
4.16 En el circuito RLC serie de la figura determinar:
a) Frecuencia de resonancia.
b) Factor de calidad.
c) Ancho de banda.
d) Intensidad en resonancia para una tensión de alimentación de 5 V.
e) Tensión en el condensador en la resonancia.
Particularizar para los siguientes valores:
L (H)
5
2
1
0,5
R (Ω)
3000
1200
600
300
C(nF)
5
12,7
25
50
L
C
+
R
-
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4.17 El circuito de la figura representa una bobina real en paralelo con un condensador alimentados con
una fuente de intensidad. Determinar:
a) Frecuencia de resonancia.
b) Factor de calidad de la bobina.
c) Ancho de banda.
d) Impedancia a la frecuencia de resonancia.
e) Intensidad en la bobina en la resonancia. (Suponer que en la fuente I = 1 A)
Particularizar para los siguientes valores:
L (H)
0,02
0,05
0,1
R (Ω)
6,5
17,5
30,5
C(µF)
1,3
0,5
0,25
L
C
R
4.18 Una red monofásica, representada mediante su dipolo equivalente (fuente de tensión u en serie con
autoinducción Lr) está alimentando una carga que además tiene un condensador en paralelo con el objeto
de mejorar su factor de potencia en régimen alterno senoidal.
La carga es pasiva y equivale a una resistencia R = 700 Ω en serie con una autoinducción de valor
L = 1,42 H.
a) Se considera inicialmente que la tensión u es senoidal y que tiene una expresión instantánea
u(t) = u1 (t) = 2 20363 sen(100 π t) V . En esta situación, calcular la intensidad eficaz en el
condensador.
b) En la misma situación que en el apartado anterior, calcular el factor de potencia del conjunto
carga-condensador.
c) Determinar la frecuencia de resonancia paralelo del conjunto carga-condensador.
En los siguientes apartados se considera que la tensión u(t), además de la onda fundamental, contiene un
armónico de orden 5 que no se tuvo en cuenta para el diseño del condensador de compensación de
reactiva. Su nueva expresión es:
u(t) = u1 (t) + u 5 (t) = 2 [ 20363 sen(100 π t) + 2000 sen(5100 π t) ] V
En estas condiciones, calcular:
d) La intensidad eficaz en el condensador.
e) El factor de potencia en el conjunto carga-condensador, definido como FP = P/S.
f) Determinar la frecuencia de resonancia serie del conjunto red-carga-condensador. Interpretar
los resultados desde el punto de vista de la resonancia.
o
Lr = 0.3 H
C = 1.6µF
Carga
u(t)
o
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4.19 La tensión a la entrada del circuito de la figura tiene la expresión:
vi(t) = 100 [ cos(20000πt) + cos(40000πt) ]
Los condensadores C1 y C2 se escogerán de forma que el circuito transmita a la salida de forma eficaz la
señal de 10 kHz y bloquee al máximo la señal de 20 kHz.
a) Establecer el valor de ambos condensadores
b) Determinar la expresión de la tensión a la salida.
C1
160mH
1kΩ
C2
1kΩ
vi
vo
4.20 El circuito de la figura es resonante a dos frecuencias distintas. A una de ellas (ω1) presenta baja
impedancia, mientras que a la otra frecuencia (ω2) presenta impedancia infinito.
Se pide:
a) Deducir el valor de las frecuencias ω1 y ω2.
b) Deducir el valor del factor de calidad y del ancho de banda asociado a cada resonancia.
R
CS
L
4.21 (Examen Febrero 2000)
Para el circuito de la figura,
en el que el amplificador de
ganancia K es ideal, se pide:
CP
K
Ue
C1
R2
Us
R1
C3
L
C2
a) Determinar la función de transferencia entre la tensión de salida y la tensión de entrada.
b) Dibujar el diagrama de Bode asintótico en amplitud y fase, especificando claramente las pendientes
de los diferentes tramos y las pulsaciones a las que se producen los cambios, para el caso:
R1 = 102 Ω, R2 = 10 kΩ, C1 = 1 µF, C2 = 49 µF, C3 = 2 µF, L = 2 H, K = 1000.
c) Estimar la ganancia máxima y los valores de pulsación y fase para los cuales la ganancia es de 0
dB. Con ello, dibujar aproximadamente el diagrama de Bode.
d) Calcular, si existe, el valor de R2 para el cual el sistema resulta de segundo orden.
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4.22 (Examen Septiembre 2000)
Se pretende estudiar la respuesta en
frecuencia del circuito de la figura.
4 kΩ
0.2 µF
0.2 µF
Vi
Vo
0.1 H
Se pide:
a)
Obtener la función de transferencia Vo/Vi en forma factorizada.
b) Atendiendo al polinomio del denominador, indicar el tipo de respuesta (sobreamortiguada,
críticamente amortiguada o subamortiguada).
c)
Determinar las frecuencias a las que se producen los cambios de tendencia en el diagrama de Bode
en amplitud (no es preciso dibujar dicho diagrama).
d) ¿Cuánto vale Vo/Vi a frecuencia cero y a frecuencia infinita?
e)
¿Cuánto vale Vo/Vi a frecuencia angular 50 krad/s?
4.23 Para el circuito de la figura hallar una
relación entre L y C para una R dada, tal que
el circuito presente una carga puramente
resistiva y de valor R, visto desde la fuente, a
todas las frecuencias.
C
R
L
L
C
+
u -
i
4.24 (Examen Febrero 2001) Dada la función de transferencia siguiente:
H (s) =
s3 +
(
s 2 + 4 ⋅ s + 25
2 + 100 s 2 + 1 + 100 ⋅ 2 s + 100
) (
)
Se pide:
a) Dibujar el diagrama asintótico de Bode de amplitud.
b) Dibujar aproximadamente la curva real de este mismo diagrama. Indicar los puntos calculados
para trazar dicha curva.
c) Indicar aproximadamente la pulsación para la que la amplitud sea de – 60 dB.
d) Indicar esta misma pulsación utilizando la curva real.
e) Dibujar el diagrama asintótico de Bode de fase.
f) Dibujar la fase real de forma aproximada.
g) Indicar qué término del tipo (s + a) es necesario incluir en el numerador de la función de
transferencia original para que la amplitud a frecuencias bajas —menores que la menor
frecuencia de esquina de H(s)— sea 0 dB.
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R
4.25 (Examen Febrero 2001) Dado el circuito de la figura, determinar la pulsación para la cual el circuito
es resonante para la fuente de intensidad.
L
E
R2
R1
I
C
4.26 (Examen Septiembre 2001) En el circuito de la figura, R1 = 5 Ω, L = 100 mH, R2 = 4000 Ω,
C = 3.08 µF.
1
.
Se aproxima la pulsación de resonancia que ve la fuente E mediante la expresión ω*r =
LC
Se pide:
a)
Expresión exacta de la pulsación de resonancia ωr que ve la fuente E. Error absoluto
cometido al usar la aproximación para el circuito representado con los valores dados.
b)
Valor aproximado del ancho de banda. Explicar las aproximaciones que se realicen.
c)
Valor que debe tener R1 para que la respuesta natural del circuito sea críticamente
amortiguada.
R1
E
+
–
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L
R2
C
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4.27 (Examen Septiembre 2001) Dado el circuito de la figura, se pide:
R1
L1
C1
R2
C2
V1
a)
V2
Obtener la función de transferencia entre la tensión de salida y la tensión de entrada en
la forma estándar indicada a continuación:
a ( jω) + a N −1 ( jω) +
V2
= G0 ⋅ N
M
M −1
V1
b M ( jω) + b M −1 ( jω) +
N
G( jω) =
b)
N −1
+ a n ( jω ) +
n
+ b m ( jω ) +
m
+ a1 ( jω ) + 1
+ b1 ( jω) + 1
Indicar las dimensiones de cada elemento a n , b m y del término G 0 . ¿Qué significa el
valor de G 0 ?
Sabiendo que los elementos del circuito tienen los siguientes valores:
R1 = 110 Ω, L1 = 1 mH, C1 = 1 µF, R2 = 10 kΩ, C2 = 0,1 µF
Se pide:
c)
Calcular el valor de G 0 , así como todas las pulsaciones (en rad/s) representativas del
diagrama de Bode asintótico en amplitud.
d)
Trazar el diagrama de Bode asintótico de amplitud señalando todas sus pendientes y
puntos representativos.
e)
Indicar sobre el diagrama del apartado d) algunos puntos característicos (pulsaciones
del apartado c).
f)
Calcular la expresión de la tensión v2(t) en régimen permanente para una tensión de
entrada v1(t) = 10 sen(100t) V.
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4.28 (Examen Febrero 2002) Considerando el circuito de la figura se pide:
a)
Obtener la función de transferencia
I (s)
Vi ( s )
b) ¿Cuál es el orden del circuito?
c)
i(t)
Pulsación de resonancia vista desde el generador vi.
d) Factor de calidad y ancho de banda correspondientes.
e)
Obtener la función de transferencia
f)
Obtener la función de transferencia
L
R
.
Vo1 ( s )
Vi ( s )
Vo 2 ( s )
Vi ( s )
.
vo1(t)
+
−
L
vi(t)
R
C
C
.
Conocidos los valores de los componentes del circuito: R = 100 Ω, L = 1 H, C = 1 µF; Se pide:
g) Trazar el diagrama de Bode de amplitud y fase de las funciones de transferencia
Vo 2 ( s )
Vi ( s )
Vo1 ( s )
Vi ( s )
y
. Se deben dibujar claramente las asíntotas señalando sus pendientes y las pulsaciones
de esquina. Además, se deben estimar los valores máximos o mínimos de módulo y su posición
en el diagrama de Bode de amplitud.
4.29 (Examen Septiembre 2002) Para el amplificador que se representa en la figura se pide lo siguiente:
C2
I(s)
a)
R
C1
+
Vg
-
gVg
RL
+
V0
-
Hallar la función de transferencia Vo(s)/I(s) en forma normalizada, en función de los parámetros que
constan en la figura. (Nota: “g” es la ganancia en A/V de la fuente dependiente)
b) Comprobar que la función de transferencia hallada es dimensionalmente correcta.
c)
Particularizando la función de transferencia hallada anteriormente para los valores: R = 80 kΩ,
C1 = C2 = 1pF, g = 0,1 mA/V y RL = 3,3 kΩ, dibujar los diagramas asintóticos de amplitud y fase.
Indicar los puntos característicos.
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vo2(t)
4.30 (Examen Febrero 2003) Considerando el circuito de la figura, en el que el amplificador operacional
se puede considerar a todos los efectos como un amplificador ideal, se pide:
a)
Obtener la función de transferencia entre la tensión de salida y la tensión de entrada en el formato
normalizado indicado a continuación:
a ( jω ) + aN −1 ( jω ) +
V
G ( jω ) = 2 = G0 ⋅ N
M
M −1
V1
bM ( jω ) + bM −1 ( jω ) +
N −1
N
+ an ( jω ) +
+ a1 ( jω ) + 1
+ bm ( jω ) +
+ b1 ( jω ) + 1
n
m
b) Indicar las unidades de cada elemento ai , bi
+
y G0 , comprobando que son coherentes con
las unidades de la función de transferencia.
c)
−
¿Se podría haber calculado el valor de G0 de
C
V1
forma más directa sin haber tenido que obtener
la función de transferencia completa? En caso
afirmativo explicar muy brevemente cómo se
calcularía dicho valor.
R1
L
V2
R2
Sabiendo que los valores de los elementos del circuito son: R1 = 10 Ω, R2 = 90 Ω, L = 1H y C = 1µF ,
se pide:
d) Calcular todas las pulsaciones (en rad/s) necesarias para trazar el diagrama de Bode asintótico de
amplitud.
e)
Dibujar el diagrama de Bode asintótico de amplitud.
f)
Indicar sobre el diagrama del apartado anterior el valor de la ganancia en dB de los puntos más
significativos, es decir, para la pulsación tendiendo a cero y las pulsaciones citadas en d).
Si la tensión de entrada es una onda no senoidal de pulsación
 cos (ω t ) cos ( 5ω t ) cos ( 9ω t )
v1 ( t ) = 5 − 10·
+
+
1
5
9

ω = 200 rad/s
con serie de Fourier:

V

g) Para obtener la expresión de la tensión de salida v2(t) en régimen permanente ¿es razonable ignorar
los términos de orden superior al cinco?
4.31 (Examen Febrero 2003)
a)
c)
Si M =
•
u
Para el circuito de la figura, obtener la
función de transferencia U(s)/I(s).
b) Comprobar que la expresión hallada es
dimensionalmente correcta.
M
i
A
L1
•
R
C
L2
B
L1L 2 , determinar la pulsación de resonancia del dipolo visto entre A y B.
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SOLUCIONES
4.1
a) G ( jω) =
4.2
Bode.
1
1
⋅
2 1 + jω
1/ 2
⋅
jω
2
2 ⋅ 0,2
 jω 
⋅ jω + 1
  +
10
 10 
4.3
a)
H(s) =
b)
H(s) =
c)
s⋅C⋅R
s ⋅ L ⋅ C + s ⋅ R ⋅ C +1
1,5 ⋅ 10 −5 ⋅ s
2
2


s
s
 6324,555  + 66666,67 + 1


1
jω
⋅
H( jω) =
2
66666,67 
jω 
jω

 +
+1
6324
,
555
66666
,67


4.4
2
a)
jω 


 +1
R
1/ L ⋅ C 

⋅
H( jω) =
2
r+R 
jω 
jω⋅ L

 + r + R +1
 1/ L ⋅ C 
2
 jω 
 314,192  + 1


b) H( jω) = 0,95238 ⋅
2
 jω  1, 013
 314,192  + 1050 jω + 1


c) Un posible uso sería como filtro para bloquear señales de frecuencia 314,192 rad/s (50Hz).
4.5
4.6
Bode.
1
s ⋅ L ⋅ C + s ⋅ R ⋅ C +1
1
a)
H(s) =
b)
H(s) =
c)
H( jω) =
d)
ωmax
2
2,5 ⋅ 10−8 ⋅ s 2 + 15 ⋅ 10− 6 ⋅ s + 1
K
=
2
1
2
 jω 
 jω 
jω



 + 15 ⋅ 10− 6 ⋅ jω + 1
 ω  + 2 ⋅ ς ⋅ ω + 1  6324,5 
n
 n
= 6310,3093 rad / s ω0 = 6324,55 rad / s
4.7
c) Para los valores elegidos, en el diagrama de amplitud la aproximación es válida para
ω > 700 rad/s, en cambio en el de fase sólo es aceptable para ω > 4000 rad/s.
4.8
H( jω) =
1 + jω
 ω  ω
1+ 2⋅ j  +  j 
 40   40 
2
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4.9Bode.
b)
55,7 dB.
4.10
Factor de calidad del circuito serie: Q =
4.11
U Z = 24 e
4.12
b) 67%
j
π
2
1
β⋅ L⋅C
V
4.13
a) Us = 0,8313 V.
b) Us = 0,0048 V.
c) Us = 0,0048 V.
d) f 0 = 1000,6Hz
e) ω1 = 996,3Hz
4.14
4.15
ω2 = 1004,918Hz





1 
1
C = ⋅

2
L R 
2
  L  + ωg 
 

L
C
L ⋅ C ⋅ R C 2 − L2
R L2 −
a) ω0 =
4.16
a)
b)
1
L⋅C
ω
L ⋅ ω0
1
QS = 0 =
=
β
R
R ⋅ C ⋅ ω0
ω0 =
c)
β=
R ω0
=
L QS
d)
I=
5
R
e)
VC0 = − j
a)
ω0 =
5
L
⋅
R C
4.17
1
R
− 
L⋅C  L 
2
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b)
c)
d)
e)
4.18
a)
ω0 ⋅ L
R
R
β=
L
R 2 + ω2 ⋅ L2
Z0 =
R
2
R + ω2 ⋅ L2
I0B = 2
R + jω ⋅ L ⋅ R
Q=
IC = 10, 053 A
b) cosϕ = 0,99
c) ω0 = 444 rad / s
d) IC = 83,173 A
e)
f)
4.19
P
= 0,196
S
ω = 1626, 79 rad / s
FP =
b)
C1 = 1,192 nF
C2 = 394,8 pF
vi (t) = 36, 063 cos(20 000 π t) + 0, 24612 cos(40 000 π t) V
a)
ω1 =
b)
Q1 =
a)
US
C1 (R1C2 s + 1)
Ls
=
⋅K⋅
Ue C1 + C2 + R1C1C2 s
R 2 LC3 s 2 + L s + R 2
a)
4.20
1
ω2 =
L ( CS + CP )
ω1 L ( Cs + Cp )
R Cs
β1 =
1
L CP
R Cs
L ( Cs + C p )
Q 2 = ∞ β2 = 0
4.21
b)
c)
d)
Bode.
Bode.
R 2 = 344,9275Ω
4.22
V0
L ⋅ C ⋅ s2 + 1
=
Vi L ⋅ C ⋅ s 2 + R ⋅ C ⋅ s + 2
b) Sobreamortiguada.
c) 2679,5 rad/s; 7071 rad/s; 37320,5 rad/s
d) 0,5 V/V; 1 V/V
e) 0 V/V
a)
4.23
L
= 2 ⋅ R2
C
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
4.24
a)
b)
Bode.
Bode.
c)
d)
e)
f)
ω = 1000 rad / s
Bode.
Bode.
g) (s+4).
ω0 =
4.25
R1
1
R 
⋅
− 2 
R1 + R 2 L ⋅ C  L 
2
4.26
a)
b)
c)
1
1
−
L ⋅ C C2 ⋅ R 2
β = 20,876Hz
R1 = 368,5Ω
ωr =
α = 1,83 rad / s
4.27
V2
C
s ⋅ C2 ⋅ R 2 + 1
=− 1⋅ 2
V1
C2 s ⋅ C1 ⋅ L1 + s ⋅ C1 ⋅ R1 + 1
b) G0: Ganancia del sistema a frecuencia 0. Es la ganancia estática.
c) G0 = –10. Pulsaciones: 1krad/s, 10 krad/s y 100 krad/s.
a)
d)
e)
f)
G ( jω) =
Bode.
Bode.
v 2 (t) = 100 sen(100 t − 3, 037) V
4.28
I(s) 1
Cs
=
Vi (s) 2 LCs 2 + RCs + 1
b) El circuito es de 2º orden
1
c) ωres =
LC
a)
1 L
R
; β=
R C
L
2
Vo1 (s) 1 2LCs + 2RCs + 1
e)
=
Vi (s) 2 LCs 2 + RCs + 1
d) Q =
f)
Vo2 (s)
1
=−
Vi (s)
2
a)
RR L ( g − C 2 s )
Vo (s)
=−
2
I(s)
RR L C1C2 s + ( RC1 + RC2 + R L C2 + RR L C2 g ) s + 1
b)
[Ω] =
4.29
 Ω 2   Ω −1 
−2
−1
−1
2
s ⋅ s  + s + s + s + Ω ⋅ s ⋅ Ω  s  + [⋅]
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Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
4.30
a)
V2 R1 + R2
=
⋅
V1
R1
 R ·R
R1
L 
2
LC ( jω ) +  1 2 C +
 ( jω ) + 1
R1 + R2
R1 + R2 
 R1 + R2
LC ( jω ) + R2 C ( jω ) + 1
2
b) an y bn tienen unidades de tiempon y G0 es adimensional
c) Sí, resolviendo el circuito en corriente continua: abriendo los condensadores y cortocircuitando
las bobinas.
d)
 jω   jω 
+ 1·
+ 1
2

−7
−2
10 ( jω ) + 10 ( jω ) + 1
ω1   ω 2 
V2

= 10 ⋅ −6
= 10·
2
2
V1
10 ( jω ) + 90·10−6 ( jω ) + 1
 jω 
 jω 

 + 2· z 
 +1
 ωn 
 ωn 
 ω = 99.9 rad / s ω 2 = 100.1 krad / s
donde  1
z = 0.045
ω n = 1000 rad / s
e)
(1.0000K,60.977)
(1.0000K,60.860)
50
8,20.043)
(100.041,23.098)
25
(100.041K,3.0089)
0
f)
VDB(V2)
100d
g) No, porque para la pulsación 1800 rad/s (armónico 9) la ganancia en amplitud es incluso
mayor que para frecuencias bajas.
4.31
L1L 2 − M 2 2
s + L1s
U(s)
R
a)
=
L
I(s)
L2C s2 + 2 s + 1
R
[ V ] = [Ω] + [Ω] + [Ω] = Ω
b)
[ ]
[ A ] [ i] + [ i] + [ i]
(L L
1
c) ω0 =
2
− M 2 ) C s3 +
1
L2 C
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