Campo Magnético

7 Campo magnético
Actividades del interior de la unidad
1. Dibuja las líneas del campo magnético de un imán recto y de un imán de
herradura.
En ambos casos, las líneas salen del polo norte y regresan al imán por el polo sur. En
los polos, las líneas están muy próximas, y están muy alejadas (imán recto) o son
prácticamente inexistentes (imán de herradura) fuera de esas zonas.
N
N
S
N
S
S
2. Explica cómo se puede identificar el polo norte y el polo sur de un imán.
Si suspendemos el imán mediante un hilo de forma que pueda girar libremente, se
orientará en el campo magnético terrestre. El extremo que apunte hacia el norte geográfico será el polo norte del imán.
3. Indica, razonando la respuesta, si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Una carga en reposo produce un campo magnético.
Una corriente eléctrica produce un campo magnético.
Una carga en movimiento produce un campo eléctrico y un campo magnético.
Las líneas del campo magnético nacen en el polo norte y mueren en el polo sur.
Un imán se orienta de forma que la línea de campo entre por el polo norte
y salga por el polo sur.
Es falsa, pues solamente las cargas en movimiento producen un campo magnético.
Es cierta, pues una corriente eléctrica es un movimiento ordenado de cargas y,
por tanto, produce un campo magnético.
Es cierta, pues una carga siempre produce un campo eléctrico, esté en reposo o
esté en movimiento, y por estar en movimiento produce un campo magnético.
Es falsa, ya que las líneas del campo magnético son líneas cerradas y, por tanto,
no nacen ni mueren en ningún punto, en todo caso se puede decir que salen por
el polo norte y entran por el polo sur.
Es falsa, pues un imán se orienta en un campo magnético de forma que las líneas
de campo entren por su polo sur y salgan por el norte; es decir, intenta estar
alineado con el campo, porque de esta forma su energía potencial es mínima.
Unidad 7. Campo magnético
231
4. Calcula la velocidad de una carga de 2 µC que se mueve en línea recta, para
que produzca un campo magnético de 0,014 T a una distancia de 3 cm de su
trayectoria.
La distancia entre el punto donde medimos el valor del campo y la trayectoria de la
partícula cargada se mide sobre la perpendicular a la trayectoria de la partícula, de
8
8
modo que los vectores v y r son perpendiculares; por tanto:
B=
q·v
µ0
0,014 · 4 · π · 0,032
B · 4 · π · r2
8v=
·
=
= 6,3 · 107 m/s
2
r
4·π
2 · 10–6 · 4 · π · 10–7
q · µ0
5. Por un conductor rectilíneo indefinido situado sobre el eje X circula una
corriente eléctrica de 40 A. Calcula el módulo, la dirección y el sentido del
campo magnético creado por dicha corriente en los puntos, expresados en
metros: A (0, 2, 0); B (2, 2, 0); C (0, 0, 2); D (0, 0, –2); E (0, 2, 2).
La distancia de un punto P (x, y, z) al eje X es:
dx =
√y 2 + z 2
Entonces, la distancia de cada uno de esos puntos a la línea de corriente es:
dA = 2 m ; dB = 2 m ; dC = 2 m ; dD = 2 m ; dE =
√22 + 22
=
√8
=2·
√2
m
Por tanto, el módulo del campo magnético en los puntos A, B, C y D es el mismo,
por encontrarse todos ellos a la misma distancia de la línea de corriente:
µ0 · I
4 · π · 10–7 · 40
BA = BB = BC = BD =
=
= 4 · 10–6 T
2 · π · dA
2·π·2
En el caso del punto E, su valor es:
µ0 · I
4
4 · π · 10–7 · 40
BE =
=
=
· 10–6 = 2,83 · 10–6 T
2 · π · dE
2
2 · π · 2 · √2
√
En la figura inferior se ha representado la línea de campo que pasa por cada uno de
esos puntos y la dirección y el sentido del campo magnético en ellos. A partir del dibujo, y expresándolos en componentes cartesianas, tenemos:
8
8
8
8
8
8
8
8
BA = 4 · 10–6 · k T ; BB = 4 · 10–6 · k T ; BC = –4 · 10–6 · j T ; BD = 4 · 10–6 · j T
8
8
8
8
8
4
BE =
· 10–6 · (–cos 45° · j + sen 45° · k ) = –2 · 10–6 · j + 2 · 10–6 · k T
√2
Z
BE
BC
C
E
BA
A
I = 40 A
Y
BB
B
D
BD
X
232
Unidad 7. Campo magnético
6. Calcula la intensidad de la corriente eléctrica y el sentido en que ha de circular por una espira circular, situada en el plano del papel y de 7 cm de radio, para que el campo magnético en su centro valga 2,7 · 10–4 T y salga hacia ti.
Si el campo magnético sale hacia el lector, según la regla del tornillo la corriente circula por la espira en sentido antihorario. De la expresión del valor del campo magnético producido en el centro de una espira circular, despejamos el valor de la intensidad de corriente que circula por ella:
–4
µ ·I
8 I = B · 2 · R = 2,7 · 10 · 2 ·–70,07 = 30 A
B= 0
2·R
4 · π · 10
µ0
7. Calcula el campo magnético producido por dos corrientes rectilíneas paralelas del mismo sentido de intensidades I1 = 8 A e I2 = 4 A, separadas 15 cm, en
el punto medio entre ellas. ¿Dónde se anula el campo?
Como las corrientes circulan en el mismo sentido en ambos conductores, los campos
magnéticos producidos por cada una en la zona entre ellas tienen sentidos opuestos,
como se indica en la figura:
d
I1
I2
B1
B1
B1
B2
B2
B2
En el punto medio entre ellas, los valores de cada campo son:
µ0 · I1
4 · π · 10–7 · 8
B1 =
=
= 2,13 · 10–5 T
2 · π · d1
2 · π · 7,5 · 10–2
µ0 · I2
4 · π · 10–7 · 4
=
= 1,07 · 10–5 T
2 · π · d2
2 · π · 7,5 · 10–2
El campo magnético total en el punto medio vale:
B2 =
B = B1 – B2 = 2,13 · 10–5 – 1,07 · 10–5 = 1,06 · 10–5 T
El campo se anula cuando:
8
8
8
8
8
B = B1 + B2 = 8 B1 = –B2
Por tanto, el campo solo se puede anular en el plano que determinan ambas corrientes, pues en cualquier punto de él ambos campos tienen la misma dirección; además,
solo tienen distinto sentido en la zona entre ambas corrientes; en consecuencia, se
anulará en el punto de ese segmento en que tengan el mismo módulo:
B1 = B2 8
I
I2
8
4
µ0 · I1
µ0 · I2
8 1 =
8
8
=
=
x
(0,15 – x)
x
0,15 – x
2·π·x
2 · π · (0,15 – x)
8 8 · (0,15 – x) = 4 · x 8 x = 0,1 m
Esto es, el campo se anula a 10 cm de la corriente de 8 A y a 5 cm de la de 4 A.
Unidad 7. Campo magnético
233
8. Calcula el valor del campo magnético en el interior de un electroimán formado por un solenoide de 500 espiras y 8 cm de longitud, por el que circula
una corriente de 2 A, y cuyo hueco está ocupado por hierro recocido de permeabilidad relativa µr = 5 400.
El campo en el interior de un solenoide que está ocupado por material ferromagnético es:
µ·I·N
µ ·µ ·I·N
5 400 · 4 · π · 10–7 · 2 · 500
B=
= r 0
=
= 84,8 T
L
L
0,08
9. ¿Qué le ocurre al electroimán de la actividad anterior si la corriente es alterna; es decir, cambia de sentido cada cierto tiempo?
Si la corriente es alterna, durante medio período la corriente circula en un sentido, y
produce un campo magnético de forma que un extremo de la barra de hierro es un
polo norte y el otro un polo sur, pero al medio período siguiente cambia el sentido
de la corriente y se intercambian los polos en cada extremo de la barra.
Lo que sucede es que el dispositivo no sirve como imán, pues cuando acercamos
un trozo de hierro a un extremo, A, del solenoide, durante el medio período que el
extremo A es un polo norte, imanta al trozo de hierro y convierte a la parte más
próxima en un polo sur, y lo atrae; pero como rápidamente cambia el sentido de la
corriente y A se convierte en polo sur, repele el extremo del trozo de hierro que había sido imantado como polo sur, y lo convierte en un polo norte, atrayéndolo ahora; pero vuelve a cambiar la polaridad y lo repele…
Recuerda que nuestra corriente alterna tiene una frecuencia de 60 Hz, es decir, en
un segundo cambia de sentido 60 veces.
10. Calcula la longitud de cable necesario para construir un solenoide de 4 cm
de radio y 15 cm de longitud para que, cuando por el cable pase una corriente de 5 A, el campo en su interior, vacío, valga 0,1 T.
A partir de la expresión del campo magnético creado en el interior de un solenoide
podemos obtener el número de espiras de este:
µ·I·N
B·L
8 N=
B=
µ·I
L
De donde:
0,1 · 0,15
N=
= 2 387 espiras
4 · π · 10–7 · 5
Por tanto, la longitud necesaria de cable para construir el solenoide de 4 cm de radio es:
L = N · 2 · π · R = 2 387 · 2 · π · 0,04 = 600 m
11. ¿Cómo se ha de mover una partícula cargada en un campo magnético para
que realice un m.r.u.?
Una partícula realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando la fuerza neta que
actúa sobre ella es nula. La única fuerza que actúa sobre una partícula cargada en
un campo magnético es:
8
8
8
F =q·v ÒB
8
8
Y solo es nula, sin serlo ninguno de sus términos, cuando los vectores v y B son
paralelos, es decir, cuando la partícula cargada se mueve paralelamente al campo
magnético.
234
Unidad 7. Campo magnético
12. Un electrón penetra con una velocidad de 4 · 105 m/s perpendicularmente en
un campo magnético de 0,2 T. Calcula: a) La fuerza que actúa sobre el electrón. b) Su aceleración. c) El radio de la trayectoria que describe. d) El número de vueltas que da en 1 ms. Dato: me = 9,1 · 10 –31 kg.
a) Como el electrón penetra perpendicularmente en el campo magnético, el valor
de la fuerza que experimenta es:
F = q · v · B = 1,6 · 10–19 · 4 · 105 · 0,2 = 1,28 · 10–14 N
b) Puesto que F = m · a, la aceleración del electrón es:
F
1,28 · 10–14
a=
=
= 1,4 · 1016 m/s2
m
9,1 · 10–31
c) El radio de su trayectoria circular es:
m·v
9,1 · 10–31 · 4 · 105
R=
=
= 1,1 · 10–5 m
q·B
1,6 · 10–19 · 0,2
d) En dar una vuelta tarda un tiempo (período):
2·π·R
2 · π · 1,1 · 10–5
=
= 1,7 · 10–10 s
v
4 · 105
Por tanto, el número de vueltas que da en 1 ms (1 · 10–3 s) es:
1 vuelta
10–3 s
n = 1 ms ·
·
= 5,9 · 106 vueltas
1 ms 1,7 · 10–10 s
T=
13. Calcula el valor y el sentido de un campo magnético perpendicular al plano
del papel para que un protón describa una circunferencia de radio 5 cm,
en el plano del papel en sentido horario, y tarde 1,57 · 10–6 s en dar una
vuelta. ¿Cuál es la energía cinética del protón? La masa del protón es:
mp = 1,67 · 10–27 kg.
Para que el protón (carga positiva) describa una circunferencia en sentido horario en
el plano del papel, el campo magnético debe ser perpendicular al plano del papel.
Si el protón entra con una velocidad dirigida hacia la derecha a lo largo del papel y
el campo está dirigido hacia dentro del papel, entonces la fuerza magnética está dirigida hacia la parte superior del papel, por lo que el protón sería desviado hacia arriba y describiría una trayectoria circular en sentido antihorario, como se muestra en la
figura inferior de la izquierda. Pero si el campo sale del papel hacia el lector, la fuerza sobre el protón está dirigida hacia abajo y el protón es desviado hacia abajo describiendo una trayectoria circular en sentido horario (figura inferior de la derecha).
B
B
FP
qP
Unidad 7. Campo magnético
qp
v
FP
235
Si tarda 1,57 · 10-6 s en dar una vuelta en una circunferencia de radio 5 cm, su velocidad es:
2·π·R
2 · π · 0,05
v=
=
= 2 · 105 m/s
T
1,57 · 10–6
Y como la velocidad y el campo son perpendiculares, el valor del campo ha de ser:
m·v
v2 8
1,67 · 10–27 · 2 · 105
F=q·v·B=m·
B=
=
= 0,04 T
q
·
R
R
1,6 · 10–19 · 0,05
La energía cinética del protón es:
1
1
Ec = · m · v 2 = · 1,6 · 10–27 · (2 · 105)2 = 3,2 · 10–17 J
2
2
14. Calcula el módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico necesario pa8
ra que una partícula cargada que 8se mueve8a 104 · i m/s no resulte desviada
al atravesar el campo magnético B = 0,01 · k T.
La fuerza magnética que actúa sobre la partícula es:
8
8
8
8
8
8
F = q · v Ò B = q · 104 · i Ò 0,01 · k = –q · 100 · j N
Para que la partícula no resulte desviada, esta fuerza ha de ser contrarrestada por la
fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la carga eléctrica; por tanto:
8
8
8
8
8
8
8
F = Fm + Fe = 0 8 Fe = –Fm = –(–q · 100 · j ) = q · 100 · j
De la expresión de la fuerza eléctrica despejamos el campo eléctrico:
8
8
8
8
8
8
Fe = q · E 8 q · E = q · 100 · j 8 E = 100 · j N/C
15. Calcula el valor de la fuerza sobre un conductor rectilíneo de 20 cm por el
que circula una corriente de 5 A situado en un campo magnético de 0,2 T
cuando el campo y la corriente: a) Son perpendiculares. b) Forman 30°.
c) Son paralelos.
La fuerza sobre un conductor rectilíneo colocado en un campo magnético es:
8
8
8
F=I·LÒB
a) En este caso, la fuerza es máxima y su valor es:
F = I · L · B · sen 90° = 5 · 0,2 · 0,2 · 1 = 0,2 N
b) Ahora, la fuerza es perpendicular al plano que forman ambos, y su módulo es:
F = I · L · B · sen 30° = 5 · 0,2 · 0,2 · 0,5 = 0,1 N
c) Si son paralelos, la fuerza es nula, pues el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo:
F = I · L · B · sen 0° = 0 N
En la siguiente gráfica se pueden observar los tres supuestos:
F=I·L·B
F = I · L · B · sen α
F=0
B
B
B
I
236
I
α
I
Unidad 7. Campo magnético
16. Dos corrientes rectilíneas de 4 A y 6 A, respectivamente, están separadas
40 cm. Calcula la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada una cuando son: a) Paralelas y del mismo sentido. b) Paralelas en sentido contrario.
La fuerza que actúa sobre una corriente rectilínea en un campo magnético es:
8
8
8
F=I·LÒB
Y el campo magnético producido por una corriente rectilínea es perpendicular a la
línea de corriente. Teniendo esto en cuenta:
a) Si las corrientes son paralelas y del mismo sentido, el campo producido
por una
8
8
donde se encuentra la otra es perpendicular a la línea de corriente, L 2 B:
Y
d = 40 cm
I1
I2
F2,1
B1
X
F1,2
B2
Z
Según la regla del tornillo para el producto vectorial, la fuerza es atractiva y su
valor por unidad de longitud es:
µ ·I ·I
4 · π · 10–7 · 4 · 6
F
= 0 1 2 =
= 1,2 · 10–5 N/m
2 · π · 0,4
2·π·d
L
b) Si las corrientes son paralelas pero de distinto sentido, el valor de la fuerza por
unidad de longitud es el mismo que el del apartado anterior, 1,2 · 10–5 N/m, pero
ahora las corrientes se repelen, como se observa en la figura:
µ ·I ·I
4 · π · 10–7 · 4 · 6
F
= 0 1 2 =
= 1,2 · 10–5 N/m
2 · π · 0,4
2·π·d
L
Y
d = 40 cm
I1
F2,1
B2
I2
B1
F1,2
X
Z
17. Un conductor rectilíneo por el que circula una corriente de 20 A está situado
en el eje de un solenoide de 15 cm de longitud, formado por 500 espiras circulares de 2 cm de radio y que es recorrido por una corriente de 6 A. Calcula: a) El campo magnético producido por cada corriente en los puntos donde se encuentra la otra. b) La fuerza que ejerce una corriente sobre la otra.
a) El valor del campo magnético producido por la corriente I1 que circula por el solenoide en los puntos donde se encuentra la corriente rectilínea I2 es:
B1 =
Unidad 7. Campo magnético
µ0 · I1 · N
4 · π · 10–7 · 6 · 500
=
= 0,025 T
L
0,15
237
La dirección de este campo coincide con la del eje del solenoide, donde se encuentra el conductor rectilíneo.
Por otro lado, el valor del campo magnético producido por la corriente rectilínea
I2 en cada punto de las espiras del solenoide es:
B2 =
µ0 · I2
4 · π · 10–7 · 20
=
= 2 · 10–4 T
2 · π · 0,02
2·π·R
Su dirección es tangente en cada punto a las espiras del solenoide.
b) La fuerza que ejerce la corriente del solenoide, I1, sobre la del conductor rectilíneo, I2, es:
8
8
8
8
8
F1, 2 = I2 · l 2 Ò B 1 = 0
Ya que los vectores l 2 y B 1 son paralelos y, por tanto, el producto vectorial es nulo. Por tanto, la fuerza que ejerce el solenoide sobre el conductor rectilíneo es
nula.
Por el principio de acción y reacción, el conductor rectilíneo no debe ejercer ninguna fuerza sobre el solenoide. Esto último también lo podemos comprobar cal8
culando la fuerza que actúa sobre cada elemento de corriente del solenoide,
dl 1,
8
por estar situado en el campo magnético del conductor rectilíneo, B 2:
8
8
8
8
8
dF2, 1 = I1 · d l 1 Ò B 2 = 0
pues d l 1 y B 2 son paralelos.
18. Calcula el momento máximo que actúa sobre una espira de lados a = 20 cm y
b = 25 cm, por la que circula una corriente de 2,5 A, colocada en un campo
magnético de 0,5 T.
El momento sobre una espira colocada en un campo magnético es:
8
8
8
M=I·S ÒB
El momento alcanza su valor máximo cuando el vector superficie, perpendicular al
plano de la espira, es perpendicular al campo magnético; por tanto, el valor máximo
del momento es:
M = I · S · B = I · a · b · B = 2,5 · 0,2 · 0,25 · 0,5 = 0,0625 N · m
238
Unidad 7. Campo magnético