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Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21
Álgebra y Matemática Discreta
Sesión de Teorı́a 21
(c) 2013 Leandro Marı́n, Francisco J. Vera, Gema M. Dı́az
25 Nov 2013 - 1 Dic 2013
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Teorı́a 21
Producto Escalar
Módulos y Distancias
Introducción
En los capı́tulos anteriores hemos desarrollado el álgebra lineal
sobre cuerpos arbitrarios.
Muchos de nuestros ejemplos incluı́an los cuerpos finitos.
Dentro de un cuerpo finito no hay una relación de orden,
puesto que la relación de orden que tenı́amos en Z se ha
perdido al no respetar la relación de congruencia.
En este capı́tulo vamos a tratar propiedades métricas de los
espacios vectoriales, por lo que necesitamos tener una noción
de distancia.
Por lo tanto en este tema vamos a utilizar sólo espacios
vectoriales sobre R.
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Producto Escalar
Módulos y Distancias
Producto Escalar de dos Vectores
Producto Escalar
Sean u = (u1 , u2 , · · · , un ), v = (v1 , v2 , · · · , vn ) dos vectores de Rn .
Llamaremos producto escalar de u y v y lo representaremos por
hu, v i = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
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Producto Escalar
Módulos y Distancias
Representación Matricial del Producto Escalar
Si utilizamos columnas, es decir, u =
u1
u2
..
.
yv =
v1
v2
..
.
vn
un
podemos representar el producto escalar como el producto de las
siguientes matrices:
v1
v2
u1 u2 · · · un . = u ⊤ v
..
vn
Si estuviéramos utilizando vectores fila la transpuesta estarı́a al
otro lado. Esta representación matricial será útil para hacer
algunos cálculos de forma compacta.
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Producto Escalar
Módulos y Distancias
Primeras Propiedades del Producto escalar
Aunque sea una obviedad, fijémonos que el producto escalar
de dos vectores es un número, no un vector.
El producto escalar es conmutativo, es decir, hu, v i = hv , ui.
Además, si cualquiera de los dos vectores es 0, se tiene que el
producto es 0, h0, v i = 0 = hu, 0i.
El producto escalar es lineal en las dos variables,
hu + u ′ , v i = hu, r i + hu ′ , v i y hαu, v i = αhu, v i y también en
la otra variable.
Todas estas son propiedades muy sencillas de comprobar sin
mas que aplicar la defición.
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Producto Escalar
Módulos y Distancias
Norma de un Vector
Producto Escalar
Sea u ∈ Rn . Llamaremos norma de u a kuk =
p
hu, ui.
La norma del vector 0 es siempre 0.
Recı́procamente, si kuk = 0, entonces tendrı́amos que
u12 + u22 + · · · + un2 = 0 y esta es una suma de números
mayores o iguales que cero, en cuanto uno de ellos dejase de
ser 0, la suma total no podrı́a ser nunca 0. √
Si calculamos la norma de kλuk obtenemos λ2 kuk, lo cual
parece λkuk, pero la raiz cuadrada la tenemos que tomar
siempre positiva, por lo tanto si λ es negativo, hay que
cambiar de signo. Tenemos pues que kλuk = |λ|kuk.
En particular kuk = k − uk para cualquier vector u.
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Producto Escalar
Módulos y Distancias
Norma de un Vector
Distancias
Sean u, v ∈ Rn . Llamaremos distancia entre u y v a
d(u, v ) = ku − v k.
La distancia entre dos vectores es 0 si y sólo si ku − v k = 0 y
esto sucede únicamente cuando u = v .
La distancia de u a v es igual que la de v a u, porque
u − v = (−1)(v − u) y por tanto ku − v k = kv − uk.
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Producto Escalar
Módulos y Distancias
Desigualdad Triangular
Dados dos vectores, su suma se puede hacer gráficamente
como la concatenación de los dos, es decir, poner uno y
después el otro.
Si medimos las longitudes de todos los vectores involucrados,
tenemos que ku + v k ≤ kuk + kv k.
Si aplicamos esto a distancias, tenemos que
d(u, v ) ≤ d(u, w ) + d(w , v ) para cualquier vector w .
Estas relaciones se conocen como desigualdad triangular,
porque indican que la suma de dos de los lados de un
triángulo, es siempre mayor o igual que el tercero.
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Sean u, v ∈ Rn , entonces |hu, v i| ≤ kukkv k.
Si u y v son vectores no nulos, de esta desigualdad podemos
hu,v i
deducir que −1 ≤ kukkv
k ≤ 1. A este número se le llama coseno
del ángulo formado por dichos vectores. Si llamamos α a este
ángulo, podemos escribir
hu, v i = cos(α)kukkv k
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Vectores Ortogonales
Hemos visto que el producto escalar de cualquier vector por el 0 es 0, pero
podemos encontrar vectores que no son cero, pero que su producto es 0.
Un ejemplo inmediato es
[ 1
0 ]
0
1
= 0.
También se puede conseguir sin ceros,
[ 1
−1 ]
1
1
= 0.
Cuando tengamos dos vectores (no nulos) u y v tales que hu, v i = 0,
diremos que son ortogonales.
Eso sucede cuando el coseno del ángulo formado por ellos es de 90 grados
o π/2 radianes, es decir, son vectores perpendiculares.
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Complemento Ortogonal
Complemento Ortogonal
Sea W un subespacio de Rn , llamaremos complemento ortogonal
de W al subespacio
W ⊥ = {v ∈ Rn : hv , w i = 0 ∀w ∈ W }.
Es decir, es el espacio de los vectores que son perpendiculares
a todos los del espacio W .
Por ejemplo, si tenemos una recta en el plano, su
complemento ortogonal es su recta perpendicular.
El el espacio tridimensional, el ortogonal de una recta es un
plano, y el ortogonal a un plano es una recta.
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Propiedades del Espacio Ortogonal
El único vector que está en la intersección W ∩ W ⊥ es el vector 0.
dim(W ) + dim(W ⊥ ) = n.
W ⊥⊥ = W .
⊥
0⊥ = Rn y (Rn ) = 0.
Si V ⊆ W entonces W ⊥ ⊆ V ⊥
(V + W )⊥ = V ⊥ ∩ W ⊥
(V ∩ W )⊥ = V ⊥ + W ⊥
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Espacio Ortogonal y la Operación ⊥
En el tema de espacios vectoriales introdujimos una operación
⊥ para matrices, pero no le dimos nombre. Dijimos que tenı́a
alguna relación con la perpendicularidad. Ahora estamos en
condiciones de ver qué es esa operación.
Vamos a empezar viendo unos ejemplos. Consideremos los
puntos de R3 que cumplen la ecuación x + y − z = 0.
Esto es un subespacio dado en forma implı́cita, pero también
lo podemos escribir como el conjunto de puntos que cumplen
x
1 1 −1 y = 0
z
.
O lo que es lo mismo, los vectores perpendiculares a (1, 1, −1).
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Espacio Ortogonal y la Operación ⊥ II
Esto sucede para cualquier número de ecuaciones.
Cuando calculamos KerM, lo que realmente calculamos es el
conjunto de vectores que son ortogonales con las filas de M.
Por lo tanto, calcular ⊥ sobre matrices, nos da el espacio
ortogonal.
PERO SOLO EN ESPACIOS VECTORIALES SOBRE LOS
NÚMEROS REALES.
No existe la perpendicularidad en cuerpos finitos.
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Producto Escalar
Ángulos y Perpendicularidad
Ejemplo
La ecuación x + y = 0 en Z22 es una recta.
Pero el vector (1, 1) está en esa recta.
Es decir, si aplicáramos las reglas del ortogonal sobre los
números reales, tendrı́amos que (1, 1) es ortogonal a sı́ mismo,
lo cual es imposible para un vector no nulo.
Ası́ que mucho cuidado, no se puede hablar de producto
escalar en cuerpos finitos, sólo en números reales.
Pero en números reales, sı́ funciona.
