PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Sean ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 
.
DEF.- El producto escalar de ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ se define como ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
| | | ⃗⃗ |
siendo α el ángulo que forman los dos vectores.
OBSERVACIONES : a) Por comodidad, el ángulo se toma el menor posible.
b) está bien definido, es decir, no depende de los representantes elegidos.
c) ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗ | | |
|⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗ |
√
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR :
⃗⃗⃗
̿̿̿̿̿̿
Como
|⃗ |
̿̿̿̿̿̿
|⃗⃗⃗⃗ | | |
⃗⃗⃗
|⃗ |
; luego juntando las dos ecuaciones
|⃗⃗⃗ | ̿̿̿̿̿ ; es decir : “ el producto escalar es igual al
tenemos que : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él”
̿̿̿̿̿̿
⃗⃗⃗
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR :
1.- El producto escalar no es una operación interna , ni externa.
2.- conmutativa : ⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗
;
⃗⃗ )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ (
( ⃗⃗
3.- distributiva : ⃗⃗⃗
4.-
⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ) ;  α   ; ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
{ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
5.- ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN UNA BASE ORTONORMAL
Sea β = *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + la base ortonormal. Sean ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

√⃗⃗⃗
)
) . Luego :
⃗⃗⃗
y como ⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗ = {
El módulo :
(
·⃗⃗⃗⃗ =(
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗
·
√
El ángulo que forman dos vectores :
⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗ | | ⃗⃗ |
·⃗⃗⃗
⃗⃗⃗