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Modulo I: Oscilaciones (9 hs)
1.
2.
3.
4.
Movimiento Armónico Simple (MAS)
Oscilaciones Amortiguadas
Oscilaciones forzadas y resonancia
Superposición de MAS
3.1 Oscilaciones forzadas
3.2 Estado transitorio y estado estacionario
3.3 Resonancia
3.4 Potencia suministrada al oscilador
3.5 Factor de calidad y ancho de la resonancia
Bibliografía: Tipler y Mosca Capítulo 14
17/02/2012
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1
3.1 Oscilaciones forzadas
Sobre el sistema, además de la fuerza elástica y de la
fuerza viscosa, actúa una fuerza externa periódica
(“forzamiento”) que “mantiene” la oscilación (sino
eventualmente el sistema se detiene).
 F  ma
 bv  kx  F0 cos t  ma
d 2 x b dx k
F0

 x  cos t
2
dt
m dt m
m
x  2 x   x  ( F0 / m) cos t
2
0
Parámetro de amortiguamiento:
  b /( 2m)
Frecuencia angular natural del sistema:
0  k / m
Frecuencia angular de la fuerza externa:

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Ecuación diferencial
ordinaria de 2º orden
lineal y NO homogénea
2
Solución de
x  2 x  02 x  ( F0 / m) cos t
x(t )  xh (t )  x p (t )
Solución general de la
ecuación dif. no homogénea
Solución de la
ecuación dif.
homogénea
Solución particular de la
ecuación dif. no homogénea
x  2 x  02 x  0
xh (t )  Ah e t cos(ht  h )
Estado transitorio:
oscilación amortiguada
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x p (t )  A cos(t   )
Estado estacionario:
MAS de frecuencia
angular 
3
3.2 Estado transitorio y estado estacionario
x(t )  xh (t )  x p (t )  Ah e  t cos(ht  h )  A cos(t   )
Oscilación
MAS
amortiguada
 Ah y h son constantes que dependen de las condiciones
iniciales x(0) y v(0).
 A y  NO dependen de las condiciones iniciales.
 Luego de un cierto tiempo (4-5, =1/2) el estado
transitorio desaparece y queda solo el estado estacionario.
 Calculamos A y  sustituyendo en la ecuación diferencial:
x(t )  A cos(t   )
x   A sin(t   )
x   A 2 cos(t   )
x  2 x  02 x  ( F0 / m) cos t
 A 2 cos(t   )  2 A sin(t   )
 02 A cos(t   )  ( F0 / m) cos t
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Determinación de A y 
 A2 cos(t   )  2 A sin(t   )  02 A cos(t   )  ( F0 / m) cos t
 Juntando términos
A(02  2 ) cos(t   )  2 A sin(t   )  ( F0 / m) cos t
cos(t   )  cos t cos   sin t sin 

sin(t   )  sin t cos   cos t sin 
 Usamos que
A(02  2 )cos t cos   sin t sin    2 Asin t cos   cos t sin    ( F0 / m) cos t
 Reordenamos términos
A(
2
0



 2 ) cos   2 A sin   F0 / m cos t  A(02  2 ) sin   2 A cos  sin t  0
[coeficiente 1] cos t + [coeficiente 2] sin t = 0
Esta igualdad se verifica para todo tiempo si y solo si los dos coeficientes son nulos
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Determinación de A y 
coeficiente 1
A(02   2 ) cos   2  A sin   F0 / m  0
coeficiente 2
F0 / m
(02   2 ) cos   2  sin 
Ecuación (I)
2 
tan   2
0   2
A(   ) sin   2 A cos   0
2
0
A
2
02   2
 Usamos que cos  

2
1  tan 
(02   2 )2  (2 )2
1
sin  
tan 
1  tan2 

2
(02   2 )2  (2)2
 Y sustituimos en la Ecuación (I)
A
F0 / m
A
(02   2 )
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 
2 

2


(02   )  (2  )2
(02   2 )2  (2  )2
2
0
2 2
2
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
F0 / m
2
0

  2  4 2 2
2
6
La amplitud (A) y la fase () dependen de la frecuencia
angular del forzamiento externo ()
x(t )  A cos(t   )
A

F0 / m
2
0


2 2
 4 2 2
2 
tan   2
0   2
1  2  3
F  F0 cos 1t
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F  F0 cos 2t
F  F0 cos 3t
Línea negra: F(t), línea de color, x(t)
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Ejemplo: máquina giratoria (M) que tiene un elemento
(m) que no esta equilibrado
 m realiza un MCU, x’(t) es un MAS
x  a cos(t )
 “El resto” de la máquina (M-m)
realiza una fuerza F sobre m
F  mam  m( x  x)  m( x   2 x)
aceleración de m
 Ecuación del movimiento de “el resto” de la máquina:
donde
 F  kx  bx  F
i
Por la 3ª Ley de Newton, m hace
una fuerza contraria (-F) sobre
“el resto“ de la máquina (M-m)
 F  ( M  m) x
i
 kx  bx  m( x   2 x)  ( M  m) x
 kx  bx  m2 x  Mx
Mx  bx  kx  m 2 x  ma 2 cos(t )
x  a cos(t )
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Oscilación forzada
con F0=m a2
8
3.3 Resonancia
En un oscilador forzado la amplitud de oscilación
es función de la frecuencia del forzamiento:
A

F0 / m

  2  4 2 2
Si   0 (forzamiento muy lento): A  F0/m02 = F0/m(k/m)= F0/k
Si  (forzamiento muy rápido): A  0
Hay una frecuencia de forzamiento que nos da una amplitud de oscilación máxima.
2
2
0
-3
6
A es máximo cuando el
denominador es mínimo
5
max = frecuencia de
resonancia en amplitud
max depende de 
Si <<0 max  0
 = /15
0
 = /6
0
 = /3
4
2
A (m)
max    2
2
0
x 10
0
3
0 = 36 rad s-1
F0/m=1 m
2
1
0
0
20
40
60
80
100
 (rad/s)
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Resonancias catastróficas
Millenium Bridge
http://www.youtube.com/watch?v=eAXVa__XWZ8
Tacoma Bridge http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
Problema 27
Después de colocar un motor eléctrico de masa M=18 kg sobre una viga horizontal,
ésta se flexiona Δx=6 mm. Determinar:
a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el sistema no entre en
resonancia.
b) Si el rotor del motor tiene una masa m=8 kg y está descentrado una distancia
a=0.5 cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor gire a
350 rpm? (suponer β << ω0)
Solución:  = 386 rpm A = 1.03 cm
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Desfasaje entre el forzamiento, F(t), y la
velocidad de la partícula, v(t)
En el estado estacionario:
x(t )  A cos(t   )
  

2
v(t )   A sin(t   )  A cos(t     / 2)  A cos(t   )
F (t )  F0 cos t


v(t )  A cos(t   ) 
  1

tan   tan    

2  tan 

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 es el desfasaje entre la fuerza y la velocidad
1

2 
02   2
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 2  02
tan  
2 
11
Impedancia (Z) del oscilador
vmax
v(t )  A cos(t   )  vmax cos(t   )
( F0 / m)
F0 / m
F0

 A 

2
2 2
2 2
2
2 2
0     4   0     4 2 Z
  


 
Z  m 
 
2
0
2
2

  4  2

  b /( 2m)
0  k / m
F0
 A
Z
2
k

Z   m    b2


Z es mínimo cuando =0 : Zmin = b
vmax 
F0
Z
vmax máxima  Z mínimo
F
vmax,max  0
b
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ejercicio
cos  
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b
Z
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Resonancia en energía. Gráfica de vmax = A = Fo/Z
 

 
2
0
2
2

  4  2


F0
0.25
Máximo en 0  
La energía cinética del oscilador es
proporcional al cuadrado de su
velocidad máxima
0.2
F0/m =1,
0 = 36 rad s-1
0.15
0.1
0.05
Definición: Un oscilador está en resonancia
cuando su energía cinética es máxima
 Condición de resonancia:
 =/3
 =/6
 =/15
2
k

2
m



 b


 A (rad m/s)
vmax 
F0 / m
0
0
frecuencia del
forzamiento externo
20
40
60
80
100
 (rad/s)
=
frecuencia natural
del oscilador
  0  k / m
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Representación fasorial
En resonancia se cumple que:
1)
  0  k / m
F  F0 cos t  F0 cos 0t
2


2) Z  m       4  2


2
0

2


x  A cos(t   )
3) tan  
4) A 
2 
02   2

tan   

  2  4 2 2
2
v(t )  A cos(t   )
F0 F0
5) v

A



max
Z
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Desfasaje entre x(t) y F(t)
F0 / m
2
0
Z  2m  b
b


2
F0 / m F0 / m
F0 / m
F0
A



2 20 (b / m)0 b0
F0

x
(
t
)

cos(

t

)
Desfasaje entre v(t) y F(t)
0
b0
2
2

 02
6) tan  
0
2
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 0
F0
v(t )  cos(0t )
b
14
3.4 Potencia suministrada al oscilador
 En el estado estacionario el movimiento es un MAS
 La energía del oscilador es constante
 La potencia suministrada por la fuerza externa es igual a la potencia disipada
por la fuerza de fricción
cosa  b  cos a cos b  sin a sin b
F

P  F  v  F0 cos t  0 cost   
Z

F02
P
cos t cos t cos   sin t sin  
Z
1  cos 2a
sin 2a
cos 2 a 
, sin a cos a 
2
2
F02

P
cos 2 t cos   sin t cos t sin  
Z
F02  1  cos 2t
sin 2t

P
cos


sin  

Z 
2
2

cosa  b  cos a cos b  sin a sin b
F02
cos   cos 2t cos   sin 2t sin  
P
2Z
F02
cos   cos2t   
P(t ) 
2Z
Observar que la potencia suministrada por unidad de tiempo
(instantánea) puede ser negativa en algún momento de la oscilación
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Potencia media suministrada
T
T
F02 1
1
cos   cos2t   dt
P   Pdt 

2Z T 0
T 0
F 1
F 
cos

dt

2Z T 0
2Z 2
T
2
0
F 

P 
cos



2Z 
2
2
0
F0
 A
Z
 cos2t   dt

2
0
2 / 

0 cos2t   dt 
F02
P 
cos 
2Z
( F0 / m)
 = /15
0
 = /6
0
 = /3
0.1
0
0.08
2
La potencia media
suministrada es positiva (es
0  b=0 –no hay fricción)
F02b
P 
2Z 2
0.12
0.06
0 = 36 rad s-1
F0/m=1 m
0.04
0.02
  2   4  2 2
2
0
0
20
La gráfica de la potencia media suministrada es similar a la gráfica
de la energía: 1) máximo en 0   y 2) ancho aumenta con 
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b
Z
0
Valor medio del cos(2t-) en
una oscilación = 0
b
2
P   A 
2
A 
cos  
2 / 
 ( A)
P 
2
0
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40
60
80
100
 (rad/s)
16
3.5 Factor de calidad y ancho de la resonancia
F02b
P 
2Z 2
En resonancia Z es mínimo
(Zres=b)
Es una magnitud
P
b2 normalizada
 2
Pres
Z entre 0 y 1
  b /( 2m)
1
0.9
2
 02   2 
  4  2
Z  m 
  
P
2 

2
2
2 2
PRes
(0   )  2  
0.8
 = /15
0
 = /6
0
 = /3
0.7
0.6
0
f()
2

En resonancia P es máximo
F02
Pres 
2b

0.5
0.4
0.3
0.2
 Se puede demostrar que si <<0
el ancho de la resonancia es
0.1
  2
 Factor de calidad si <<0 :
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Q
0
2
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0
0
20
40
60
80
 (rad/s)
0
Q

17
10
Resumen: oscilaciones forzadas
Cuando un sistema ligeramente amortiguado se ve forzado a oscilar por la acción de
una fuerza externa periódica, el sistema oscila con una frecuencia igual a la de la
fuerza externa y con una amplitud que depende de la frecuencia de esa fuerza.
F  ma  kx  bv  F0 cos t
  b /( 2m)
0  k / m
Transitorio: oscilación
amortiguada
x(t )  Ah e
 t
x  2x  02 x  ( F0 / m) cos t
Estacionario:
MAS
cos(ht  h )  A cos(t   )
 En estado estacionario:
v(t )  A cos(t   ) 2
  02
tan  
2 
 Resonancia:   
0
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A

F0 / m
2
0

  2  4 2 2
2
2 
tan   2
0   2
18
Resumen Resonancia
Velocidad máxima = A
Amplitud de la oscilación
-3
6
x 10
0.25
 =/3
 =/6
 =/15
5
 A (rad m/s)
4
A (m)
0.2
 = /15
0
 = /6
0
 = /3
0
3
0.15
0.1
2
0.05
1
0
0
20
40
60
80
0
0
100
 (rad/s)
A
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
F0 / m
2
0

  2  4 2 2
2
20
40
60
80
100
 (rad/s)
F0
A 
Z
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  
Z  m 
 
2
0
2
2

  4 2

19
Resumen Resonancia
Potencia media normalizada
Potencia media
1
0.12
0.9
 = /15
0
 = /6
0
 = /3
0.1
0.8
0.08
 = /15
0
 = /6
0
 = /3
0.7
0
0.6
f()
 ( A)
2
0
0.06
0.5
0.4
0.3
0.04
0.2
0.02
0.1
0
0
0
0
20
40
60
80
40
60
80
100
 (rad/s)
100
 (rad/s)
P
F02
F02b b
2


P 
cos  

A

2Z
2Z 2 2
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20
PRes
2 
b2
 2 
2
2
Z
(02   2 )  2 
  2
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2


Q 0


0
Q
2
20
Preguntas VF
1. En régimen estacionario de un oscilador forzado, la energía perdida por el
amortiguamiento es igual a la introducida por la fuerza oscilante.
2. La potencia media suministrada a un oscilador forzado decae exponencialmente
con el tiempo.
3. El hecho de romper una copa de vidrio por la acción del sonido es un ejemplo de
oscilador resonante.
4. Si ω0 < β la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado será mayor
que ω0.
5. Después de un periodo transitorio, la frecuencia de oscilación de un oscilador
forzado es 02   2
6. Las unidades del factor de calidad de un oscilador son las mismas que la
de la frecuencia angular.
7. En el estado estacionario, si ω tiende a ω0 el desfase entre la fuerza
impulsora y la velocidad tiende a cero.
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21
Superposición de MAS
4.1
4.2
4.3
Linealidad y Principio de Superposición
Superposición de dos MAS en la misma dirección
Superposición de dos MAS en direcciones perpendiculares
Bibliografía:
1. Apuntes del Profesor Calaf en Atenea,
2. Guion de la practica de laboratorio,
3. Física con Ordenador:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mismaDireccion/oscila2.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm
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