Resumen de teoría y problemas

CURSO CERO
DE
MATEMÁTICAS
Cálculo Diferencial
Dr. José A. Reyes - Dra. Mónica Cortés - Dr. Fernando García
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
RESUMEN TEORÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Derivadas
La derivada de una función se puede interpretar geométricamente como la pendiente de
una curva y, físicamente como una razón “instantánea” de cambio.
Interpretación geométrica - Tangente a una curva
A principios del siglo XVII no se sabía cómo calcular la tangente a una curva en un
punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y
en geometría.
Vamos a estudiar el concepto general de tangente a una curva en un punto dado. En
general, no es un caso sencillo encontrar la pendiente de esta tangente. La razón es que,
en principio, se necesita para esto otro punto, además del de tangencia. Supongamos
que queremos encontrar la tangente a la curva de ecuación cartesiana y = f(x) en el
punto (a, f(a)). La estrategia, utilizada primero por Pierre de Fermat y más tarde por
Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes las pendientes de las
cuales se pueden calcular directamente. En particular, consideramos la recta que une el
punto (a, f(a)) con un punto próximo, (a+h, f(a+h)), de la gráfica de f. Esta recta se
llama secante (recta que corta, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta
secante es:
f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a )
=
( a + h) − a
h
dicho número se suele decir cociente incremental de f en a.
Notemos que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el
punto (x, f (x)) esté muy próximo a (a, f (a)). Estas consideraciones llevan a definir la
tangente de f en el punto (a, f (a)) como la recta que pasa por dicho punto y, en la cual,
la pendiente es igual al límite:
f (a + h) − f (a )
f '(a) = lim
h →0
h
supuesto, claro es, que dicho límite exista (sea finito).
-2-
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Cálculo Diferencial
Recta tangente: y - f ( a ) =
f '( a )( x - a )
Interpretación física - Razón de cambio
Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que
relacionen una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que
suele escribirse en la forma y = f (x). Si la variable independiente cambia de un valor
inicial a a otro a+h, la variable y lo hace de f (a) a f (a+h). La razón de cambio medio
de y = f (x) con respecto a x en el intervalo [a, a+h] es:
f ( a + h) − f ( a )
Razón de cambio medio =
h
Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más
pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos denominar “razón de cambio puntual de
y = f (x) con respecto a x en el punto a” como:
f (a + h) − f (a )
lim
h →0
h
El ejemplo más conocido de lo que estamos diciendo es el de una partícula que se
mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea f(t) la distancia
de la partícula al origen en el tiempo t. La razón de cambio medio tiene en este caso una
interpretación física natural. Es la velocidad media de la partícula durante el intervalo de
tiempo considerado.
Parece intuitivo que, en cada instante, la partícula se mueve con una determinada
velocidad instantánea. Pero la definición corriente de velocidad es en realidad una
definición de velocidad media; la única definición razonable de velocidad instantánea es
como la razón de cambio puntual. Es importante darse cuenta que la velocidad
instantánea es un concepto teórico, y una abstracción, que no corresponde exactamente
a ninguna cantidad observable.
Derivada de una función en un punto
Notación. En lo que sigue las letras Y y J representan intervalos abiertos no vacíos de
números reales.
• Se dice que una función f : Y →R es derivable en un punto a Î Y, si existe el
límite:
f ( a + h) − f ( a )
f '(a ) = lim
h →0
h
• Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite:
f ( a + h) − f ( a )
f '(a − ) = lim−
h →0
h
El valor de dicho límite se llama derivada por la izquierda de f en a.
• Análogamente, se dice que f es derivable por la derecha en a, si existe el
límite:
-3-
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Cálculo Diferencial
f '(a + ) = lim+
h →0
f ( a + h) − f ( a )
h
El valor de dicho límite se llama derivada por la derecha de f en a.
Reglas de derivación
Sean f, g: Y →R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones:
1. La función suma f +g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean
derivables; en tal caso, la derivada viene dada por:
(f +g)′(a) = f ′(a)+g′(a)
2. La función producto f · g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean
derivables; en tal caso, las derivada será:
(f · g)′(a) = f ′(a) g(a)+ f (a) g′(a)
3. Si g(x) ≠ 0 para todo x Î Y, la función cociente f g es derivable en todo punto a
Î Y en el que f y g sean derivables. En tal caso se verifica que:
'
 f 
f '(a ) g (a ) − f (a ) g '(a )
  (a) =
2
( g (a) )
g
Derivación de una función compuesta o regla de la cadena
Sean f: Y →R y g: J →R con f(Y) ⊆ J, y sea p = g ◦ f : Y →R la función compuesta.
Supongamos que f es derivable en a Î Y y que g es derivable en f (a). Entonces p es
derivable en a y:
p′(a) = g′( f (a)) f ′(a).
En particular, si g es derivable en J, la función compuesta p = g ◦ f es derivable en todo
punto de Y donde f sea derivable.
Diferencial de una función en un punto
o
Sea una función real de variable real, y x0 ∈ D f , se dice que f es diferenciable en x0 , si
existe una aplicación lineal:
df ( x0 ) :  → 
h → df ( x0 )( h )
tal que
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) − df ( x0 )( h )
= 0.
h →0
h
Dicha aplicación lineal, es única y se le llama diferencial de f en x0 .
lim
-4-
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
o
Sea f una función real de variable real, y x0 ∈ D f , entonces: f es derivable en x0 si, y
sólo si, f es diferenciable en x0 . Además: df ( x0 )( h ) = f ′( x0 )·h .
El número real df ( x0 )( h ) = f ′( x0 )·h se escribe como dy = f ′( x0 )·h . En el caso
particular de ser=
y f=
( x ) x , como para todo x0 , f ′( x0 ) = 1 , dx ( x0 )( h ) = 1·h . En
consecuencia, si para el caso general y = f ( x ) se escribía df ( x0 )( h ) = dy , parece
natural denotar dx ( x0 )( h ) por dx, luego dx = h. Obteniéndose, la notación habitual:
dy = f ′( x0 )·dx
o
Sea f una función real de variable real, y x0 ∈ D f entonces f es diferenciable en
x0 ⇔ f ( x0 + h ) − =
f ( x0 ) f ′( x0 )( h ) + h ε (h) donde ε es una función real de variable real
tal que lim ε ( h ) = 0 .
h →0
La diferencial en un punto x0 , es la aplicación lineal que mejor aproxima a
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) , en un entorno suficientemente pequeño de x0 .
Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto
La diferencial de una función en un punto es el incremento de la ordenada medido sobre
la tangente a la curva representativa en ese punto. La diferencia entre la diferencial de la
función dy, y el incremento de la función ∆y, se pone de manifiesto en las figuras
siguientes:
-5-
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Tabla básica de derivadas
Función
Derivada
Función
Reglas básicas de derivación
Suma
Producto
Cociente
Regla de la cadena
Función recíproca
-6-
Derivada
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Cálculo Diferencial
Derivación logarítmica
Tabla de primitivas
1)
∫
dx = x + C
3)
∫
f ( x) f ′( x) dx =
5)
f ( x)
f ( x)
∫ e f ′( x) dx = e + C
7)
9)
n
f ( x) n `+1
+ C , n ≠ −1
n +1
∫ f ′( x) sen f ( x) dx = − cos f ( x) + C
− ln cos f ( x ) + C
∫ f ′( x ) tg f ( x ) dx =
11)
f ′( x)
∫ cos 2 f ( x) dx = tg f ( x) + C
13)
∫
15)
∫ f ′( x) sec f ( x) tg f ( x) dx = sec f ( x) + C
17)
dx
∫a=
+ ( f ( x))
19)
∫a
21)
∫
22)
∫
− f ′( x)
1 − f ( x)
f ′( x )
2
2
∫ kdx = kx + C
4)
∫
6)
f ( x)
∫ a f ′( x) dx =
8)
∫
10)
dx = arc cos f ( x) + C
2
2)
1
 f ( x) 
arctg 
+C
a
 a 
, k es constante
f ′( x )
=
dx ln f ( x ) + C
f ( x)
a f ( x)
+C , a > 0
ln a
f ′( x) cos f ( x) dx = sen f ( x) + C
∫ f ′( x) ctg f ( x) dx = ln sen f ( x) + C
f ′( x)
12)
∫
14)
∫ f ′( x) csc
16)
∫ f ′( x) csc f ( x) cot f ( x) dx = − csc f ( x) + C
18)
∫ a + ( f ( x))
dx = arcsen f ( x) + C
1 − f ( x) 2
2
f ( x) dx = − cot f ( x) + C
f ′( x )
2
2
1
 f ( x) 
− arcctg 
dx =
+C
a
 a 
1
− 1 f ( x) − a
1
1
f ( x) − a
20) ∫
ln
+C
f ′( x) dx =
f ′( x) dx =
ln
+C
2
2
2
2a f ( x ) + a
2a f ( x ) + a
− f ( x)
f ( x) − a
f ′( x )
2
 f ( x) 
=
dx arg senh 
+ C ln f ( x ) + a 2 − ( f ( x ) ) + C
=
2
2
 a 
a − ( f ( x))
2
f ′( x )
 f ( x) 
=
dx argcosh 
+ C ln f ( x ) ±
=
 a 
( f ( x)) − a 2
2
Fórmulas de sustitución:
u = f (x ) .
( f ( x))
∫ g ( f (x )) f ′ (x )dx = ∫ g (u )du ,
-7-
2
− a2 + C
donde el cambio de variable es
Curso cero de matemáticas
Fórmula de integración por partes:
Primitivas racionales: ∫
Cálculo Diferencial
∫ udv = uv − ∫ vdu
P( x)
dx
Q( x)
P( x)
dx ln | Q( x) | + C
1. Si P(x)=Q’(x) : ∫ =
Q( x)
2. Si Grado P(x) ≥ Grado Q(x):
P( x)

r ( x) 
dx ∫  C ( x) +
 dx
∫ Q=
( x)
Q( x) 

3. Si Q(x) tiene raíces reales: Descomponer
P( x)
en fracciones simples e
Q( x)
integrar.
1
dx y Q(x) tiene raíces complejas: Completar cuadrado e
+ bx + c
integrar. Será de tipo arctg.
4. Si
∫ ax
2
mx + n
dx y Q(x) tiene raíces complejas: Separar en 2, la primera
2
+ bx + c
será de tipo ln y la segunda corresponderá a un caso 4.
5. Si
∫ ax
6. Si Q(x) tiene raíces complejas múltiples: Aplicar HERMITTE.
a.
P( x)
U ( x)
V ( x)
+∫
dx donde
R( x)
S ( x)
R(x): m.c.d. (Q(x) y Q’(x)).
S(x): cociente de Q(x)/R(x).
U(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más
pequeño que R(x).
V(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más
pequeño que S(x).
dx
∫ Q( x=
)
b. Derivar la expresión
indeterminados.
c. Integrar
U ( x)
∫ S ( x) dx .
-8-
anterior
y
calcular
los
coeficientes
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Cálculo Diferencial
Identidades trigonométricas:
1) sen 2 x + cos 2 x = 1
1
cos x
2
7) 1 + cot x = csc 2 x
2tgx
10) tg (2 x) =
1 − tg 2 x
4) sec x =
13) tg 2 x =
1 − cos(2 x )
1 + cos(2 x )
senx
cos x
1
5) csc x =
senx
8) sen(2 x ) = 2 senx cos x
2) tgx =
1 − cos(2 x )
2
2tgx
14) sen(2 x ) =
1 + tg 2 x
11) sen 2 x =
3) cot x =
cos x
senx
6) 1 + tg 2 x = sec 2 x
9) cos(2 x) = cos 2 x − sen 2 x
1 + cos(2 x)
12) cos 2 x =
2
1 − tg 2 x
15) cos(2 x ) =
1 + tg 2 x
Otras identidades:
1) sen(x ± y ) = senx cos y ± seny cos x
tgx ± tgy
3) tg ( x ± y ) =
1  tgxtgy
1
5) senx cos y = [sen( x + y ) + sen( x − y )]
2
2) cos( x ± y ) = cos x cos y  senxseny
1
4) senxseny = [cos( x − y ) − cos( x + y )]
2
1
6) cos x cos y = [cos( x + y ) + cos( x − y )]
2
Primitivas trigonométricas: ∫ R [sen( x), cos( x) ] dx
Impar en sen(x)
Impar en cos(x) Par en sen(x) y cos(x) Cambio general
tg( x) = t
cos( x) = t
sen( x=
)
dx =
sen( x) = t
1− t
−1
1− t2
2
cos( x=
)
dx =
sen( x) =
1− t
2
cos( x) =
1
1− t2
dx =
-9-
1
1+ t2
t
1+ t2
dt
1+ t2
x
tg   = t
2
2t
1+ t2
1− t2
cos( x) =
1+ t2
2 dt
dx =
1+ t2
sen( x) =
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Primitivas irracionales:
Tipo
Cambio
R función racional
m, n, , p, q enteros
-10-
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PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Derivadas
1.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
(x
a) y =
2
− 3x + 5)
6
b) y = ln 3 x
c) y = sin 4 x
d) =
y ln ( x 2 − 6 x + 1) e) =
y ln ( sin x )
=
g ) y 3x
2
+ sin x
=
h) y ecos
3
f) =
y ln ( tan x )
=
i ) y ln 5 ( 2 x − 1)
x
3
Solución:
a ) y=′ 6 ( x 2 − 3 x + 5 ) ( 2 x − 3) b) y=′
5
d ) y′
=
2x − 6
x − 6x +1
c) y=′ 4sin 3 x cos x
e) y′ cot x
=
2
g ) y′ =
( 2 x + cos x ) 3x
3 2
ln x
x
2
+ sin x
ln 3
f ) y′
=
1
2
=
cos x sin x sin ( 2 x )
3
2430 4
h) y ′ =
−3ecos x cos 2 x ⋅ sin x i ) y′ =
ln ( 2 x − 1)
2x −1
2.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
3
e x + e− x
x3 − x 2
2
a) y =
b) y =
( x − 5 ) c) y =
x2 + 1
2
d) y =
x2 + 1
e) y =
5sin x
=
g ) y sin x
=
h) y
−3
1− x
2
3
f) y=
( x + 6)
=
i ) y 73 x
2
−5 x
2
⋅ e− x
Solución:
e x − e− x
a) y′ =
2
=
d ) y′
g ) y′ =
b) y ′ =
6 x ( x 2 − 5)
x 4 + 3x 2 − 2 x
c) y′ = 2
( x 2 + 1)
2
x
5cos x
2
=
=
e) y ′
f ) y′
2
2 5sin x
3 3 ( x + 6)
x +1
1
2 x
cos x
h) y ′ =
−3 x
(1 − x )
2
1− x
2
i ) y′ = 73 x
2
−5 x
⋅ e − x ( ( 6 x − 5 ) ln 7 − 1)
3.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
2
x2
 x 
=
a) y 
=
b) y log
=
c) y tan 3 x 2
2 
3− x
 1+ x 
3π
d ) y sin =
e) y
=
2
g ) y = arctan ( x 2 + 1)
x2
ln x
f ) y arcsin
=
3
1
h) y = arccos
i ) y = arctan x
x
Solución:
-11-
Curso cero de matemáticas
=
a) y′
Cálculo Diferencial
2 x (1 − x 2 )
6− x
1
=
b) y ′
=
c) y′ 6 x ( tan 2 x 2 )(1 + tan 2 x 2 )
2 3
x ( 3 − x ) ln10
(1 + x )
1
2x
f ) y′
=
2 x ln x
9 − x4
2x
1
1
g ) y′ =
h) y ′
i ) y′
=
=
2
2
x4 + 2x2 + 2
2 (1 + x ) arctan x
x x −1
d ) y′ 0=
e) y ′
=
4.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones.
arccos e − x
a) y =
b) y =
x+ x
 1− x 
arctan 
c) y =

 1+ x 
x2 + 1
x
d ) y ln=
e) y ln=
f ) y ln ( xe − x )
=
2
2
x −1
x +1
ex
2
x
g ) y log=
x
i ) y ln x
=
( tan x ) h) y ln=
e −1
Solución:
a) y′
=
2 x +1
e− x
−1
b) y ′ =
c) y′
=
1 + x2
1 − e −2 x
4 x2 + x x
d ) y′
=
4x
1 − x2
1− x
′
)
e
y
f ) y′
=
=
4
2
1− x
x
2 x (1 + x )
4
1
1
1 + ln x
⋅
g ) y′ =
h) y ′ =
i ) y′ =
ln10 sin ( 2 x )
1 − ex
5.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
xm
1
a ) y=
b) y= 2 x + 3 x −
c) y= ( x 2 − x + 1) 1 − x 2
p
x
(1 + x )
1
2x − 2
ex
=
ln
e) y =
f ) y ax
a
x
2 2 2x + 2
=
d) y
g) y =
cos ( a − bx n )
Solución:
a) y′ =
) y′
d=
x m −1 ( ( m − p ) x + m )
(1 + x )
p +1
1
2x −1
2
g ) y′ =bnx n −1 sin ( a − bx n )
3
h) y =
sin 2 x
b) y ′ =
i) y =
sin 3 x ⋅ cos x
1
1
1
+
+ 2
2x 3 3 x2 x
ex ( x − a )
x a +1
2 cos x
h) y ′ = 3
3 sin x
) y′
e=
-12-
x
−3 x3 + 2 x 2 + x − 1
c) y′ =
1 − x2
) y′
f=
3
x ⋅ ax
2
x
ln a
i ) y′ =sin 2 x  4 cos 2 x − 1
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
6.- Calcula las derivadas de funciones potenciales-exponenciales. Derivación
logarítmica:
a ) y (sen
x) tg x b) y x ln(cos x )
=
=
1
c) y (sen
x) ln x d ) y x x
=
=
Solución:
a) y′ =
( sec2 x ⋅ ln(sin x) + 1) (sen x)tg x
1
(sen x) ln x
c) y=′
ln x
ln ( sin x ) 

 cot x −

x ln x 

x
ln ( cos x )  ln(cos x )

b) y =
 − tan x ⋅ ln x +
x
x


d ) y=′ x x
x
( (1 + ln x ) x
x
⋅ ln x + x x −1 )
7.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
a) y =
xsin x + 5ln x
(
ln x + 1 + x 2
d) y =
)
x
1
ln x
b) y =+ 2 ln x −
c) y =
ae
x
x
cos x
1
x−a
x
a
−
+ lntg   f ) y =
arctg   + ln
e) y =
+a
2sen 2 x 2
2
x
x
 
 
1 − cos x
 x
g ) y = x a 2 − x 2 + a 2 arcsen   h) y = arctg
1
a
+ cos x
 
i) y =
x
a 2 − x 2 + a arcsen  
a
Solución:
2 ( x − 1) + ln x
x
sin x  sin x 5

a ) y=′  cos x ⋅ ln x +
b) y=′
c) y=′ e x a e ln a
x +
2
x 
x
x

1
1
2a 3
′
=
=
d ) y′
e) y ′ =
f
y
)
x4 − a4
sin 3 x
1 + x2
g ) y′ =
2 a2 − x2
a−x
1
h) y′ ==
i ) y′
a+x
2
8.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
arccos
a) y =
d) y
x2 − a2
x2 + a2
8x4 − 3
2 x3 + 3x
arcsin x +
1 − x2
c) y =
32
32
cos x 1 
x
b) y = 2 − ln  tan 
2sin x 2 
2
1 + sin x
x + a 1 − x 2 a⋅arcsin x
x
e
e) y ln =
f ) y ln
=
1 + a2
1 − sin x
a + a2 − x2
1
1
g) y =
−
3cos3 x cos x
j=
) y arcsin
x
1+ x
2
1
1

m) y =  x −  arcsin x +
x − x2
2
2

1 + ex −1
ln
h) y =
1 + ex + 1
 b
1
arcsin  x

b
 a
x 2
a2
n) y =
x − a 2 − ln x + x 2 − a 2
2
2
1
i) y =
( 3cos2 x − 5) cos3 x
5
l=
) y arcsin (1 − x ) + 2 x − x 2
k=
) y
(
-13-
)
ñ) y =
m
n  x−a
ln ( x 2 − a 2 ) + ln 

2
2a  x + a 
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
Solución:
−2a
− cos ec 3 x
a) y′ =
b) y ′ =
c) y′ =
x 3 arcsin x
2
2
x +a
a
a ⋅arcsin x
=
=
d ) y ′ e=
e) y ′
f ) y ′ sec x
x a2 − x2
sin 3 x
1
=
=
=
g ) y′
h) y ′
i ) y ′ ( sin 3 x ) cos 2 x
4
x
cos x
1+ e
=
j ) y′
m )=
y′
1
=
k ) y′
1 + x2
arcsin
x
n )=
y′
1
=
l ) y′
a − bx 2
x2 − a2
−x
2x − x2
mx + n
ñ) y ′ = 2
x − a2
Problemas geométricos
1.- Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la
circunferencia:
x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 11 =
0
En el punto de abscisa x = 2 y la ordenada positiva.
Solución: y = 3.
2.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente
y normal a la curva
x sen( xy ) + 4 y =
16 + x , en el punto de abscisa x = 0 y ordenada positiva.
2
Solución:
x
Recta tangente: y − 2 =
16
Recta normal: y − 2 =−16 x
2
3.- Hallar la ecuación de una parábola de la forma y = x + bx + c que sea tangente a la
y ( x − 1)3 en el punto de abscisa x = 1.
curva =
Solución: b = -2, c = 1.
3
2
4.- Determinar los puntos en los que la curva y = x + x − 6 x + 1 tiene tangente paralela
y 2x +1 .
a la recta =
Solución: (-2, 9) y (4/3, -77/27).
5.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = ln
0.
recta x − 4 y + 1 =
ln 2 1
ln 2 1
= ( x − 1) y y −
= ( x + 2) .
Solución: y +
2
4
2
4
-14-
x
paralelas a la
x +1
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
x
6.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto de abscisa x = 1.
Solución: y = x .
Variación de funciones (ritmos)
1.- Un gas escapa de un globo esférico a razón de 2 m3 por minuto. Halle la
disminución de su superficie en la unidad de tiempo, cuando el radio es 12 m .
1
Solución: − m3 / min .
3
2.- De un embudo cónico sale agua a razón de 1 cm3 por segundo. Sabiendo que el
radio de la base es de 4 cm. y la altura de 8 cm., calcule el descenso del nivel en la
unidad de tiempo en el instante en que la superficie libre se encuentra a una distancia de
2 cm. de la base del embudo.
1
Solución: −
cm / s .
9π
3.- Un líquido penetra en un tanque cilíndrico vertical de 6 m. de radio a razón de
8 m3 / min . Halle la variación de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo.
dh 2
Solución:
m / min .
=
dt 9π
4.- Se forma un montículo cónico de arena cuya altura es constantemente igual a los 4/3
del radio de la base. Halle:
a) el incremento de volumen en la unidad de tiempo cuando el radio de la base es
de 3 m., sabiendo además que éste aumenta a razón de 25 cm. cada minuto.
b) el incremento del radio en la unidad de tiempo cuando éste es de 6 m. y el
volumen aumenta a razón de 24 m3 por minuto.
dr
1
dV
Solución: a)
b)
m / min .
= 3π m3 / min
=
dt 2π
dt
5.- Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro barco
B, situado a 32 millas al sur de A, lo hace hacia el este con una velocidad de 12 millas
por hora. Halle:
a) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de
una hora de haberse iniciado el movimiento.
b) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de
dos horas de haberse iniciado el movimiento.
c) El momento en que dejan de aproximarse y comienzan a separarse, así
como la distancia a que se encuentran en dicho instante.
Solución:
a) Se aproximan a razón de 5.6 millas/h
b) Se separan a razón de 12 millas/h
c) Dejarán de aproximarse cuando t = 1.28 h y D=19.2 millas.
-15-
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
6.- Un objeto de 5 m. de altura se encuentra justamente debajo de un foco de luz de la
calle situado a 20 m. de altura. Suponiendo que el objeto se mueve a una velocidad de 4
m. por segundo, calcule:
a) la velocidad del extremo de la sombra.
b) La variación de la longitud de la sombra por unidad de tiempo.
Solución:
a)
16
m/s
3
b)
4
m/s.
3
7.- Un globo se eleva desde un punto A de la Tierra a una velocidad de 15 m / s y su
ascenso se observa desde otro punto B situado en la horizontal que pasa por A y a una
distancia de este punto de 309 m. Halle la variación de la distancia del punto B al globo
cuando la altura de éste es de 40 m.
Solución: 12m / s .
8.- Si el radio de una esfera en el instante t, es r. Halle dicho radio cuando su
incremento en una unidad de tiempo es igual numéricamente, al de la superficie.
1
Solución:
cm .
8π
9.- Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm. cada segundo,
mientras que los otros 2, se acortan de manera que la figura resultante, en todo
momento, es un rectángulo de área constante e igual a 50 cm 2 . Calcule la variación por
unidad de tiempo del perímetro P cuando la longitud de los lados extensibles es de
a) 5 cm.
b) 10 cm.
c) Halle las dimensiones del rectángulo cuando el perímetro deja de
disminuir.
Solución: a) -4 cm / s b) 2 cm / s c) x= y= 5 2 cm
10.- Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150 m. Sabiendo que la cometa se
aleja del muchacho a una velocidad de 20 m / s , halle la velocidad a la que suelta el hilo
cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250 m. del muchacho.
Solución: 16 m / s .
11.- El efecto combinado de dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo, es una
1
1 1
resistencia R dada por
+
=donde R, R1 y R2 se miden en ohmios. R1 y R2
R1 R2 R
están creciendo a razón de 1 y 1.5 ohmios por segundo, respectivamente. ¿ A qué ritmo
está cambiando R, cuando R1 =50 y R2 = 75 ohmios ?
Solución: 0.6 Ω / s .
-16-
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
12.- Una escalera de 20 m. se apoya contra un edificio. Halle:
a) la velocidad a la que se mueve el extremo superior cuando el inferior se aleja del
edificio a una velocidad de 2 metros por segundo y se encuentra a una distancia
de él de 12 metros.
b) La velocidad a la que disminuye la pendiente.
3
25
Solución: a)
b)
m/s
m/s.
2
72
13.- Se deja caer una piedra en un estanque en calma, lo que provoca ondas circulares.
El radio del círculo exterior crece a un ritmo constante de 1 m / min . Cuando el radio es
de 4 m. ¿A qué ritmo está cambiando el área total A(t ) de la región circular cubierta por
las ondas?
Solución: 8π m 2 / min.
Primitivas
1.- Calcula las siguientes primitivas:
a)
∫ 3x dx
d)
∫
g)
∫ x sen(2 x
b)
∫ (2
e)
∫e
)dx h )
∫ 
4
7dx
3 − 7x
2
2
x
3x
dx
−5
dx
f) ∫
cos2 (5 x )
+ x 2 )dx
∫x
c)
dx
 3
x x
−
 dx i )
4 
x
2
dx
∫ sen
2
x
Solución:
a)
3 5
x +C
5
b)
2x x3
+ +C
ln 2 3
c)
1
2 5
ln
5-x
+C
5+x
 7x 
7
1 3x
1
arcsen 
f ) tan(5 x ) + C
 + C e) e + C
3
5
7
 3 
1
1
g ) - cos(2 x 2 ) + C
h ) 6 x - x 5/2 + C i ) -cotan(x ) + C
4
10
d)
2.- Calcula las siguientes primitivas:
dx
a) ∫
b)
1 + cos 2 x
dx
d)
∫x
g)
∫ 3+
2
4− x
2
dx
x+2
∫
dx
6+ x− x
dx
2
e)
∫ x (4 + x )
h)
∫e
2
2x
2
dx
− 3e x
Solución:
-17-
dx
c)
∫ 1 + sin x − cos x
f)
∫ 1 + x dx
i)
∫x
x
dx
9 + 4x2
Curso cero de matemáticas
a)
Cálculo Diferencial
 2x −1 
b) arcsen 
+C
 5 
2
 tan x 
arctan 
+C
2
 2 
2
4 − x2

d )  Realizar el cambio x =
+C
; −
4x
t

x
x
c) ln tan   − ln 1 + tan   + C
2
 
2
1 1
e)
+ arctan x + C
4x 8
( )
(
f ) 2 x − 2 arctan
)
g ) 2 x + 2 − 6 ln 3 + x + 2 + C
i)
( x)+C
1 1 ex − 3
+C
+ ln
3e x 9
ex
h)
9 + 4x2 − 3
+C
x
1
ln
3
3.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas:
dx
7 dx
a) ∫ 2
b) ∫ 2
x + 25
7x + 3
dx
7 dx
d) ∫
e) ∫
x 2 + 25
16 − 9 x 2
sin x
1 + tan 2 x
g) ∫
dx
h) ∫
dx
5cos x + 2
4 tan x − 2
j)
∫
m) ∫
p) ∫
dx
dx
4x + 7
dx
cos x tan x − 1
2
tan x + 1
dx
cos 2 x
k)
∫
n)
∫
q)
( ln x )
2
x
+1
dx
ln ( x + 1)
dx
x +1
∫ ( 2 + 3sin ( 2 x ) )
∫x
f)
∫
i)
∫
9 x 2 + 16
sin x
dx
5cos x + 2
l)
∫
cos x sin x dx
o) ∫
cos ( 2 x ) dx
dx
−5
5dx
c)
2
sin ( 2 x )
1 + sin 2 x
dx
ln 2 x
r) ∫
dx
x
3
Solución:
a)
1
 x
arctan   + C
5
5
b)
 7x 
7
arctan 
 + C
21
 3 
5
 3x 
e) 7 ln x + x 2 + 25 + C
arcsin   + C
3
 4 
1
1
g ) ln 5cos x + 2 + C h) ln 4 tan x - 2 + C
5
4
ln 3 x
1
j)
k)
+ ln x + C
4x + 7 + C
2
3
d)
( ln x + 1 )
1
2 5
ln
5-x
+C
5+x
5
ln 3 x + 4 x 2 + 16 + C
3
2
i) 5cos x + 2 + C
5
3
2
l ) - ( cos x ) 2 + C
3
f)
2
m) 2 tan x - 1 + C
n)
3
2
p ) ( tan x + 1) 2 + C
3
1 ( 2 + 3sin ( 2 x ) )
q)
+C
6
-2
2
c)
+C
o) 2 1 + sin 2 x + C
-2
-18-
r)
( ln x )
3
3
+C
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
4.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas:
1
dx
a) ∫
b) ∫ e x x −2 dx
1 − x 2 arcsin x
dx
dx
d) ∫
e) ∫
b2 x2 − a 2
a 2 x2 + b2
g)
∫
1+ x
dx
x
a
x
dx
x
x − arctan x
f) ∫
dx
1 + x2
dx
∫
h)
∫
c)
x 1+ x
Solución:
1
a ) ln arcsin x + C
b) − e x + C
d)
1
1
ln bx + b 2 x 2 − a 2 + C e)
ln ax + a 2 x 2 + b 2 + C
b
a
g)
4
1+ x
3
(
)
3
2
+C
h) 4 1 + x + C
5.- Calcula las siguientes primitivas por partes:
a ) ∫ xe x dx
b) ∫ x 2 ln x dx
d)
∫x e
g)
∫x
3 2x
2
a x
+C
ln a
1
f ) ln 1 + x 2 + C
2
c) 2
e)
dx
1 − x dx h)
∫ arctan x dx
∫ arcsin x dx
f ) ∫ e cos ( bx ) dx
∫
i)
c)
ax
x ln x dx
∫
ln x
dx
x3
Solución:
a)
x 3 ln x x 3
- +C
3
9
3

x
3
x 2 3x 3 
d ) e2 x  + - +C
4
4 8
 2
xe x - e x + C
b)
c) x arcsin x + 1 - x 2 + C
1
e) x arctan x - ln 1 + x 2 +C
2
f)
e ax ( a cos ( bx ) + b sin ( bx ) )
a 2 + b2
+C
3
5
7
2 x 2 (1 - x ) 2 8
16
g) ---x (1 x ) 2
(1 x ) 2 + C
3
15
105
ln x
1
+C
i ) -2
2x
4x2
h)
6.- Calcula las siguientes primitivas racionales:
7 x2 − 9x + 1
2x
a) ∫
dx b) ∫
dx
2
( x − 1)( x − 2 ) x
( x − 3) ( x − 1)
x3 + x 2 + x + 2
d) ∫ 4
dx
x + 3x 2 + 2
dx
g) ∫
2
( x − 1) ( x + 1)
Solución:
2 3
4 3
x ln x x +C
3
9
c)
8dx
∫ ( x − 2) x ( x
2
2
3x3 − 4
x3 + 2 x + 1
e) ∫ 2
dx
f) ∫ 2
dx
x −1
x − 5x + 6
x2
dx
h) ∫ 3
dx i ) ∫ 3
2
x + 3x − x − 3
x − 3x 2 + 2 x
-19-
+ x + 2)
Curso cero de matemáticas
a ) ln x - 1 +
c)
+
Cálculo Diferencial
11
1
ln x - 2 + ln x + C
2
2
-1
9
7
- ln x -2 +ln x
ln x 2 + x + 2 +
2 ( x - 2 ) 16
32
13 7
2x +1
+C
arctan
112
7
3x 2 1
7
-ln x 1 + ln x + 1 + C
2 2
2
1
1
1
+ ln x + 1 + C
g ) --ln x 1
4
2 ( x - 1) 4
ln
d)
1
arctan x + ln x 2 + 2 + C
2
x2
+5x --13ln x 2 +34 ln x 3 + C
5
1
1
9
h) ln x -1
ln x + 1 + ln x + 3 + C
8
4
8
e)
i)
x -1
3
+C
x -3 x 3
b)
f)
1
1
ln x -ln x 1 + ln x - 2 + C
2
2
x
7.- Calcular el área limitada por la función f ( x ) = e y el eje OX, entre las abscisas
x = 0 y x = ln 2.
Solución: 1 u2.
2
8.- Hallar el área limitada por f ( x ) = x , la recta y = -x + 2 y el eje de abscisas.
Solución: 5/6 u2.
2
9.- Hallar el área comprendida entre la parábola x =8 + 2 y − y y el eje OY, entre las
ordenadas y = -1 e y = 3.
Solución: 92/3 u2.
2
10.- Calcular el área limitada por las funciones y = x e y = x.
Solución: 1/6 u2.
) x 2 − 4 y el eje OX, entre las abscisas
11.- Hallar el área comprendida entre f ( x=
x = -2 y x = 4.
Solución: 64/3 u2.
) x2 − 2 x .
) 6 x − x 2 e g( x=
12.- Hallar el área limitada por f ( x=
Solución: 64/3 u2.
2
y 2x − 4 .
13.- Hallar el área limitada por la parábola y = 4 x y la recta =
a) Integrando respecto a OY.
b) Integrando respecto a OX.
Solución: 9 u2.
14.- Hallar el área de un círculo de radio r.
Solución: π r2 u2.
-20-
Curso cero de matemáticas
Cálculo Diferencial
15.- Hallar el área del menor de los sectores que la recta x = 2 determina en el círculo
x2 + y2 =
25 .
 2  25π
− 2 21 u2.
Solución: 25arcsen   −
2
5
-21-