S13 - UAM

Capítulo 2
Series y transformadas de Fourier
2.1.
Funciones periódicas y series trigonométricas
2.2.
Series de Fourier
Las series de Fourier son las herramientas básicas para representar funciones periódicas, las cuales
tienen un papel importante en aplicaciones. Una función  () se llama periódica si  () se define
para todos los reales  y si existe un número positivo  llamado periodo de  (), tal que
 ( +  ) =  ()
(2.1)
La gráfica de este tipo de funciones se obtiene de repeticiones periodica en cualquier intervalo
de longitud  como se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1: Funciones periódicas.
Las funciones periódicas familiares son las funciones coseno y seno. Algunos ejemplos de funciones
que nos son periódicas son , 2 , 3 ,  , cosh  y ln . Si  () tiene un periodo  , ésta además
tiene el periodo 2 porque  ( + 2 ) =  ([ +  ] +  ) =  ( +  ) =  (), por lo que para
cualquier entero  = 1 2 3 · · ·
c
°Gelacio
Juárez, UAM
79
2.2 Series de Fourier
 ( +  ) =  ()
(2.2)
Una función  () es continua en tramos en un intervalo si: 1) si el intervalo puede dividirse en
un número finito de subintervalos donde  () es continua y 2) los límites de los  () son finitos
como  se aproxima a los extremos de los subintervalos. Otra manera de establecer esto es que
una función continua en tramos es una que tiene un numero finito de discontinuidades. Las
funciones mostradas en la figura 2.1b y c son continuas en tramos, mientras que la figura 2.1a
es una función continua.
Definición de series de Fourier
Sea  () definida en un intervalo (− ) y determinado fuera de este intervalo por  ( + 2) =
 () , e.i., asuma que  () tiene un periodo 2. La serie de Fourier o expansión de Fourier
correspondiente a  () se define como
∞ ³
X

 ´
 +  sin

 cos


=1
(2.3)
Z 
1
 ()
2 −
Z
1 

  = 1 2 3 · · ·
 () cos
 −

Z
1 

  = 1 2 3 · · ·
 () sin
 −

(2.4)
 () = 0 +
donde los coeficientes de Fourier son
0 =
 =
 =
Para el caso en que la función  () tiene un el periodo  = 2, la serie de Fourier o expansión
de Fourier correspondiente a  () se define como
 () = 0 +
∞
X
( cos  +  sin )
(2.5)
=1
con los coeficientes de Fourier son:
0 =
 =
 =
c
°Gelacio
Juárez, UAM
Z 
1
 ()
2 −
Z
1 
 () cos   = 1 2 3 · · ·
 −
Z 
1
 () sin   = 1 2 3 · · ·
 −
(2.6)
80
2.2 Series de Fourier
Ejemplo
Grafique las siguientes funciones
 () =
(
4
04
−4 −4    0
  = 8
(2.7)
Figura 2.2: Función periódica.
Puesto que el periodo es 8, la porción en el gráfico de −4    4 se extiende periódicamente fuera
de su rango, indicado en líneas punteadas. Note que  () no está definido en  = 0 4 −4 8 −8,
etc, pues estos valores son las discontinuidades de  ().
Ejemplo
Grafique las siguientes funciones
 () =
(
cos 
1
0 ≤  ≤ 2
2    4
  = 4
(2.8)
Figura 2.3: Función periódica.
Note que  () está definida para todo  y es continua en todos los puntos.
Ejemplo
Determine los coeficientes de Fourier de la función periódica definida en la ec. (2.7) y mostrada
en la figura 2.2.
c
°Gelacio
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81
2.2 Series de Fourier
Solución. Los coeficientes
1
0 =
2
 =
=
 =
=
1

Z
Z

1
 () =
2(4)
−

 () cos
−
1

 =

4
µZ
0
−4
µZ
−4 +
0
−4
−4 cos
¯0
¯4
¯
¯
4
4
¯
sin ¯ +
sin ¯¯ = 0
−


−4
0
Z
0
4
¶
4 = 0

 +
4
Z
4
4 cos
0
(2.9)
¶


4
(2.10)
µZ 0
¶
Z 4
1



 =
 +

 () sin
−4 sin
4 sin

4
4
4
−
−4
0
¯0
¯4
¯
¯
4
8
4
cos ¯¯ −
cos ¯¯ =
(1 − cos 4)



1

Z

−4
(2.11)
0
La correspondiente serie de Fourier es
¶
¶
∞ ³
∞ µµ
X
8

 ´ X
 () =
 sin
 =
(1 − cos 4) sin




=1
=
=1

4
2
8
3
8
(1 − cos 4) sin  + (1 − cos 8) sin  +
(1 − cos 12) sin  +  (2.12)

4

4
3
4
La figura 2.4 muestra la ec. (2.12) cuando  = 3 y la figura 2.5 muestra cuando  = 20.
f(x)
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
8
x
-4
Figura 2.4: n=4
Ejemplo
Expanda la función  () = 3 , 0    2 en series de Fourier si el periodo es 2.
El periodo es  = 2 = 2, por lo que  = .
Solución. Los coeficientes de Fourie se calculan de la ec. (2.6) como
1
0 =
2
c
°Gelacio
Juárez, UAM
Z

1
 () =
2
−
Z
2
3  = 2 3
(2.13)
0
82
2.2 Series de Fourier
f(x)
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
8
x
-4
Figura 2.5: n=20
 =
=
Z
1 2 3
 () cos  =
 cos  =
 0
−
¯
¢¯2
12
1 ¡
2 2
3 3
−6 cos  + 3  cos  +   sin  − 6 sin  ¯¯ = 2
4
 

0
1

Z

 =
=
Z
1 2 3
 () sin  =
 sin 
 0
−
¯0
¯4
¯
¯
1
1
12 8 2
¯
cos ¯ − cos ¯¯ = 3 −




−4
0
1

Z
(2.14)

(2.15)
La correspondiente serie de Fourier es
µ
¶
¶
∞ ³
∞ µ
X
X
12 8 2

12

 ´

3
 () = 0 +
 +  sin
 = 2 +
+
sin

 cos
cos
−


2

3


=1
=1
¶
µ
¡ 2
¢
3
3
2
+ 12 cos 
(2.16)
= 2 + 3 cos 2 − (sin ) 8 − 12 − (sin 2) 4 −
2
f(x) 200
100
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
Figura 2.6: n=4
c
°Gelacio
Juárez, UAM
83
2.2 Series de Fourier
f(x) 200
100
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
Figura 2.7: n=8
Ejemplo
Determine los coeficientes de Fourier de la función periódica definida en la ec. (2.17) y mostrada
en la figura 2.8.
 () =
(
 + 3 −3 ≤  ≤ 0
3
03
  = 6
(2.17)
Figura 2.8: Función periódica.
Solución. Los coeficientes
1
0 =
2
 =
=

1
 () =
2(3)
−
µZ
0
−3
( + 3)  +
Z
0
3
¶
9
3 =
4
(2.18)
Z
Z
1 0
1 3



 =
 +
 =
 () cos
( + 3) cos
3 cos

3 −3
3
3 0
3
−
³ ´
´
3 ³
2 
2
sin
+

sin

(2.19)
 2 2
2
1

Z
Z

c
°Gelacio
Juárez, UAM
84
2.2 Series de Fourier
 =
=
1

Z

 () sin  =
−
1
3
Z
0
( + 3) sin
−3
1

 +
3
3
1
(3 sin  − 3 cos )
2
 2
Z
3
3 sin
0


3
(2.20)
La correspondiente serie de Fourier es
∞ ³
X

 ´
 +  sin
 =
 cos
 () = 0 +


=1
Ã
!
¡
¡ ¢
¢
∞
3
2 
+
+  sin  cos 
9 X
2 2 2 sin
2
3

+
1

4 =1
2 2 (3 sin  − 3 cos ) sin 3 
(2.21)
 
La figura 2.9 muestra la ec. (2.30) cuando  = 4 y la figura 2.10 muestra cuando  = 8.
f(x)
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
4
6
8
x
Figura 2.9: n=4
f(x)
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
0
2
x
Figura 2.10: n=8
c
°Gelacio
Juárez, UAM
85