Derivaci¶on. Aproximaci¶on local. Extremos.

Tema 3
Derivaci¶
on. Aproximaci¶
on local. Extremos.
1. Calcule, si existe, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
(a) f (x) = log(1 + j senxj), 8x 2 R.
(Sol: No es derivable en x = k¼; 8k 2 Z. En otro caso f 0 (x) =
½
cos x
1+j sen xj
x
¡ 1+jcos
sen xj
si x 2 (2k¼; (2k + 1)¼)
si x 2 ((2k ¡ 1)¼; 2k¼)
p
3p
(b) f (x) = x jxj, 8x 2 R. (Sol: f 0 (x) =
jxj.)
2
½
x cos x1 si x 6
=0
(c) f (x) =
(Sol: No existe.)
0
si x = 0
en x = 0
p
(d) f (x) = 1 ¡ 1 ¡ x2 , en x = 0. (Sol: f 0 (x) = 0.)
p
p
p
(e) f (x) = 1 ¡ 1 ¡ x2 , en x = 0. (<Cuidado!: Tenga en cuenta, en el momento oportuno, que x2 = jxj,
no x. Sol: No existe.)
2. Sea f : R ¡! R una funci¶on tal que f 0 (x) =
(f (x2 + 2))3 , x 2 R. (Sol: g0 (x) = 6x(f (x2 + 2))2
1
para x 2 R. Calcule la derivada de g(x) =
1 + x2
1
.)
1 + (x2 + 2)2
3. Estudie la continuidad y derivabilidad de la funci¶on:
f (x) =
en el intervalo [¡k; k] con k <
½
(Sol: Continua 8 x. f 0 (x) =
3x + 2x3
3
(1 + x2 ) 2
1
(sec x) x2
0
4. Calcule f 00 para las funciones:
p
(a) f (x) = x 1 + x2
(Sol: (a) f 00 (x) =
¼
2.
½
£ 2 ln cos x
x3
1
(sec x) x2
p
e
+
sen x
x2 cos x
¤
si x 6
=0
si x = 0
si x 6
=0
si x = 0
(b) f (x) = (x + 1)e¡x
2
2
, (b) f 00 (x) = (4x3 + 4x2 ¡ 6x ¡ 2)e¡x .)
5. Si f (x) es una funci¶on tal que f 0 (x) = cos2 [sen (x + 1)] y f(0)=3, halle (f ¡1 )0 (3). (Sol:
1
.)
cos2 (sen 1)
6. Sean f una funci¶on inyectiva, g = f ± f y f (1) = 2, f 0 (1) = 6, f (2) = 4, f 0 (2) = 7, f 0 (4) = 9.
Calcule g0 (2). (Sol: 63.)
7. Pruebe que la ecuaci¶on xex = 2 tiene solamente una ra¶³z real en el intervalo (0,1). (Sugerencia:
Estudie la derivada de f (x) = xex ¡ 2.)
8. >Cu¶antas ra¶³ces reales tienen los polinomios x5 + x ¡ 3, x5 ¡ 5x + 2?. (Sol: La primera 1 y la segunda 3.)
9. Demuestre que la ecuaci¶on x5 + 3x = 1 tiene una y s¶olo una ra¶³z real.
10. Halle valores aproximados de todas las soluciones de las ecuaciones siguientes: (Utilice para ello sus
conocimientos de inform¶atica.)
(a) x3 + 3x + 1 = 0. (Sol: S¶olo tiene una. Valor ¡00 32218.)
6
(b) x = cos x. (Sol: S¶olo tiene una. Valor 00 73909.)
(c) x + senx = 1. (Sol: S¶olo tiene una. Valor 00 51097.)
11. Desarrolle en potencias de (x ¡ 2) el polinomio x4 ¡ 5x3 + 5x2 + x + 2.
(Sol: (x ¡ 2)4 + 3(x ¡ 2)3 ¡ (x ¡ 2)2 ¡ 7(x ¡ 2).)
p p
p
p
12. Obtenga valores aproximados r
para 5, 80, 3 10, 3 200 con un desarrollo adecuado de orden 3.
p
p
p
1
(Sugerencia: 5 = 4 + 1 = 2 1 + y utilice el desarrollo de 1 + x en a = 0. Utilice un proceso
4
similar para las dem¶as.) (Sol: Compruebe los resultados con su calculadora.)
13. Halle los extremos locales y absolutos de las funciones:
(a) f : [¡1; 1] ¡! R,
(b) f : [¡ 12 ; 1] ¡! R,
(c) f : [0; 5] ¡! R,
f (x) = x5 + x + 1
1
x5 +x+1
x
x2 ¡1
f (x) =
f (x) =
(Sol:
(a) No locales. M¶³nimo absoluto en ¡1 y m¶
aximo absoluto en 1.
1
(b) No locales. M¶³nimo absoluto en 1 y m¶
aximo absoluto en ¡ .
2
(c) M¶³nimo local en 5 y m¶
aximo local 0. No alcanza m¶
aximo ni m¶³nimo absolutos.
14. Un canal abierto, cuya secci¶on es un trapecio is¶osceles, tiene sus lados formando un ¶angulo ® con
la horizontal. Conociendo el ¶area
r S de la secci¶on y sabiendo que ¶esta tiene el m¶³nimo per¶³metro
posible, calcule su altura. (Sol:
S sen ®
.)
2 ¡ cos ®
15. De una hoja circular de radio R, se desea cortar un sector tal que al enrollarlo resulte
p un embudo
2 2¼
(cono) de la mayor capacidad posible. Calcular el ¶angulo que de¯ne al sector. (Sol: p
3
:)
16. Una hoja de papel debe contener 288 cm2 de texto. Los m¶argenes superior e inferior deben tener
2 cm cada uno, y los laterales 1 cm. Calcule las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel
sea m¶³nimo. (Sol: 14 £ 28 cm.)
17. Un lado de un campo rectangular est¶a delimitado por un r¶³o recto. Los dem¶as lados lo est¶an por
cercas rectil¶³neas cuya longitud total es de 800 m. . Determine las dimensiones del campo sabiendo
que su ¶area es m¶axima. (Sol: 400 £ 200 m.)
18. Consid¶erese una esfera depradio r. Calcule las dimensiones del cilindro inscrito que tiene ¶area total
p
p
3+
m¶axima. (Sol: Radio base p
5+
5r
p : Altura
5
2 2r
p .)
5+ 5
p
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