Universidad de Costa Rica. Escuela de Matemática

Universidad de Costa Rica.
Escuela de Matemática.
Matemática para computación I.
Sucesiones recursivas.
Dada una sucesión definida recursivamente, es posible en algunos casos obtener una fórmula explı́cita
para la misma, esto permite calcular cualquier término de la sucesión sin usar la recursividad, además
de permitirnos conocer el comportamiento de la misma. En otros casos, no es posible obtener la
fórmula explı́cita, sin embargo, es posible estudiar algunas propiedades de la sucesión utilizando la
fórmula recursiva y el principio de inducción. A continuación se presentan algunos ejemplos y ejercicios de un método para obtener la fórmula explı́cita, y y como comprobar mediante inducción algunas
propiedades de la sucesión.
Se dice que una sucesión xn es creciente si es creciente como función, es decir, dados m, n ∈ N tales
que m < n entonces xn < xm , esta propiedad se puede simplificar un poco para facilitar el uso de
inducción, y utilizar la siguiente propiedad equivalente, dado n ∈ N, xn es creciente si xn < xn+1 . De
igual forma decimos que una sucesión es decreciente si para todo n ∈ N se tiene que xn > xn+1 .
Se dice que una sucesión esta limitada inferiormente por una constante K, si para todo n ∈ N se tiene
que xn ≤ K, y se dice que esta limitada inferiormente si existe una constante L tal que para todo
n ∈ N se cumple que L ≤ xn .
Lo primero que vamos a ejemplificar es un método para deducir una fórmula para una sucesión definida
recursivamente, la idea consiste en calcular algunos términos de la sucesión para poder conjeturar una
fórmula, la cual se probará después por inducción.
Ejemplo 1. Hallar la fórmula explı́cita de la sucesión definida por
x0 = 0, xn+1 = xn + (n + 1).
Solución.
Calculamos los primeros términos de la sucesión y tenemos que
x0 = 0,
x1 = x0 + 1 = 1,
x2 = x1 + 2 = 1 + 2,
x3 = x2 + 3 = 1 + 2 + 3,
x4 = x3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4.
De los cálculos anteriores puede intuirse que la fórmula será
xn+1 = xn + (n + 1) = 1 + 2 + · · · + n + (n + 1),
luego, usando la fórmula
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
,
2
podemos suponer que
n(n + 1)
.
2
A continuación, probamos por inducción que la fórmula es verdadera para todo n ∈ N.
Para n = 0 tenemos que x0 = 0·1
2 = 0, es decir, la fórmula coincide con la recursiva.
xn =
Ahora suponemos que la fórmula es verdadera para n, es decir
n(n + 1)
,
2
y probamos que es verdadera para n + 1, es decir
xn =
xn+1 =
(n + 1)(n + 2)
.
2
Se tiene que
n(n + 1)
n2 + n + 2(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1) =
=
.
2
2
2
Luego, la proposición es verdadera para todo n ∈ N.
xn+1 = xn + (n + 1) =
Ejemplo 2. Demostrar que la sucesión definida por
a0 = 1, an+1 =
√
an + 2,
es creciente.
Solución.
Hay que probar que para todo n ∈ N se cumple que an < an+1 . La prueba es por inducción.
Para n = 0 tenemos que
a0 = 1 < a1 =
√
a0 + 2 =
√
0+2=
Ahora suponemos que an < an+1 y probamos que an+1 < an+2 .
Se tiene que
an < an+1
⇒ an + 2 < an+1 + 2
⇒
√
an + 2 <
√
⇒ an+1 < an+2 .
an+1 + 2
√
2.
Lo que prueba el argumento. En la prueba se utilizó el hecho de que al sumar 2 a la desigualdad esta
se mantiene, y lo mismo al calcular las raı́ces cuadradas, pues la función raı́z cuadrada es creciente.
Ejemplo 3. Demuestre que la sucesión del ejemplo anterior satisface
1 ≤ an ≤ 2,
para todo n ∈ N.
Solución.
Lo anterior dice que la sucesión es limitada inferior y superiormente, de modo que hay que probar estas
dos propiedades por inducción. Para la inferior debe probarse que 1 ≤ an . Tenemos que 1 ≤ a0 = 1,
luego la propiedad es válida para n = 0.
Ahora suponemos que la propiedad es verdadera para n y probamos para n + 1. Se tiene que
1 ≤ an
⇒ 1 + 2 ≤ an + 2
⇒
√
3≤
⇒1≤
√
√
an + 2
3 ≤ an+1 .
Lo que prueba el resultado. Una vez más se utilizó como en el problema anterior que al sumar dos y
calcular las raı́ces cuadradas las desigualdades se mantienen. La otra desigualdad se prueba igual y
queda de ejercicio.
Ejercicios.
1. Hallar la fórmula explı́cita para las siguientes sucesiones.
(a) x0 = 2, xn+1 = 5xn .
(b) x0 = 5, xn+1 = 3xn + 6.
(c) x0 , xn+1 = 2(xn )2 .
(d) x0 = 0, xn+1 = xn + (n + 1)2 .
(e) x0 = 1, xn+1 = (1 −
(f) x0 = 1, xn+1 = (1 −
1
n+2 )xn .
1
)xn .
(n+2)2
(g) a0 = 1, a1 = 3, an+2 = an+1 an .
(h) a0 = 1, an+1 = 3a3n .
2. Muestre que la sucesión definida por x0 = 1 y xn+1 = (xn + 1)3 es creciente.
q
3. Muestre que la sucesión definida por a0 = 1, a1 = 1 y an+2 = a2n+1 + a2n es creciente.
4. Muestre que la sucesión definida por x0 = 1 y xn+1 =
xn
n+2
es decreciente.
5. Muestre que la sucesión definida por x0 = 1, x1 = 1 y xn+2 =
6. Muestre que la sucesión definida por x0 = 1, xn+1 = 1 +
7. Muestre que la sucesión definida por x0 = 1, xn+1 =
1
xn
xn
1+xn
xn+1 +xn
2n+2
es decreciente.
cumple que 1 ≤ xn ≤ 2.
cumple que 0 ≤ xn ≤ 1.