Práctico13

Unidad 5 - Espacios Vectoriales con producto interno
PRACTICO 13
1) Determine cuales de las siguientes funciones definen un producto interno:
a) ⟨ , ⟩ R2 x R2→ R / ⟨u, v⟩ = 3 u1v1 + 2 u2v2 donde u = (u1, u2) y v = ( v1, v2).
b) ⟨ , ⟩ R2 x R2 → R / ⟨u, v⟩ = u1v1 - u2v2 donde u = (u1, u2) y v = ( v1, v2).
c) ⟨ , ⟩ M2x2 x M2x2→ R / ⟨A, B⟩ = a11 b11+ a12 b12.+ a21 b21 + a22 b22 , donde
A=(aij) y B =(bij).
n
d) Sea V EV, dim V = n, B es base de V y ⟨ , ⟩ VxV → R / ⟨u, v⟩ =
[ ]B = (α1 ,......,α n )
donde u
[v]B = (β 1 ,....., β n ) .
y
∑α β
i =1
i
i
b
e) ⟨ , ⟩ Pn x Pn→ R /
p, q = ∫ p ( x).q ( x)dx .
a
b
f) ⟨ , ⟩ C[a,b] x C[a,b] → R /
f , g = ∫ f ( x).g ( x)dx .
a
2) Sea V EV con producto interno, X ={w1,......,wp} genera a V. Demostrar que si
los vectores u , v ∈V son tales que ⟨ u, w⟩ = ⟨v, w⟩ para cualquier w ∈ X
entonces u = v.
3) Sea V EV con producto interno. Demuestre que T : V→ V / T(v) = ⟨ v, w⟩ es
transformación lineal, donde v, w ∈ V .
4) Consideremos en R3 el producto interno euclídeo, determinar los valores de k
para que u y v sean ortogonales:
a) u = ( 2, 1, 3) v = ( 1, 7, k)
b) u = (k, k, 1) v = ( k, 5, 6).
5) Sea V EV con producto interno, X ={w1,......,wp}⊂ V. Demostrar que si u∈V es
tal que u es ortogonal a cada wi entonces es ortogonal a todo vector v, con v ∈
S(X).
6) Sea V EV con producto interno, u ∈V, demostrar:
a) S = {v ∈ V / v, u = 0} es SEV de V.
b) Describa el subespacio geométricamente en R2 y R3 con el producto interno
euclídeo o habitual.
7) a) Demostrar que las siguientes funciones son normas en Rn
n
i) || x || =
∑x
i =1
i
,
ii) || x || =
sup { | x1 | , | x2 | , . . . . , | xn | }
c) En cada caso, describa el conjunto B(0,r) = {(x, y) ∈R2 / || (x, y) || < r }.
(n=2)
8) Sean f y g ∈ C[0,1], demostrar:
2
1 2
1

 1 2

a)  ∫ f ( x) g ( x ) dx  ≤  ∫ f ( x )dx  ∫ g ( x ) dx 



0

0
 0

1
1
1
1
2  1 2
2  1 2
2
2






b) ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx
≤
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx


∫

∫

0

0

0

9) En cada caso calcular cos α y d ( u, v), a partir del producto interno
especificado,
α: ángulo entre u y v.
a) u = (-1, 5, 2), v = ( 2, 4, -9) , el producto interno euclídeo.
b) p(x) = -1 +5x+2x2, q(x) = 2 + 4x -9x2 , el producto interno definido en el
Ej. 1.
10)
a) Sea V EV con producto interno, X ={w1,......,wp} base ortonormal de V,
demostrar que para cualquier v ∈. V se cumple v =
n
∑ v, w
i
i =1
.wi
b) Considere R3 con el producto interno euclídeo, transforme la base A
={(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} en una base B ortonormal, por el proceso de
Gram-Schmidt. Calcule [(1,0,0)]B.
2π
11) Consideremos C[0,2π] y el producto interno
f ,g =
∫ f ( x) g ( x)dx
0
a) Mostrar que el conjunto {1, cos x, sen x, cos 2 x, sen 2 x,........, cos nx, sen nx} es
ortogonal .
b) Sean A = {1, cos x, sen x, cos 2 x, sen 2 x} , f(x) = x2, hallar p (x ) /
p ( x) ∈ S ( A)
d ( f , p) sea mínima
Note que
2π
2
p es tal que d ( f , p) =
∫ ( f ( x) − p( x) )
2
dx es mínima ,
0
2π
Definimos
∫ ( f ( x) − p( x) )
2
dx como error cuadrático medio, p(x) se
0
denomina polinomio trigonométrico de orden 2 .Resulta entonces que p(x) es una
aproximación para f que minimiza el error cuadrático medio. (Aproximación de
mínimos cuadrados)