Algebra lineal y Geometr´ıa II Giros y simetras en R2 1

Álgebra lineal y Geometrı́a II
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
Giros y simetras en R2
1. En el plano euclı́deo R2 y respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y }, la matriz de la
simetrı́a respecto del eje Y es:
1 0
(a)
0 1
1 0
(b)
0 −1
0 −1
(c)
1 0
−1 0
(d )
0 1
2. En la referencia ortonormal {O, X, Y } de R2 , si SX representa la simetrı́a respecto del eje
X sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) SX es la aplicación lineal definida por
S
X
R2 −−→
R2
(x, y) 7→ (x, −y)
1 0
(b) La matriz de SX es
0 −1
(c) La matriz A de SX verifica(A · At = I y |A| = −1
x̄ = y
(d ) Las ecuaciones de SX son
ȳ = −x
3. En la referencia ortonormal {O, X, Y } de R2 , si A es la matriz de la simetrı́a respecto del
origen O sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
−1 0
(a) A =
0 −1
t
(b) A · A = I y |A|=1
(c) La aplicación lineal asociada es
S
O
R2 −→
R2
(x, y) 7→ (−x, −y)
1 0
(d ) A =
0 1
1
4. En la referencia ortonormal {O, X, Y } de R2 , si τα representa el giro de centro O y ángulo
α, sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) Como aplicación lineal es
τ
α
R2
R2 −→
(x, y) 7→ (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)
cos α − sin α
(b) La matriz asociada es
sin α cos α
(
x̄ = x cos α − y sin α
(c) Sus ecuaciones son
ȳ = x sin α + y cos α
cos α sin α
(d ) La matriz asociada es
− sin α cos α
5. En la referencia ortonormal {O, X, Y } de R2 , sean SX , SY y SO las simetrı́as respecto del
eje X, eje Y y el origen O, respectivamente, y τα el giro de centro O y ángulo α. Sólo una
de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a)
(b)
(c)
(d )
2
SX
= I = SY2 , SX ◦ SY = SO y SO = τ180◦
τα2 = τ2α
det(τα ) = 1
det(SX ) = det(SY ) = 1
Giros y simetras en R3
6. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, la matriz de
la simetrı́a respecto del plano XY es:


1 0 0
(a) 0 −1 0
0 0 1


−1 0 0
(b)  0 1 0
0 0 1


−1 0 0
(c)  0 −1 0
0
0 1


1 0 0
(d ) 0 1 0 
0 0 −1
7. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, si SY Z representa la simetrı́a respecto del plano Y Z sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) SY Z es la aplicación lineal definida por
S
YZ
R3 −−
→ R3
(x, y, z) 7→ (−x, y, z)


−1 0 0
(b) La matriz de SY Z es  0 1 0
0 0 1
(c) La matriz A de SY Z cumple A · At = I y |A| = −1
(d ) Las ecuaciones de SY Z


x̄ = x
son ȳ = −y

z̄ = z
8. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, si SX representan la simetrı́a respecto del eje X sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) SX es la aplicación lineal definida por
S
X
R3 −−→
R3
(x, y, z) 7→ (x, −y, −z)

1 0
0
(b) La matriz de SX es 0 −1 0 
0 0 −1
(c) La matriz A de SX cumple
A · At= I y |A| = 1

−1 0 0
(d ) La matriz de SX es  0 −1 0
0
0 1

9. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, sean SY la
simetrı́a respecto del eje Y y SO la simetrı́a respecto del origen O. Sólo una de las afirmaciones
siguientes es falsa:
(a) SY y SO son las aplicaciones lineales definidas respectivamente por
S
S
O
R3
R3 −→
Y
R3
R3 −→
(x, y, z) 7→ (−x, −y, −z)
(x, y, z) 7→ (−x, y, −z)


−1 0 0

0 1 0
(b) La matriz de SY es
0 0 −1
(c) Se cumple SY ◦ SO = SXZ
(d ) La matriz A de SO cumple A · At = I y |A| = 1
10. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, sea τα,z el
giro de centro O, ángulo α y eje de giro Z (perpendicular al plano de giro XY ). Sólo una de
las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) Como aplicación lineal es
τα,z
R3 −−→ R3
(x, y, z) 7→ (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α, z)


cos α − sin α 0
(b) Su matriz asociada es A =  sin α cos α 0 y cumple At · A = I y |A| = 1
0
0
1

x̄ = x cos α − y sin α

(c) Sus ecuaciones son ȳ = x sin α + y cos α

z̄ = z


cos α sin α 0
(d ) Su matriz asociada es − sin α cos α 0
0
0
1
11. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, la matriz
del giro τα,Y de centro O, ángulo α y eje de giro Y es:

(a)
(b)
(c)
(d )

1
0
0
A = 0 cos α − sin α
0 sin α cos α


cos α − sin α 0
A =  sin α cos α 0
0
0
1


cos α 0 − sin α
1
0 
A= 0
sin α 0 cos α


cos α 0 − sin α
1
0 
A= 0
sin α 0 cos α
y cumple At · A = I y |A| = 1
y cumple At · A = I y |A| = 1
y cumple At · A = I y |A| = −1
y cumple At · A = I y |A| = 1
12. En el espacio euclı́deo R3 , respecto de la referencia ortonormal {O, X, Y, Z}, sean SXY ,
SXZ , SY Z las simetrı́as respecto de los planos coordenados, SX , SY , SZ las simetrı́as respecto
de los ejes coordenados, SO la simetrı́a respecto del origen y τα,X , τα,Y y τα,Z los giros de
centro O, ángulo α y eje de giro los ejes coordenados. Sólo una de las afirmaciones siguientes
es falsa:
(a)
(b)
(c)
(d )
Los únicos valores propios reales de estos endomorfismos de R3 son 1 y -1.
Todas las simetrı́as tienen cuadrado igual a la identidad S 2 = I
Las simetrı́as SX , SY y SZ son giros de 180◦ y eje de giro X, Y y Z respectivamente.
SXY ◦ SXZ = τ180◦ ,Y
Transformaciones ortogonales
T
13. Sea E un espacio euclı́deo y E −
→ E una transformación ortogonal: T (e) · T (e0 ) = e · e0
0
para cualesquiera vectores e, e ∈ E.
Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) Los únicos valores propios reales de de T son 1 y -1.
(b) T es un isomorfismo.
(c) Si A y G son, respectivamente, las matrices de T y de la métrica euclı́dea en una base
de E se cumple: At GA = G.
(d ) El determinante de la matriz de T respecto de cualquier base de E es 1.
T
14. Sea E un espacio euclı́deo y E −
→ E una transformación ortogonal: T (e) · T (e0 ) = e · e0
0
para cualesquiera vectores e, e ∈ E.
Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) T conserva el módulo de los vectores y trasforma vectores ortogonales en vectores
ortogonales.
(b) Si A es la matriz de T respecto de una base ortonormal se verifica: At A = I.
(c) T conserva los ángulos entre vectores.
(d ) T transforma un cuadrado en un rectángulo de la misma área.
T
15. Sea E un espacio euclı́deo y E −
→ E una transformación ortogonal: T (e) · T (e0 ) = e · e0
0
para cualesquiera vectores e, e ∈ E.
Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a)
(b)
(c)
(d )
T transforma una base ortonormal en otra base ortonormal.
Existen transformaciones ortogonales que no tienen valores propios reales.
T es composición de giros y simetrı́as.
Si A es la matriz de T respecto de cualquier base de E se cumple: A−1 = At
16. Sea T una transformación ortogonal de R3 con dos valores propios diferentes y determinante -1. Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) T es una simetrı́a respecto de un plano.
(b) Existe un vector e ∈ R3 tal T (e) = −e.
(c) Los valores propios de T : son -1 y 1(doble).
(d ) T es un giro de 180◦ .
17. Considérese el endomorfismo T del espacio euclı́deo R3 que respecto de una base ortonormal tiene matriz:


1 −2 −2
1
A = −2 1 −2
3 −2 −2 1
Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) T es una transformación ortogonal.
(b) At A = I.
(c) Los valores propios de T son: -1 y 1(doble).
(d ) T es una simetrı́a respecto de una recta.
18. En el espacio euclı́deo R3 considérese la base {e1 , e2 , e3 } definida por las condiciones:
√
√
√
√
|e1 | = 2, |e2 | = 3, |e3 | = 2, d(e1 , e2 ) = 3, d(e1 , e3 ) = 8, d(e2 , e3 ) = 11
Sea T el endomorfismo R3 que en la base {e1 , e2 , e3 } tiene matriz asociada


−1 1 −4
1
A =  4 −1 4 
3
4
2
1
Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa:
(a) T es una transformación ortogonal.
(b) Sólo tiene un valor propio real, -1.
(c) T es composición de un giro con una simetrı́a.
(d ) T es diagonalizable.