Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas NS

Programa del Diploma
Matemáticas NS y
Ampliación de Matemáticas NS:
cuadernillo de fórmulas
Para su uso durante el curso y en los exámenes
Primeros exámenes: 2014
Publicado en junio de 2012
© Organización del Bachillerato Internacional, 2012
5050
Índice
Conocimientos previos
2
Tronco común
3
Unidad 1: Álgebra
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
4
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
4
Unidad 4: Vectores
5
Unidad 5: Estadística y probabilidad
6
Unidad 6: Análisis
8
Unidades opcionales
10
Unidad 7: Estadística y probabilidad
10
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 3
Unidad 8: Conjuntos, relaciones y grupos
11
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 4
Unidad 9: Análisis
11
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 5
Unidad 10: Matemática discreta
12
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 6
Fórmulas para las distribuciones
13
Unidades 5.6, 5.7 y 7.1, y unidad 3.1 de Ampliación de Matemáticas NS
Distribuciones discretas
13
Distribuciones continuas
13
Ampliación de Matemáticas
14
Unidad 1: Álgebra lineal
14
Fórmulas
Conocimientos previos
Área del paralelogramo
A  b  h , siendo b la base y h la altura
Área del triángulo
1
A  (b  h) , siendo b la base y h la altura
2
Área del trapecio
1
A  (a  b) h , siendo a y b los lados paralelos y h la altura
2
Área del círculo
A  r 2 , siendo r el radio
Longitud de la circunferencia
C  2r , siendo r el radio
Volumen de la pirámide
V
Volumen del ortoedro
V  l  a  h , siendo l el largo, a el ancho y h la altura
Volumen del cilindro
V  r 2 h , siendo r el radio y h la altura
Área lateral del cilindro
A  2rh , siendo r el radio y h la altura
Volumen de la esfera
4
V  r 3 , siendo r el radio
3
Volumen del cono
1
V  r 2 h , siendo r el radio y h la altura
3
Distancia entre dos
puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
d  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2
Coordenadas del punto medio
de un segmento de recta que
tiene por extremos ( x1 , y1 ) y
( x2 , y2 )
 x1  x2 y1  y2 
,


2 
 2
Soluciones de la ecuación
cuadrática
1
 área de la base  altura 
3
Las soluciones de ax2  bx  c  0 son x 
b  b 2  4ac
.
2a
Tronco común
Unidad 1: Álgebra
1.1
1.2
Término n-ésimo de una
progresión aritmética
un  u1  (n  1)d
Suma de n términos de
una progresión aritmética
n
n
Sn  (2u1  (n  1)d )  (u1  un )
2
2
Término n-ésimo de una
progresión geométrica
un  u1r n1
Suma de los n términos
de una progresión
geométrica finita
Sn 
u1 (r n  1) u1 (1  r n )
, r 1

r 1
1 r
Suma de una progresión
geométrica infinita
S 
u1
, r 1
1 r
Potencias y logaritmos
a x  b  x  log a b , donde a  0, b  0, a  1
a x  e x ln a
loga a x  x  aloga x
logb a 
log c a
log c b
Combinaciones
n
n!
 
r
r
!(
n
 r )!
 
Permutaciones
n P  n!
r (n  r )!
Teorema del binomio
n
(a  b)n  a n    a n 1b 
1
1.5
Números complejos
z  a  ib  r  cos  isen   rei  r cis
1.7
Teorema de de Moivre
 r  cos  isen   r n  cos n  isenn   r n ein  r n cis n
1.3
n
 n
   a nr br 
r
 bn
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
2.5
Eje de simetría del gráfico
de una función cuadrática
f ( x)  ax 2  bx  c  eje de simetría x  
2.6
Discriminante
  b2  4ac
b
2a
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
3.1
3.2
3.3
Longitud del arco
l   r , siendo  el ángulo medido en radianes y r el radio
Área del sector circular
1
A   r 2 , siendo  el ángulo medido en radianes y r el radio
2
Identidades
tan 
sen
cos
sec 
1
cos
csc 
1
sen
Relación fundamental
sen 2  cos 2   1
1  tan 2  sec 2 
1  cotan 2  csc 2
Fórmulas de la suma y
diferencia de dos ángulos
sen  A  B   senA cos B  cos A senB
cos  A  B   cos A cos B sen Asen B
tan  A  B  
Fórmulas del ángulo
doble
sen2  2sen cos
cos2  cos2   sen 2  2cos2   1  1  2sen 2
tan2 
3.7
tanA  tanB
1 tanA tanB
2tan
1  tan 2
Teorema del coseno
c2  a2  b2  2ab cos C ; cos C 
Teorema del seno
a
b
c


senA senB senC
a 2  b2  c 2
2ab
Área del triángulo
1
A  ab senC
2
Unidad 4: Vectores
4.1
Módulo de un vector
 v1 
 
v  v  v2  v3 , siendo v   v2 
v 
 3
2
1
4.2
2
2
Distancia entre dos puntos
( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )
d  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2
Coordenadas del punto
medio de un segmento de
recta que tiene por
extremos ( x1 , y1 , z1 ) y
( x2 , y2 , z2 )
 x1  x2 y1  y2 z1  z2 
,
,


2
2 
 2
Producto escalar
v  w  v w cos , siendo  el ángulo formado por v y w
 v1 
 w1 
 
 
v  w  v1w1  v2 w2  v3 w3 , siendo v   v2  , w   w2 
v 
w 
 3
 3
4.3
4.5
v1w1  v2 w2  v3 w3
v w
Ángulo entre dos vectores
cos 
Ecuación vectorial de una
recta
r = a + λb
Forma paramétrica de la
ecuación de una recta
x  x0   l , y  y0   m, z  z0   n
Ecuaciones cartesianas de
una recta
x  x0 y  y0 z  z0


l
m
n
Producto vectorial
 v2 w3  v3 w2 
 v1 
 w1 


 
 
v  w   v3 w1  v1w3  , siendo v   v2  , w   w2 
v w v w 
v 
w 
 1 2 2 1
 3
 3
v  w  v w sen , siendo  el ángulo formado por v y w
Área del triángulo
A
1
v  w donde v y w forman dos lados del triángulo
2
4.6
Ecuación vectorial de un
plano
r = a + λb +  c
Ecuación de un plano
(usando el vector normal)
r n  an
Ecuación cartesiana de un
plano
ax  by  cz  d
Unidad 5: Estadística y probabilidad
5.1
Parámetros de población
k
Sea n   fi
i 1
Media 
k

fx
Varianza  2
Desviación típica 
5.4
 f x  
i 1
i

n
 f x
i 1
i
i
k
2
i
k

5.3
n
k
2 
5.2
i i
i 1
 
fx
i 1
i i
n
2
 2
2
n
Probabilidad de un
suceso A
P( A) 
Sucesos complementarios
P( A)  P( A)  1
Sucesos compuestos
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Sucesos incompatibles o
mutuamente excluyentes
P( A  B)  P( A)  P( B)
Probabilidad condicionada
P (A B) 
Sucesos independientes
P( A  B)  P( A) P( B)
Teorema de Bayes
n( A)
n(U )
P (B | A) 
P( Bi | A) 
P( A  B)
P( B)
P( B)P  A | B 
P( B)P (A | B)  P( B)P (A | B)
P( Bi ) P( A Bi )
P( B1 ) P( A | B1 )  P( B2 ) P( A | B2 )  P( B3 ) P( A | B3 )
5.5
5.6
Valor esperado de una
variable aleatoria
discreta X
E( X )     x P( X  x)
Valor esperado de una
variable aleatoria
continua X
E( X )     x f ( x)dx
Varianza
Var( X )  E( X   )2  E( X 2 )  E(X )
Varianza de una variable
aleatoria discreta X
Var( X )   ( x   )2 P( X  x)   x2 P( X  x)   2
Varianza de una variable
aleatoria continua X
Var( X )   ( x   )2 f ( x)dx   x 2 f ( x)dx   2
Distribución binomial
n
X ~ B(n, p)  P( X  x)    p x (1  p) n  x , x  0,1,
 x


2




Media
E( X )  np
Varianza
Var( X )  np(1  p)
Distribución de Poisson
Media
Varianza
X ~ Po(m)  P( X  x) 
E( X )  m
Var( X )  m
5.7
Variable normal tipificada
o estandarizada
z
x

m x e m
, x  0,1, 2,
x!
,n
Unidad 6: Análisis
dy
 f ( x  h)  f ( x ) 
 f ( x)  lim 

h

0
dx
h


6.1
Derivada de f ( x)
y  f ( x) 
6.2
Derivada de x n
f ( x)  xn  f ( x)  nx n1
Derivada de sen x
f  x   sen x  f   x   cos x
Derivada de cos x
f  x   cos x  f   x   sen x
Derivada de tan x
f  x   tan x  f   x   sec2 x
Derivada de e x
f ( x)  e x  f ( x)  e x
Derivada de ln x
f ( x)  ln x  f ( x) 
Derivada de sec x
f  x   sec x  f   x   sec x tan x
Derivada de csc x
f  x   csc x  f   x   csc x cotan x
Derivada de cotan x
f  x   cotan x  f   x   csc2 x
Derivada de a x
f ( x)  a x  f ( x)  a x (ln a)
Derivada de log a x
f ( x)  log a x  f ( x) 
Derivada de arcsen x
f  x   arcsen x  f   x  
Derivada de arccos x
1
x
1
x ln a
1
1  x2
f ( x)  arccos x  f ( x)  
Derivada de arctan x
f  x   arctan x  f   x  
Regla de la cadena
y  g (u) , siendo u  f ( x) 
Regla del producto
y  uv 
Regla del cociente
du
dv
v u
u
dy
y 
 dx 2 dx
v
dx
v
1
1  x2
1
1  x2
dy
dv
du
u v
dx
dx
dx
dy dy du


dx du dx
6.4
Integrales inmediatas
n
 x dx 
x n 1
 C , n  1
n 1
1
 x dx  ln x  C
 sen x dx   cos x  C
 cos x dx  sen x  C
e
a
6.5
Área bajo una curva
Volumen de revolución
(rotación)
6.7
Integración por partes
dx  e x  C
x
x
dx 
1 x
a C
ln a
1
1
 x
dx  arctan    C
2
x
a
a
a
2

 x
dx  arcsen    C ,
a
a x
1
2
2
b
b
a
a
x a
A   y dx o bien A   x dy
b
b
a
a
V   πy 2 dx o bien V   πx 2 dy
dv
du
 u dx dx  uv   v dx dx o bien  u dv  uv   v du
Unidades opcionales
Unidad 7: Estadística y probabilidad
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 3
7.1
(3.1)
Función generatriz de
probabilidad para una
variable aleatoria discreta X
G (t )  E(t x )   P(X  x)t x
x
E(X )  G(1)
Var(X )  G(1)  G(1)   G(1) 
7.2
(3.2)
Combinaciones lineales de
dos variables aleatorias
independientes X1 , X 2
7.3
(3.3)
Estadísticos muestrales
E  a1 X 1  a2 X 2   a1E  X 1   a2 E  X 2 
Var  a1 X 1  a2 X 2   a12 Var  X 1   a2 2 Var  X 2 
k
Media x
fx
x
n
k
i
i 1

2
i i
i 1
 x2
n
k
 f (x  x )
sn 
i
i 1
2
i
n
k
k
 f (x  x )  f x
2
2
n 1
s
n 2

sn 
n 1
Intervalos de confianza
Media, con varianza
conocida
x  z
Media, con varianza
desconocida
x t

n
sn 1
n
Estadísticos de contraste
Media, con varianza
conocida
i
n
Desviación típica sn
7.6
(3.6)
k
 f (x  x )  f x
2
sn2 
7.5
(3.5)
i i
i 1
Varianza sn2
Estimación sin sesgo de la
varianza de la población
sn21
2
z
x 
/ n
i 1
i
i
n 1

i 1
i i
n 1
2

n 2
x
n 1
Media, con varianza
desconocida
Coeficiente de correlación
momento-producto de
(3.7)
Pearson
t
x 
sn 1 / n
7.7
Estadístico de contraste
para H0:
ρ=0
n
r
tr
x y
i 1
i
i
 nx y
n
 n 2
2 
2
2
x

nx


i

 yi  n y 
 i 1
 i 1

n2
1 r2
Ecuación de la recta de
regresión de x sobre y
 n

  xi yi  nx y 
( y  y)
x  x   i 1n

2
2 
y

n
y
  i

 i 1

Ecuación de la recta de
regresión de y sobre x
 n

  xi yi  nx y 
 (x  x )
y  y   i 1n

2
2 
  xi  nx 
 i 1

Unidad 8: Conjuntos, relaciones y grupos
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 4
8.1
(4.1)
Leyes de de Morgan
( A  B)  A  B
( A  B)  A  B
Unidad 9: Análisis
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 5
9.5
(5.5)
9.6
(5.6)
Método de Euler
yn1  yn  h  f ( xn , yn ) ; xn1  xn  h , siendo h una constante
(tamaño de paso)
Factor integrante
para y  P( x) y  Q( x)
e
Serie de Maclaurin
f ( x)  f (0)  x f (0) 
P ( x )dx
x2
f (0) 
2!
( x  a)2 
f (a)  ...
2!
Serie de Taylor
f ( x)  f (a)  ( x  a) f (a) 
Aproximaciones de Taylor
(con término
complementario Rn ( x) )
f ( x)  f (a)  ( x  a) f (a)  ... 
Expresión de Lagrange
Serie de Maclaurin para
funciones especiales
Rn ( x) 
( x  a)n ( n )
f (a)  Rn ( x)
n!
f ( n 1) (c)
( x  a)n 1 , donde c se encuentra entre a y x
(n  1)!
ex  1  x 
x2
 ...
2!
ln(1  x)  x 
x 2 x3
  ...
2
3
sen x  x 
x3 x5
  ...
3! 5!
cos x  1 
x2 x4
  ...
2! 4!
arctan x  x 
x3 x5
  ...
3 5
Unidad 10: Matemática discreta
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 6
10.7
(6.7)
Fórmula de Euler para
grafos planarios conexos
v  e  f  2 , siendo v el número de vértices, e el número de
aristas y f el número de caras
Grafos conexos, grafos
simples, grafos planarios
e  3v  6 para v  3
e  2v  4 si el grafo no tiene triángulos
Fórmulas para las distribuciones
Unidades 5.6, 5.7 y 7.1, y unidad 3.1 de Ampliación de Matemáticas NS
Distribuciones discretas
Geométrica
X ~ Geo  p 
pq x 1
para x  1,2,...
Binomial negativa
X ~ NB  r , p 
 x  1 r x  r

p q
 r  1
1
p
q
p2
r
p
rq
p2

2
para x  r , r  1,...
Distribuciones continuas
Normal
X ~ N   , 2 
1
 2π
e
1  x 
 

2  
2
Ampliación de Matemáticas
Unidad 1: Álgebra lineal
1.2
Determinante de una
matriz de orden 2  2
a b
A
  det A  A  ad  bc
c d
Inversa de una matriz de
orden 2  2
a b
1  d
1
A
  A 

det A  c
c d
b 
 , ad  bc
a
Determinante de una
matriz de orden 3  3
a b

A  d e
g h

f
d
b
k
g
c
e

f   det A  a
h
k 
f
d
c
k
g
e
h