xf - Buen Pastor

MATEMÁTICAS II . 2º Bachillerato Ciencias e Ingeniería
Cuadernillo de Ejercicios y problemas
COLEGIO BUEN PASTOR
INDICE
…………………………
2
2. Derivabilidad de funciones
…………………………………
6
3. Representación de funciones
…………………………………
11
4. Integrales indefinidas ………………………………………….
17
………………………………………….
23
6. Prepara el bloque de análisis: Examen análisis ………………..
30
7. Test de análisis …………………………………………………..
32
………………………………….
41
9. Test de álgebra …………………………………………………...
48
10. Sistemas ………………………………………………………….
52
1. Límites y Continuidad de funciones
5. Integrales definidas
8. Matrices y determinantes
11. Geometría
……………………………………………………
55
12. Anexo
a)
Modelos de Selectividad Andalucía 2001
b)
Modelos de Selectividad Andalucía 2002
c)
Modelos de Selectividad Andalucía 2003
d)
Modelos de Selectividad Andalucía 2004
e)
Modelos de Selectividad Andalucía 2005
f)
Modelos de Selectividad Andalucía 2006
g)
Modelos de Selectividad Andalucía 2007
h)
Modelos de Selectividad Andalucía 2008
i)
Modelos de Selectividad Andalucía 2009
j)
Modelos de Selectividad Andalucía 2009
k)
Modelos de Selectividad Andalucía 2010
l)
Modelos de Selectividad Andalucía 2011
m)
Modelos de Selectividad Andalucía 2012
Para acceder a todos los modelos de Selectividad desde el año 2001 debes acceder a la página web:
http://www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm
1
MATEMÁTICAS II . 2º Bachillerato Ciencias e Ingeniería
Cuadernillo de Ejercicios y problemas
COLEGIO BUEN PASTOR
1. Calcula los siguientes límites de funciones:
2 x 1
x 3
a)
x 1 

lim 2

x 2 x  4 x  4 
b)
 2 x  3x  1 

lim 
x 1  x 3  3 x 2  9 x  5 


3
2
 x  5x  6 

x 3 5 x 2  14 x  3 


c) lim
x 3 2
 1  x3 2 x
lim  2

x 2  x  1 
 x 2  4 x 3
x 2  2 x 3
lim
x 1
 x 2  4 x 3
2
x  2x 1
x2  x  2
 x 2  6x  8 

lim 
x 2 1  4 x  1  x 


x 2  2 x 3
x6
 x  1  x4
d) lim

x  4 3 x  7 
 ln x  ln 3 
lim 2

x 3 x  9 
2. Calcula, si existen, los siguientes límites de funciones:
a)

x  1 
lim 2
x 3 x  6 x  9 


b) lim f ( x)
x 2
x 3
d) lim f ( x) y lim f ( x)
x 0

  ( x  1) 

 x  sen
 2 

f ( x)   2
 x  2x
x x2

siendo
c) lim f ( x) y lim f ( x)
x 0
 x2 5 

lim  2
x  1 2 x  x  1 


x 4
siendo
4arctg ( x  1)

f ( x)   3
 x 1 
 x  2 ar cos  2 



siendo
 x4

 x  2  x
f ( x)  
3
 x 1

 4 x  x 2
3. Calcula los siguientes límites en el infinito:
2
x
 x  3  x 2  2 x 1
lim 

x  1 1  x 
x2
si
x2
si
si
x0
si
x0
si
x4
si
si
x4
x4
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a)
 7 x 3  x 2  2x 

lim 
x  1  x  21x 2 


 x 3  x 2  3x  2 

lim 
2

x 
 3x  x  7 
b)
 2x 5  x 4  x 3  2 

lim  3
x  x  7 x 2  2 x  3 


 x 2  2x  9 

lim  3
x   4 x  x  2 


lim  9 x 2  2 x  1  3x  1

x 
c)
lim  x 2  x  x 

x 
4. Calcula el valor de a para que se verifique que:


4.1. lim x x  a  x  3
x 
4.2. lim  ax 2  14 x  7  ax 2  6 x  1   2
x 

4.3. lim  x 2  6 x  x  a   5
x 

5. Calcula a para que exista y sea finito el siguiente límite:

lim x 2  x


a
x 
 x 

6. Calcula las asíntotas de las funciones dadas
6.1. f ( x) 
6.2. f ( x) 
6.3. f ( x) 
2x 3  1
x2
x 3 1
x3
4 x
x 2  3x  2
 3x 2
 2
 x 1
 x  2
6.4. f ( x)  
x3
 x 2  5x  8

 2  x
6.5. f ( x)  x 2  4 x  5
6.6. f ( x)  2
3
x 1
x
4
x -1
-1  x  2
x2
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 2
 x  3x

 6x 1
6.7. f ( x)  
 x4
 2x
e x -1
x -4
-4  x 1
x 1
7. Calcula los límites indicados utilizando infinitésimos en x = 0.
 2x 

lim
 sen9 x 

x 
7.1. lim
7.2. lim
1  cos 2 x
x 0
x
lim

x 0
 tg 3x 
x 0
x 0
x
 x
sen 
4
sen 6 x
x 0 sen18 x
lim
2
8. Estudia la continuidad de las siguientes funciones
8.1. f ( x) 
8.2. f ( x) 
x
( x  1)( x  2
x2
x  x  2x
3
2
8.3. f ( x)  tgx
8.4. f ( x)  1  x
8.5. f ( x) 
f ( x) 
x 2  3x  2
x  x  2x
3
2
f ( x)  ln( x  3)(`x  1)
f ( x)  e x
f ( x)  x  1
f ( x) 
f ( x)  x  2 x
2
3
8 x
f ( x) 
2
f ( x)  E ( x)
x4
f ( x)  x 2  x  2
f ( x)  2  x  1
f ( x) 
8.7. f ( x)  log 1 (1  x)  3
f ( x)  ln(2  9  x )
f ( x) 
f ( x)    3arctg x  1
f ( x) 
3
2
5  ln(10  x)
e 3
x 6
3x

8.9. f ( x)  e x
cos x

4
1
x  2
2 x  0
x0
x2 9
x3
f ( x)  x  E ( x)
2x  1
8.6. f ( x) 
E ( x)  2
8.8. f ( x) 
1
ln x  1
 x 1

f ( x)   x  1
1

x2
2 x
8
8x  x 2
1  log 3 ( x  4)
x 2 1
 x
1  2 cos 2  
2
x 1
x 1
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8.10.

x  2
f ( x)   2

x  2
8.11.
1

 x  sen
f ( x)  
x
0

8.12.
8.13.
x 1

x 2  1
f ( x)  

3
x 1
x0
x0
0 x2
 x x2
 2
 x  3x  2
0

f ( x)   x  1

6  x
1
 x  ln(7  x)
2
x 1
x 1
x 1
 1 x 2

f ( x)   x 2  3 x  2

x  3  x
x 1
x 2  x

x

f ( x)  
(
x

1
)(
x  3)

 x 2  2

x0
x2

2 x  e 1 x

f ( x )   5
 2
x  1

x 1
x2
x2
x 2
2 x6
x6
 3  x  1
x  1
9. Halla a y b para que las siguientes funciones sean continuas en todo R:
senx

9.1. f ( x)  ax  b
 2
x
 x3
 2
 x 1

9.2. f ( x)  2 axb
 2
2 x  x  6


x 2  2

f ( x)   ax  b
 x
3


 2 2
2
x0
0 x2
x2

ax1
x  e

f ( x)   x  x  1
 bx  1

 x2
x 1
1 x  2
x2
 x2  x 

10. Calcula el valor de m, sabiendo que la función f ( x)   2

x

4


x0
0 x2
x2
x2
2 x5
x5
mx 1
, tiene como asíntota horizontal la
recta y = 3.
11. Demuestra que las funciones dadas alcanzan sus extremos absolutos en los intervalos indicados y
hállalos:
5
11.1.
f ( x)   x 2  6 x
11.2.
f ( x)  x 3  8
11.3.
f ( x)  3 x 2  4 x  3
en
en
0,4
 1,3
en
0,3
y
en
-1,7
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Contenidos
1. Derivada de una función en un punto
1.1.Interpretación geométrica
1.2.Rectas tangente y normal a la gráfica de una función
2. Condición necesaria de derivabilidad
2.1. Derivadas laterales
3. Puntos críticos de una función: punto singular, anguloso, de retroceso, cuspidal y punto con
tangente vertical
4. Función derivada. Derivadas sucesivas
5. Propiedades locales de una función derivable
5.1. Condición suficiente de crecimiento y decrecimiento de una función en un punto.
5.2. Condición necesaria para la existencia de extremo relativo.
6. Propiedades de las funciones derivables. Regla de L´Hôpital.
1. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x) en los puntos indicados, si existen.
NOTA: Para hallar la derivada en un punto utiliza la definición de derivada.
1.1. f ( x)  x 3  4 x 2  3x  13
en
1.2. f ( x)  x  2 x  1
en
1.3. f ( x)  7  2 ln(x  1)
3
2

 x  x  3x  1
x2

x  x  3
x2
1.4. f ( x)  
6
en
2
x  3
x 4
x  0
en
x  2
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 x 2  3x  2

1.5. f ( x)  1  x

 x
2

x  6
1.6. f ( x)  

4 x  1  5
x 1
en
x 1
x3
x  1
en
x 3
x 3
2. Halla los valores de ay b para que la curva y  f (x) tenga recta tangente en x = 2 y halla la ecuación de
2

x  x  a
x2

2 x  bx  2
x2
dicha recta tangente, siendo f ( x)  
2
3. Halla los valores de a y b para que la recta tangente en x = 1 a la gráfica de la función
f ( x)  ax 2  b  arctg ( x  1) sea la recta t  7 x  y  9  0 .
4. Sea f ( x)  3  x  2 x  1 . Halla los puntos donde la recta t tangente a la curva y  f (x) cumple las
condiciones indicadas y, en cada caso, escribe la ecuación de dicha recta.
4.1. t es horizontal
4.2. t es paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante
4.3. t es paralela a la recta r  x  2 y  0
4.4. t es perpendicular a la recta r  3x  2 y  2  0
5. Sea f ( x)  x 3  ax 2  bx  c. Determina a, b y c sabiendo que f alcanza un mínimo relativo en x = 0 y un
máximo relativo igual a 3 en x = 2.
6. Halla a y b para que la función f ( x) 
x 2  ax  b
, tenga un máximo relativo igual a -4 en x = -1, y halla
x.  1
los demás extremos relativos de f, si existen.
7. El móvil A se desplaza sobre el eje OX a velocidad constante v.
7.1. ¿Con qué velocidad se mueve en el eje OY el objeto B que está atado a A con una cuerda de
longitud r?
7.2. ¿Cuál será la velocidad de B cuando A ha recorrido 3 m si v = 8 m/s y r = 5 m?
8. Sean f y g las funciones definidas por f ( x)  a  bx 2  x 4 y g ( x)  c  x 3 . Calcula los valores de a, b y
c de modo que las gráficas de f y g se corten en el punto P(1,1) y sean tangentes en dicho punto.
9. Halla los puntos críticos, si existen, de las siguientes funciones e indica de qué tipo son:
7
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9.1. f ( x)  x 
x 1
x
9.2. f ( x)  3 x  2
9.3. f ( x)  2 x  6
9.4. f ( x)  2  x
1 3
2
x0
3 x  x

9.5. f ( x)   x
x0
 x 1
 x
e
10. De todos los conos de área lateral 4 cm 2 , ¿cuáles son las dimensiones del que tiene volumen máximo?
1
2


11. Dada la función f ( x)  ln 1  x 2 . Sea m(x) la función que determina la pendiente de la recta tangente
a la curva y  f (x) en el punto P(x, f(x)).
a) Halla el criterio de definición de m(x).
b) Halla los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente tiene pendiente máxima y halla su
ecuación.
12. La curva f ( x)  x 2  2 x  9 representa el curso de un río. En el punto P(3,0) hay una ciudad desde la
que se desea construir una tubería rectilínea hasta el río.
12.1.
¿En qué punto Q del río debe terminar la tubería para que ésta sea lo más corta posible?
12.2.
Comprueba que en dicho punto Q la tubería es perpendicular al río.
13. Se considera el recinto limitado por la gráfica de la cónica y 2 = 4x y la recta de ecuación x = 3. Halla
el área del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en el recinto.
14. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una semicircunferencia
de radio 3 2 cm.
15. De los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de 2 cm de radio, ¿cuál es el área máxima?
16. Halla las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera de 3 cm de radio cuyo volumen es máximo y
halla dicho volumen.
8
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17. Sea
f
la
función
definida
por
f ( x)  ln(1  x)
y
sea
p(x)
el
polinomio
dado
por
1
p( x)  f (0)  f ' (0)·x  f ' ' (0)·x 2
2
f ( x)  p ( x)
Calcula lim
x 0
x2
(Propuesto para Selectividad Sevilla, 94-95)
18. Determina los valores positivos de  para los que existe y es finito el límite: lim
x 0
(Propuesto para Selectividad Sevilla, 94-95)
19. Determina a para que exista y sea finito el límite:
 x( x   ) x 2  1 
  0 (Selectividad Sevilla, 94-95)
19.1 lim 

x 
x  2 
 x2
e x  e  x  ax
(Selectividad Sevilla, junio 94)
x 0
x  senx
19.2 lim
20. Determina a y b para que exista y sea finito el siguiente límite:
lim
ln(1  x)  ax  bx 2
Para esos valores de a y b calcula dicho límite.
sen 3 x
x 0
(Selectividad Sevilla, sep.94)
21. Calcula, si existen, los siguientes límites de funciones:
1
x
  2arctg  
21.1 lim
x 0
x

x 3

21.2 lim ( x  2)·e x  2 
x 2 


21.3
1
2
x
lim ( senx )  x
x

2
21.4 lim(ln x) x 1
x 1
22. Calcula los siguientes límites:
22.1 lim (e 
x
x 
22.2 lim
x  
9
ex
xn
1
3 x
x )
 
e
senx  x
x
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x·arcsenx
1
sen 2 x
22.4 lim (1  cos x) tgx  1
22.3 lim
x 0
x 
arctgx  x
 2
x 0 x  senx
22.5 lim
1
22.6 lim(ln x) x e  e e
x e
 1 x
22.7 lim

1  1

senx  2
1
ln(1  x)  cos x  x  1
22.8 lim
 1
x 0
x·senx
x 0 e
x
1
22.9 lim x·(e x  1)  
x 0
1
22.10 lim(1  x 2 ) 1cos x  e 2
x 0
23. Razona que en los siguientes límites no es posible aplicar la regla de L’Hôpital, y utiliza otro método
para calcularlo:
23.1 lim
x 
23.2
10
2 x  senx
2
x  cos x
lim
x 
e x  senx
e 3 x  cos x
0
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1. Sea f ( x)  x 3  ax 2  bx  7 . Halla a y b de manera que la gráfica de la función f tenga para x = 1 una
inflexión cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45º con el eje OX.
2. Halla una función polinómica de tercer grado f que cumpla las condiciones indicadas:
2.1 f tiene en x = 1 un máximo relativo igual a 3 y el punto A(2,1) es un punto de inflexión de f.
2.2 f tiene un máximo relativo en A(0,7), un mínimo relativo en B(2,3) y un punto de inflexión en C(1,0)
3. Sabiendo que f(1)=1, f’(1)=2, f’’(1) = f IV(1) = 0, f V (1) = 40 y f VI (1) = -120, entonces la función en x
= 1 ¿presenta máximo o mínimo, crecimiento o decrecimiento, inflexión, concavidad o convexidad?
Razona la respuesta.
4. Determina los máximos y mínimos relativos así como los puntos de inflexión de la función y = 10x6 –
24x5 + 15x4 + 2.
5. Determina el polinomio p(x) de grado menor posible que tiene en (-1,15) un máximo relativo y en (2, 12) un mínimo relativo.
6. Halla los intervalos de monotonía de las funciones:
6.1 f ( x) 
6.2 f ( x) 
1 x
x
4 x  12
( x  2) 2
   
, 
 2 2
6.3 f ( x)  cos x  ln(cos x) en 
6.4 f ( x)  cos 2 x  cos x en 0,  
7. Dada la función
 2x 2

f ( x) x 2  1
 x
 x·e
si x  - 1
si x  - 1
Determina:
a) Dominio de la función
b) Continuidad de la función en x = -1
c) Máximos y mínimos relativos de f
11
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8. Sea f ( x) 
x
e 1
x
a) Define la función en x = 0 de forma que f sea continua en dicho punto.
b) Estudia la derivabilidad de f.
c) Halla las asíntotas.
9. Sea f la función definida por:

0
 x  1
f ( x)  
 1 x 2
 x
e
si
x  -1
si - 1  x  1
si
x 1
a) ¿Es posible definir f en -1 para que sea derivable en ese punto?
b) Determina las regiones de crecimiento y decrecimiento de f así como sus asíntotas y haz un
esbozo de su gráfica.
10. Sea f ( x) 
ax 2  bx  c
Halla a, b y c para que f tenga un extremo relativo en x = -2 y la recta de
x
ecuación y = x-3 sea una asíntota de f.
11. Halla las asíntotas de las funciones:
a)
f ( x) 
b)
f ( x) 
x x 1
x 1
f ( x) 
1 x
e x
d)
f ( x) 
3
x
( x  1)e 1
e)
f ( x)  e 2 x
f)
f ( x)  ln(x 2  1)
g)
f ( x)  ln(9 x  x 2 )
h)
f ( x)  ln(
i)
f ( x)  arctg (3x  1)
j)
 x2
f ( x)  arctg 

 x2
k)
 x2 

f ( x)  arctg 
 x 1 


c)
12
2x  1
x4
2x
)
x 1
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l)
f ( x) 
1  cos x
x
m) f ( x)  4 x 
n)
f ( x) 
cos x
x
x  2senx
x
12. Dada la función f ( x)  x 2  ln x 2
a) Dominio de definición de la función
b) Simetrías
c) Máximos y mínimos
d) ¿Existe alguna asíntota?
e) Dibuja su gráfica
f) Ecuación de la recta tangente a la curva en x =
13. Dada la función f ( x) 
a)
b)
c)
d)
x
1 x 2
Estudia las asíntotas
Estudia su monotonía y extremos relativos
Estudia su concavidad y convexidad.
Realiza un esbozo se la gráfica de f
14. Calcula las asíntotas de la función definida por f ( x) 
15. Dada la función f :    definida por f ( x) 
a)
b)
c)
d)
e
x2 3
x2
1
1
1 e x
Determina su dominio y sus asíntotas
Puntos de corte de la gráfica con las asíntotas, si las hay.
Monotonía
Dibuja la gráfica
16. Estudia y representa gráficamente la función :
f ( x) 
x
( x  1)( x  3)
17. Determina el dominio de definición, las asíntotas y los máximos y mínimos relativos de la función
f :    definida como: f ( x) 
13
x 3  x 2  2x  1
x 2  2x  1
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18. Se sabe que la gráfica de la derivada f´ de una función f(x) en el intervalo (-1,5) es la de la figura. Si
f(0)=0, dibuja de modo aproximado la gráfica de f en el intervalo (-1,5). Indica los máximos, los
mínimos y los puntos de inflexión de f(x) .
1
19. Dada la función f ( x) 
x 2  3x  2
( x  1) 2
2
3
4
, estudia sus asíntotas, sus extremos y sus puntos de inflexión. Dibuja
su gráfica
20. Hallar la función f ( x)  x 4  ax 3  bx 2  cx  d sabiendo que en el punto (1,0) tiene tangente horizontal
y el punto (-1,-32) es un punto de inflexión. Hallar sus extemos relativos.
 3x 2  x 

21. Dada la función f ( x)  
2 
 3x

ax 2
. Determinar el valor de a si la gráfica de f tiene como asíntota
horizontal la recta y = 2.
22. Calcula la ecuación de la tangente a f ( x)  x 3  3x  2 en su punto de inflexión
23. Determina el dominio de definición, las asíntotas y los extremos relativos de la función definida como
f ( x) 
x
3
x 1
2
24. Representar la función f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d , sabiendoq eu en el punto (1,4) tiene un máximo
relativo y su recta tangente en el punto (0,0) es y = 6x.
25. Demostrar que la función f ( x)  x 5  x 3  x  1 , tiene un único punto de inflexión; hallar la ecuación de
la recta tangente a la gráfica de f en él.
26. Sea f ( x)  nx  x n , donde n es un número entero distinto de 0 y de 1. Comprueba que la función f tiene
un extremo relativo en x = 1 para cualquier valor de n. Estudia si depende o no del valor de n el que este
extremo sea máximo o mínimo.
27. Siendo f ( x) 
ax 3  bx 2  5
x2  c
, calcula a, b y c sabiendo que las rectas x = 2 e y = 3x+2 son asíntotas.
¿Tiene otras asíntotas?, en caso afirmativo determínalas.
14
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28. Representa la función f ( x)  e  x y determina el punto en que sea máxima la pendiente de la recta
tangente.
2
29. Sea f :    tal que f ´(x)  0 en todos los puntos. Analiza el crecimiento y decrecimiento de la
función g ( x)  f (e x ) y determina los extremos relativos de la función h( x)  e  f ( x) .
x 2  2x

3

30. Sea f :    la función definida como f ( x)  ax 3  x 2  bx  c
2

 x 2  d ( x  1)

x 0
0x2
x 2
Determinar los valores de a, b, c y d para que f sea continua y derivable en todos los
puntos y representar las gráficas de f´ y f´´ indicando los puntos en que no están
definidas.
31. Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y = x4 - 2x2 +1
b)
f ( x) 
c)
f ( x) 
x 2  4x
x 1
2
( x  3)( x  5)
x2  4
d) y =(x +1)·ex
e)
f x  
2x 3
f ( x) 
x2  2
f ( x)  x 
4
( x  1)
2
f ( x)  senx  cos x
f ( x)  x  Ln(1  x 2 )
2 3
x  x 2  4x
3
x
f)
f ( x) 
e
x 1
g)
f ( x) 
1
h)
f ( x) 
i)
f ( x)  x 
j)
f ( x) 
k)
f ( x)  ln(6 x  x 2 )
l)
f ( x) 
15
y
f x  
x 2 1
x2
x2
x
x  10
7x
x
1  ln x
f ( x)  x 2  6 x  8
f ( x) 
f ( x) 
1
x  2x  3
2
y=sen2x-2senx , x  [0, 2  ]
f ( x)  x 3  3 x 2
2
y = x2lnx
1 e x
x 2  2x  3
f ( x)  cos x  senx,
4x
( x  2)
f ( x) 
x2
x3
x2 3
1 x
1 x
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
ex
1 e 2x
x2
x 2 1
x 1
x2
x2
x 1 1
2x
f ( x)  x 2  8x  25
f ( x) 
f ( x)  ln(x 2  1)
f ( x)  ln
f ( x) 
4 ln(1  x)
1 x
f ( x) 
x2
x2
x
ln x
x
x  0,2 
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f ( x)  e
m) f ( x)  x  ln x
x
n)
f ( x)  ( x  1)  e
o)
 x  10

f ( x)   7  x
1

 x  e x
16
f ( x) 
x0
x0
x 1
x
3
xe x
 x
f ( x)  tg  
2
f ( x)  x  e x
f ( x)  1  sen 2 x
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TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
1.
 dx  x  K
2.

x n dx 
3.

dx
 ln x  K
x
4.
e
5.
6.
x
x n 1
K
n 1
dx  e x  K
 a dx  ln a  K
x
a
a   / a  1
 senxdx   cos x  K
7.
 cos xdx  senx  K
8.
 cos

dx
 (1  tg 2 x)dx tgx  K
2
9.
 sen
10.

11.

12.
 1 x
x
dx

 (1  cot g 2 x)dx   cot gx  K
2
x
dx
 arcsenx  K
1 x 2
dx
 arccos x  K
1 x 2
dx
2
 arctgx  K
CAMBIOS A TENER EN CUENTA
Funciones trigonométricas
1. Cuando el seno o el coseno están en el denominador se suele utilizar:
 x
t  tg  
2
senx 
2t
1 t
cos x 
2
1 t 2
1 t
dx 
2
2dt
1 t 2
2. Cuando el seno o el coseno están en el denominador y elevados al cuadrado:
t  tg x 
sen 2 x 
t2
1 t
cos 2 x 
2
1
1 t
2
dx 
dt
1 t 2
3. Cuando el seno o el coseno están elevados al cuadrado, en el numerador, se utiliza:
sen 2 x 
1  cos 2 x
2
cos 2 x 
4. Cuando el seno y el coseno tienen distinto ángulo:
17
1  cos 2 x
2
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cos( mx)  cos( nx) 
1
cos( m  n) x  cos(m  n) x
2
sen(mx )  sen(nx) 
1
 cos(m  n) x  cos(m  n) x 
2
sen(mx)  cos( nx) 
1
sen(m  n) x  sen(m  n) x 
2
Funciones irracionales
Todos estos cambios se aplican cuando la raíz está en el denominador.

x 2  a 2  x  a  tgt
adt
dx 
x2  a2 
2
cos t
a  sentdt
a
cos t

x 2  a 2  x  a  sec t
dx 

a 2  x 2  x  a  sent
dx  a cos tdt

ax 2  bx  c . Se busca un cuadrado perfecto dentro de la raíz y se transforma en uno de los
x 2  a 2  a  tgt
cos 2 t
a 2  x 2  a cos t
tipos anteriores.
1. Sea F una primitiva de f, razona que:
a)
 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  K
b)
 x  f (ax
c)

d)
 (3x  sen2x) f (3x
1
2
)dx 
1
F (ax 2 )  K
2a
f (arcsen 1  x )
x  x2
dx  2 F (arcsen 1  x )  K
2
 2sen 2 x  5)dx 
 x 1
 2
 x
2. Dadas las funciones: F1 ( x)   2
x 4

 x
18
1
F (3x 2  2sen 2 x  5)  K
2
x0
y
x0
 2x 2  x 1


x2
F2 ( x)  
2
 x  5x  4

x

x0
x0
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a) Demuestra que ambas funciones son primitivas de una misma función f(x) en R*, siendo
2  x
 3
 x
f ( x)   2
x 4
 x
x 0
x 0
b) Sea G( x)  F1 ( x)  F2 ( x), x  . Comprueba que G no es una función constante en  
c) ¿Contradicen los resultados anteriores el teorema de las primitivas que afirma que la
diferencia entre dos primitivas de una función f es constante. Razona la respuesta.
3. Si dos funciones f y g verifican f ´(x)  g´(x) para todos los x de un intervalo, entonces existe una cte.
K tal que f ( x)  g ( x)  K
1
Dadas f ( x) 
g ( x)  tg 2 x , prueba que verifican las condiciones del enunciado
y
cos 2 x
y encuentra el valor de la cte. K.
4. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de integración por descomposición:
a)

2 x 3  3 x 3  7x  9
dx 
x
5

b)

2
4
 x7 x 
 5senx 

1 x 2
1 x 2



c)  x e  e x 

d)

 5 cos x  2 x dx 
cos x

9
2
27  2 x  8  3 x  4  5 x
6 x 1

e) (tg 2 x  cot g 2 x)dx 
f)
 cos
cos 2 x
2
x  sen 2 x
dx 
5. Calcula las siguientes integrales:
19
a)
 (1  cos x)
b)

c)
 x ln x dx 
d)
 sen
dx
4  x2
2
senxdx 
dx 
1
cos x
2
x

dx 


dx 
dx 
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6. Calcula las integrales dadas utilizando el método de integración por cambio de variable o sustitución:
a)
b)
c)


sen 1  x  cos 5 1  x


4sen 2 x
1  cos 2 x
3x
e)
e
h)
2

i)
dx 
1 9 x
dx 
3
x
e
dx 
dx 
x
ex

e
2 x
e
dx 

k)



8x 5  7 x 2
9  4x 6
x
2x 1  2x 2  3
dx 
2
1
xx x
dx 
1
18 x  81x 2
ex
l)

m)
 49  8x
n)
 25x
o)
 49  8x
2x
x 3  5 1  x 4 dx 

j)
x

g)
1 x

d)
f)
dx 

xsen 4  ln(1  x 2 )
2e x  e 2 x
3x  5
2
dx 
dx 
dx 
2x
4
dx 
 20 x 2 13
3x  5
2
dx 
dx 

7. Calcula la integral I  tg 2 x dx utilizando tres procesos distintos: uno de ellos por cambio de variable.
8. Calcula las siguientes integrales de funciones racionales:
a)
20
x 2  24
x
2
 3x
g)
dx
4x 3  4x 2  9x  4
b)

c)
x
4x  2
 2x  x  2
2
x
e)
x
f)
x
3
dx 
i)
 49x
dx 
j)
x
k)

 3x 2  3x  1
4 x 2  17 x  6
dx 
dx 
3
 3x  4
4
 6 x  13x  12 x  4
2
8 x  11
3
2
8x 2  4 x  7
 8x
2 x 2  7 x  10
d)
x 4  5x 3
h)
x2  x  2
3

4 x 3  16 x 2  7 x  10
dx 
l)
3
 4x 2  2x  1
3x  5
2
 14 x  10
 6 x 2  13x  9
3
 x 2  3x  5
dx 
dx 
dx 
9 x 3  6 x 2  16 x  32
x
x 3  x 2  3x  5
 x 2  5x  6
3
dx 
 7 x 2  16 x  10
dx 
dx 
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x
m)
x 2  3x  32
 x 2  8x  8
3
dx 
9. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
a)
 (2x 1) cos xdx 
e)
e
b)
x
f)
c)
 ( 2 x  3)  e
d)

2
sen(3x  4)dx 
1
(x 
2
1 x
dx 
1
x 2
x  15)  e 3 dx

i)
 sen(ln x)dx 
 ln 7 x  2)dx 
j)
x
g)
 arcsenxdx 
k)
 arctg
h)
 (3x
l)
 (2x 1)  arctgxdx 
2 x 5
10. Al aplicar la integración por partes para evaluar
se obtiene:
 f ( x) senx dx   f ( x) cos x   3x
2
2
 sen(4  x)dx 
 1)  ln(x  2)dx 
3
cos(ln x)dx 
x dx 
 f ( x) senx dx , donde f es una cierta función derivable,
cos xdx
Sabiendo que f (1) =2, encuentra la expresión de f(x).
11. Calcula las siguientes integrales por el método de descomposición:
a)
b)

cos( 4 x  3)
dx 
3
3
2
(2 x  )  cos 2 (2 x  )
2
2
1
1  cos 2 ( x  3)
2
dx 
1  cos( x  6)
d)
 x cos
e)
 sen
 cos
3
2
4x
2
 5dx 
7

7
 sen 4x  2  cos 4x  2 dx 
h)
 sen2x 1 cos4x  1dx 
i)
 sen7 x  3 cosx  5dx 
j)
 sen x  4  cos x  4 dx 
k)
 sen
l)
 sen 3x  4  cos 3x  2 dx 
1
 3x  dx 
2

 sen

g)
2
c)
f)
21
 sen
1  x dx 
4
x
 dx 
2




 3x  1   x  3 
 cos 
dx 
2   2 




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
12. Calcula I  x  arctgx 2 dx
13. Calcula las siguientes integrales:
a)

b)
 ( x  5)
x  2dx 
c)

1
ln x
dx 
x
d)
x
e)

f)
g)
e

x  1  23 x  1
2

i)
x
j)
x
k)
 senx  cos x 1 dx
l)

16  25 x 2 dx
2
4  x 2 dx
1
x2 9
x  x 2
4
dx 
ex
 3e x  2
9  x 2 dx
f ´(x) 
1
dx 
14. Calcula la función
f : 1,   
x 4  x 3  x 1
x3  x2
1
x 2 1
dx
( I )Cambio : x 2  9  t 2


3
( II )Cambio : x 
t


 x
( I )Cambio : t  tg 
2

1

( I )Cambio : x 
t

( II )Cambio : 1  t 2  u 2

cuya función derivada f ´ viene dada por
y verifica que f (2)  ln 4
15. Calcula f(x), de manera que f ´(x)  x ln(x 2  1) y que f (0)  0
22
dx
x  5dx 
1
2x
dx 
h)
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1. Calcule las siguientes integrales definidas:
1
a)
e

(2 x  3)dx
0
2
b)
5 x

x3
2
 2
dx

 senx dx
i)
0
3
x  1dx
1
a
d)
 ( x
j)
0
1

2
a  x dx
k)
 ( x  2)( x  1)dx
 (1  2
1
2
dt
1
3

x ) 2 dx
m)
0
1
g)
 x  1)dx
 9  2 x dx
l)
2
4
f)
2
 ( 3 t  2)
2
0
0
0
e)
 x·ln x dx
1
1
5
c)
h)
 cos( 2 x)dx
0
 (2a  1)
4
da
0
9
2. Sabiendo que

7

f ( x)dx  15,4
0
4
9


0
4
4

4
0
1
d ) f ( x)dx 
f ( x)dx 
4
7
7
b) f ( x)dx 

 f ( x)dx  3,5 , calcular:
y
4
a) f ( x)dx 
9
9
f ( x)dx  7,3

c) 3 f ( x)dx 
4
4

3
e)
f ( x)dx 
4
9

 f ( x)dx 
7
6
f ) f ( x)dx 
0
3. Resolver las siguientes cuestiones:
3
a) Calcular

0
23

3 x
f ( x)dx siendo f ( x)  

3
x 1
x 1
9
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b
b) Encontrar el valor de b que verifique:
 6( x  1)( x  1)dx  4
0
3
c) Calcular
 f ( x)dx siendo
1

x
f ( x)  

3
2
0x2
2x4
4. En la función definida gráficamente por:
b
Se sabe que
 f ( x)dx  8
b
y
a
 f ( x)dx  6 . Hallar:
c
c
a)

c
f ( x)dx 
b)
b
 f ( x)dx 
e indica que representa
a
5. En la función definida gráficamente por:
c
Se sabe que

a
c
f ( x)dx  6
y
 f ( x)dx  4 . Hallar:
b
b
a)

a
24
b
f ( x)dx  e indica que representa
b)
 f ( x)dx 
c
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6. Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada.
a)
b)
c)
d)
7. En los siguientes gráficos determine el valor del área sombreada:
a)
25
b)
c)
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8. Dada la siguiente gráfica
Hallar:
a) las ecuaciones de las curvas,
b) el área de la zona sombreada.
9. Dibuja la gráfica de la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas.
a) y = x2 con la recta y = 2x + 3
b) el eje de abscisas, la recta y = x + 1 y la recta x = 4
c) el eje de abscisas, la curva y = x2 - 1 y la recta x = 2
d) y = x2 + 2x - 1 con la recta y = - x - 1
e) y2 = 4x con la recta y = 2x – 4
f) y = lnx, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 10
g) y = x2 con la recta y = 3 - 2x
h) La curva y  x con y = x2
i) y = 4 - x2 con la recta y = x + 2
10. Halle el área limitada por la parábola y = 6 + 4x - x2 y el segmento determinado por los puntos A(- 2,
- 6) y B(4, 6).
11. Halle el área encerrada por las curvas y = x2 - 4x
26
e y = 6x - x2
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
x 2

6  x
12. Calcule el área bajo la curva f ( x)  
x2
x2
desde 0 hasta 3. Interprete gráficamente.
13. Determine el área sombreada en las siguientes gráficas:
a)
b)
14. Dada la siguiente gráfica
halle:
a) las ecuaciones de las rectas
b) el área de las zonas I y II indicadas en el gráfico.
15. Realiza las cuestiones siguientes:
 /2
a) Calcule
 senxdx
 /2
27
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b) Determine el área de la región comprendida entre la curva y = sen x, el eje x y las rectas x = 
x

2

2
y
.
c) Analice por qué no se obtiene el mismo resultado en a) y b).
16. Escriba la integral definida que proporciona el área de la región (no calcule el valor del área)
17. Halle el área limitada por la parábola y = x2 - x y la recta que une los puntos P(1, 2) y Q(- 3, - 6).
Realice la gráfica
18. Halle, utilizando integrales, el área del triángulo limitado por las rectas de ecuación y - 3x = 0; x - 3y
= 0 y x + y = 4.
19. Calcule el área de la zona limitada por la curva y = x3 - 3x2 - x + 3 y el eje de abscisas.
20. Halle el valor de las áreas sombreadas.
Obtenga conclusiones teniendo en cuenta que la suma de las áreas de las dos regiones coincide con
el área del cuadrado de medida de lado una unidad.
21. Sin calcular el valor de las integrales, justificar cuál de ellas tiene mayor valor:
28
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1
1

I  x 2 sen 2 xdx

I  xsen 2 xdx
ó
0
0
22. Calcula la derivada de la funciones que se dan:
x2
a)
f ( x) 
e
t2
dt
1
x
b)
f ( x) 
 1 t
1
2
dt
1
x2
c)
f ( x) 

x
ln t
dt
t
23. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = lnx entre el punto de corte don el eje OX
y el punto de abscisa x = e.
24. Hallar el área de la región del plano limitada por la curva f ( x)  xe  x , el eje de abscisa, la ordenada en
x = 0, y la ordenada en el máximo.
2
0
 x ln x
25. Hallar la región del plano limitada por la función f ( x)  
x 0
, y el eje OX, desde x = 0
x 0
hasta x = b, siendo b la abscisa del mínimo de la función.
26. Calcular el valor del parámetro a, para que el área de la región limitada por la curva f ( x)   x 2  a , y la
recta y = 0 sea igual a 4.
27. Sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y x
el valor de b.
28. Calcular el área limitada por la curva f ( x) 
1
4  x2
y la recta y = bx es 1, calcular
y las rectas x = -1, x = 1, y = 1/2.
29. Hallar el volumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX, el recinto limitado por las gráficas
1
x
de las funciones: y  ; x  y 2 ; x  4.
29
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dx
1 x 2  2x
2
1.
Calcular
2.
Calcular los valores de a y b para que la función f ( x)   x 2 2a cos x

3x  2
ax 2  b

x0
0  x   , sea continua
x 
para cualquier valor de x
b) Estudiar la derivabilidad de dicha función para los valores de a y b obtenidos.
3.
Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.
2 x  1
f ( x) 
2
4.
Se considera la función
4x2  1
a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absoluto de la función
1
b) Calcular
 f ( x)dx
0
5.
Calcula:
a)
b)
c)
d)
6.
lim
x 

x2  x  x2  x



x
lim
x
·
arctg
(
e
)



x 
2

ln(cos( 3x))
lim
x0
ln(cos( 2 x))
4 x  4 x
lim
x 0
4x
Sea la función
f (x)
una función derivable en (0,1) y continua en [0,1] tal que f(1)=0 y
1
 2 xf ´( x)dx  1.
0
30
1
Utilizar la fórmula de la integración por partes para hallar
 f ( x)dx
0
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7.
Dada la función
x5  x8
f ( x) 
1  x6
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las
discontinuidades es evitable
b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical
8.
Dada la función
f ( x)  2 x  4  x :
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad
b) Dibujar su gráfica
c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica de f, las rectas x=0, x=5 y el eje OX
9.
Dada la función
f ( x) 
senx
, definida en el intervalo  2 ,2 
2  cos x
a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo
absolutos.
b) Dibujar la gráfica de la función en dicho intervalo

3
c) Calcular
 f ( x)dx
0
10.
11.
Dada la función f ( x)  xe , se pide:
a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y
puntos de inflexión
b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre -1<x<1.
2x
Se considera la función real de variable real definida por:
3 x  2 x  2
f ( x)  
 x( x  2) x  2
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x = 3
12.
Calcular un polinomio de tercer grado p( x)
a)Tiene un máximo relativo en x = 1
b) Tiene un punto de inflexión en (0,1)
1
c) Se verifica que
 p( x)dx  5 / 4
0
31
 ax3  bx2  cx  d , sabiendo que verifica:
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1. El dominio de la función f ( x) 
1
1  x2
es:
a)    1,1
b) (-1, 1)
c)
 ,1  1, 
d) Ninguna de las anteriores
 x  2

x   x  2 
x 1
2. El valor del lim 
es:
a) 0
b) e-4
c) e
d) Ninguna de las anteriores
x 2  2 x  1

3. La función f ( x)   x  2 1  x  2
 2
x2
x
a) Continua en R
b) Continua en   1,2
c) Continua en   
1
d) Continua en    2
4. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y 
a) e
b) 0
c) 1
32
ex
x
en el punto x= 1 es:
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d) Ninguna de las anteriores
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) Si f es derivable en (a, b) entonces f es continua en [a, b]
b) Si f es continua en [a, b] entonces f es derivable en (a, b)
c) Si f es continua en [a, b] entonces f es derivable en [a, b]
d) Si f es derivable en (a, b) entonces f es continua en (a, b)
3

x  1
6. La función f ( x)  
x0

x  2x  1
2
x 0
a) No es continua en R
b) Presenta un máximo relativo en x= 0
c) Es derivable en R
d) Ninguna de las anteriores
3
7. El valor de
dx
 x(x
2
2
 1)
a)
1
(3ln2-3ln3+ln4)
2
b)
1
(ln3-3ln2+ln4)
2
c)
1
(ln4+ln2-ln3)
2
es:
d) Ninguna de las anteriores
8. La función f ( x)  3 x  3x :
a) Es derivable en R
b) No tiene mínimos
c) Tiene un mínimo en x = 0
d) Ninguna de las anteriores
9. Dada la función f ( x) 
x3
x2  4
a) y = x es una asíntota oblicua
b) y = 0 es una asíntota vertical
33
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c) No tiene asíntotas
d) Ninguna de las anteriores
10. La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f ( x)  x 2  e x en x = 0 es:
a) No se puede calcular, porque la función no tiene recta tangente en ese punto
b) Vale 2
c) Vale 0
d) Ninguna de las anteriores
11. El dominio de la función f ( x) 
x  1 es:
a)   
1
b) (0,1)
c) R
d) Ninguna de las anteriores
b
12. Se puede aplicar la regla de Barrow para
x
a
2x
2
x
dx
a) En cualquier intervalo [a, b] que no contenga al 0
b) En el intervalo [a, b] = [0, 2]
c) En el intervalo [a, b] = [2, 3]
d) Ninguna de las anteriores
13. La función f ( x)  ln x  x
a) No tiene ninguna raíz en el intervalo [1,2]
b) Tiene un máximo en x = 1
c) Tiene un mínimo en x = 0
d) Ninguna de las anteriores
14. El área encerrada por la gráfica f ( x)  cos x y el eje OX entre x = 0 y x =  vale:
a) 2
b) 0
c) No se puede calcular
d) Ninguna de las anteriores
34
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15. La función f ( x)  ln x verifica:
a)
lim f ( x)  
x 
y
lim f ( x)  
x 0 
b) Dominio de f es R
c)
lim f ( x)  
x 
y
lim f ( x)  
x 0 
d) Ninguna de las anteriores
16. El lim
senx  ln( x  1)
x2
x 0
vale:
a) 2
b) 1
c) No existe
d) Ninguna de las anteriores
17. En los puntos donde tiene sentido la derivada de f ( x)  x senx vale:
senx
x
a)
f ´(x)  cos x  ln x 
b)
senx  senx

f ´(x)   cos x  ln x 
 x
x 

c)
f ´(x) 
cos x senx
x
x
d) Ninguna de las anteriores
 x 2  16

18. La función f ( x)   x  4
a

x 4
:
x 4
a) Es continua en x = 4 si a = 6
b) No es continua en x = 4 para ningún valor de a
c) Es continua en x = 4 si a = 0
d) Ninguna de las anteriores
19. La función f ( x)  e x :
a) No tiene asíntotas
b)
35
lim f ( x)  0
x  
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c)
lim f ( x)  
x  
d) Ninguna de las anteriores
20. La función f ( x)  x  1 :
a) No tiene máximos ni mínimos en el intervalo (0,2)
b) Es continua en x = 1 por tanto es derivable en x = 1
c) No es derivable en x = 1 porque no es continua en x = 1
d) Ninguna de las anteriores
 x  2

3
2

2 x  9 x  12 x  4
21. La función f ( x)  
x 1
x 1
:
a) Es continua en   
1
b) Es continua en 
c) No existe el límite cuando x tiende a 1 por la derecha
d) Ninguna de las anteriores
22. El dominio de la función f ( x)  ln x es:
a)   0
b) 
c)
(,1]  [1,)
d) Ninguna de las anteriores
23. La función f ( x) 
x3
2x2  1
a) Tiene una asíntota en y = 1
b) No tiene asíntotas verticales
c) No tiene asíntotas
d) Ninguna de las anteriores
 x2  1 
24. El límite lim  2 
x 
 x 
a) No existe
b) Vale 0
36
x 1
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c) Vale 1
d) Ninguna de las anteriores

ln x
25. La función f ( x)  

e
x 2 2
0  x 1
x 1
a) No es continua en x = 1
b) No tiene límite por la derecha en x = 1
c) No tiene límite por la izquierda en x = 1
d) Ninguna de las anteriores
26. La función f ( x)  x  2
a) No admite derivada en x = 2
b) f´(2) = 1
c) f´(2) = -1
d) Ninguna de las anteriores
27. Si la línea que define el suelo está dada por la función f ( x)  e x ·ln x y colocamos un balón en el
punto x = 1 (y no hay fuerzas aparte del peso):
a) El balón se mueve hacia delante
b) El balón se mueve hacia atrás
c) El balón no se mueve
d) Ninguna de las anteriores
28. Si se divide el número 30 en 2 partes de forma que el producto de una de ellas por el cuadrado de la
otras es máximo, estas partes son:
a) 0 y 30
b) 10 y 20
c) 15 y 15
d) Ninguna de las anteriores
29. El área comprendida entre las funciones f ( x)  6 x  x 2
a) 2
b) 4
c) 44/3
d) Ninguna de las anteriores
37
y
g ( x)  2 x 2 es:
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x

e
30. La función f ( x)  
x 0

- x  1
2
x 0
a) No es continua en x = 0
b) Tiene un máximo local en x = 0
c) Tiene un mínimo local en x = 0
d) Ninguna de las anteriores
e x  e x
x 0
senx
31. El límite lim
a) No existe
b) Vale 2
c) Vale 0
d) Ninguna de las anteriores
32. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x)  ln x  e 2 x en el punto x = 1
a) No se puede calcular porque la función no tiene recta tangente en ese punto
b) Toma el valor e
c) Toma el valor e2
d) Ninguna de las anteriores
x
33. La función F ( x) 
 t  1 dt
1
donde x  0,2
0
a) Es derivable en (0,2) y F´(x) 
b) Es derivable en (0,2) y F´(x) 
1
x 1
1
x  12
c) F es continua pero no derivable
d) Ninguna de las anteriores
34. El área encerrada por la gráfica de la función f ( x)  senx y el eje OX entre x = 0 y x  2
a) 4
b) 0
c) No se puede calcular
d) Ninguna de las anteriores
38
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35. ¿Cuál de las siguientes funciones es discontinua en algún punto del intervalo que se indica?
x2
en
x 1
0,2
a)
f ( x) 
b)
f ( x)  Ln( x 2  1) en
c)
f ( x) 
1,1
en
3,5
en
 1,1
1
x 9
2
d)
f ( x) 
1
e x 1
1 x 
 es:
 1 x 
36. El dominio de la función f ( x)  Ln
a)   
1
b) (0,1)
c) (-1,1)
d) Ninguna de las anteriores
x 3  x
 2
 x 1
37. Dada la función f ( x)  
 x 1
sen ( x  1)

x  -1
-1  x  1
x 1
a) Es continua en R
b) Es continua en x = 1 y no es continua en x = -1
c) Es continua en x = -1 y no es continua en x = 1
d) No es continua en x = -1 ni en x = 1
38. Dada la función f ( x) 
x3
 x 2  3x  2
a) No tiene asíntotas
b) Tiene una asíntota vertical en x = 1 y otra en x = 2, y una asíntota oblicua en y = -x-3
c) Tiene una asíntota horizontal en y = 1
d) Tiene una asíntota vertical en x = -1 ni en x = 2
39
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
4
39. La integral
 cos( 2 x)dx
es
0
a) 1 / 4
b)  2
d)  4
c) 1 / 2
1
40. Dada la función f ( x)  x  e x . Entonces:
a) No tiene asíntotas verticales
b) Tiene asíntotas horizontales
c) y = x es asíntota
d) y = x + 1 es asíntota
 1
41. El lim
x 1 x  1

1 
es:
ln x 
a) 1
b) 0
c) -1 / 2
d) 2 / 3
42. Una piscina en forma de paralelepípedo (x largo, y ancho, z alto) tiene 64 m2 de área y volumen
máximo. Entonces:
a) x= 8 m
43. El lim
x 0
2
1
3e x
b) y = 16 m
c) z = 4 m
d) x + y + z = 64 m
b) 0
c) 1
d) No existe
es:
a) 2 / 3
44. Dada la función f ( x)  x 3  senx
a) Es decreciente en x = 0
b) x = 0 es un mínimo
c) x = 0 no es extremo
d) x = 0 es un máximo
x2

45. La derivada de la función F ( x)  sentdt es:
0
a) 2x·senx
40
b) x2·senx
c) 2x·senx2
d) x2·senx2
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46. El lim
x 
x3
ex
es
a) 1
c) 
b) 0
d) -1
MATRICES
1. Dadas las siguientes matrices definidas por su término general:
 
A  a ij  M 4 x3
1

/ a ij  0
3

si i  j
si i  j
si i  j
 
B  bij  M 3x 2 / bij  maxi, j
2i  j
C  cij  M 3 / cij  
i  j
 
si i  j
si i  j
 
D  d ij  M 3x 4 / d ij  mini, j
si i  j
i  j
E  eij  M 4 / eij  
si i  j
0
 
 
F  f ij  M 3x 2 / f ij  2i  3 j
a) Escribe cada matriz
b) Calcula, siempre que sea posible, las siguientes matrices:
41
b.1)
AT
BT
CT
b.2)
A+DT
A+D
AT+D
b.3)
B+F
2BT-FT
AD
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b.4)
FB
CB
BTC
b.5)
CTC
DE
DA-2C
b.6)
C-BFT
1
AC+DT
3
AD+E
b.7)
ACF
FTCB
DAB
c) Comprueba que se verifican las siguientes propiedades:
c.1)
B 
c.2)
B  F T
c.3)
 AB T
c.4)
FF 
T T
B
 BT  F T
 B T AT
T T
 FF T
2. Resuelve los siguientes sistemas matriciales
X  Y  A  B
2 X  3Y  A  2 B
a) 
1 3 5 

 7 9 11
A = 
y
siendo
0  5 2 

  4 3  1
B = 
X  Y  Z  A

b) 2 X  Y  3Z  6 A  B
3 X  4Y  2Z  A  B

3  4

1 0 
A = 
y
siendo
 1 8

  9 2
B = 
3. Dadas las matrices:
 senx cos x 0 


A   cos y  seny 0 
 0
0
1 



 sen
12
B
 cos 

12



 sen
12
C 
  cos 

12

5

 sen
12
D
 cos 5

12

 

12 

sen 
12 
cos
Calcula si es posible:
AAT;
B2;
BC;
 

12  F = 1 3  2

 sen 
12 
cos
5 

12 
5 
sen

12 
cos
CB;
D2;
  2
 
E=  0 
 5 
 
FE;
EF
4. Halla el conjunto de las matrices que conmutan con la matriz A, siendo:
a)
42
 2 1

A  
  4 6
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b)
c)
1

B 0
 1

1

C  0
1

2 1

1 0
0 0 
0 1

1 0
0 1 
DETERMINANTES
1. Calcula el determinante de la matriz A, siendo:
a)
1 5

A  
12 47 
b)
 3 2
A
2 3  5

c)
d)
e)
f)
g)
2 3  5 
2 

 

cos 
 sen
18
18 
A
 cos  sen  


9
9

 senx cos x 0 


A   cos x  senx 0 
 0
0
1 

0 5
1


A   1 2 4
 3  4 0


3i  j
A  a ij  M 4 / a ij  
0
0
A  a ij  M n / a ij  
j
 
si i  j
si i  j
 
si i  j
si i  j
2. Utilizando las propiedades de los determinantes y sin desarrollarlos, demuestra que det(A) = 0,
siendo:
43
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3 2
 1


1
4
0

A
2 5 3

3 1
2

 a b bc

A pq qr
x y yz

 1

3. Sea A   x
 x2

6 

3 
0 

 4 
ca

r  p
z  x 
 sen 2 x cos 2 y 1 


A   cos 2 x sen 2 y  1


1
1
0


1 x

A  1 y
1 z

y  z

z  x
x  y 
A  (aij )  M / aij  i  j i, j
2
3 

 6  4
18 22 
1. Razona que det(A)=0 para x = 2 y
x = -3.
2. ¿Existe algún otro valor de x que anule el det(A)? ¿Por qué?
3. Calcula el determinante de A
4. Utilizando las propiedades de los determinantes y sin desarrollarlos hasta llegar a un determinante
de orden dos, demuestra que:
x2
3x
3x
x2
3x
9
9
3x
x 2 5 x
3x
9
9
3x
x2
3x
3x
x2
x
x y
x
y
x y
y
x
x y
x y
x y
x y
x
y
x y
y
x
x y
x 5 2 x
2 x
5 x
x
x 5
 9(4 x 2  49)
x 2
x 1
x x 1
x 1 x
x
 3(3x  1)( x  1) 3
x
1
x
x
x
 ( x 2  9) 4
 3( x 2  y 2 ) 2
5. a) Escribe el determinante de Vandermonde de cuarto orden y calcúlalo utilizando el método que
permite transformar un determinante de Vandermonde en otro del mismo tipo de orden inferior,
hasta llegar al de orden dos.
b) Utilizando el método anterior, calcula el determinante de la siguiente matriz:
1
1
1 
1


3
5
7
9 

A
9 25 49 81 


 27 125 343 729 


 2

A   3x
 5x 2

2
3y
5y 2
6. Utilizando las propiedades de los determinantes, demuestra que:
44
2 

3z 
5 z 2 
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a)
x
0
0
0
0
6
1
x
0
0
0
0
0
2
x
0
0
0
b)
x2 1
y
a
z
b
0
0
3
x
0
0
0
0
0
4
x
0
0
0
0
 x 6  6!
0
5
x
x 2 1
y 0 a
z 0 b
a
b
c
a ab
b  c  a 2 ( a  b)
a 2a  b a  b  c
a  c 2a  b b  c
a b c
p  r 2p q q r  3 p q r
z  z 2x  y y  z
x y z
x
y
z
7. Calcula el determinante de A, previa triangularización de A, siendo:
a)
x

1
A
1

0

1 1 0

x 0 1
0 x 1

1 1 x 
b)
x 1
A  (a ij )  M n / a ij  
x
i j
i j
c)
i
A  (a ij )  M n / a ij  
n
i j
i j
( I )n  7; ( II ) n cualquiera
d)
3
A  (a ij )  M n / a ij  
n
i j
i j
( I )n  5; ( II ) n cualquiera
e)
 a
A  (a ij )  M n / a ij  
a
i j
i j
f)
0
A  (a ij )  M n / a ij  
x
i j
i j
g)
x
A  (a ij )  M 6 / a ij  
x  2
i j
i j
8. Resuelve la ecuación det(A)=0, siendo:
45
( I )n  10; ( II ) n cualquiera ;
( I )n  8; ( II ) n cualquiera
(III)n  6
y a4
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x

x
A
x

2

 x  1 1  1


 1 x 1 1 
A
1  1 x  1


  1 1  1 xx 


2 x x

x 2 x
x x 2

x x x 
1

1
A  1

1

1
 1 1 1 x 


x  1
1 1
A
1
x 1 1


 x 1 1 1 


1
x
1
1
1
x 1
1
1
1
1
x

2
A
1

0

0 1 2

x 0 1
2 x 0

1 2 x 





x2
1 

1
x  3
1
1
1
1
1
1
9. Sean:
A  M 2 x3 ;
tales
B  M 3x2 ;
C M2;
que det( AB)  2;
D, E  M 3 ;
det(C )  3;
det( d )  1 / 2;
det( E )  3 / 2;
Calcula:
a)
1
AB ;
2
ABC ;
b) ( D) T ( E 2 ) 1 ;
i

10. Sea A  (a ij )  M n / a ij  0
 j

4C T ( AB) 1 ;
1 
D 1   E 
3 
DE 1
T
i j
i j
i j
a) Escribe el término general de At. ¿Qué tipo de matriz es A?
b) Demuestra que: si n es impar, entonces det(A)=0
c) Para n = 4, calcula det(A)
11. Calcula la matriz inversa de A, si existe, siendo:
 senx cos x 

A  
 cos x  senx 
 senx cos x 

A  
 cos x senx 
 3 2
A

3

0 
2

A  
 5  4 
 1 0 2 


A 3 1 5 
  2 4  6


  1 1  1


A 2 0 3 
 1 1 2 


 1 2

5
2
A
1 3

2
6

46
3 1 

0 1 
1  2

4  2 


3  2 
1
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12. Halla la matriz inversa de A, si existe, utilizando el método de Gauss-Jordan, siendo:
2

1
A
1

0

 1 0 1 


A   2 1  3
 0 3  4


3 1  2

1 0 1 
2 4 1 

1 2  1 
13. Dadas las matrices:
1 2

A  
  1  1
 2 1 

B  
 2  1
 0 1

C  
 1 3
 2 1 3


E   1 0 1
 1 1 1


1  2 0 

D  
1 1 2 
y F=B+2I , resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:
a) AX=B
b) XC=DT
c) CXA+CXB=I
d) AXE=D
e) (XF)T=D
f) BX=A-2X
14. Halle el rango de la matriz A, siendo:
1

0
1
A
 1

1
0

0
1
2
1
3
1
1 1

1 0 
6 2 

4 5 

0  5
0  1 
 1 1 0


B   2 1 1 
 3 2 1


 1

3
C 
2

5

1 1 

1  4 2 5
1  2 1 6

1  8 4 3 
0
2
15. Discute el rango de la matriz A según los valores de los parámetros, siendo:
47
1  2

1 1 
2 a 

a b 
2
1 
1


A a
4
a 
 1  a 1  a 


3

a
A
0

3

1 2 1
 1


A 3
1 2 a 
a  2  2 0 3


a
a 2 
1


A  2
7
b 1 
 4 3a  1 6  2 


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16. Sea
A  (aij )  M n / A3  2 A 2  3 A  I  
. Demuestra que A es una matriz regular y hallas su
inversa en función de A.
17. Sea
Demuestra que I  A1  I  A  A 2
A  (aij )  M n / A3  
t

( I ) A  A
es simétrica

( I ) A  A
es antisimétrica
18. a) A  M n , demuestra que : 
t
1  7
 como suma de una matriz
5 
b) Teniendo en cuenta lo anterior, escribe la matriz A  
9
simétrica y otra antisimétrica
1. Dadas las matrices:
Calcular la matriz X que verifica l
a ecuación AXB =2C
2. Obtener la matriz X que verifica AX – B = 3X siendo:
48
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A=
yB=
3. De la siguiente ecuación matricial:
Obtener razonadamente los valores de x, y, z.
 5 2

 2 1
4. Dada las matrices A  
3 1

y B  
1 x 
a. Determine los valores de x para los que existe la inversa de la matriz
C=AB-BA
b. Calcula la inversa de B para x = 2
 3  5

7 1 
5. Siendo A  
5 1
 , calcule la matriz X tal que AX=B
y B  
8  2
 1 1
1 2 1 
 1 1 1
 B  
 C  

 0 1
1  1 0 
 3 0 1
6. Dadas las matrices A  
a. Obtenga, si existe, una matriz X tal que AX+2B=C
b. Obtenga, si existe, una matriz Y tal que YA-B=C
c. En ambos casos, razone la existencia o no de las matrices inversas de X y de Y.
1 
1 0


1
0 
7. Dada la matriz A   2
 0 1  2


 1 
 
a. Calcule (A-I)B, siendo I la matriz identidad de orden 3 y B   0 
  2
 
b. Calcule At. Calcule, si es posible, BAt.
c. ¿Es posible obtener la inversa de A?
0 1
 , calcular A200
1 0
8. Dada la matriz A  
49
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  2 0 1

9. Sean las matrices A  
 0 1 0
y
1 0 


B  1 2 
 0  1


a. Compruebe que (AB)T=BTAT.
  3 6

3 
b. Halle una matriz X que verifique ABX  
 0
10. Se sabe que
a b
5
c d
a. Calcular el valor de
3a  b 6a  2b
3c  d 6c  2d
b. Enuncia una de las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado
anterior
11. Calcular los determinantes
,
y
.
Aplicar los resultados obtenidos para resolver por la regla de Cramer el sistema
b
c
 a


12. Considera la matriz A    2a  b 3c  , donde a, b y c son no nulos.
 3a
0 4c 

a. Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes
b. Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.
1 0 1 


3
13. ¿Es invertible la matriz A siguiente? Justifica la respuesta. A   2 1
 0  1  1


5 6 7 


14. Se sabe que la siguiente matriz M tiene rango 1, M   1 a b 
2 c d 


a. ¿Pueden determinarse a,b,c y d? Justifica la respuesta, y en caso, afirmativo, hállalos.
50
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 a2
a
1


15. Considera la matriz B que depende de un parámetro a B   2a a  1 2 
1
1
1 

a. ¿Para qué valores de a tiene B inversa?. Justifica la respuesta.
b. Para a = 0 halla la inversa de B
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
 x  y  3z  0

2 x  3 y  z  5
Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a
cada una de las tres incógnitas sea igual a 4.
1. Resolver el sistema de ecuaciones:
2
2. a)Hallar todas las matrices A   a a  distintas de la matriz nula tales que A  A
0 b


b) Para una cualquier de las matrices A obtenidas en el apartado a) calcular : M=A+A2+……+A10
3x  4 y  3z  9
3. Se considera el sistema de ecuaciones mx  2 y  z  5

x  y  z  2

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga una solución única
b) Resolverlo para m = 1
4. Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destino nacionales,
10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios y 10 billetes internacionales no
comunitarios, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B, le vende 10 billetes a
destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13000 euros. A una tercera
agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos
comunitarios, cobrando 7000 euros. Se pide:
a) Hallar el precio de cada tipo de billete
b) Por razón de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20% el precio de todos los
billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes
extranjeros europeos comunitarios suponiendo que mantiene constante el precio de todos
los billetes internacionales no comunitarios, para mantener sus ingresos totales por las
ventas a las tres agencias.
5. a) Sea A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A+ B = AB
Comprobar que entonces se tiene la fórmula:
b) Dada la matriz A    1

2
51
I  B 
1
  B 1  A
1  , hallar la matriz B, para que se verifique A+ B = AB

 1
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6. Comprobar,
a
2
aplicando
ab
b
las
propiedades
de
los
determinantes,
la
identidad:
2
2a a  b 2b  (a  b) 3
1
1
1
7. Encontrar un número real m, distinto de cero, y todas las matrices B de dimensión 2, tales que:
 m 0
 3 0
  B  

B  
3
1
9
3




8. a) Resolver el sistema de ecuaciones:  x  2 y  3z  1

2 x  y  z  2
b) Hallar dos constantes a y b de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación :
5x+y+az=b, el sistema resultante sea compatible indeterminado
9. Hallar una matriz X, tal que: X-1·A·X=B, siendo
1
 3
 1  1
 B  

A  

2

1
2
1




1. Juan decide invertir una cantidad de 12000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas,
A, B y C. Invierte en A el doble que en B y en C juntas. Transcurrido un año. Las acciones de la
empresa a se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor
original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 euros . Determinar
cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.
2. Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 euros a su madre. Como no tienen suficiente dinero,
cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el
triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 euros que paga el menor el mayor paga 3
euros. ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno?
3. Cinco amigos suelen tomar el café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con
leche y debieron pagar 3 euros. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche,
por lo que pagaron 3, 25 euros . Al tercer día sólo acudieron cuatro de ellos, y tomaron un café,
52
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dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 €. Calcular de forma razonada el
precio del café, del cortado y del café con leche.
4. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra
proporcional a los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20
euros y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32 euros. Si la distancia de A a C es
el doble de la distancia de A y B, calcular de forma razonada cuánto se tendrá que pagar por un
billete a una población que dista de A la mitad que B.
5. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombre,
mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de
niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.
a. Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
b. Resolver problemas.
6. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos.
En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a. Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de
las preguntas.
b. Resolver el sistema.
7. Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus
a  2 
 4
 B   
 a a  1
 4
términos independientes: A  
a. Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.
b. Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.
8. Sea el sistema de ecuaciones :
x  y  z  0

 x  2 z  1
 x  y  2 z  0

a. Expréselo en forma matricial
b. Calcula la inversa de la matriz de coeficientes
c. Resuélvalo
9. Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de 3828 euros. Su precio original era de 7,2
euros por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del
precio original y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas
rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 7,2 euros, calcular cuántas camisetas se
vendieron a cada precio.
10. Resolver el sistema:
53
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Cuadernillo de Ejercicios y problemas
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 x  2 y  3z  1

x  4 y  5z  1
 2 x  2 y  4 z  2

11. En una tienda, un cliente se ha gastado 90 euros en la compra de 12 artículos entre discos, libros y
carpetas. Cada disco le ha costado 12 euros, cada libro 9 euros y cada carpeta 3 euros. Se sabe que
entre discos y carpetas hay triple que de libros.
a. Formule el sistema de ecuaciones asociado al enunciado anterior.
b. Determine cuántos artículos ha comprado de cada tipo.
12. Una heladería prepara helados de tres tamaños, 125 gr., 250 gr., y 500 gr., cuyos precios son 0,90
euros, 1,62 euros y 3 euros, respectivamente. Un cliente compra 10 helados, con un peso total de
2,5 kg., y paga por ellos 20,28 euros. Se desea conocer el número de helados que ha comprado de
cada tipo.
a. Formule el sistema de ecuaciones asociado al enunciado del problema
b. Halle el número de helados que se lleva de cada tipo
13. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
 x  my  z  4

x  3 y  z  5
mx  y  z  4

a. Resuélvalo y clasifíquelo para m =1
b. Resuélvalo y clasifíquelo para m =2
14. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de parámetro m:
(1  m) x  y  z  1

 x  (1  m) y  z  m
 x  y  (1  m) z  m 2

15. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de parámetro m:
x  2 y  z  2

2 x  3 y  z  2
5 x  my  z  6

16. Estudia el sistema formado por las siguientes ecuaciones y da una interpretación geométrica al
resultado, en cada uno de los siguientes casos:
54
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6 x  4 y  12

i. 3 x  2 y  12
x  y  2

2 x  y  1  0

ii. 3x  3 y  3  0
6 x  2 y  18  0

x  y  3

 x  2 y  3
2 x  y  0 2

2 y  2  x

2 x  y  4  0
 y  2 x  2

x  y  z  0

17. Sea S el sistema de ecuaciones  x  2 y  2 z  6
2 x  y  z  0

a. Resuelva dicho sistema
b. Clasifique el sistema resultante si suprime en S la primera ecuación
c. ¿qué ecuación debe suprimir en el sistema S para que el nuevo sistema tenga entre sus
soluciones la solución (0,0,0)
x  y  z  2
, añada una tercera ecuación para que el sistema resultante sea
2 x  3 y  z  8
18. Dado el sistema 
compatible indeterminado.
19. La suma de dos cantidades es 500. Aumentando la primera en un 10% y disminuyendo la segunda
en un 20%, la suma es 525. Plantee el sistema que obtiene tales cantidades y resuélvalo.

x
1  2   2 
    
1  2 x 3  y   3 
20. Resuelva el sistema de ecuaciones determinado por la igualdad 
ESPACIO AFIN
1. Dados los puntos A(2,3,1), B(-1,0,4) y C(-2,1,5), hallar las coordenadas de un cuarto punto D con
la condición de que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.
2. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducidas y simétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2,3,5) y B(-1,0,-2)
3. Dada la recta
55
x  2 y 1
z
, expresarla en forma paramétrica y en forma reducida.


3
5
2
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 x  2  t

4. Hallar los puntos en los que la recta r   y  1  3t , corta a cada uno de los tres planos coordenados.
z  2  t

5. Indicar los puntos de la recta
x  2 y z 1
, que tiene al menos una coordenada nula.
 
3
5
1
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento A(2,1,0) y B(-1,4,5) y es
 y  2x  1
.
 z  3x  2
paralela a la recta 
x  1  t

7. Comprobar si la recta de ecuaciones r   y  2  5t ,
 z  3  2t

 : 2x  y  z  2  0
está
contenida o no en el plano
8. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1,0,1). B(0,2,0) y C(-1,2,1). Indicar
la ecuación de una recta que pertenezca a ese plano.
x   z  2
y al punto A(-1,4,2).
 y  2x  1
9. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r : 
x  2  t

10. Encontrar la ecuación del plano determinado por el punto (0,5,-2) y la recta r   y  5  2t
 z  1  t

11. Comprobar si las rectas r :
x 1 y  2
z


2
4
5
 x  3  2t

y s  y  2  t
 z  5  3t

determinan un plano y, en caso
afirmativo, hallar su ecuación general.
12. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(-3,4,5) y B(6,-2,0) y es paralelo a la recta
x  5 y  2 z 1
.


1
3
2
 x  t

13. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta s   y  3  t y es paralelo a la recta
 z  1  5t

 y  2 x
r:
.
z  x  3
14. Dado el punto A(-1,5,2) y el plano  : 3x  y  2z  5  0 , hallar un punto B tal que la recta que pasa
por A y B sea paralela al plano  .
56
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15. Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto P(2,0,3) y contiene a la recta
 x  1
.

z  3
16. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen y es paralelo a los vectores


u  (1,0,3) v  (2,0,1) .
17. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos M(-2,1,0), N(0,4,5) y P(0,0,-3).
18. Hallar la ecuación del plano que corta a los tres ejes coordenados a una distancia k del origen.
Hallar el valor de k para que ese plano sea x+y+z+2=0
POSICIONES RELATIVAS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
19. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,1), B(1,1,-1) y C(-2,10,-4) pertenezcan a la misma
recta.
x  2  t

20. La recta r pasa por el punto A (1,-2,1) y es paralela a la recta s :  y  3t . Si P(-3,m, n) pertenece a
 z  t

r, determinar m y n.
21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1) y corta a las rectas r :
x 1 y 1 z


2
2 1
2 x  y  z  2  0
.
 x  3 y  z  1
y la recta s : 
22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1,1) y es paralela a la recta que determinan
los planos  : 2 x  y  z  2  0 y  : x  3 y  z  1 .
23. Calcular el valor de m para que sean coplanarias las siguientes rectas:
a)
b)
c)
 y  2x  3
r:
 z  3x  1
 x  1
r:
y  3
xm y 4


r: m
3
y  3

s:
x 1 y
z


2
1 m
 y  4x  m
s:
z  x
 y  3x  4
s:
 z  2 x
24. Dados los puntos A(2,3,-1) y B(-4,1,-2), hallar las coordenadas de un punto C perteneciente al
plano XZ, de forma que los tres puntos A, B y C no formen un triángulo.
25. Hallar el valor de a para que las rectas r y s se corten. ¿Pueden ser coincidentes en algún caso?
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r:
x 3 y 3 z  a


2
1
2
y
 x  1  4

s :  y  1  3
 z  4  5

 x  2  3
 y  2x  1


26. Dadas las rectas r :  y  4  5 y s : 
x 3
 z  2  2
 z  m

a) Calcular el valor de m para que r y s sean concurrentes
b) Determinar, para ese valor de m, el punto de intersección de r y s.
27. Averiguar la posición relativa de las rectas
 x  2  2

r :  y  1  2
 z  2  4

y
x  3  

s : y  2  
z  4

28. Hallar la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r y s, y es paralela a la recta t.
2 x  y  z  1  0
r:
x  2 y  z  2  0
x  y  z  5
s:
2 x  y  3 z  5
x  y  z  1
t:
2 x  z  2
29. Determinar el valor de  para que los puntos A(  , -1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) y D(1,0,3) sean
coplanarios.
30. Hallar la ecuación general del plano que contiene a los siguientes pares de rectas:
a)
b)
 x 1 z 1


s: 3
5
 y  1

x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3
r:


y s:


2
3
1
2
1
2
 y  2x  3
r:
z   x  2
y
31. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto y a la recta dados:
a) A(3,-1,2)
x  t

y r : y  2  t
 z  3  2t

b) A(3,-2,-1)
y
x  2 y  z  1  0
r:
2 x  y  z  7  0
c) A(1,2,1) y la recta intersección del plano  : x  2 y  z  3  0 con el plano YZ.
32. Hallar las ecuaciones de todas las rectas que son paralelas al plano x  y  z  1 y cortan a la recta
x  y  1
r:
.
z  2
Calcular la recta que cumpliendo esas condiciones pasa, además, por el punto P(2,0,2)
58
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33. Hallar la posición relativa de la recta r y el plano  , cuyas ecuaciones son:
x  2 y z 3
r:
 
2
2
 3
y  : 3x  2 y  z  3  0
34. Determinar a y b de modo que los planos  : ax  by  4z 1  0 y  : 3x  5 y  2z  5  0 sean
paralelos.
35. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-1,0,0) y es paralela a los planos
 : 2x  y  z  1  0 y  : x  3 y  z  5  0 .
2 x  y  z  1
 x  2 y  z  2
36. Sea la recta r de ecuación r : 
Hallar:
a) La ecuación de un plano que contenga a la recta r.
b) La ecuación de un plano paralelo a la recta r.
c) La ecuación de un plano que corte a la recta r.
37. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,0), es paralela al plano 3x – y + z = 2 y
x  y  z  0
2 x  y  2 z  2
corta a la recta r : 
 y  2x  3
esté contenida en el plano
z   x  4
38. Calcular los valores de m y n para que la recta r : 
 : nx  my  z  2  0 .
y
z
x2



1

2
3

39. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta r : 
x  y  4  0
 y  z  1
con el plano  : x  y  z  2  0 y es paralelo a las rectas s : 
40. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r :
y t:x
y  2 z 3

.
2
1
x 1 y  2

 z , es paralelo al vector de
3
2
extremos A(4,0,1) y B(0,2,-1) y pasa por A.
3x  y  2 z  1  0
x  4 y  z  b  0
41. Dados la recta r : 
y el plano  : 2 x  5 y  az  2  0 , determinar los valores de a y
b de modo que:
a) Se corten en un punto
b) Sean paralelos
c) La recta esté contenido en el plano
42. Hallar la posición relativa de los planos  y  en los siguientes casos:
a)  : 3x  y  2z  2  0
 : 6x  2 y  4z  1  0
b)  : 3x  2 y  z  2  0
 : x  5 y  3z 1  0
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 1 : x  y  2z  5
43. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto intersección de los planos  2 : 2 x  3z  1  0
 3 : x  2 y  z  1
es paralelo al plano x + y + z = - 2.
y
 x 1 y  2 z 1


2
1
 5
44. Hallar la ecuación del haz de planos que tienen por base la recta r : 
45. Estudiar la posición relativa de los tres planos siguientes, en cada uno de los casos:
 1 :  x  2 y  z  3

a)  2 : 4 x  1  0
 : 2 x  y  z  1
 3
b)
 1 : 2 x  3 y  z  2

 2 : x  y  2 z  3  0
 : x  6 y  7 z  7
 3
Y calcular su intersección en el caso de que no sea vacía.
 1 : mx  y  z  1

46. Hallar la posición relativa de los planos  2 : 2 x  y  mz  3m
, según los distintos valores de
 : x  2 y  (m  1) z  3m  1
 3
m.
ESPACIO EUCLÍDEO
47. Dados los vértices A (1,a,0) , B(3,0,1) y C(0,-5,2), determinar el valor de a para que el triángulo
ABC sea rectángulo en A.
x  3 y  z  0
y s, que es la recta que pasa por
x  2 y  3  0
48. Hallar la recta t perpendicular común a las rectas r : 
los puntos A(1,2,0) y B(0,2,1).


49. Dados los vectores a  (2,1, a) y b  (b,2,2) , determinar los valores de a y b tales que hacen
que dichos vectores sean ortogonales y con el mismo módulo.

  
50. Demostrar que a, b , c V3 , los vectores a  b , b  c
utilizando las propiedades del producto mixto.
51. Hallar
la
ecuación
del
plano
 : x  2 y  z 1  0 y  : 2x  y  z  3  0
 
y c a
son linealmente dependientes,
 que
sea
perpendicular
a
, que contenga al punto P(2,-1,0).
los
planos
52. Calcular el plano que contiene al punto P(1,0,-1) y es paralelo a las rectas r y s, siendo
x  y  z 1  0
r:
x  y  2  0
60
x  1  t

s : y  2  t
 z  1  2t

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53. Calcular el volumen del paralelepípedo cuyas aristas no paralelas son las distancias del origen a los
puntos de corte del plano  : 3x  3 y  2z  6  0 con los tres ejes de coordenadas.

y b , que determinan entre sí un ángulo de 30º.


c  3, calcular el producto mixto a, b , c .


54. El vector c es perpendicular a los vectores a


Sabiendo que a  6, b  3 y


55. Calcular el punto simétrico del punto P(-1,0-6) respecto del plano  : 2 x  y  z  2  0
56. Calcular el área del triángulo de vértices A(0,0,0), B(3,0,0) y C (0,2,2)



57. Dados los vectores a(3,1,5) y b (1,2,3), calcular el vector c , que es perpendicular al eje Z y que
 
 
verifica las igualdades c  a  9 y c  b  4.

58. Hallar un vector a que esté contenido en el plano que forman los ejes OX y OY y sea ortogonal a
la recta r : x  2 y   z .
 
 

 

59. Dados los vectores a  i  2  j  k y b  2i  j    k , determina los valores de  y  para que:
a) Los vectores sean paralelos
b) Los vectores sean ortogonales
60. Dados los puntos A(1,2,0), B(1,0,3) y C(0,-2,-2) calcular el ángulo interno del vértice A, en el
triángulo BAC.


61. Dados los vectores a(1,3,1) y b (1,2,0), calcular un vector ortogonal a ambos y que sea unitario.
62. Hallar el plano  que pasa por el punto P(1,0,-1), es paralelo a la recta r :
x 1
z2
y es
  y 1 
2
3
perpendicular al plano  : x  y  z  2  0 .
63. Dada la recta r : x  1 
2 y
z

2
2
y el plano  : x  2 y  z  3  0 , calcular la recta t, proyección
ortogonal de la recta r sobre el plano  .
64. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1) tal que sus cosenos directores son
proporcionales a 2, 4, 6.
65. Hallar el punto P´, simétrico del punto P(1,3,-4) respecto del plano  : 3x  y  2 z  0
66. Calcular los valores de los parámetros  y 
tales que la recta
r:
x2


y 1 5  z

4
3
es
perpendicular al plano  : 3x  2 y  z  1  0 .
67. Hallar la ecuación del plano  , que contiene a la recta r :
plano  : 3x  2 y  z  5  0 .
61
x 1 y  2 z  2
, y es perpendicular al


2
3
2
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68. Determina la ecuación de un plano paralelo al plano  : 2x  2 y  z  7  0 y cuya distancia al origen
sea 4 unidades.
69. Calcular el lugar geométrico de puntos que equidistan de los puntos A(5,3,0) y B(3,1,1)
70. Dadas las rectas r :
x 1 y  3

 z2
2
2
y
s : x 3 
el ángulo que forman.
71. Determinar el valor de  y  para que las rectas
x  y  
x  2 y 1
.
r:

 z 1 y s : 
2

y  z  1
y 1 z  1
, demostrar que se cortan y calcular

3
1
r y s
se corten perpendicularmente, siendo
72. Hallar la ecuación de un plano que, pasando por los puntos A(0,2,0) y B(0,0,2), corta al eje OX en
un punto C, tal que el área del triángulo ABC sea 4 unidades de superficie.
73. Hallar el volumen del tetraedro que determina el plano
coordenados.
 : x  2 y  2z  4  0 con los ejes
74. Calcular el punto simétrico del punto P(5,0,-1) respecto de la recta r :
x 1 y
  z
1
2
PROBLEMAS MÉTRICOS. ÁNGULOS Y DISTANCIAS
75. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano  : 2x  2 y  z  7  0 , cuya distancia al origen sea 4
unidades.
76. Determinar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al plano  : 3x  3z  1  0 , es el doble
de la distancia al plano  : x  y  1  0 .
77. Resolver las siguientes cuestiones:
a) Hallar la distancia del punto P(1,0,-2) al plano  : x  2 y  2
b) Calcular el punto de  más cercano a P
c) Calcular el simétrico P´ de P respecto al plano 
78. Resolver las siguientes cuestiones:
x  2

a) Determinar la distancia del punto M(1,0,-1) a la recta r :  y  t
 z  1  2t

b) Hallar el punto de la recta de distancia mínima
c) Halla la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por M
79. Hallar un punto que pertenezca al eje OX
 1 : 12x  16 y  15z  1  0 y  2 : 2x  2 y  z 1  0 .
y
que
equidiste
de
80. Calcular los planos paralelos al plano 2 x  2 y  z  3  0 , y que distan 5 unidades de él.
62
los
planos
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81. Calcular el lugar geométrico de los
 1 : x  3 y  2z  5  0 y  2 : 3x  2 y  z  3  0 .
82. Calcular
r:
por
varios
x  5 y  5 z 1


3
2
2
y
métodos
la
puntos
distancia
que
equidistan
más
corta
de
los
planos
entre
las
rectas
 x  9  6

s :  y  2 .
z  2  

x  1  t

83. Determina por varios métodos la distancia del punto P(2,3,-1) a la recta r :  y  2  t
 z  13  4t

84. Demostrar que el plano  : 5x  2 y  z  1  0
B(2,5,0)
no corta al segmento de extremos A(1,4,-3)
y
85. Hallar las ecuaciones de las rectas que, pasando por el punto M(1,-2,3), forman ángulos de 45º y
60º con los ejes OX y OY, respectivamente.
4 x  y  z  12  0
y  z  2  0
86. Calcular el ángulo comprendido por las rectas r : 
87. Calcular el valor del parámetro a para que la recta r :
x 1 y z  7
 
2
2
a
y
3x  2 y  16  0
s:
3x  z  0
determine un ángulo de 45º
con el plano  : 4x  y  z  13  0 .
88. Calcular los ángulos que determinan los planos  1 y  2 en los casos siguientes:
a)  1 : x  4 y  8z  1  0 y  2 : x  20 y  7 z  0
b)  1 : x  z  7  0 y  2 : y  z  5  0
89. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(0,2,0) y B(2,0,0), y forma un ángulo de
60º con el plano x = 0.
90. Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de los puntos A(1,-4,2) y B(7,1,-5)
91. Calcular el ángulo comprendido entre los dos planos, que pasando por el punto P(1,-1,-1), contiene
uno al eje OX y el otro al eje OZ.
92. Calcular el ángulo que determinan la diagonal de un cubo con uno de sus lados.
x  0
y  0
93. Calcular el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas r : 
y
y  0
s:
z  0
 x  3z  3
a los ejes coordenados.
 y  4 z  1
94. Hallar la distancia de la recta r : 
95. Calcular la distancia del punto P(a,b,c) al plano determinado por los puntos A(bc,0,0), B(0,ac,0)
y C(0,0,ab).
63
MATEMÁTICAS II . 2º Bachillerato Ciencias e Ingeniería
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96. Determinar la distancia del punto P(-1,1,-2) al plano que contiene a los puntos A(1,-1,1),
B(-2,1,3) y C(4,-5,2).
97. Dos caras de un cubo están en los planos  : 2x  2 y  z 1  0 y  : 2x  2 y  z  5  0 . Calcular el
volumen del cubo.
x  t

98. Dadas las rectas r :  y  1
z  1  t

y
x  1  

s : y  2
 z  2

a) Calcular la distancia entre ambas
b) Probar que se cruzan
c) Encontrar la perpendicular común y los puntos P y P´ de corte de ésta con r y s,
comprobando que la distancia entres estos dos puntos es la distancia entre las rectas
99. Hallar un punto que, perteneciendo al eje OZ, sea equidistante del punto P(1,-2,0) y del plano
 : 3x  2 y  6 z  9  0
100. Calcular los ángulos que forman las seis aristas del tetraedro de vértices:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0) y D(0,0,1)
64